2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)練習(xí)題(共十個(gè)模塊)

一整式的乘除

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1、同底數(shù)塞的乘法法則：am-an=a?i+n(機(jī)，〃都是正整數(shù))

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。

如：(a+b)2_(。+b)3=(a+b)5

2、募的乘方法則：(。"，)"=。的(機(jī)，”都是正整數(shù))

幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：(-35)2=31。

用的乘方法則可以逆用:即=(。")"=3)加

如：46=(42)3=(43)2

3、積的乘方法則：(ab)"=a，，bnO是正整數(shù))

積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。

如：(-2X3J2Z)5=(-2)5?(％3)5?(,2)5?[5=_32%15)10[5

4、同底數(shù)塞的除法法則：a，n+an=am-n(a/0,加,〃都是正整數(shù)，且加n)

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：(ab)4+(ab)=(ab)3=a3b3

5、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；

。。=1,即任何不等于零的數(shù)的零次方等于lo

1

a-=-(awO,。是正整數(shù))，即一個(gè)不等于零的數(shù)的-p次方等于這個(gè)數(shù)的p次方的

PClp

倒數(shù)。

11

如：2-3=(])3=W

6、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只

在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

如：_2%2y3z?3xy=

7、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，

即m(a+b+c)=ma+mb+me(加,a,b,c都是單項(xiàng)式)

如：2x(2x-3y)-3y(x+y)

8、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則；

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所的的積相加。

(3a+2b)(a-3b)

如：(x+5)(x-6)

平方差公式：(a+b)(a-b)=a?-b?

如：(x+y-z)(x-y+z)

9、完全平方公式：(a±b)2=土2"+b2

公Q2+/?2=(Q+Z?)2-2ab=(Q+b)2-lab

(a-b)2=(Q+Z?)2-4ab

(-a-b)2=[-(a+Z?)]2=(〃+b)2(-a+b)2=[-(a-Z?)]2=(a-b)2

10、單項(xiàng)式的除法法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

如：一7a2b4m+A9a2b

11、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。

即：(am+bm+cm)+m=am+機(jī)+bm+根++機(jī)=Q+Z?+C)

練習(xí)題：

1、若2a-2=64,則a=；若27x3"=(-3)8,則n=.

計(jì)算Q]的】

3、若。2n=3,則a6"=.

4、計(jì)算:2009x2007-20082

(1-a)(a+1凡2++1)(3x+2y-5z+1)Qx+2y-5z-1)

(5a+lb-8c)2-(5〃-7b+8c>(x+y-2z)(v+y+6z)

111

(a——b)(2a+—b)(3a2+—b2)；[(a—fa)(a+b)]24-(出一2ab+枚)—2ab.

6312

5.已知x—1=2,求12+」-的值

XX2

6.如果a2+b2—2a+4b+5=0，求a、b的值

7、已知2x—y=g,盯=2,求2x4y3—X3y4的值。

8、若x、y互為相反數(shù)，且（x+2”一（y+l）2=4,求x、y的值

9、代數(shù)式4x2+3mx+9是完全平方式則m=

11111

10.(1--)(1--)(1--)…(1--)(1-——)

22324292

11.已知x+—=2,求X2+一,x4+—的值

X九2X4

。2+/72

12.已知(a—1)(b—2)—a(/?—3)=3,求代數(shù)式——-———出?的值.

13.若（x2+px+q）（X2—2x—3）展開(kāi)后不含x2,x3項(xiàng)，求p、q的值.

14、判斷(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的個(gè)位數(shù)字是幾？

15、在多項(xiàng)式4x2+1中，添加一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)式

是.（只寫(xiě)出一個(gè)即可）

16、已知。=1999%+2000,Z?=1999%+2001,c=1999%+2002,則多項(xiàng)式

〃2+/?2+。2-ab-ac-be的值

17、若X2+（25）xy+9y2是一個(gè)完全平方式，則巾=________.

如果多項(xiàng)式x2+8x+k是一個(gè)完全平方式，則k的值是

18.已知若x2+x-l=0,求：⑴彳一一；(2)^2+—；(3)%3+2x2+3(4)X4+X-4

20已知4〃2-4〃匕+262-4。+4=0,

試求一+----------+------------++(a+2009)(^+2009)的值

ab(〃+l)(b+l)(6/+2)(/?+2)

21、已知（尤-1）山=1,則x的值是多少。

二相交線(xiàn)和平行線(xiàn)

1、下列說(shuō)法正確的有_______________O

①平面內(nèi)，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)；

②平面內(nèi)，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)；

③不相交的兩條直線(xiàn)是平行線(xiàn)；④在平面內(nèi),有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn).

⑤若線(xiàn)段AB與CD沒(méi)有交點(diǎn),則AB〃CD;⑥若a//b,b〃c,則a與c不相交.

2、如果兩個(gè)角的兩邊分別垂直，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30°,那么這兩個(gè)角分

別為o

3、一輛汽車(chē)在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)，那么兩次拐

彎的角度是（）

A.第一次右拐50,第二次左拐130B.第一次左拐50,第二次右拐50

C.第一次左拐50,第二次左拐130D.第一次右拐50,第二次右拐50

4、下面說(shuō)法中正確的是（填序號(hào)）

（1）過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.（2）平行于同一直線(xiàn)的兩條直

線(xiàn)互相平行.（3）垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.（4）不相交的兩條直線(xiàn)必平行.（5）

兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等（6）兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角

的平分線(xiàn)互相平行.

5、如圖，l〃m,等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C在直線(xiàn)m上，若N0

=30°,則/a的度數(shù)為o

6、如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'

處，折痕為EF。如果Z4BE=20。，那么度

7、如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，折痕為EF；

且NEFC=65°,則NBEC=

8、如圖，已知：DELAC于E,BCLAC,尸GLA8于G,

求證：CD±AB

9、如下圖所示，AB〃DE,若/ABC=80°,ZCDE=140°,則BCD=度.

1。、如下圖，AB//CD,由B點(diǎn)出發(fā)作〃條直線(xiàn)嗎,BB^BB3,Bn_D,

則ZABB-ZBBB+zBBB/BDC

11、如圖，已知/1=N2,Z3=Z4,CE//AB,試說(shuō)明：AD//BC.

12、如圖：已知/BEF=/CFE,Z1=Z2,請(qǐng)指出AB和CD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由。

13、如圖所示，若AB〃CD,在下列兩種情況下探索/APC與/PAB,

14、如圖，已知1〃1,MN分別和直線(xiàn)1、1交于點(diǎn)A、B,ME分別和直線(xiàn)1、1交于點(diǎn)C、

121212

D.點(diǎn)P在MN上（P點(diǎn)與A、B、M三點(diǎn)不重合）./PCA=/0,ZCPD=Zy,ZPDB=Za

（1）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，/a、、Zy之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Na、/廿、ZY有何數(shù)量關(guān)系？（畫(huà)圖并寫(xiě)出結(jié)

論）

15、作圖并計(jì)算：如圖，已知/AOB,點(diǎn)P是0B邊上一點(diǎn)，請(qǐng)你用圓規(guī)和直尺

（1）在/AOB的內(nèi)鄢作/BPC=/AOB（保留作圖痕跡）

（2）在/BPC的外即作NCPD=/AOB,射線(xiàn)PD交0A于點(diǎn)E（保留作圖痕跡）

16..已知：BD〃GE,AQ平分NFAC,交BD于Q,ZGFA=50°,ZQ=15°

求：NACB的度數(shù).

BDQ

三

1.、如圖將一副直角三角板按圖所示方法放置（直角頂點(diǎn)重合），貝IJ/AOB+/DOC=

2.如圖.在AABC中，BD為其中線(xiàn)，DE為ADBC的中線(xiàn)，且已知S.=2,則S/=

（）

A.2B.4C.6D.8

3.已知RtAABC的兩直角邊分別為3cm,4cm,斜邊長(zhǎng)為5cm，則斜邊上的高為cm.

4.若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為6和8,則其周長(zhǎng)為_(kāi)_________Ar-^4--X-——|D

5..如圖，把矩形ABCD沿EF對(duì)折，若/1=50。，則/AEF等于_________\

6.如圖，在AABC中，AB=AC,AC邊上的中線(xiàn)BD把三角形的周長(zhǎng)分成

15cm和9cm的兩部分，求三角形各邊長(zhǎng)。（10分）

〃2—12〃+36+,—8|—0那Bc

7.已知三角形兩邊a,b滿(mǎn)足‘

么第三邊c的取值范圍是_

8.如果AD是AABC的中線(xiàn)，且AB=10,AD=6,那么AC的范圍是_________________

9.如圖，將紙片△ABC沿著DE折疊壓平，且21=80。,/2=30。，貝1]/尸

>->

CB匕—■--

10.三角形ABC中，角平分線(xiàn)AD,BE,CF相交于點(diǎn)H,過(guò)H點(diǎn)作HG垂直于AB,垂足為

G,那么=60。時(shí)，/AHG=

11、如下圖：zA+ZB+ZC+ZD+ZE=___________

12、如圖zMBC中，三條高AD、BE、CF相交于一點(diǎn)0,求/1+/2+

Z3的度數(shù)？

23、/ABC中，ZBAC,/ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)0。

(1)若/ACB=65°,ZCAB=55°,則/A0C=

(3)若NB=76°,則/A0C=。

(4)若NA0C=120°,則/B=。

(5)你能找出NB與NA0C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由！

14.如圖AABC中，AD是BC上的中線(xiàn)，點(diǎn)E在AD上

并且DE：EA=:3:2,若AABC的面積是24,則△ABE的

面積是O

15如圖所示，在ZXABC中，ZA=30°,ZACB=40°,CF平分NACB,BE

平分NCBD,且CF交BE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于F,則NAFB=.

16、如圖，BE、CF分別平分NABD和NACD,且BE與CF

相交于點(diǎn)G,若NBGC=120°,ZBDC=150°,求/A的大

?。?/p>

17.如圖，在AABC中E是BC上的一點(diǎn)，EC=2BE,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)AABC,AADF,

△BEF的面積分別為S△幽，SAADF，SABEF，且S△檄=12,flijSAAD-SABE-

18.如圖，在AABC中，AB=AC=12cm,BC=6cm,D為AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā),

以每秒1cm的速度沿B-A-C—B的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，那么當(dāng)上

秒時(shí)，過(guò)D、P兩點(diǎn)的直線(xiàn)將AABC的周長(zhǎng)分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2

倍.

(18題)

D

19.如圖(1),將4ABC的角沿ED折疊，恰好使Nl=/2,Z3=Z4,ZB=Z5,DA交

BC于G,EA交BC于H,探究CD與AE的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.

如圖(2)將AABC的角沿DE折疊，若NA落在AABC內(nèi)部，則探究NA與Nl,Z2

的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

如圖(3),將AABC的角沿DE折疊，若NA落在AABC外部，則探究NA與Nl,Z

2的關(guān)系，只要求寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明.

20.已知△A8C三邊長(zhǎng)是0、b、c,則代數(shù)式|a+?！猚|一劭一。一。|=.

21.已知，4ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P以lcm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線(xiàn)段AB

向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).

(1)如圖1,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),那么t=(s)時(shí)，^PBC是直角三

角形；(4分)

(2)如圖2,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以lcm/s

的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),那么t為何值時(shí)，4PBQ是直角三角形？(4分)

(3)如圖3,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D.如果動(dòng)

點(diǎn)P、Q都以lcm/s的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),那么t為何值時(shí)，4DCQ是等腰

三角形？(4分)

(4)如圖4,若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D,連接PC.如

果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以lcm/s的速度同時(shí)出發(fā).請(qǐng)你猜想：在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，4PCD和4QCD

的面積有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由.(4分)

四全等三角形基礎(chǔ)

一、已知一邊與其一鄰角對(duì)應(yīng)相等

1.證已知角的另一邊對(duì)應(yīng)相等，再用SAS證全等.

例1已知：如圖［，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC.求證：AF=DE.

E1圖2

2.證已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等，再用ASA證全等.

例2已知：如圖2,D是AABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,

FC/7AB.求證：AE=CE.

二、已知兩邊對(duì)應(yīng)相等

1.證兩已知邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，再用SAS證全等.

例4已知：如圖3,AD=AE,點(diǎn)D、E在BC上，BD=CE,Z1=Z2.求證:

△ABD^AACE.

E3圖4

2.證第三邊對(duì)應(yīng)相等，再用SSS證全等.

例5已知：如圖4,點(diǎn)A、C、B、D在同一直線(xiàn)上，AC=BD,AM=CN,BM=DN.求

證：AM〃CN,BM〃DN.

三、已知兩角對(duì)應(yīng)相等

1.證兩已知角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，再用ASA證全等.

例6已知：如圖5,點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線(xiàn)上，F(xiàn)B=CE,ZB=ZE,

NACB=NDFE.求證：AB=DE,AC=DF.

A

2.證一已知角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，再用AAS證全等.

例7已知：如圖6,AB、CD交于點(diǎn)O,E、F為AB上兩點(diǎn)，0A=0B,0E=0F,

NA=/B,ZACE=ZBDF.求證：△ACE^ABDF.

四、已知一邊與其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，則可證另一角對(duì)應(yīng)相等，再利用AAS證

全等

例8已知：如圖1,在^ABC中,B、D、E、C在一條直線(xiàn)上,AD=AE,ZB=ZC.

求證：ZkABD^4ACE.

五、三角形全等的判定和性質(zhì)練習(xí)

1、已知：如圖，B,C,E三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,

AC//DE,AC=CE,ZACD=ZB.

求證：△46C會(huì)△CDE.

2、已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.

求證：0A=。。.

FC

3、如圖，。是A8上一點(diǎn)，。/交AC于點(diǎn)E,AE=EC,CF//AB.

求證：4。=CF.

4、如圖，四邊形A3C。的對(duì)角線(xiàn)AC與5。相交于。點(diǎn)，Z1=Z2,Z3=Z4.

求證：（1）AAfiC^AADC；

（2）BO=DO.

5、如圖，在RtZXABC中，NBAC=90°,AC=2AB,點(diǎn)D是

AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、

D重合，連結(jié)BE、EC.試猜想線(xiàn)段BE和EC的關(guān)系，并證明你的猜想.

6、已知：如圖，AD=BC,AC=BD.

求證：OD=OC.

7、如圖，在△ABC與△AB。中，BC=BD.設(shè)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是B。的中點(diǎn).

（1）請(qǐng)你在圖中作出點(diǎn)E和點(diǎn)F；（要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法與證明）

(2)連接AE,AF.^ZABC=ZABD,請(qǐng)你證明△ABE絲ZkABF.

B

CD

8、已知，如圖，點(diǎn)。在邊BC上，點(diǎn)E在△ABC外部，?！杲籄C于F,若AO=AB,

N1=N2=N3.求證：BC=DE.

9、已知：如圖，ZC=ZCAF=90°,點(diǎn)E在AC上，5.AE=BC,

EF_LAB于點(diǎn)D.求證：AB=FE.

10、.以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作兩個(gè)等腰直角三角形(&BC,AADE),如圖所示放置,

使得一直角邊重合，連接8。，CEo

(1)說(shuō)明BD=CE

(2)延長(zhǎng)BD,交CE于點(diǎn)F,求NBFC的度數(shù)

EB

A1題

五全等三角形提高

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

1、能夠的兩個(gè)三角形叫全等三角形；

2、三角形全等的判定方法：、、、o

直角三角形的判定方法除以上方法以外還有o

3、三角形全等的性質(zhì)：全等三角形、；

4、全等三角形的面積、周長(zhǎng),對(duì)應(yīng)高、、相

等；

【典例精析】

例1.已知：點(diǎn)A、C、B、D在同一條直線(xiàn),AC=BD,

AM/7CN,BM/7DN.求證：AM=CN,MB=ND。

例2.如圖，ZE=ZF=900,NB=NC,AE=AF,試說(shuō)明

EM=FN.

例3.已知:如圖，AB=AC,BD1AC,CE1AB,垂足分別為D、

E,BD、CE相交于點(diǎn)F,求證：BE=CD.

例4.四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CELAB于E,且NB+ND=180°,

求證：AE=AD+BE

A,______P

E

BC

1.下列說(shuō)法正確的是()

A.所有的等腰三角形全等

B.有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等

C.有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等

D.腰和頂角都對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等

2.要判定兩個(gè)直角三角形全等需要滿(mǎn)足下列某個(gè)條件，以下條件中正確的說(shuō)法有

()個(gè)

①有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等;②有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；③有斜邊和一條直角邊對(duì)

應(yīng)相等；④有一條直角邊和一個(gè)銳角相等；⑤有斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；

⑥有兩條邊相等.。

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

3.在下列條件中，不能說(shuō)明AABC咨AA'B'C的是（）.

A.NA=NA'，/C=NC',AC=A'C'B.NA=NA',AB=A'B',BC=B'C'

C.NB=NB',NC=NC',AB=A'B'D.AB=A'B',BC=B'C,AC=A'C'

4.如右圖，已知：ZB=ZDEF,BOEF,現(xiàn)要證明AABCgaDEF,若要以“SAS”

為依據(jù)，還缺條件_；若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件；若

要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件o

5.如圖,BEXAC,垂足為D,且AD=CD,BD=ED,若NABC=54°,貝IZE=

6.AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過(guò)點(diǎn)A的一條直線(xiàn)，B

點(diǎn)和C點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD，AE于D點(diǎn)，

試說(shuō)明：（1）BD=DE+CE；

⑵若直線(xiàn)AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到⑴所示的位置時(shí)，其余條件不變，則BD與DE,

CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由。

7.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC,ZA=108°,BD平分NBAC,

求證：BC=AB+DC

8.如圖，BD、CE分別是AABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，BP

=AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ=ABo求證：（1）AP=AQ；（2）AP±AQ.

9、如圖①，在兒43c中，AD平分N3AC,在AD延長(zhǎng)線(xiàn)取一點(diǎn)E,作EF_LBC于F。

（1）若NC=68°,/B=32°,則NE=o（2分）

（2）設(shè)NC=a,Z5=p,且a>B,求ZE。（用a、p的代數(shù)式表示）（4分）

（3）如圖②，若ZBAC=90°,且AD=ED,AC=6,AB=8,BC=10,求EF的長(zhǎng)。（4分）

圖①圖②

六全等壓軸題綜合運(yùn)用

1.(1)如圖7,點(diǎn)0是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，分別以A0和DO為邊在線(xiàn)段AD的同側(cè)作等邊三

角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求NAEB的大小;

(2)如圖8,△OAB固定不動(dòng)，保持△OCD的形狀和大小不變，將^OCD繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)

(△OAB和^OCD不能重疊)，求NAEB的大小.

圖7圖8

2如圖a,AABC和4CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C,連接AF和

BE.

(1)線(xiàn)段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論；

(2)將圖a中的4CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖b,(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判

斷并說(shuō)明理由；

(3)若將圖a中的aABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形c(草圖即

可)，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說(shuō)明理由.

圖b

E

3.如圖1,已知正方形ABC。的邊CD在正方形。所G的邊DE上，連接AE,GC.

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（2）將正方形。ENG繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使E點(diǎn)落在邊上，如圖2,連接AE

和GC.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊

經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合），另一條直角邊與/CBM

的平分線(xiàn)BF相交于點(diǎn)E

⑴如圖14-1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)：

①通過(guò)測(cè)量DE,EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是；

②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是_________；

③請(qǐng)證明你的上述兩猜想.

⑵如圖14-2,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí),請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得NE=BF,

進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣

5、已知，點(diǎn)B為線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AACD與ABCE都為等邊三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)E

在直線(xiàn)AC的兩側(cè)，連接AE交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于P,連接PC.

(1)如圖一，當(dāng)點(diǎn)B為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：PA+PC=PD;

(2)如圖二，當(dāng)點(diǎn)B不為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí),(1)的結(jié)論還成立么？若成立，請(qǐng)證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

6.已知兩個(gè)全等的等腰直角△ABC、ADEF,其中/ACB=NDFE=90,E為AB中同二

點(diǎn)，4DEF可繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段DE,EF分別交線(xiàn)段CA,CB(或它們所在直線(xiàn))于

M、N.(1)如圖1,當(dāng)線(xiàn)段EF經(jīng)過(guò)AABC的頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，線(xiàn)段DE交AC

于M,求證:AM=MC；

(2)如圖2,當(dāng)線(xiàn)段EF與線(xiàn)段BC邊交于N點(diǎn)，線(xiàn)段DE與線(xiàn)段AC交于M點(diǎn)，連

MN,EC,請(qǐng)?zhí)骄緼M,MN,CN之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,當(dāng)線(xiàn)段EF與BC延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn)，線(xiàn)段DE與線(xiàn)段AC交于M點(diǎn)，連

MN,EC,請(qǐng)猜想AM,MN,CN之間的等量關(guān)系，不必說(shuō)明理由。

7.（本題12分）在RtZkABC中，AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中點(diǎn)，DG_LAC交AB于點(diǎn)

G.

（1）如圖1,E為線(xiàn)段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段DG上，且DE=DF,連結(jié)EF與CF,過(guò)

點(diǎn)F作FHLFC,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)H.①求證：DG=DC,②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以

證明.

（2）若E為線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線(xiàn)DG上，（1）中的其他條件不變，借

助圖2畫(huà)出圖形。在你所畫(huà)圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在（1）中得出的結(jié)論是否

發(fā)生改變，（本小題直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明占

8、（12分）已知四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),

它的兩邊

分別交AD,

DC（或它們

的延長(zhǎng)線(xiàn)）

于E,F.

當(dāng)ZMBN

繞B點(diǎn)旋圖1

轉(zhuǎn)到

AE=CF時(shí)（如圖1）,易證AE+CF=EF；

當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEWCF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成

立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線(xiàn)段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不

需證明.

9、已知：4ABC為等邊三角形，M是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

且60°角的頂點(diǎn)E在BC上滑動(dòng)，（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），斜邊NACM的平分線(xiàn)CF交于點(diǎn)F

（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得中點(diǎn)位置時(shí)

①猜想AE與EF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是o

②連結(jié)點(diǎn)E與AB邊得中點(diǎn)N,猜想NE和CF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是

③請(qǐng)證明你的上述猜想

（2）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的任意位置時(shí)：

此時(shí)AE和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由？

10.（12分）如圖（1）,已知正方形ABCD,M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，MN

±DM,且交NCBE的平分線(xiàn)于點(diǎn)N.

（1）求證：MD=MN；

（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“AB上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論

“MD=MN”還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，說(shuō)明理由（如圖（2））；

（3）若將條件中“M是AB的中點(diǎn)”改為“M為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，你

能判斷結(jié)論"MD=MN”是否還成立嗎（如圖（3））?只給出結(jié)論，不需說(shuō)明理由。

七軸對(duì)稱(chēng)圖形基礎(chǔ)

1、知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

軸對(duì)稱(chēng)圖形:如果_______圖形沿一條直線(xiàn)折疊后,直線(xiàn)兩旁的部分能夠，

那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做。

軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)于__________圖形，如果沿一條直線(xiàn)對(duì)折后，它們能夠,那

么稱(chēng)這兩個(gè)圖形成,這條直線(xiàn)就是。

2.例題講解

1、下列各種圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

VOAO

ABCD

2、下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）

A.有兩個(gè)角相等的三角形B.有一個(gè)角為45°的直角三角形

C.有一個(gè)角為30°,另一個(gè)內(nèi)角為120。的三角形D.有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形

3、下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩個(gè)全等三角形組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形B.直角三角形一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形

C.軸對(duì)稱(chēng)圖形是由兩個(gè)圖形組成的D.等邊三角形是有三條對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形

4、填空

①正方形有條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是;

②等腰三角形有一條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是；

③長(zhǎng)方形有一條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是；

④圓有一條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是;

⑤等邊三角形有條對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸是；

角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定

一、角平分線(xiàn)性質(zhì):

①角是__________圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是

②角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到—

③結(jié)合圖形用符號(hào)語(yǔ)言表示角平分線(xiàn)的性質(zhì)

OEB

二、角平分線(xiàn)的判定

1、到角兩邊距離相等的點(diǎn)，是否都在角的平分線(xiàn)上？X

0EB

典例“講”解

例1、如圖，在RtZ\ABC中,BC_LAC,BD是/ABC的平分線(xiàn)DEXAB,垂足為E,DE與

DC相等嗎？為什么?A

BNC

如圖，CD±AB,BEXAC,垂足分別為D、E,Zl=Z2,OB=OC,

A2DB

例3、如圖，CD±AO,CE±BO,垂足為D、三，若Nl=/2,則圖中有哪些相等的量

A

02EB

例4、證明三角形的角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)（請(qǐng)先參照?qǐng)D形，編寫(xiě)已知與求證）

已知:

求證:

練習(xí);

1、角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這個(gè)角兩邊的相等，如圖1,BM平分

ZABC,PD_LAB,PE±BC,若PD=3,則PE=

2、如圖2,已知NC=90°,N1=N2,若BC=10,BD=6,貝U點(diǎn)D至U邊AB的距離為

B組

1、如圖,在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P,使P到OA、0B的距離相等

2、如圖：AD、CD是^ABC的兩條外角平分線(xiàn)，AD、CD相交于D

求證：D在NB的角平分線(xiàn)上

BCF

視野拓展

1、三條公路/,1,1,兩兩相交，現(xiàn)在想建一個(gè)加油站，

123

使加油站P到三條公路的距離相等,這樣的加油站P有幾個(gè)?

解答：4個(gè)

2、如圖：已知AP平分尸3平分點(diǎn)P恰在。C上

證明：①、AP±BP；②、點(diǎn)尸到直線(xiàn)的距離相等；③、PD=PC；

3:如圖，AD是^ABC的角平分線(xiàn)，EF是AD的中垂線(xiàn),

求證：⑴NEAD=NEDA；

(2)DF〃AC；

(3)ZEAC=ZB.

DE

中垂線(xiàn)的性質(zhì)和判定

、中垂線(xiàn)的性質(zhì)

①線(xiàn)段是__________圖形，它有條對(duì)稱(chēng)軸

②線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的特征：

iiiiii

③線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到的相等。

④結(jié)合圖形用符號(hào)語(yǔ)言表示線(xiàn)段中垂線(xiàn)平分線(xiàn)的性質(zhì).C

⑤銳角三角形的中垂線(xiàn)交點(diǎn)在______________________A，"B

直角三角形的中垂線(xiàn)交點(diǎn)在_______________________

鈍角三角形的中垂線(xiàn)交點(diǎn)在_______________________D

二、中垂線(xiàn)的判定

1、到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，是否都在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上？犬

2、結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表示線(xiàn)段中垂線(xiàn)的判定

--------------—

典例“講”解

例1、如圖，在AABC中，/C等于90°,AB的中垂線(xiàn)DE交BC于D,交ABA

于E,連接AD,若AD平分NBAC,找出圖中相等的線(xiàn)段，并說(shuō)說(shuō)

你的理由。

BDC

例2、AABC中，BC=10,邊BC的垂直平分線(xiàn)分別交AB、BC于點(diǎn)E、D,BE=6,求4BCE的

周長(zhǎng).

BC

D

例3、已知：如圖，DE是AC的垂直平分線(xiàn)，AB=10cm,BC=8cm,求4BCD的周長(zhǎng)。

知識(shí)應(yīng)“用”

A組

1、如圖，AB是AABC的一條邊，，DE是AB的垂直平分線(xiàn),

垂足為E,并交BC于點(diǎn)D,已知AB=8cm,BD=6cm,那么

EA=,DA=.

2、不能判定直線(xiàn)MN是線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的是（）

A.MA=MB,NA=NBB.MA=MB,MN±AB

C.MA=NA,BM=BND.MA=MB,MN平分AB

B組

某一個(gè)星期六，某中學(xué)初一年級(jí)的同學(xué)參加義務(wù)勞動(dòng)，其中有四個(gè)班的同學(xué)分別在M、N兩

處參加勞動(dòng)，另外四個(gè)班的同學(xué)分別在道路AB、AC兩處勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)

域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P,使P到兩條道路的距離相等，且使PM=PN,請(qǐng)你找出點(diǎn)P的位

置，并說(shuō)明理由。

視野拓展

紙上畫(huà)出4個(gè)點(diǎn)，任意3個(gè)點(diǎn)組成的三角形都是等腰三角形，問(wèn)這4個(gè)點(diǎn)應(yīng)該怎么放？畫(huà)出

你認(rèn)為可能的幾種情況

提示：任意3點(diǎn)組成等腰三角形，說(shuō)明這4點(diǎn)中，任意3點(diǎn)不共線(xiàn)，且組成的三角形是軸對(duì)

稱(chēng)圖形，因此要求這4個(gè)點(diǎn)組成的圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形

練習(xí)：

1、已知MA=MB,PA=PB,求證MP垂直平分AB。

2、在銳角三角形ABC中，NA=50°,AC,BC的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)0,

則N1Z2,Z3Z4,Z5Z6,Z2+

N3=度,

Zl+Z4=度，Z5+Z6=度，ZB0C=

度.

3、下列正確的有（）

①線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上任一點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等;②線(xiàn)段上任一點(diǎn)到垂直平分線(xiàn)兩端距

離相等；③經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)只有一條；④點(diǎn)P在線(xiàn)段AB外且PA=PB,過(guò)P作直線(xiàn)MN,

則MN是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)；⑤過(guò)線(xiàn)段上任一點(diǎn)可以作這條線(xiàn)段的中垂線(xiàn).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4、AABC中，ZC=90°,AB的中垂線(xiàn)交直線(xiàn)BC于D,若/BAD—/DAO22.5°,則/B等于

()

A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.無(wú)法確定

5、如圖，在AABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分線(xiàn)MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N.

求證：CM=2BM.

6、閱讀理解：某公司有三個(gè)工程師，他們各自接到了自己的任務(wù)：

A工程師任務(wù)：如圖，有兩個(gè)小鎮(zhèn)A和8,現(xiàn)要在公路/上修建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)々，使得倉(cāng)庫(kù)/

到兩個(gè)小鎮(zhèn)A和§的距離相等.

設(shè)計(jì)思路：

A?

?B

B工程師任務(wù)：如圖，有兩條公路A3和CO相交于點(diǎn)。.現(xiàn)在要在6。。的區(qū)域內(nèi)的

公路/上修建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)P，使得倉(cāng)庫(kù)P到兩條公路A3和的距離相

22

等.

設(shè)計(jì)思路：

C工程師任務(wù)：如圖，有兩個(gè)小鎮(zhèn)A和3,有兩條公路和CD.現(xiàn)在要修建一個(gè)倉(cāng)庫(kù)

P，使得倉(cāng)庫(kù)P既到兩個(gè)小鎮(zhèn)A和B的距離相等，到兩條公路A3和

的距離也相等.

請(qǐng)你幫c工程師設(shè)計(jì)一下這個(gè)倉(cāng)庫(kù)因該修建在什么地方？

7、如右圖/AOB=30°,角內(nèi)有點(diǎn)P,PO=15,在兩邊上有點(diǎn)Q、R（均不同于

O）,

請(qǐng)作圖并計(jì)算出APOR的周長(zhǎng)的最小值是.

八等腰三角形

知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

①有的三角形叫做等腰三角形

②等腰三角形是____________圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是

③三線(xiàn)合一：等腰三角形的、、

___________________重合，它們所在的直線(xiàn)都是等腰三角形的

④等邊對(duì)等角:等腰三角形的兩底角

⑤的等腰三角形是等邊三角形

⑥等邊三角形有條對(duì)稱(chēng)軸

⑦等邊三角形的三邊,三個(gè)內(nèi)角,都等于度

⑧等角對(duì)等邊:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是三角形

⑨等邊三角形的判定

推論1:三個(gè)角的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角是度的是等邊三角形

典例“講”解

例1：①等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為

②等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為

③等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為

例3、在等腰△ABC中，兩底角的平分線(xiàn)BE,CD相交于。點(diǎn)，判斷△OBC是什么三角形?

為什么？

AA

例4：等腰三角形有一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，周長(zhǎng)是50,則腰長(zhǎng)二