正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理尋找最適合自己的學(xué)習(xí)方法正弦定理和余弦定理高考風(fēng)向1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查．學(xué)習(xí)要領(lǐng)1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過(guò)正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合．1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，解決不同的三角形問(wèn)題．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源]C所對(duì)的邊，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則角A的大小為_(kāi)_______．題型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求角B的大?。?2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面積．思維啟迪：由eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解．探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵．(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用．已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面積．題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(2012·課標(biāo)全國(guó))已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面積為eq\r(3)，求b，c.思維啟迪：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求出b，c.探究提高在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角．通常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.(1)若c＝2，C＝eq\f(π,3)，且△ABC的面積為eq\r(3)，求a，b的值；代數(shù)化簡(jiǎn)或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．審題視角(1)先對(duì)等式化簡(jiǎn)，整理成以單角的形式表示．(2)判斷三角形的形狀可以根據(jù)邊的關(guān)系判斷，也可以根據(jù)角的關(guān)系判斷，所以可以從以下兩種不同方式切入：一、根據(jù)余弦定理，進(jìn)行角化邊；二、根據(jù)正弦定理，進(jìn)行邊化角．溫馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷．(2)本題也可分析式子的結(jié)構(gòu)特征，從式子看具有明顯的對(duì)稱(chēng)性，可判斷圖形為等腰或直角三角形．(3)易錯(cuò)分析：①方法一中由sin2A＝sin2B直接得到A＝B，其實(shí)學(xué)生忽略了2A與2B互補(bǔ)的情況，由于計(jì)算問(wèn)題出錯(cuò)而結(jié)論錯(cuò)誤．方法二中由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同學(xué)直接得到c2＝a2＋b2，其實(shí)是學(xué)生忽略了a2－b2＝0的情況，由于化簡(jiǎn)不當(dāng)致誤．②結(jié)論表述不規(guī)范．正確結(jié)論是△ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少學(xué)生回答為：等腰直角三角形．高考中的解三角形問(wèn)題典例：(12分)(2012·遼寧)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.角A，B，C成等差數(shù)列．(1)求cosB的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值．解后反思(1)在解三角形的有關(guān)問(wèn)題中，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含邊之間的關(guān)系或只含角之間的關(guān)系，再進(jìn)行判斷．(2)在求解時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征判斷使用哪個(gè)定理以及變形的方向.方法與技巧1．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)．2．正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明．失誤與防范1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類(lèi)討論．2．利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制．A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿(mǎn)分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2012·廣東)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3eq\r(2)，則AC等于 ()A．4eq\r(3) B．2eq\r(3) C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)2．(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B等于 ()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．－1 D．13．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．(2012·湖南)△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于 ()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3\r(3),2) C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2) D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)二、填空題(每小題5分，共15分)5．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，則a＝________.6．(2011·福建)若△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長(zhǎng)度等于________．7．在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，則BC＝________.三、解答題(共22分)8．(10分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3.(1)求△ABC的面積；(2)若b＋c＝6，求a的值．9．(12分)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin2eq\f(B＋C,2)－cos2A＝eq\f(7,2).(1)求A的度數(shù)；(2)若a＝eq\r(3)，b＋c＝3，求b、c的值．B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿(mǎn)分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1．(2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，則△ABC的形狀是 ()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．不能確定2．(2011·遼寧)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)等于 ()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2) C.eq\r(3) D.eq\r(2)3．(2012·湖北)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為 ()A．4∶3∶2 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4二、填空題(每小題5分，共15分)4．在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，則∠A＝________，△ABC的形狀為_(kāi)_________．5．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值為_(kāi)_______．6．在銳角△ABC中，角A、B、