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熱點專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題考點考情分析圓錐曲線中的定點問題以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過巧妙設計和整合命制考題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識交匯考查圓錐曲線中的定值問題該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題,是高考熱點:(1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關系,一元二次方程的根與系數之間的關系,考查斜率、向量的運算以及運算能力(2)解決這類問題常通過取參數和特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式,證明該式為定值考點考情分析圓錐曲線中的最值與取值范圍問題常涉及不等式恒成立、求函數的值域問題和解不等式問題,是高考熱點:(1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對值不等式在某個區(qū)間上恒成立,求參數取值范圍(2)求函數的值域,一般是利用二次函數、基本不等式或求導的方法求解,有時也利用數形結合思想求解(3)解不等式一般是轉化為解一元一次、一元二次不等式考點1圓錐曲線中的定點問題【典例1】(2014·濟南模擬)已知橢圓C:過點且離心率(1)求橢圓C的標準方程.(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),橢圓的右頂點為D,且滿足試判斷直線l是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.【解題視點】(1)由離心率能得出a與c的關系;由橢圓過點能得出a2與b2的關系,再由a2=b2+c2即可求出a2,b2的值.(2)可由求出m與k的關系,進而得出直線能否過定點.【規(guī)范解答】(1)由題意橢圓的離心率所以所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,所以橢圓方程為又點在橢圓上,所以所以c2=1,所以橢圓的方程為(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0,y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=因為所以kAD·kBD=-1,又橢圓的右頂點D(2,0),所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,7m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=且滿足3+4k2-m2>0.當m=-2k時,l:y=k(x-2),直線過定點(2,0),與已知矛盾;當時,l:直線過定點綜上可知,直線l過定點,定點坐標為【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數法:引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量,再研究變化的量與參數何時沒有關系,找到定點.(2)特殊到一般法:根據動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關.【變式訓練】如圖,等邊三角形OAB的邊長為且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.(1)求拋物線E的方程.(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.【解析】方法一:(1)依題意,|OB|=∠BOy=30°,設B(x,y),則x=|OB|sin30°=y=|OB|cos30°=12.因為點在x2=2py上,所以解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.(2)由(1)知設P(x0,y0),則x0≠0,且l的方程為即由得所以設M(0,y1),令對滿足的x0,y0恒成立,由=(x0,y0-y1),得即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式對滿足的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).方法二:(1)同方法一.(2)由(1)知設P(x0,y0),則x0≠0,且l的方程為由得所以取x0=2,此時P(2,1),Q(0,-1),以PQ為直徑的圓為(x-1)2+y2=2,交y軸于點M1(0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此時以PQ為直徑的圓為交y軸于M3(0,1)或故若滿足條件的點M存在,只能是M(0,1).以下證明點M(0,1)就是所要求的點.因為故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).【加固訓練】過拋物線x2=4y上不同兩點A,B分別作拋物線的切線相交于點P(x0,y0),(1)求y0.(2)求證:直線AB恒過定點.(3)設(2)中直線AB恒過定點F,是否存在實數λ,使恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,請說明理由.【解析】(1)設由x2=4y,得:所以因為所以PA⊥PB,所以x1x2=-4.直線PA的方程是:即①同理,直線PB的方程是:②由①②得:(2)由(1)可得直線AB的方程為令x=0,可得因為所以y=1.所以直線AB恒過點(0,1).(3)由(1)得:所以因為所以所以所以故存在λ=1使得考點2圓錐曲線中的定值問題【典例2】(2013·江西高考)橢圓C:(a>b>0)的離心率a+b=3.(1)求橢圓C的方程.(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明:2m-k為定值.【解題視點】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關系及兩個已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程,分別聯立橢圓方程及AD的方程表示出點P,M的坐標,再利用DP與x軸表示點N的坐標,最終把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可設點P的坐標,把k與m都用點P的坐標來表示.【規(guī)范解答】(1)因為所以又由a2=b2+c2得代入a+b=3,得a=2,b=1.故橢圓C的方程為(2)方法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為y=k(x-2)(k≠0,k≠)①,將①代入解得直線AD的方程為:②.聯立①②解得由D(0,1),N(x,0)三點共線可知即所以點所以MN的斜率為則

(定值).方法二:設P(x0,y0)(x0≠0,±2),則直線AD的方程為直線BP的方程為直線DP的方程為令y=0,由于y0≠1,可得解可得所以MN的斜率為故【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法(1)特點:待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值.(2)兩大解法:①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.②引進變量法:其解題流程為【變式訓練】已知拋物線x2=4y的焦點為F,A,B是拋物線上的兩動點,且過A,B兩點分別作拋物線的切線,設其交點為M.(1)證明:為定值.(2)設△ABM的面積為S,寫出S=f(λ)的表達式,并求S的最小值.【解析】(1)由已知條件,得F(0,1),λ>0.設A(x1,y1),B(x2,y2).由即得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1).所以將①式兩邊平方并把代入得y1=λ2y2,③解②③式得y1=λ,且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4.拋物線方程為求導得所以過拋物線上A,B兩點的切線方程分別是即解出兩條切線的交點M的坐標為所以,=所以為定值,其值為0.(2)由(1)知在△ABM中,FM⊥AB,因而因為|AF|,|BF|分別等于A,B到拋物線準線y=-1的距離,所以|AB|=|AF|+|BF|=y(tǒng)1+y2+2=于是由知S≥4,且當λ=1時,S取得最小值4.【加固訓練】(2014·宜賓模擬)設F1,F2分別為橢圓C:的左、右兩個焦點.(1)若橢圓C上的點到F1,F2兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和離心率.(2)若M,N是橢圓C上關于原點對稱的兩點,點P是橢圓上除M,N外的任意一點,當直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,求證:kPM·kPN為定值.【解析】(1)根據已知條件:2a=4,即a=2,所以橢圓方程為又為橢圓C上一點,則解得b2=3,所以橢圓C的方程為所以所以橢圓C的離心率(2)因為M,N是橢圓上關于原點對稱的點,設M(x0,y0),則N(-x0,-y0),設P點坐標為(x,y),則即所以考點3圓錐曲線中的最值與取值范圍問題【典例3】(1)(2014·武漢模擬)已知拋物線C的方程為y2=-8x,設過點N(2,0)的直線l的斜率為k,且與拋物線C相交于點S,T,若S,T兩點只在第二象限內運動,線段ST的垂直平分線交x軸于Q點,則Q點橫坐標的取值范圍為________.(2)(2013·浙江高考)已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1).①求拋物線C的方程.②過F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.【解題視點】(1)直線方程與拋物線方程聯立,由直線與拋物線相交,利用判別式,可求k的范圍,然后再求點Q的橫坐標,進而求范圍.(2)①知道拋物線的焦點易求拋物線的方程;②可以先設出A,B兩點的坐標(設而不求),設出直線的方程,由已知條件把|MN|表示出來,進行求解.【規(guī)范解答】(1)設S(x1,y1),T(x2,y2),由題意得ST的方程為y=k(x-2)(顯然k≠0),與y2=-8x聯立消元得ky2+8y+16k=0,則有y1+y2=y1y2=16.因為直線l交拋物線C于兩點,所以Δ=64-64k2>0,再由y1>0,y2>0,則故-1<k<0,可求得線段ST的中點的坐標為所以線段ST的垂直平分線方程為令y=0,得點Q的橫坐標為所以Q點橫坐標的取值范圍為(-∞,-6).答案:(-∞,-6)(2)①由題意可設拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則所以拋物線C的方程為x2=4y.②設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+1,由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,從而|x1-x2|=由解得點M的橫坐標同理點N的橫坐標所以=令4k-3=t,t≠0,則當t>0時,|MN|=當t<0時,|MN|=綜上所述,當即時,|MN|的最小值是【規(guī)律方法】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍.(2)利用已知參數的范圍,求新參數的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系.(3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值范圍.(4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數的取值范圍.(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數,求其值域,從而確定參數的取值范圍.2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題.(2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決;②代數法,若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系,則可先建立起目標函數,再求這個函數的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導數法求解.提醒:求最值問題時,一定要注意對特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項式最高次項的系數的討論等.【變式訓練】已知過點A(-4,0)的動直線l與拋物線G:x2=2py(p>0)相交于B,C兩點.當直線l的斜率是時,(1)求拋物線G的方程.(2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.【解析】(1)設B(x1,y1),C(x2,y2),當直線l的斜率是時,l的方程為即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以又因為所以y2=4y1,③由①②③及p>0得:y1=1,y2=4,p=2,得拋物線G的方程為x2=4y.(2)設l:y=k(x+4),BC的中點坐標為(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0,④所以y0=k(x0+4)=2k2+4k,所以線段BC的中垂線方程為所以線段BC的中垂線在y軸上的截距為:b=2k2+4k+2=2(k+1)2,對于方程④,由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.從而實數b的取值范圍是(2,+∞).【加固訓練】1.已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求最小值.【解析】以AB所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸,建立直角坐標系,如圖所示.則設P點坐標為(x,y),則|PA|2+|

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