高三復(fù)習(xí)學(xué)案 空間向量與立體幾何

專題14空間向量與立體幾何

一、知識速覽

二、考點速覽

知識點1空間向量的概念及有關(guān)定理

1、空間向量的有關(guān)概念

（1）空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；

（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；

（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；

（4）共線向量（或平行向量）：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；

（5）共面向量：平行于同一個平面的向量

2、空間向量的有關(guān)定理

（1）共線向量定理：對空間任意兩個向量￡,h（b6）,的充要條件是存在實數(shù)2，使得￡=九尻

（2）共面向量定理：如果兩個向量B不共線，那么向量方與向量3共面的充要條件是存在唯一的

有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使萬=x￡+yB.

（3）空間向量基本定理：如果三個向量b,1不共面，那么對空間任一向量,，存在有序?qū)崝?shù)組｛x,八

z｝,使得p=xa+M，其中，｛a[,c｝叫做空間的一個基底.

知識點2兩個向量的數(shù)量積及其運算

1、空間向量的數(shù)量積及運算律

（1）數(shù)量積及相關(guān)概念

①兩向量的夾角：已知兩個非零向量Z,b,在空間任取一點O,作力=Z,OB=b,則Z/08叫

做向量[與B的夾角，記作G,B>,其范圍是[0,2，

若<。力>=一，則稱Q與b互相垂直，記作Q_L6.

2

②非零向量a，b的數(shù)量積°4=卜帆cos<a]>.

（2）空間向量數(shù)量積的運算律

①結(jié)合律：=丸（。工）；

②交換律：a=E?a；

③分配律：Q,（B+c）=a?B+a?c.

2、空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)。=(卬,。2，%)，6=(e,8,&),

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-h她+a2b2+a3b3

共線a=Xb(jbw￡R)q—46],ci]—

垂直a-h=0(t7w6,Bw0)afy+a2b2+a3b3=0

模PI

-7ah++小仇

夾角<a,b>(aw0,6w6)cos<a,b>=-/,,

yja；+a；+cty,yjb；+b：+b；

知識點3空間中的平行與垂直的向量表示

1、直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量々的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此向量々為直

線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線/La,取直線/的方向向量Z,則向量Z叫做平面a的法向量.

2、空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

的2/〃〃2=〃]=4%

直線/l，/2的方向向量分別為)，Z

/一々_L?=々?%=0

1//anA.mon-m=0

直線/的方向向量為3,平面a的法向量為百

1Lan//m=〃=Am

a///3n//mn=Xm

平面a,￡的法向量分別為?

a工BnA-m<=>n-m=0

知識點4利用空間向量求空間角

1、異面直線所成角

設(shè)異面直線a,6所成的角為仇貝IJcos°=f士，其中2，B分別是直線a，6的方向向量.

而

2、直線與平面所成角

如圖所示，設(shè)/為平面a的斜線，IHa^A,a為/的方向向量，〃為平面a的法向量，a/

__

n.M/aC

8為/與a所成的角，則sin(p=Icos<a,n>|=可??

3、二面角

（1）若4B,8分別是二面角a-//的兩個平面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角（或其補角）的大小就是

向量方與函的夾角，如圖

（2）平面a與日相交于直線/,平面a的法向量為平面用的法向量為后,<勺,〃2>=。，則二面角a-//為

?；蜇Ｒ籎.設(shè)二面角大小為夕,則|coss|=|cos。］=若"，如圖6,c.

同同

知識點5利用空間向量求空間距離

1、點到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為“，4是直線/上的定點，P是直線/外一點,

設(shè)向量存在直線/上的投影向量為念=〃，

則點P到直線/的距離為|“2一（".”）2（如圖）.

2、點到平面的距離

已知平面a的法向量為］,/是平面a內(nèi)的任一點，P是平面a外一點,

過點尸作則平面a的垂線/,交平面。于點。，

則點P到平面a的距離為尸。=（如圖）

Fl

3、線面距和面面距

線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。

（1）直線a與平面a之間的距離：d=!------，其中Zea,Bea,后是平面。的法向量。

1?1

（2）兩平行平面a,,之間的距離：d=1-----L其中方是平面a的法向量。

1?1

一、用基向量表示指定向量的方法

（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

【典例1】（2023?全國?高三對口高考）如圖所示，在平行六面體中，區(qū)為4G與的交

點，若荏=2,而=B,AAx-c,則=（）

11-11-

A.-a——h+cB.-a+-h+cC.--a--h+cD.——a+—h+?

22222222

【答案】D

uuuruuiruuuiruuiriuuuuruuirizuuuiruuur

【解析】由題意可得：BM=BBX+BXM=：8。+—4A-4a

=—ABH—AD+AA=—H—+c.故選：D.

22[22

【典例2]（2021?全國?高三專題練習(xí)）在四面體。45c中，OA=a^OB=b^OC=c，點M在棱04上，且兩=2必,

N為8c中點，則礪=（）

2_11.22-1

A.-5--6+-CB.—ciH—brT—cC.-a+-S--cD.--a+-b--c

232322222332

【答案】B

【解析】???點M在線段04上，且。用=2朋X,N為BC中懸,

---2———1——.1—1一

OM=-OA,ON=-(OB+OC)=-OB-OC,

3222

——-——------1一1—2—>21-1

?.MN=ON-OM=-OB+-OC一一OA=一一a+-h+-c.故選：B.

223322

【典例3】（2023秋?福建廈門?高三?？茧A段練習(xí)）在三棱錐218c中，點O為△48C

的重心，點Q,E,尸分別為側(cè)棱以，PB,PC的中點，若2=萬，b=CE^c=~BD^則麗=()

2-2r2一

A.-a+-b+-cB.--a--b--cC.--a--b--cD.—a+—b+—c

333333333333

【答案】D

【解析】取SC中點為"，

三個式子相力口可得Z+B+"=-g（秒+方+定）=萬+而+正=-2（2+3+，，

又而="_前=_泊_§而=一莎75（益+就）=_防5（而_莎+正_珂

=-防；（而-莎+斤-網(wǎng)=一（萬而定=-；（方+而+碼=翡+網(wǎng)，故選：D

二、證明三點共線和空間四點共面的方法比較

三點（P,A,8）共線空間四點（〃，P,A,8）共面

用=7防且同過點PM^=xM^i+yM^

對空間任一點O,辦=況+弟對空間任一點。，OP=oU+xM^i+yMb

對空間任一點。，辦=x^+（l—x）仍對空間任一點。，辦=、曲+夕次+（l—x—切彷

【典例1】（2022?全國,局二專題練習(xí)）己知向量°,B，c不共面，AB=4a+5b+3c>AC-2a+3b+c>

AD-6a+7b+5c-求證：B,C,。三點共線.

【答案】證明見解析

【解析】因為Z8=4a+5加+3c,AC=2a+3fe+c>AD=6a+7^+5c,

所以瑟=*-萬=2-+3-+--（4-+5Z+3一）=-2--2--2c,

BD=AD-AB=6a+76+5c-（4a+5坂+3c^=2a+2b+2c,

所以^-麗，

所以前/麗,又8為公共點，

所以8,C,。三點共線.

【典例2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體/8C。-中，QC=2EC,布=3斤.

（1）求證：A、尸、E三點共線;

（2）若點G是平行四邊形8￡CG的中心，求證：D、F、G三點共線.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）由題意，qC=2EC,葩=3記，

______2____O____

故4尸=AA}+=AAX-\--AxC=AAl+-（AB+AD-AA{）

二萬+2而+1鬲=2（萬+而+_L羽），

33332

AE=AC+CE=AB+AD+-CC.=AB+AD+-AA.,

2'21

__2__

故萬=§）瓦由于萬,N云有公共點z,

故/、F、E三點共線；

（2）由題意，點G是平行四邊形與8CG的中心，

^.DF=DC+CF=AB-^A^C=AB-^（AB+AD-AAt）

2—1—1——2—1—1——

=-AB——AD+-AA.==-^AB——AD+-AA.）,

3331322

—.2——?_____

故DF=3DG，因為。ROG有公共點。，

故。、F、G三點共線.

【典例3】（2024?全國?高三專題練習(xí)）在四棱柱中，屏=左即，麻=%方力,

麗=kD^C.Dji=kD^D.

3—?—.-._____

（1）當(dāng)左=a時，試用表不力尸；

（2）證明：旦旦G,“四點共面；

___1___1_____-5_____

【答案】（1）萬=石+】港；（2）證明見解析

444

【解析】（1）四棱柱/8。。一44。|。]中，AD[=AA1+AD,

3

因為左=:，

4

———1--------------1----3----3-----1---3—

所以AF=4E+EF=—-RE=-4口+—一一D,A=-AD.+-AB

4'''4'414'414

=-AA,+—AD+—AB；

4144

（2）設(shè)就=/1萬+〃彳方（九〃不為0）,

=左彳（而一不）+〃“（麗-麗）=幾（即一瓦）+〃（而一率）=4麗+〃麗，

則而，的，麗共面且有公共點E,則￡,F,G,H四點共面：

【典例4】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體Z885'中，4ABC,^BCD,ACAE均為邊長為2

的等邊三角形，平面48cL平面88,平面。CEJ_平面8C0.求證：A,B,D,E四點共面；

【答案】證明見解析

【解析】取C。的中點〃，連接EH，取8C的中點。，連接/O,。。，

因為平面DCEL平面88,且平面DCEfl平面3CZ）=CD,

而ADCE為等邊三角形,所以因此EH1平面8c0,

因為平面/8C/平面88,且平面48Cc平面8cz）=8C,

又因為△8C。為等邊三角形，所以O(shè)OJ_BC,因此。01平面/8C,

又因為/Ou平面/8C,因此。O_L/。，

又因為“8C為等邊三角形，所以8C_LZ0，

因此。/,。8,0。兩兩垂直，

從而以0為坐標(biāo)原點，Q4所在直線為x軸，0B所在直線為V軸，0D所在自線為z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

又因為“8C,A8C￡Ua）E均為邊長為2的等邊三角形，

所以。（0,0,0）,C（0,-1,0）,B（0,1,0）,0（0,0,JJ）/（6,0,0）,〃0,4,

,1

設(shè)則￡77=n,--t,萬萬=僅,一1,b），而=（0,-2,0）,

~m~2~2

j（一"?）2+（_；_“）?+（當(dāng)—）2=M

］麗卜6m=y/3

|/T1

由于，EHBD=O,所以，-（---?）+5^（---0=0,解得n=——

2

EHBC=Q

_2（_；_〃）=03

2

因此E"-g,乎），所以而="-［岑），5^=（73,-1,0）,麗=（0,-1詢，

所以屁=布+；而，由空間向量基本定理可知：礪，前，而共面，所以48,四點共面;

三、空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

1、求夾角：設(shè)向量Z，3所成的角為6,,進而可求兩異面直線所成的角;

2、求長度（距離）：運用公式可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題;

3、解決垂直問題：利用〃_1否=〃.5=03。6石工。），可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題。

【典例1】（2023?全國?高三對口高考）若￡為非零向量，alb,alc,T=ab+/3c（a,左R）而％,則言與7

一定（）

A.共線B.相交C.垂直D.不共面

【答案】C

【解析】因為萬所以鼠3=0，5-c=0,

又因為Z=c^+/?Wa、MR）,

a-1=a{ab+/Jc^=aa-b+Pa-c=0,所以3J.7，

又因為所〃3,所以比，『.故選：C

【典例2】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體44CQ中，底面/8CD，側(cè)面44。。

都是正方形，且二面角4的大小為120。，AB=2,若尸是與CA的交點，則/p=()

A.V3B.V5C.V?D.3

【答案】B

【解析】在平行六面體N5CD-44GA中，四邊形。。。。是平行四邊形，

又P是GD,CA的交點，所以「是CQ的中點，

所以后=赤+而=而+g(虎+函)=;次+而+;怒,

.口=“uuifluum-'"?’'-

由題恩力8.4。=0，4344=-2,AD-AAX—0,

所以"2=(g方+Z5+；羽]=:/+而2+:京+萬?而+而福+g萬刀=5,

即/P=6.故選：B.

【典例3】(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，正三棱柱/8C-/4G中，441=2/C=2,彳瓦=2,福=B,

AXA—c,B、M=2MC].

(1)試用B，2表示瓦3；

(2)求異面直線期與4C所成角的余弦值.

【答案】⑴兩=-初+與V;⑵逆

3320

【解析】（I）因為麗=2函，

uuuruutruuurturuuir2/uuur?UULDr21m1r{nr2r2rr

所以村=84+4〃=_44+346；=_4/+1（4G_44）=_§44+34G+§b-c.

（2）因為就+襦=",

一一r1

且他|=W=1,同=2,/?-c=5-c=0>a，b=3,

可得|狗二柯+2大運+同2=V5，

1-577114]_[24㈤2~~28一f4一_4.-25/10

|5M|=J—|tz|+—1/?|+|c|-—a-b+—a-c-—h-c=---

LOTuuur2rr2rr2二2rrrrr11

AyC-BM=——a-b——a-c-^—b2+—b-c-b-c-c2=-

3333T

uuruuur

/toruuur、ACBM11V2

則cos（4。,BM）=戶曲|jttutr

'/40卜沖20'

3

所以異面直線3M與4c角的余弦值為衛(wèi)正.

20

四、利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系

1、利用空間向量證明平行的方法

線線平行證明兩直線的方向向量共線

①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方

線面平行

向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行

①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問

面面平行

題

2.利用空間向量證明垂直的方法

線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零

證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理

線面垂直

用向量表示

面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?/p>

【典例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在四面體4-8CZ）中，/。，平面88,BCLCD,AD=2,

BD=2五.”是4。的中點，P是BM的中點，點。在線段ZC上，S.AQ=3QC.證明：PQ”平面BCD；

【答案】證明見解析

【解析】因為8CLCD,49,平面80,故以C為原點，。8為X軸，為夕軸,

過點C作。4的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)CD=a,0<a<26,則5c=，8-、2,

可得。(a,0,0),C(0,0,0),8(0,j8-/,()卜4生0,2),

因為A/是/。的中點，則A/Q0,l),

則因為N0=3QC,°］，。，；)，

乙4乙I\I4J

,uuur(ay

可得。。=一5，-"丹,0,

42I

因為平面8C。的法向量可取為石=（0,0,1）,

則畫?方=0,且P0U平面8c。，所以P0〃平面8CD.

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，平面P/Z）_L平面/8CQ,四邊形/8CD為正方形，APAD

是直角三角形，且尸/=4）=2,E,F,G分別是線段PZ,PD,C。的中點，求證：平面EFG//平面「8c.

【答案】證明見解析

【解析】因為平面總1。_￡平面N8CZ）,四邊形/8CO為正方形，△刃。是直角三角形，

所以AP,/￡）兩兩垂直，

以力為坐標(biāo)原點，AB,AD,/尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,0,1）/（0,1,1）,G（I,2,0）.

所以而=（2,0,-2）,而=（0,-1,0）,FG=（1,1,-1）,SC=（0,2,0）,

設(shè)點=（再，凹,z）是平面EFG的法向量，

n「FE=Q-必=0

則或J.而，J.FG,HP-，一，得

,%+乂一馬=0'

ntFG=0

令Z1=l,則占=1,乂=0,所以％=（1,0,1）,

設(shè)n=（々,%/2）是平面PBC的法向量，

——.——,由?PB=0—2Z2=0

由％n2lBCf即〈一一,得

=0

n2-BC=0

令？2=1,則*2=1，-2=。，所以%=(1，°，1)，

所以成〃0，所以平面E尸G〃平面P8c.

【典例3】(2024?全國?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐尸-48C。中，底面48C。是正方形，P41底面488,

E是PC的中點，已知/8=2,尸/=2.

(1)求證：AEVPD-.

(2)求證：平面尸8。_1_平面&C.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】(1)以4為原點，AB,AD,/P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),￡(1,1,1),

___num

所以ZE=(1,1,1),PD=(0,2,-2)，

所以荏?麗=2-2=0，所以4E_LP￡).

(2)連接8￡>，AC,如圖所示，

因為P4_L面/BCD,BDu而4BCD,所以P4LBD,

又因為四邊形/8CZ)為正方形，所以8￡>J_/C,

又因為NCn/P=/,AC.AP<=\l\\PAC,所以8。上面K4C,

又因為3Z)u面P8O,所以平面尸8OL平面P/C.

五、用向量法求異面直線所成角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(0可

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是I'2」，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕

對值.

【典例1】(2023秋?江西撫州?高三?？奸_學(xué)考試)在正方體/BCD-44GA中，￡是棱上一點,

CE=2NE,尸是棱QC上一點，F(xiàn)C=3D、F,則異面直線耳￡與5尸所成角的余弦值為()

A屈口病「病n病

34683468

【答案】A

【解析】不妨設(shè)工8=1,

以。為坐標(biāo)原點，D/,DC,Z)A所在直線分別為x軸，V軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則(1,0,1),￡(^|,0,0^,D,(0,0,1),5(1,l,0),C(0,1,0),

所以乖=(T，0,-l),西=(T,-1,1),詠=(0,1,-1),

所以而=西+*=西+；束=(T,一|,*

~Tr\BF，y/^5

所以c°s〈近4所阿函=F'

所以異面直線4￡與8尸所成角的余弦值為畫.故選：A

【典例2】(2023?四川眉山?仁壽一中校考模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱/8C-44G中，8c人面/CG4，

CA=CC,=2CB,則直線8G與直線”用夾角的余弦值為()

A.速B.苴C.—D.-

5355

【答案】C

【解析】在直三棱柱/8C-44G中，cqj.平面48C,NC、/5u平面/8C,

所以CCJZC,CC,1AB,

8CJ,平面NCG4，/Cu平面ZCG4，所以8clzC,

所以C4CG、C8互相垂直，

以C為原點，分別以C4CCpC8所在的直線為X、八z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)C4=CG=2C8=2,

則C(0,0,0),4(2,0,0),4(0,2,1),5(0,0,1),C,(0,2,0),

可得福=(-2,2,1),SC；=(O,2,-l),

所以COS〈國，福州舒贏=舄岑

所以直線與直線/片夾角的余弦值為坐.故選：C.

【典例3】(2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，四棱錐/-8CDE內(nèi)接于圓柱，。為Z8的中點，C。和5E為

圓柱的兩條母線，AC+BC=2,四邊形8CZ)E為正方形，平面與平面N8C的交線/工平面ZC。，當(dāng)

四棱錐力-BCDE的體積最大時,異面直線AE與CO所成角的余弦值為

【答案】〈

【解析】如圖所示：設(shè)8C=x,因為/C+8C=2,所以NC=2-x,

11?7

則VA-BCDE=-ACBC2=-X(2-X)-X2=--X3+-X2,

AA

V=-x2+—x,令片=0,得》=一或x=0(舍去)，

33

44

當(dāng)o<x<一時，r>0,當(dāng)x>一時，r<0,

33

所以當(dāng)x=；4時，H取得最大值，此時ZC=；2,8C=?4,

333

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則c(o,o,o),/(|,oq?o[W(),*m,

所以在=/善沙瓦=(M°b

則而函二=2,門卜

__2

所以c。m回=露=表與

3

所以異面直線/￡與CO所成角的余弦值為日，

故答案為：害

六、用向量法求解直線與平面所成角的方法

如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為工，平面a的法向量為直線/與平面a所成的角為夕，向量[與]的夾角

n-e

為仇則有sin(p=|cos0\=

【典例1】(2023?河北保定?統(tǒng)考二模)如圖，在長方體中，AB=BC=\,/同=2,對角

線8Q與平面48G交于E點.則4后與面。所成角的余弦值為()

A.1B.3C.|D.2

3333

【答案】D

【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：

4^=(0.1,-2),葩=(-1,1,0),

設(shè)平面48G的法向量為而=(xJ,z),

[ABrh=y—2z=0[y=2z

則一WJ_，

[/(.C,m=-x+y=01x=y

令z=l,則y=2,x=2,所以而=(2,2,1),

又函=(1,1,2),因為點E在上，

設(shè)詼=，函==,2,22),所以EQ4,24),

所以率=(2-1",22-2),

因為a￡u面48C1,所以彳及而=0,

所以(2-1",22-2>(2,2,1)=0,

2___1T2

所以2(4-1)+22+(2；1-2)=0,解得;1=(,所以.

平面一-平的法向量為沆=(0,1,0),

設(shè)4E與平面4IQQ所成角為a,

【典例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，已知菱形力88和矩形4CE廠所在的平面互相垂直，AB=AF=2,

ZADC=60。.求直線BF與平面的夾角.

【答案】-

4

【解析】設(shè)ZCri8O=O,

因為菱形/BCD和矩形ZCE尸所在的平面互相垂直，

平面“BCDc平面ACEF=AC,矩形/CEF中AF±AC,

又“Fu面NCEF,所以“尸_1_平面/58,

以。點為坐標(biāo)原點，以。。所在直線為x軸，。所在直線為V軸,

過。點且平行于AF的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為在菱形/BCD中，AB=2,ZADC^60°,

所以“8c是正三角形，貝108=6，

又/F=2,則8(-百,0,0),尸(0,1,2),

因為z軸垂直于平面48CD,

因此可得平面抽⑵的一個法向量為而=(0,0,1)，

乂而==(百,1,2),設(shè)直線8尸與平面力88的夾角為

2

則有sin0=|cos〈而,BE)|=.'竺==—,即6=工，

\m\\BF\lx2Vr224

7T

所以直線直線8廠與平面48co的夾角為二.

4

【典例3】(2023秋?陜西商洛?高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在直三棱柱N8C-4AG中,

AC=2BC=CC、=2,D,E,尸分別是棱4G,BC,/C的中點，ZACB=60°.

(1)證明：平面平面所G：

(2)求直線/C與平面48。所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)名叵

17

【解析】(1)在A/8C中，因為E,尸分別是8C,/C的中點，

所以4B〃EF.力平面FEG，EFu平面FEC「

則/8〃平面用弓，

因為ZC〃4G，則N尸〃。G，又4F=；4c=g4G=DCi，

所以四邊形為平行四邊形，

所以/?！ㄊ珿，NOU平面尸EG，尸Gu平面FEG，

則〃平面FEG，

又因為4)c48=4,且平面,

所以平面N8O〃平面EEC一

(2)因為ZC=2,CB=\,ZACB=60°,

由余弦定理可得AB-=AC2+BC2-2AC-BCcosNACB=22+\2-2x2xcos60=3.

所以482+802=/c?，從而ABJ.BC.

以8為坐標(biāo)原點脛，BA-甌的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz.

故8(0,0,0),4(0,石,0),D5,券,2,C(l,0,0).

界』,

從而拓=（0,6,0）,BD=^C=(l,-V3,0).

設(shè)平面ABD的法向量為］=（x,弘z）,

yfiy=0

萬?胡=0

由，一，得#冬+2z=0

元BD=G

取x=4,則［=（4,0,-1）為平面ABD的一個法向量,

-'n-AC42-17

所以“，"-衲=標(biāo)=k,

所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為名叵.

17

七、利用向量法解二面角問題的策略

1、找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到

二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小;

2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則

這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小

【典例1】（2023?全國,高三專題練習(xí)）如圖，在正方體/8EF-OCE尸中，M,N分別為NC,8尸的中點，則

平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）

A.-1B.1C.-述D.逑

3333

【答案】B

【解析】設(shè)正方體棱長為1,以8為坐標(biāo)原點，BA,BE,8c所在直線分別為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系&盯z,則"d，唱’；，0}41，0,0），8（0立,0）.

解法一取的中點G,連接8G,AG,則G佶,

124^）

因為"MN,力A/N為等腰三角形，所以/G_LA/MBG1MN,

故/4G8為兩平面夾角或其補角.

又因為第=（m，歷=H，-；，T，

----1--1----1---1----1-

所以，cos何，而”麗而41616_1

3

設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為仇

則cos0

故所求兩平面夾角的余弦值為;.

解法二設(shè)平面/AW的法向量*=（x,y,z）

由于俞=（-g,o,￡|,而=（一;,g,0）,

11八

——x+—z=0

-AM=022

則叫

不=011八

——x+—y=0

22

令x=l,解得y=LZ=L于是場=（LL1）,

同理可求得平面8""的一個法向量0=（1,-1,-1）.

所以cos際、=葡=.=V,

設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為仇

則cos0=|cos//?],w2\l=-.

故所求兩平面夾角的余弦值為（故選：B.

【典例2】（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在四棱錐尸-Z8C。中，平面PCD,平面/8CD,側(cè)面PCD是

等邊三角形，ZABC=NBCD=90°,AB=2CD=2BC,M在棱48上，且滿足=

（1）求證：PMLCD；

（2）求二面角P-CN-/的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2叵

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【解析】(1)取C。中點N,連接MN,PN,

?；N4BC=NBCD=90°,：.AB//CD,

XVAB=2CD,AB=4BM,：.CN=BM,

：.四邊形BMNC是平行四邊形，而48C=ZBCD=90°,

故平行四邊形BM