2024屆河北省邢臺市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）（一）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河北省邢臺市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B3.在研究變量與之間的關(guān)系時,進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)未剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，因為所以，則，又這兩對數(shù)據(jù)為，所以，所以，所以，故選：C.4.已知橢圓的離心率為是上任意一點，為坐標(biāo)原點，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值〖答案〗D〖解析〗依題意，設(shè)，則，因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯誤.故選：D.5.函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點的個數(shù)為與的交點個數(shù)，顯然與均關(guān)于對稱，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，再結(jié)合兩個函數(shù)的圖象，可得與有5個交點，故函數(shù)零點的個數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點F，且與C相交于兩點．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點F，且與C相交于兩點．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A.二、選擇題9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個數(shù)為16C.D.的子集個數(shù)為64〖答案〗BCD〖解析〗對于ABC，因為，所以，即，所以有個元素，故A錯誤，BC正確；對于D，而有個元素，所以的子集個數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知內(nèi)角對邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯誤.當(dāng)時,又因為所以即在區(qū)間上的〖解析〗式為故C錯誤.因為，，所以，所以，所以.故D正確.故選：AD.三、填空題12.已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為，故〖答案〗為：1；13.4名男生和2名女生隨機站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為________．〖答案〗144〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，要求最左邊，中間，最右邊，共有3種，所以一共有種，故〖答案〗為：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是邊長為6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一點，是內(nèi)切圓上一點，則的最大值為________．〖答案〗〖解析〗若底面ABC是邊長為6的正三角形，則外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)三棱柱外接球的半徑為，且已知，可得，解得，設(shè)三棱柱外接球的球心與內(nèi)切圓上一點的距離為，故，則的最大值為，故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）證明：分別為的中點,平面，面，平面（2）解：以為原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面AEF的法向量為可得，故，令則解得，，得到平面的一個法向量為易得平面的一個法向量為由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.16.已知等差數(shù)列的前n項和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則因為是等差數(shù)列，所以為常數(shù)，所以解得，即公差為.（2）因為所以可得，故17.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時，最大？解：（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時，最大.18.雙曲線上一點到左?右焦點的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程；（2）已知，過點的直線與交于（異于）兩點，直線與交于點，試問點到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點在定直線上，因為直線與直線之間的距離為，所以點到直線距離為定值，且定值為.19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點滿足曲線在和處的切線重合，則稱為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”.（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，若，證明：.（1）解：不是，理由如下：由已知，由解得，，又，，不妨設(shè)切點為，，在點處的切線的方程為，即，在點的切線方程為，即與直線不重合，所以直線不是曲線的“雙重切線”．（2）解：由題意，函數(shù)和都是單調(diào)函數(shù)，則可設(shè)切點為，且，所以在點處的切線的方程為，在點的切線方程為，所以，消去得，設(shè)（），則，所以是減函數(shù)，又，所以在時只有一解，所以方程的解是，從而，在點處切線方程為，即，在點處的切線方程為，即，所以“雙重切線”方程為；（3）證明：設(shè)對應(yīng)的切點為，，對應(yīng)的切點為，，由于，所以，，由余弦函數(shù)的周期性，只要考慮的情形，又由余弦函數(shù)的圖象，只需考慮，情形,則，，其中，所以，又，，即，，時，，，令（），則，，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，此時，則，所以．河北省邢臺市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故選：B3.在研究變量與之間的關(guān)系時,進行實驗后得到了一組樣本數(shù)據(jù)，，利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)未剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，剔除這兩對數(shù)據(jù)前的的平均數(shù)分別為，因為所以，則，又這兩對數(shù)據(jù)為，所以，所以，所以，故選：C.4.已知橢圓的離心率為是上任意一點，為坐標(biāo)原點，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值〖答案〗D〖解析〗依題意，設(shè)，則，因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯誤.故選：D.5.函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點的個數(shù)為與的交點個數(shù)，顯然與均關(guān)于對稱，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，再結(jié)合兩個函數(shù)的圖象，可得與有5個交點，故函數(shù)零點的個數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，可得，將點代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺容器高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺容器的高為12cm，，，正四棱臺容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時水面邊長為4cm，此時水的體積為，放入的57個球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點F，且與C相交于兩點．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對于一個拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點F，且與C相交于兩點．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A.二、選擇題9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個數(shù)為16C.D.的子集個數(shù)為64〖答案〗BCD〖解析〗對于ABC，因為，所以，即，所以有個元素，故A錯誤，BC正確；對于D，而有個元素，所以的子集個數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知內(nèi)角對邊分別為為的重心,，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長交于點，則是中點，，A錯；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是，D錯．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯誤.當(dāng)時,又因為所以即在區(qū)間上的〖解析〗式為故C錯誤.因為，，所以，所以，所以.故D正確.故選：AD.三、填空題12.已知，過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為________．〖答案〗1〖解析〗若過點恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡得直線方程為，故〖答案〗為：1；13.4名男生和2名女生隨機站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為________．〖答案〗144〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，要求最左邊，中間，最右邊，共有3種，所以一共有種，故〖答案〗為：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是邊長為6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一點，是內(nèi)切圓上一點，則的最大值為________．〖答案〗〖解析〗若底面ABC是邊長為6的正三角形，則外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)三棱柱外接球的半徑為，且已知，可得，解得，設(shè)三棱柱外接球的球心與內(nèi)切圓上一點的距離為，故，則的最大值為，故〖答案〗為：四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，且，，．（1）證明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）證明：分別為的中點,平面，面，平面（2）解：以為原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面AEF的法向量為可得，故，令則解得，，得到平面的一個法向量為易得平面的一個法向量為由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.16.已知等差數(shù)列的前n項和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則因為是等差數(shù)列，所以為常數(shù)，所以解得，即公差為.（2）因為所以可得，故17.小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時，最大？解：（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張在題庫中任選一題