《高等數(shù)學上冊 第3版》 劉金林 習題及答案 第2章（導數(shù)）習題解答

PAGEPAGE32習題解答習題2.11．求函數(shù)在點處的左、右導數(shù)，并說明在點處是否可導．解；．因為，所以在點處不可導．2．設，求及，并說明是否存在．解；．因為不存在，所以不存在．3．設，求．解．4．討論下列函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導性：(1)；解因為，所以函數(shù)在點處連續(xù)．因為，，所以，從而函數(shù)在點處不可導．(2)；解因為，所以函數(shù)在點處連續(xù)．因為，所以函數(shù)在點處可導．(3)．解因為，所以函數(shù)在點處不連續(xù)，從而在點處不可導．5．若為偶函數(shù)，且存在，證明．證因為為偶函數(shù)，且存在，所以，從而．6．設函數(shù)在點處可導，與均為常數(shù)，證明：．證因為函數(shù)在點處可導，所以．7．利用冪函數(shù)的導數(shù)公式求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)．解．8．求曲線在點處的切線方程與法線方程．解因為，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為；所求法線方程為．9．求曲線在點處的切線方程與法線方程．解因為，所以切線斜率為，法線斜率為．于是，所求切線方程為，即；所求法線方程為，即．10．在曲線上求一點，使該點的切線平行于直線．解設所求點為，則由題設知，，從而．故所求之點為．11．證明雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為定值．證設為雙曲線上任一點，則雙曲線在該點處的切線斜率為．于是，切線方程為，即．切線在兩坐標軸上的坐標分別為與，故切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為．于是，雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為定值．習題2.21．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解．(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)．解．2．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)；解．(13)；解．(14)；解．(15)；解．(16)；解．(17)；解．(18)；解．(19)；解．(20)；解．(21)；解．(22)；解．(23)；解．(24)；解．(25)；解．(26)；解．(27)；解．(28)；解．(29)；解．(30)；解．3．求下列函數(shù)在指定點處的導數(shù)：(1)，求；解，．(2)，求；解，．(3)，求；解，．(4)，求．解．4．設為可導函數(shù)，求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解．(2)；解(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)．解．5．設，且為可導函數(shù)，求．解令，則，，從而．于是，．6．設，且為可導函數(shù)，求．解等式兩邊對求導，得，故．7．求下列分段函數(shù)的導數(shù)：(1)；解當時，．由于，故．于是，．(2)．解當時，；當時，．由于，，故，，從而不存在．于是，（不存在）．習題2.31．求下列函數(shù)的二階導數(shù)：(1)；解，．(2)；解，．(3)；解，．(4)；解，．(5)；解，．(6)．解，．2．設二階可導，求下列函數(shù)的二階導數(shù)：(1)；解，．(2)．解，．3．求下列函數(shù)的指定階導數(shù)：(1)，求；解，，，．(2)，求；解．(3)，求．解．4．求下列函數(shù)的階導數(shù)：(1)；解，，，，一般地，．(2)；解，，，，一般地，．(3)；解，，，，一般地，．(4)；解因為，所以．(5)；解因為，所以，．(6)；解因為，所以．(7)；解．(8)．解．習題2.41．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)：(1)；解方程兩邊對求導，得，從而．(2)；解方程兩邊對求導，得，從而．(3)；解方程兩邊對求導，得，從而．(4)．解方程兩邊對求導，得，從而．2．求下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)：(1)；解方程兩邊對求導，得，從而．于是，．(2)；解方程兩邊對求導，得，從而于是，．(3)；解方程兩邊對求導，得．從而．于是，．(4)．解方程兩邊對求導，得，從而．于是，．3．求下列方程所確定的隱函數(shù)在處的一階導數(shù)與二階導數(shù)：(1)；解方程兩邊對求導，得，①式①兩邊對求導，得②當時，．將，代入式①得，．再將，，代入式②得，．(2)．解方程兩邊對求導，得，①式①兩邊對求導，得②當時，．將，代入式①得，．再將，，代入式②得，．4．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解兩邊取對數(shù)，得，上式兩邊對求導，得，于是，．(2)；解．(3)；解兩邊取對數(shù)，得，上式兩邊對求導，得，于是，．(4)．解兩邊取對數(shù)，得，上式兩邊對求導，得，于是，．5．求曲線在點處的切線方程與法線方程．解方程兩邊對求導，得，從而．于是，切線斜率為，法線斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．6．求曲線在點處的切線方程與法線方程．解方程兩邊對求導，得，從而．于是，切線斜率為，法線斜率為．故所求切線方程為，．，所求法線方程為．7．求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導數(shù)與二階導數(shù)：(1)；解，．(2)；解，．(3)；解，．(4)．解，．8．求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的三階導數(shù)．解，，．9．求曲線在點處的切線方程與法線方程．解點對應于參數(shù)．，所求切線的斜率為，所求法線的斜率為．故所求切線方程為，所求法線方程為．10．一長為米的梯子斜靠在墻上，如果梯子下端以的速率滑離墻壁，試求當梯子與墻壁的夾角為時，該夾角增加的速率．解設梯子離墻壁m時，梯子與墻壁的夾角為，則由題意得，兩邊對時間求導得，，于是，，從而．故當梯子與墻壁的夾角為時，該夾角增加的速率為．11．一氣球從離開觀察員處離地面鉛直上升，當氣球高度為時，其速率為．求此時觀察員視線的仰角增加的速率．解設氣球高度為時，觀察員視線的仰角為，則由題意得，兩邊對時間求導得，，于是，，從而．故當氣球高度為時，觀察員視線的仰角增加的速率為．12．注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為．當水深為時，其表面上升的速率為多少？解設水深為時，其表面半徑為，則，從而容器中水的體積為．上式兩邊對時間求導得，．于是，，從而．故當水深為時，其表面上升的速率為，約為．習題2.51．設函數(shù)的圖形如圖2-6所示，試在圖2-6(a)、(b)、(c)、(d)中分別標出點處的、及，并說明其正負．解(a)，，；(b)，，；(c)，，；(d)，，．2．設，求，．解(1)．(2)．3．求下列函數(shù)的微分：(1)；解．(2)；解．(3)；解.(4);解．(5)；解.(6)；解．(7)；解．(8)．解．4．求下列方程所確定的隱函數(shù)的微分：(1)；解方程兩邊求微分，得，從而．(2)；解方程兩邊求微分，得，從而．(3)；解方程兩邊求微分，得，從而．(4)．解方程兩邊求微分，得，從而．5．將適當?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內使等式成立：(1)；(2)；(3)；(4);(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)應填．(2)應填．(3)應填．(4)應填．(5)應填．(6)應填．(7)應填．6．設扇形的圓心角，半徑，如果不變，減少，問扇形的面積大約改變了多少？又如果不變，增加，問扇形的面積大約改變了多少？解.(1)如果不變，則（cm2）．故扇形的面積約減少．(2)如果不變，則（cm2）．故扇形的面積約增加．7．計算下列各式的近似值：(1)；(2)．解(1)令，，，則．(2)令，，，則．＊8．計算球體體積時，要求精確度在以內，問這時測量直徑的相對誤差不能超過多少？解設測量直徑的絕對誤差為，由直徑計算體積的絕對誤差為，則．因為，所以，于是，，從而，即測量直徑的相對誤差不能超過．總習題21．選擇題(1)設，則（）．(A)(B)(C)(D)解因為，所以．所以應選D．(2)設，則在處（）．(A)左、右導數(shù)都存在但不相等(B)左、右導數(shù)都存在且相等(C)左導數(shù)存在、右導數(shù)不存在(D)左導數(shù)不存在、右導數(shù)存在解因為，，所以函數(shù)在點處左導數(shù)存在、右導數(shù)不存在．故應選Ｃ．(3)設函數(shù)在處可導，，則是在處可導的（）．(A)充分必要條件(B)充分非必要條件(C)必要非充分條件(D)非充分非必要條件解因為函數(shù)在處可導，所以；．于是，在處可導．故應選Ａ．(4)設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義，則在點處可導的一個充分條件是（）．(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在解因為，所以應選D．(5)設，若存在，而不存在，則（）．(A)(B)(C)(D)解因為，，所以，但不存在．故應選Ｂ．(6)若，在內，，則在內（）．(A)，(B)，(C)，(D)，解因為，所以是奇函數(shù)，從而是偶函數(shù)，是奇函數(shù)．于是，當時，，從而，．故應選Ｃ．(7)的不可導點共有（）．(A)個(B)個(C)個(D)個解據導數(shù)的定義，容易證明：是函數(shù)的可導點而是函數(shù)的不可導點．所以函數(shù)的不可導點共有個，即應選Ｃ．2．填空題(1)設，則．解因為，所以．于是，，從而．(2)設，其中為可導函數(shù)，且，，則．解因為，所以．(3)已知，，則．解因為，所以．(4)設，則．解因為為首項系數(shù)為1的10次多項式，所以．(5)設函數(shù)在處連續(xù)，且，則．解因為函數(shù)在處連續(xù)，且，所以，且．于是，．(6)設，則．解．(7)設，其中為可導函數(shù)，且，則．解，(8)曲線在點處的切線方程為．解因為，所以切線斜率．于是切線方程為．(9)設函數(shù)由方程確定，則．解方程兩邊取對數(shù)得，再兩邊求微分得，故．(10)設曲線與都通過點，且在該點有公共切線，則，，．解因為由題設得，，即，解之得．3．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解兩邊取對數(shù)，得，上式兩邊對求導，得，于是，．(6)；解．(7)；解當時，，由于，，故，，從而不存在．于是，（不存在）．(8)．解當時，；當時，．由于，，故，，從而不存在．于是，（不存在）．4．求下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)：(1)；解方程兩邊對求導得，從而．(2)．解方程兩邊對求導得，從而．5．設函數(shù)由方程確定，求．解方程兩邊對求導得，從而，．于是．6．設函數(shù)由方程確定，其中具有二階導數(shù)，且，求．解方程兩邊取對數(shù)得，方程兩邊對求導得，從而，．7．求下列參數(shù)方程所確