《幾何原本》要點全套

《幾何原本》要點第一部分《幾何原本》簡介這是一本成書于2300多年前的著作，共13卷，作者：歐幾里得。是史上最成功的的數(shù)學教科書之一，最偉大的數(shù)學著作之一。但最寶貴的還不僅限于此。我們中小學階段其實學了好多《幾何原本》中的知識，但其實從未了解它的精髓，和那種初識后會頗感震撼的思想。后來這種思想影響了開普勒，伽利略，牛頓，愛因斯坦等許多偉大人物。這種偉大的思想就是：公理化思想!這也是數(shù)學的根基思想!不了解《幾何原本》，不了解公理化思想，就不能懂數(shù)學!第二部分《幾何原本》各卷的簡要概述：第一卷至第六卷：平面幾何。第1卷：平面幾何基礎，包括23條定義、5條公設和5條公理等。第2卷：幾何與代數(shù)，通過幾何方法解決一些代數(shù)問題。第3卷：圓與角。第4卷：圓與正多邊形。第5卷：比例。第6卷：平面幾何中的相似性。第七卷至第十卷：數(shù)論。第7卷：數(shù)論（一）。第8卷：數(shù)論（二）。第9卷：數(shù)論（三）。第10卷：無理數(shù)。第11卷至第13卷：立體幾何。第11卷：簡單立體幾何，介紹了立體圖形的基礎知識。第12卷：立體幾何中體積計算問題。第13卷：正多面體的構(gòu)造和性質(zhì)。第三部分第一卷的23條定義、5條公設和5條公理定義1.點是沒有部分的．2.線只有長度而沒有寬度．3.線的兩端是點．4.直線是它上面的點一樣地平放著的線．5.面只有長度和寬度．6.面的邊緣是線．7.平面是它上面的線一樣地平放著的面．8.平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度．9.當包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角．10.當一條直線和另一條直線交成的鄰角彼此相等時，這些角的每一個叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線．11.大于直角的角叫做鈍角．12.小于直角的角叫做銳角．13.邊界是物體的邊緣．14.圖形是由一個邊界或幾個邊界所圍成的．15.圓是由一條線圍成的平面圖形，其內(nèi)有一點與這條線上的點連接的所有線段都相等．16.而且把這個點叫做圓心．17.圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個方向被圓周截得的線段，且把圓二等分．18.半圓是直徑和由它截得的圓周所圍成的圖形．而且半圓的心和圓心相同．19.直線形是由直線圍成的，三邊形是由三條直線圍成的，四邊形是由四條直線圍成的，多邊形是由四條以上直線圍成的．20.在三邊形中，三條邊相等的，叫做等邊三角形；只有兩條邊相等的，叫做等腰三角形；各邊不等的，叫做不等邊三角形．21.此外，在三邊形中，有一個角是直角的，叫做直角三角形；有一個角是鈍角的，叫做鈍角三角形；有三個角是銳角的，叫做銳角三角形．22.在四邊形中，四邊相等且四個角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四邊不全相等的，叫做長方形；四邊相等，但角不是直角的，叫做菱形；對角相等且對邊也相等，但邊不全相等且角不是直角的，叫做斜長方形；其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形．23.平行直線是在同一平面內(nèi)的一些直線，向兩個方向無限延長，在不論哪個方向它們都不相交．公設1.由任意一點到另外任意一點可以畫一條直線．2.一條有限直線可以繼續(xù)延長．3.以任意點為心及任意的距離可以畫圓．4.凡直角都彼此相等．5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交．公理1.等于同量的量彼此相等．2.等量加等量，其和仍相等．3.等量減等量，其差仍相等．4.彼此能重合的物體是全等的．5.整體大于部分．第四部分公理化思想的偉大意義當我們最初看到23條定義、5條公設和5條公理的時候，可能會覺得：第一，中小學階段學過好多；第二，好像有點廢話；第三，有的難以理解。......的確，它有許多不夠完善的地方，但它所引入的公理化思想，讓數(shù)學變得嚴謹，讓人類智慧得到大升級！假如你是神，想創(chuàng)造一個世界，首先創(chuàng)造一些基礎元素（定義），再創(chuàng)造一些基礎規(guī)則（公理），所有基礎元素都遵循這些基礎規(guī)則，如果足夠完備，無矛盾的話，就可以構(gòu)建一個世界，一個嚴謹?shù)氖澜?。?shù)學家也同樣創(chuàng)造了一個嚴謹?shù)臄?shù)學世界，第一，定義一些基礎概念；第二，列出不證自明的公理；第三，以此為基礎，演繹