2023年初中升學(xué)考試卷湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)二模試卷

2023年湖南省長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考數(shù)學(xué)二

模試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）2023的相反數(shù)是（）

A.-」B.一C.2023D.-2023

20232023

2.（3分）下列LOG。標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形的是（）

?Wc?.遨

3.（3分）5月5日，從長(zhǎng)沙市文化和旅游廣電局了解到，”五一”假期全市接待游客362.38

萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入35.38億元：與清明小長(zhǎng)假相比，游客人數(shù)和旅游收入分別增長(zhǎng)

10%和20%以上.全市列入省文旅廳統(tǒng)計(jì)監(jiān)測(cè)范圍的景區(qū)共接待游客36.76萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)

門票收入1126.58萬(wàn)元，長(zhǎng)沙成為“五一“全國(guó)旅游最熱門的城市之一.1126.58萬(wàn)元寫

成科學(xué)記數(shù)法法的形式是（）

A.11.2658X107B.1.12658X107

C.11.2658X106D.0.112658X107

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2m-m—1B.rr^'n^—a6C.,H64-m2=m4D.(m3)2—m5

5.（3分）石鼓廣場(chǎng)供游客休息的石板凳如圖所示，它的俯視圖是（

主視方向

6.（3分）已知一組數(shù)據(jù)：m,113,115,115,116,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.114,115B.114,114C.115,114D.115,115

7.（3分）一次函數(shù)y=-2x-1的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（3分）如果尤C?那么下列不等式正確的是（）

A.x-l>y-1B.x+l>y+lC.-2x<-2yD.2x<2y

9.（3分）如圖，△ABC中，AB=AC,AO是N84C的平分線,已知A8=10,AD=6,則

8C的長(zhǎng)為（）

A.10B.16C.18D.20

10.（3分）我們把頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為

近二1.如圖，在△ABC中，NA=36°,AB=AC,8。平分NA8C交AC于點(diǎn)。，若

2

BC=2,則CD的長(zhǎng)為（)

A

A.V5-1B.V5-3c.V5+2D.羥

2

二、填空題（每題3分，共18分）

11.（3分）分解因式：3/-6〃+3

12.（3分）若代數(shù)式，2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是

V2x-6

13.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6,4）,B（2,3）,D（3,2）,AABC

與△。環(huán)位似，原點(diǎn)。是位似中心，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是

/-2x+%=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

是

15.（3分）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6cm,底面半徑為2cm,則它的側(cè)面展開扇形的面積

為.

16.（3分）如圖，。。是△ABC的外接圓，為直徑，。是。。上一點(diǎn)，且C8=C。，CE

±DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）若NABC=40°,則/AZ）C=；

（2）若AE=2,BD=8,則。。的半徑長(zhǎng)為.

三、解答題（共72分，請(qǐng)將答案寫在答題卡上）

17.計(jì)算：|-4|-（5-^3）°-2tan450+（-2）-2,

18.先化簡(jiǎn)再求值：-^—4-（14^一），其中。=&-3.

a2-9a-3

19.如圖，在坡頂?shù)腁處的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物8C,某同學(xué)再沿著

坡度為i=5：12的斜坡AP攀行26米到達(dá)了點(diǎn)A,距建筑物8C底端C為5米，在坡頂

A處又測(cè)得該建筑物的頂端8的仰角為76°,求建筑物8C的高度（精確到0.1）.

（1）求坡頂A到地面尸。的距離；

（2）計(jì)算建筑物的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin76°"0.97,cos76°七0.24,tan76°-4）

20.某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動(dòng)，要求各學(xué)校開展形式多樣的陽(yáng)光體育活

動(dòng).某中學(xué)就“學(xué)生體育活動(dòng)興趣愛(ài)好”的問(wèn)題，隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生，并根據(jù)

調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖:

(1)在這次調(diào)查中，喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“乒乓球”的

百分比為%,如果學(xué)校有800名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中有人喜歡籃

球項(xiàng)目.

(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

(3)在被調(diào)查的學(xué)生中，喜歡籃球的有2名女同學(xué)，其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取

2名同學(xué)代表班級(jí)參加?；@球隊(duì)，請(qǐng)直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1

名男同學(xué)的概率.

21.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接OE,

過(guò)點(diǎn)D作DF//AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF.

(1)求證：AAOE咨ADFE；

(2)判定四邊形AODE的形狀并說(shuō)明理由.

22.某公司購(gòu)買了A、8兩種型號(hào)的芯片，其中A型芯片的單價(jià)比8型芯片的單價(jià)少9元,

已知該公司用3120元購(gòu)買A型芯片的條數(shù)與用4200元購(gòu)買B型芯片的條數(shù)相等.

(1)求該公司購(gòu)買的A、8型芯片的單價(jià)各是多少元?

(2)若兩種芯片共購(gòu)買了100條，其購(gòu)買的總費(fèi)用不少于3140元，且8型的數(shù)量不高

于A型數(shù)量的4倍，問(wèn)一共有多少種購(gòu)買方案，哪一種方案最省錢？

23.如圖，C、。是以為直徑的上兩點(diǎn)，連接AC,BD,滿足NCA8=2NA8。，作

OELCA交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接。E.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若4B=3AE,

①求tanZABD的值；

②求螞的值.

24.如圖，已知矩形A8C。中，4B=5,AO=1,點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，連接8E,以BE

為邊作正方形BEFG,如圖所示.連接BAAF.

(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)C在線段8尸上時(shí)，求AF的長(zhǎng)；

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值及此時(shí)QE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在線段C￡(上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)CE的長(zhǎng)為m是否存在a的值使△A8F為等腰三

角形，若存在則求出。的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)xW/i部分的圖象記為M,將圖象砒沿x=/i翻折

到右側(cè)后得到的圖象為W2,我們稱圖象Wi,W2共同構(gòu)成的圖象稱為函數(shù)的“〃階共生

Yv1

函數(shù)”，如函數(shù)y=x的"1階共生函數(shù)”解析式為=、.

7-x+2,x>l

(1)直接寫出直線/：y=x-3的“4階共生函數(shù)”與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

_2

(2)已知直線y=Ax-左-3與yq的“o階共生函數(shù)”共有三個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)人的取值

范圍;

(3)若函數(shù)y=-/+2的“/I階共生函數(shù)”與直線y=x恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求〃的取

值范圍.

2023年湖南省長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校中考數(shù)學(xué)二

模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（3分）2023的相反數(shù)是（）

A.—」B.一LC.2023D.-2023

20232023

【答案】D

【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案.

【解答】解：2023的相反數(shù)是-2023.

故選：D.

2.（3分）下列LOG。標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形的是（）

?W（D

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

3.（3分）5月5日，從長(zhǎng)沙市文化和旅游廣電局了解到，”五一“假期全市接待游客362.38

萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入35.38億元：與清明小長(zhǎng)假相比，游客人數(shù)和旅游收入分別增長(zhǎng)

10%和20%以上.全市列入省文旅廳統(tǒng)計(jì)監(jiān)測(cè)范圍的景區(qū)共接待游客36.76萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)

門票收入1126.58萬(wàn)元，長(zhǎng)沙成為“五一”全國(guó)旅游最熱門的城市之一.1126.58萬(wàn)元寫

成科學(xué)記數(shù)法法的形式是（）

A.11,2658X107B.1.12658X107

C.11.2658X106D.0.112658X107

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1W間＜10,n為整數(shù).確定n

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，w是負(fù)整數(shù).

【解答】解：1126.58萬(wàn)=11265800=1.12658X1（）7.

故選：B.

4.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2m-m—1B.rr^'n^—a6C./+m2=m4D.（m3）2—m5

【答案】C

【分析】利用同底數(shù)塞的除法的法則，合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)塞的乘法的法則，塞

的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：A、2m-m=m,故A不符合題意；

故B不符合題意；

C＞m64-m2=m4,故C符合題意；

26

D、（祖3）—m,故。不符合題意；

故選：C.

5.（3分）石鼓廣場(chǎng)供游客休息的石板凳如圖所示，它的俯視圖是（)

【答案】D

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【解答】解：從上面看，可得如圖形：

故選：D.

6.（3分）已知一組數(shù)據(jù)：111,113,115,115,116,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是（）

A.114,115B.114,114C.115,114D.115,115

【答案】A

【分析】根據(jù)眾數(shù)定義確定眾數(shù)；利用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法可以算得平均數(shù).

【解答】解：平均數(shù)7=（111+113+115+115+116）4-5=114,

數(shù)據(jù)115出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，

，眾數(shù)是115.

故選：A.

7.（3分）一次函數(shù)y=-2x-l的圖象不經(jīng)過(guò)（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】因?yàn)閗=-2<0,b=-1<0,根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b（人力0）的性質(zhì)得到圖象

經(jīng)過(guò)第二、四象限，圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，于是可判斷一次函數(shù)y=-2x-1的

圖象不經(jīng)過(guò)第一象限.

【解答】解：對(duì)于一次函數(shù)y=-2x-1,

'：k=-2<0,

.?.圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限；

又,：b=-1<0,

一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即函數(shù)圖象還經(jīng)過(guò)第三象限，

.?.一次函數(shù)y=-2x-1的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限.

故選：A.

8.（3分）如果尤C?那么下列不等式正確的是（）

A.x-1>y-1B.x+l>y+lC.-2x<-2yD.2x<2y

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

【解答】解：A、在不等式的兩邊同時(shí)減去1,不等號(hào)的方向不變，即

不符合題意；

B、在不等式的兩邊同時(shí)加上1,不等號(hào)的方向不變，即x+l<y+l,不符合題意；

C、在不等式的兩邊同時(shí)乘-2,不等號(hào)法方向改變，即-2x>-2?不符合題意;

D、在不等式的兩邊同時(shí)乘2,不等號(hào)的方向不變，即2x<2y,符合題意.

故選：D.

9.（3分）如圖，△ABC中，AB=AC,是/BAC的平分線，已知A8=10,AD=6,則

8C的長(zhǎng)為（）

A.10B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得8C=28。，ADLBC,然后在

中，利用勾股定理求出8。的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：AB=AC,是N8AC的平分線，

：.BC=2BD,ADLBC,

在RtZkAB。中，A8=10,AD=6,

，BD=VAB2-AD2=V102-62=8'

：.BC=2BD=16,

故選：B.

10.（3分）我們把頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為

返二1.如圖，在△ABC中，NA=36°,AB=AC,80平分NABC交AC于點(diǎn)O,若

2

BC=2,則CD的長(zhǎng)為（）

A

BAC

A.V5-1B.V5-3C.疾+2D.娓+2

2

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得/A8C=/C=72°,再利用

角平分線的定義可得NZ)8C=36°,從而利用三角形內(nèi)角和定理可得/BDC=72°,進(jìn)

而可得/C=/BOC=72°,然后利用等角對(duì)等邊可得8C=BD,從而可得是“黃

金三角形”，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：/A=36°,AB=AC,

J.ZABC^ZC^l.(180°-ZA)=72。，

2

平分/ABC,

AZDBC=AZABC=36°,

2

：.ZBDC=18Q0-ZDBC-ZC=72°,

：.ZC=ZBDC=12°,

：.BC=BD,

:.ABDC是“黃金三角形”，

?DC-V5-1

??-----------,

BC2

,:BC=2,

:.DC=4S-1,

故選：A.

二、填空題(每題3分，共18分)

11.(3分)分解因式：3a2-64+3=3Q-1)2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先提取公因式3,進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案.

【解答】解：原式=3(〃2-2〃+1)=3(4-1)2

故答案為：3(〃-1)2.

12.(3分)若代數(shù)式，2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則無(wú)的取值范圍是x>3.

V2x-6

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分母不為零的性質(zhì)，可得2x-6>0,再解即可.

【解答】解：由題意得：2x-6>0,

解得：x>3,

故答案為：x>3.

13.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(6,4),B(2,3),D(3,2),AABC

與△。環(huán)位似，原點(diǎn)。是位似中心，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1.5).

【分析】利用關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)D的坐標(biāo)得到

位似比，然后根據(jù)位似比得到E點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：:△ABC與△￡)所位似，原點(diǎn)。是位似中心，

而A(6,4),B(2,3),D(3,2),

2222

t/OA=^5+4=2^/13>OD=I/3+2=V131

.?.△ABC與△?DEE的位似比為2：1,

\'B(2,3),

點(diǎn)的坐標(biāo)是為(2XA,3XA),即(1,1.5).

22

故答案為：(1,1.5).

14.(3分)若關(guān)于x的一元二次方程?-2x+4=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k

【答案】0.

【分析】先計(jì)算根的判別式，根據(jù)一元二次方程解的情況得不等式，求解即可.

【解答】解：,.?A=(-2)2-4XlXZ

=4-4k.

又??,關(guān)于x的一元二次方程7-2x+k=0有實(shí)數(shù)根，

,-.4-4^0.

故答案為：ZW1.

15.(3分)已知圓錐的母線長(zhǎng)為6cm,底面半徑為2cm,則它的側(cè)面展開扇形的面積為127r

cm2

【答案】12ncm2.

【分析】圓錐的側(cè)面積S=TIT7.

【解答】解：底面半徑為2c如圓錐的母線長(zhǎng)為60機(jī)，

則圓錐側(cè)面展開圖的面積為S=nrZ=irX2X6=12n(cm2).

故答案為：12nc加2.

16.(3分)如圖，是△A3C的外接圓，A8為直徑，。是。0上一點(diǎn)，且C3=CD,CE

-LDA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)若NA8C=40。，則NADC=40°；

(2)若AE=2,BD=8,則。。的半徑長(zhǎng)為10

【答案】(1)40°；

(2)10.

【分析】(1)由圓周角定理可得出答案；

(2)過(guò)點(diǎn)C作C旦L8O于點(diǎn)兒證出/AD3=/AC8=90°，證明四邊形CED尸是矩形，

得出CE=。尸=4,求出AC=2jg,證出處理，求出8C的長(zhǎng)，由勾股定理可得出答

ACBC

案.

【解答】解：(1)VAC=AC.

ZAZ)C=ZABC=40°,

故答案為：40°；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CFLBD于點(diǎn)F,

'：BD=S,CD=CB,

:.DF=BF=4,

"?CELAE,

：.ZCEA=90°,

*：AB為直徑，

AZADB=ZACB=90°,

J四邊形CEDb是矩形，

：.CE=DF=4,

9：AE=2,

22

；?AC=VAECE=^22+42=2^5，

?.?四邊形AZ)8C為圓。的內(nèi)接四邊形，

：.ZEAC=ZCBF,

cosZEAC=cosZCBF,

???—AE二BF”,

ACBC

???--2--=--4-,

25/5BC

:.BC=4遍,

：-BA=VAC2+BC2=1°-

故答案為：10.

三、解答題(共72分，請(qǐng)將答案寫在答題卡上)

17.計(jì)算：|-4|-(5-V^)°-2tan45°+(-2)-2-

【答案】旦

4

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：|-4|-(5-73)°-2tan45°+(-2)"

=4-1-2X1+A

4

=3-2+A

4

了

18.先化簡(jiǎn)再求值：(1+-^-)-其中。=&-3.

a2-9a-3

【答案】，，返.

a+32

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把。的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=-一A一-^3+3,

(a+3)(a-3)a-3

=a,a-3

(a+3)(a-3)a

=1

a+3

將。=&-3代入得，原式—=亞.

V2-3+32

19.如圖，在坡頂?shù)腁處的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物BC,某同學(xué)再沿著

坡度為7=5：12的斜坡AP攀行26米到達(dá)了點(diǎn)A,距建筑物8C底端C為5米，在坡頂

A處又測(cè)得該建筑物的頂端8的仰角為76°,求建筑物BC的高度(精確到0.1).

(1)求坡頂A到地面PQ的距離；

(2)計(jì)算建筑物的高度.(參考數(shù)據(jù)：sin76°-0.97,cos76°七0.24,tan76°-4)

【答案】(1)10米；

(2)20.0米.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作A//LP。于反，根據(jù)斜坡AP的坡度為i=5：12,得出地上,

PH12

設(shè)AH=5瓦則PH=12左，AP=Uk,求出左值即可求解.

(2)由題意易得AC=5,然后利用Rt^ABC中，tan76°=區(qū)即可求解.

【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作于H,如圖所示,

?.?斜坡A尸的坡度為i=5：12,

?AH5

PH12

設(shè)AH=5左，則PH=12Z,

貝IAP=VAH2+PH2=7(5K)2+(12K)2=13k'

二13左=26,解得左=2,

：.AH=10,

坡頂A到地面PQ的距離為10米.

(2)由題意得：AC=5,

.?.在RtZXABC中，tan76。=--

5

解得x心20.0,

古塔BC的高度約20.0米.

20.某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動(dòng)，要求各學(xué)校開展形式多樣的陽(yáng)光體育活

動(dòng).某中學(xué)就“學(xué)生體育活動(dòng)興趣愛(ài)好”的問(wèn)題，隨機(jī)調(diào)查了本校某班的學(xué)生，并根據(jù)

調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖:

（1）在這次調(diào)查中，喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)有5人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“乒乓球”的百

分比為20%,如果學(xué)校有800名學(xué)生，估計(jì)全校學(xué)生中有果人喜歡籃球項(xiàng)目.

（2）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

（3）在被調(diào)查的學(xué)生中，喜歡籃球的有2名女同學(xué)，其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取

2名同學(xué)代表班級(jí)參加?；@球隊(duì)，請(qǐng)直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1

名男同學(xué)的概率.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）先利用跳繩的人數(shù)和它所占的百分比計(jì)算出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)分

別減去喜歡其它項(xiàng)目的人數(shù)可得到喜歡籃球項(xiàng)目的人數(shù)，再計(jì)算出喜歡乒乓球項(xiàng)目的百

分比，然后用800乘以樣本中喜歡籃球項(xiàng)目的百分比可估計(jì)全校學(xué)生中喜歡籃球項(xiàng)目的

人數(shù)；

（2）畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女

同學(xué)和1名男同學(xué)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解

【解答】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20?40%=50（人），

所以喜歡籃球項(xiàng)目的同學(xué)的人數(shù)=50-20-10-15=5（人）；

“乒乓球”的百分比=也.義100%=20%,

50

因?yàn)?00X巨X100%=80,

50

所以估計(jì)全校學(xué)生中有80人喜歡籃球項(xiàng)目；

故答案為5,20,80；

(2)如圖，

男男男女女

男男女女男男女女男Z男V女.女男男ZV男x女.男男男女

共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的結(jié)

果數(shù)為12,

所以所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率=」2=3.

205

21.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接OE,

過(guò)點(diǎn)D作DF//AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF.

(1)求證：AAOE咨4DFE；

(2)判定四邊形AODF的形狀并說(shuō)明理由.

BC

【答案】(1)見解答.

(2)四邊形AOCF為矩形.

【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可.

（2）先證明四邊形AO。歹為平行四邊形，再結(jié)合/A00=90°,即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：是的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

'：DF//AC,

：.ZOAD=ZADF,

'：ZAEO=ZDEF,

：.△AOEgLDFE（ASA）.

（2）解：四邊形AODF為矩形.

理由：V^AOE^ADFE,

：.AO=DF,

'：DF//AC,

...四邊形AODF為平行四邊形，

???四邊形ABC。為菱形，

：.AC±BD,

即/AOD=90°,

平行四邊形AOOE為矩形.

22.某公司購(gòu)買了A、8兩種型號(hào)的芯片，其中A型芯片的單價(jià)比8型芯片的單價(jià)少9元,

已知該公司用3120元購(gòu)買A型芯片的條數(shù)與用4200元購(gòu)買B型芯片的條數(shù)相等.

（1）求該公司購(gòu)買的A、8型芯片的單價(jià)各是多少元？

（2）若兩種芯片共購(gòu)買了100條，其購(gòu)買的總費(fèi)用不少于3140元，且8型的數(shù)量不高

于A型數(shù)量的4倍，問(wèn)一共有多少種購(gòu)買方案，哪一種方案最省錢?

【答案】(1)該公司購(gòu)買的4型芯片的單價(jià)是26元，8型芯片的單價(jià)是35元；

(2)一共有21種購(gòu)買方案，購(gòu)買A型芯片40條，B型芯片60條最省錢.

【分析】(1)設(shè)8型芯片的單價(jià)為x元/條，則A型芯片的單價(jià)為(x-9)元/條，根據(jù)數(shù)

量=總價(jià)+單價(jià)結(jié)合用3120元購(gòu)買A型芯片的條數(shù)與用4200元購(gòu)買B型芯片的條數(shù)相

等，列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)購(gòu)買A型芯片為加條，則購(gòu)買B型芯片為(1OO-/77)條，根據(jù)購(gòu)買的總費(fèi)用不

少于3140元，且8型的數(shù)量不高于A型數(shù)量的4倍，列出一元一次不等式組，解得20

得一共有21種購(gòu)買方案，再設(shè)總費(fèi)用為y元，由題意得y=-9〃計(jì)3500,然后

由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)該公司購(gòu)買的8型芯片的單價(jià)是x元，則A型芯片的單價(jià)是(x-9)

元，

由題意得：3120-4200；

x-9x

解得：x=35,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是原方程的解，且符合題意，

：.x-9=26,

答：該公司購(gòu)買的A型芯片的單價(jià)是26元，5型芯片的單價(jià)是35元；

(2)設(shè)購(gòu)買A型芯片為機(jī)條，則購(gòu)買5型芯片為(100-m)條，

由題意得：126m+35(100-m)》3140,

1100-irtC4m

解得：20W?iW40,

???機(jī)為整數(shù)，

：.m=20,21,22,23,24,…，40,

一共有21種購(gòu)買方案,

設(shè)總費(fèi)用為y元，

由題意得：j=26/7?+35(100-m)=-9m+3500,

：-9<0,

隨機(jī)的增大而減小，

.?.當(dāng)機(jī)=40時(shí)，y的值最小，

此時(shí)100-m=60,

答:一共有21種購(gòu)買方案，購(gòu)買A型芯片40條，8型芯片60條最省錢.

23.如圖，C、。是以AB為直徑的上兩點(diǎn)，連接AC,BD,滿足作

OE_LCA交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接DE.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)AB=3AE,

①求tanZABD的值；

【答案】(1)見解析;

(2)①叵

_2

②逅.

6

【分析】(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理得到/C4B=NA。。，根據(jù)平行線的判定得到

AC//OD,求得OO_LZ）E,根據(jù)切線的判定定理即可得至U結(jié)論；（2）①設(shè)AE=x,AB=

3x,連接A。，根據(jù)圓周角定理得到/AO8=90°,推出根據(jù)相似三角

形到現(xiàn)在得到AO=?x,根據(jù)勾股定理得到8。我以后=遍方根據(jù)三角函數(shù)的

定義得到tan/凡RD=包■=」!X=Y^_；

BDV6x2

②根據(jù)勾股定理得到^=VAD2-AE2=V2^根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可

得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接O。，

'：ZCAB=2ZABD,ZAOD=2ZABD,

：.ZCAB=ZAOD,

：.AC//OD,

"：DE±CA,

J.ODLDE,

?..OO是。。的半徑，

是。。的切線；

（2）解：?"：AB=3AE,

???設(shè)AE=x,AB=3x,

連接AD,

〈AB是。。的直徑，

AZADB=90°,

AZADO^ZODB=90°,

VZADE+ZADO=90°,

JZADE=ZODB,

?：OD=OB,

：?NODB=NOBD,

：.ZADE=NABD,

VZE=/ADB,

???XADEs"ABD,

?ADAB

??———,

AEAD

?AD3x

??---二-------,

xAD

.".AD=yf3x,

A5￡)=VAB2-AD2=^X,

，tanNAB￡)=包_=返_；

BDV6x2

②：/E=90°,

*1-DE=VAD2-AE2=Mx，

?：/ECD=NABD,NE=NADB=90°,

AECDsADBA,

.CEDE

"BD=AD，

?CE二&x,

V6xx

***CE=2.Xf

.\AC=CE-AE=2x-x=x,

?AC=x_V6

DB5/6x6

c

24.如圖，已知矩形ABC。中，AB=5,AO=1,點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，連接8E,以BE

為邊作正方形BEFG,如圖所示.連接BE、AF.

（1）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)C在線段8尸上時(shí)，求AF的長(zhǎng);

（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)E在線段C。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值及此時(shí)。E的長(zhǎng);

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段C。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)CE的長(zhǎng)為a,是否存在。的值使AAB尸為等腰三

角形，若存在則求出。的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴AF的長(zhǎng)為函;

（2）AF的最小值為_Z2/Z,此時(shí)。E的長(zhǎng)為5；

22_

（3）存在“的值使△AB尸為等腰三角形，a的值為2或3或1或送

22

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得8C=AD=1,DC=AB=5,ZABC=ZBCD=9Q°,由正

方形的性質(zhì)得BE=FE,當(dāng)點(diǎn)C在線段BE上，則CE_LBR所以尸C=8C=1,BF=2BC

=2,由勾股定理得AF=JAB2+BF2=

（2）作△BEF的外接圓OO,延長(zhǎng)。C交。。于點(diǎn)H,連接8”、FH,則N￡7/=/E8F

=45°,NBHE=NBFE=45°,所以N8CH=90°,則/CBa=/CH5=45°,所以

HC=BC=1,因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線板上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)AE_LHF時(shí)，AF的值最小，設(shè)AF交

。。于點(diǎn)/,作包_LOC于點(diǎn)L,可求得">=AD=1,HI=5,則LF=U=LH=a,所以

2

22=

A[=?h廿+IQ2=如,FZ=VLF+LI>AF=AHFI=￡U~,再證明△BEC

會(huì)AEFL,得CE=LF=>,所以DE=DC-CE=9；

22

(3)作印_LAB于點(diǎn)N,交。C于點(diǎn)M,可證明△MEFgZkCBE,得MF=CE=a,EM

=BC=1,所以MV=8C=1,則FN=a+l,BN=a-1,再分三種情況討論，一是當(dāng)AF

=AB=5時(shí)，貝l|(6-q)2+(a+1)2=52；二是當(dāng)時(shí)，則。-1=回；三是當(dāng)AB

2

=m=5時(shí)，則(0+1)2+(a-1)2=52,解方程求出符合題意的。值即可.

【解答】解：(1):四邊形ABC。是矩形，AB=5,AD=1,

：.BC=AD=\,DC=AB=5,ZABC=ZBCD=90°,

?/四邊形BEFG是正方形，

：.BE=FE,

;點(diǎn)E為線段CO上一點(diǎn)，點(diǎn)C在線段BF上，

ZBC￡=90°,

：.CE±BF,

:.FC=BC=1,

：.BF=2BC=2,

AF=VAB2+BF2=V52+22="^29，

?1.AF的長(zhǎng)為亞.

(2)如圖(2),作△BEF的外接圓。O,延長(zhǎng)。C交。。于點(diǎn)H,連接8”、FH,

;BE=FE,ZBEF=90°,

:.NEBF=/EFB=45°,

：.ZEHF=ZEBF=45°，ZBHE=ZBFE=45°,

VZBC7/=90°,

：.ZCBH=ZCHB=45°,

:,HC=BC=\,

??,點(diǎn)/在與直線。。所夾的銳角為45。的直線上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)/時(shí)，A廠的值最小，

設(shè)Ab交OC于點(diǎn)/,作電，。。于點(diǎn)L

VZAFH=90°,NIHF=45°,

：.ZHIF=ZIHF=45°,

：.ZDIA=ZDAI=45°,

：.FI=FH,/D=AD=L

：.HI=CD-0+HC=5+l-1=5,

???LF=LI=LH=工HI=2X5=9,

222

*：ZD=ZFLI=90°,

-'-AI=VAD2+ID2=712+12=a,FI=VLF2+LI2=鴻產(chǎn)+(1")2=

:.AF=AI+FI=4^+3

22

'：ZBDE=ZELF=90°,ZBEC=ZEFL=900-ZLEF,BE=EF,

:.△BE8AEFL(A4S),

；.CE=LF=*,

2

:.DE=DC-CE=5-竺=9,

22

：.AF的最小值為Ml,此時(shí)DE的長(zhǎng)為金.

22

（3）存在。的值使AAB尸為等腰三角形,

作ENLAB于點(diǎn)N,交。C于點(diǎn)M,

'：DC//AB,

:./EMF=NANM=90°,

：.ZEMF=ZC,

YNMEF=NCBE=9Q°-/BEC,EF=BE,

.?.△MEF咨4CBE(AAS),

：.MF=CE=a,EM=BC=l,

'：ZBNM=ZNBC=ZC=900,

四邊形BCMN是矩形，

：.MN=BC=l,

：.FN=MF+MN=a+1,BN=CM=CE-l=a-1,

當(dāng)AAB歹為等腰三角形，且時(shí)，如圖(3),

：4解+印2=4尸，AN=AB-BN=5-(a-1)=6-a,

(6-a)2+(a+1)2—52,

解得。1=2,“2=3；

當(dāng)AAB歹為等腰三角形，且時(shí)，如圖(4),

;AF=BF,FALLAB于點(diǎn)N,

BH=AN=AAB=工X5=2

222

".a-1=—,

2

解得a=工；

2

當(dāng)△ABb為等腰三角形，且時(shí)，如圖(5),

,:F^+Ba=F鏟,

/.（。+1）2+（。-1）2=52,

解得m=逗，及==畫（不符合題意，舍去）,

22

綜上所述，。的值為2