大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限和連續(xù)

最全大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限和連續(xù)PAGE函數(shù)、極限和連續(xù)§1.1函數(shù)主要內(nèi)容㈠函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義:y=f(x),x∈D定義域:D(f),值域:Z(f).2.分段函數(shù):3.隱函數(shù):F(x,y)=04.反函數(shù):y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函數(shù):y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。㈡函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D當(dāng)x1＜x2時(shí),若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加()；若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少()；若f(x1)＜f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加()；若f(x1)＞f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少()。2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)：f(-x)=f(x)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)3.函數(shù)的周期性：周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正數(shù)4.函數(shù)的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)：y=c，(c為常數(shù))2.冪函數(shù)：y=xn,(n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)：y=ax,(a＞0、a≠1)4.對數(shù)函數(shù)：y=logax,(a＞0、a≠1)定理：若：則：㈢兩面夾定理數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：（n=1、2、3…）且：則：函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：對于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)（點(diǎn)x0除外）有：且：則：㈣極限的運(yùn)算規(guī)則若：則：①②③推論：①②③㈤兩個(gè)重要極限1．或2．§1.3連續(xù)主要內(nèi)容㈠函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在處連續(xù)：在的鄰域內(nèi)有定義，1o2o左連續(xù)：右連續(xù)：函數(shù)在處連續(xù)的必要條件：定理：在處連續(xù)在處極限存在函數(shù)在處連續(xù)的充要條件：定理：函數(shù)在上連續(xù)：在上每一點(diǎn)都連續(xù)。在端點(diǎn)和連續(xù)是指：左端點(diǎn)右連續(xù)；右端點(diǎn)左連續(xù)。a+0b-x函數(shù)的間斷點(diǎn)：若在處不連續(xù)，則為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況：1o在處無定義；2o不存在；3o在處有定義，且存在，但。兩類間斷點(diǎn)的判斷：1o第一類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和都存在。可去間斷點(diǎn)：存在，但，或在處無定義。2o第二類間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：和至少有一個(gè)為∞，或振蕩不存在。無窮間斷點(diǎn)：和至少有一個(gè)為∞㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)，1o2o3o復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：則：反函數(shù)的連續(xù)性：㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)1.最大值與最小值定理：在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0abx有界定理：在上連續(xù)在上一定有界。3.介值定理：在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：，其中：yyMf(x)Cf(x)0aξbxm0aξ1ξ2bx推論：。4.初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學(xué)§2.1導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容㈠導(dǎo)數(shù)的概念1．導(dǎo)數(shù)：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，2．左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)： 定理：在的左（或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；則：（或：）3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：定理：在處可導(dǎo)在處連續(xù)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：定理：存在，且存在。5.導(dǎo)函數(shù)：在內(nèi)處處可導(dǎo)。y6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)： 是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。ox0x㈡求導(dǎo)法則1.基本求導(dǎo)公式：2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：1o2o3o3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，或☆注意與的區(qū)別：表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo)；表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。㈢微分的概念1.微分：在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，其中：與無關(guān)，是比較高階的無窮小量，即：則稱在處可微，記作：2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：定理： 在處可微在處可導(dǎo)，且：3.微分形式不變性：不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分都具有相同的形式?！?.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容㈠中值定理1.羅爾定理:滿足條件:yaoξbxaoξbx2.拉格朗日定理：滿足條件:㈡羅必塔法則：（型未定式）定理：和滿足條件：1o；2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且；3o則：☆注意：1o法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。2o若不滿足法則的條件，不能使用法則。即不是型或型時(shí)，不可求導(dǎo)。3o應(yīng)用法則時(shí)，要分別對分子、分母求導(dǎo)，而不是對整個(gè)分式求導(dǎo)。4o若和還滿足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變形，化成或型；若是型可采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成或型。㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線方程和法線方程：設(shè)：切線方程：法線方程：曲線的單調(diào)性：⑴⑵3.函數(shù)的極值：⑴極值的定義：設(shè)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的一點(diǎn)；若對于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，都有：則稱是的一個(gè)極大值（或極小值），稱為的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。⑵極值存在的必要條件：定理：稱為的駐點(diǎn)⑶極值存在的充分條件：定理一：當(dāng)漸增通過時(shí)，由（+）變（-）；則為極大值；當(dāng)漸增通過時(shí)，由（-）變（+）；則為極小值。定理二：若，則為極大值；若，則為極小值?！钭⒁猓厚v點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4．曲線的凹向及拐點(diǎn)：⑴若；則在內(nèi)是上凹的（或凹的），（∪）；⑵若；則在內(nèi)是下凹的（或凸的），（∩）；⑶5。曲線的漸近線：⑴水平漸近線：⑵鉛直漸近線：第三章一元函數(shù)積分學(xué)§3.1不定積分主要內(nèi)容㈠重要的概念及性質(zhì)：1．原函數(shù)：設(shè)：若：則稱是的一個(gè)原函數(shù)，并稱是的所有原函數(shù),其中C是任意常數(shù)。2．不定積分：函數(shù)的所有原函數(shù)的全體，稱為函數(shù)的不定積分；記作：其中：稱為被積函數(shù)；稱為被積表達(dá)式； 稱為積分變量。3.不定積分的性質(zhì)：⑴或：⑵或：⑶—分項(xiàng)積分法⑷(k為非零常數(shù))4.基本積分公式：㈡換元積分法：⒈第一換元法：（又稱“湊微元”法）常用的湊微元函數(shù)有：1o2o3o4o5o6o2.第二換元法：第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換：1o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))2o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))3o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))4o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))㈢分部積分法：1.分部積分公式：2.分部積分法主要針對的類型：⑴⑵⑶⑷⑸其中：（多項(xiàng)式）3.選u規(guī)律：⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令，其余記作dv;簡稱“三多選多”。⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令，其余記作dv;簡稱“指多選多”。⑶在多項(xiàng)式乘對數(shù)函數(shù)中，令，其余記作dv;簡稱“多對選對”。⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為u，其余記作dv;簡稱“多反選反”。⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。㈣簡單有理函數(shù)積分：1.有理函數(shù)：其中是多項(xiàng)式。2.簡單有理函數(shù)：⑴⑵⑶§3.2定積分f(x)主要內(nèi)容（一）.重要概念與性質(zhì)定積分的定義：Oax1x2xi-1ξixixn-1bx定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號，yx軸下方的面積取負(fù)號。++a0-bx定積分存在定理：若：f(x)滿足下列條件之一:若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：牛頓——萊布尼茲公式：*牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。原函數(shù)存在定理：定積分的性質(zhì)：yyyf(x)g(x)1f(x)0acbx0abx0abxyyMf(x)f(x)m0abx0aξbx（二）定積分的計(jì)算：換元積分分部積分廣義積分定積分的導(dǎo)數(shù)公式(三)定積分的應(yīng)用平面圖形的面積:與x軸所圍成的圖形的面積yf(x) 求出曲線的交點(diǎn)，畫出草圖；