3-4 函數(shù)的單調(diào)性與極植

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極植二、函數(shù)的極值及其求法

第三章

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有關(guān)1.單調(diào)區(qū)間的判定法

定理3.8(1)若對(duì)于任意的則f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;在閉區(qū)間[a,b]

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)，設(shè)(2)若對(duì)于任意的則f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.證(1)任取根據(jù)拉格朗日中值定理，得故因此在[a,b]上單調(diào)增加.注1°解例1(<)(減少)例如，①②注2°(<)(減少)事實(shí)上，定理3.8可推廣為：定理3.8

例2解2.單調(diào)性的確定法討論f(x)

單調(diào)性的步驟：例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解1°

確定連續(xù)區(qū)間2°

求駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)令得駐點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：3°

列表判別故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為3.應(yīng)用(1)證明不等式(1)若則在(a,b)內(nèi)f(x)>g(x);在閉區(qū)間[a,b]

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)，設(shè)(2)若則在(a,b)內(nèi)f(x)>g(x).此推論可用來(lái)證明函數(shù)不等式.推論例4證從而(2)方程根的確定思路：方程：xyOx1x2x3例5解yxOxOyxOy二、函數(shù)的極值及其求法

1.定義3.1總有若當(dāng)則稱為的極大值點(diǎn),稱為

f(x)的極大值;

則稱為的極小值點(diǎn),稱為f(x)的極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).注1°2°區(qū)間端點(diǎn)一定不是極值點(diǎn).例6求圖中所示函數(shù)的極值和最值.解2.極值的判定法若f(x)在x0處取得極值，且在x0

處可導(dǎo)，則必有定理3.9(必要條件)證例如，駐點(diǎn)注1°如何判定極值可疑點(diǎn)是否是函數(shù)的極值點(diǎn)

？2°可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)若則稱x0

為f(x)的駐點(diǎn).xyO駐點(diǎn)(見(jiàn)例6中的x=–1)3°極值點(diǎn)極值可疑點(diǎn)：駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在(但函數(shù)有定義)的點(diǎn).問(wèn)題：定理3.10(第一充分條件)對(duì)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，(1)

若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則f(x)在處取得極大值；(3)若的符號(hào)保持不變，(2)

若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則f(x)在處取得極小值；則f(x)在處沒(méi)有極值.例如例3中函數(shù)是極小值點(diǎn)，其極小值為是極大值點(diǎn)，其極大值為求極值的步驟:解例7

+-++充分條件，

極值的判定法1(定理3.10)是注不是必要的.定理3.11(第二充分條件)則在點(diǎn)處取得極大值;則在點(diǎn)處取得極小值.二階導(dǎo)數(shù),且記憶方法：在x=0處取得極小值證

(1)存在由定理3.10可知,(2)類似可證.例8分析0=解=0注1o例如，xyO極值第一判定法或極值定義等其他方法，判定x0是否為極值點(diǎn).2o

極值的判別法2(定理3.11)也是充分條件，不是必要的.

xyO例9解極值第二充分判定法失效！能否用極值第一判定法？?jī)蛇吳髮?dǎo)，得關(guān)鍵：直接由此式不易判斷f

(x)的符號(hào)令得>0對(duì)f

(x)

用麥克勞林公式，得0>0,1例10分析解(<)(極大值)定理(第三充分條件)證明提示：用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式=0內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上嚴(yán)格單調(diào)遞增在I

上嚴(yán)格單調(diào)遞減2.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值思考題？解反例：事實(shí)上,但因此,在x=0的任何鄰域單調(diào)增加,則若不然,假設(shè)f(x)則有≥0解

備用題

例3-1討論函數(shù)的單調(diào)性.解當(dāng)x=0

時(shí),導(dǎo)數(shù)不存在，且當(dāng)故的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為解例3-2且討論函數(shù)的單調(diào)性.解例3-3令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為證

例4-1

例4-2證證例4-3則則例4-4分析證(方法1)分析(方法2)例7-1解是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為(極大)(