大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限和連續(xù)_第1頁
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最全大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限和連續(xù)PAGE函數(shù)、極限和連續(xù)§1.1函數(shù)主要內(nèi)容㈠函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義:y=f(x),x∈D定義域:D(f),值域:Z(f).2.分段函數(shù):3.隱函數(shù):F(x,y)=04.反函數(shù):y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函數(shù):y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的;則它必定存在反函數(shù):y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。㈡函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的單調(diào)性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D當(dāng)x1<x2時(shí),若f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加();若f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少();若f(x1)<f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加();若f(x1)>f(x2),則稱f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少()。2.函數(shù)的奇偶性:D(f)關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù):f(-x)=f(x)奇函數(shù):f(-x)=-f(x)3.函數(shù)的周期性:周期函數(shù):f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)周期:T——最小的正數(shù)4.函數(shù)的有界性:|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù):y=c,(c為常數(shù))2.冪函數(shù):y=xn,(n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù):y=ax,(a>0、a≠1)4.對數(shù)函數(shù):y=logax,(a>0、a≠1)定理:若:則:㈢兩面夾定理數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則:設(shè):(n=1、2、3…)且:則:函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則:設(shè):對于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)(點(diǎn)x0除外)有:且:則:㈣極限的運(yùn)算規(guī)則若:則:①②③推論:①②③㈤兩個(gè)重要極限1.或2.§1.3連續(xù)主要內(nèi)容㈠函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在處連續(xù):在的鄰域內(nèi)有定義,1o2o左連續(xù):右連續(xù):函數(shù)在處連續(xù)的必要條件:定理:在處連續(xù)在處極限存在函數(shù)在處連續(xù)的充要條件:定理:函數(shù)在上連續(xù):在上每一點(diǎn)都連續(xù)。在端點(diǎn)和連續(xù)是指:左端點(diǎn)右連續(xù);右端點(diǎn)左連續(xù)。a+0b-x函數(shù)的間斷點(diǎn):若在處不連續(xù),則為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有三種情況:1o在處無定義;2o不存在;3o在處有定義,且存在,但。兩類間斷點(diǎn)的判斷:1o第一類間斷點(diǎn):特點(diǎn):和都存在。可去間斷點(diǎn):存在,但,或在處無定義。2o第二類間斷點(diǎn):特點(diǎn):和至少有一個(gè)為∞,或振蕩不存在。無窮間斷點(diǎn):和至少有一個(gè)為∞㈡函數(shù)在處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算:設(shè),1o2o3o復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:則:反函數(shù)的連續(xù)性:㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)1.最大值與最小值定理:在上連續(xù)在上一定存在最大值與最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0abx有界定理:在上連續(xù)在上一定有界。3.介值定理:在上連續(xù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得:,其中:yyMf(x)Cf(x)0aξbxm0aξ1ξ2bx推論:。4.初等函數(shù)的連續(xù)性:初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學(xué)§2.1導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容㈠導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù):在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,2.左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù): 定理:在的左(或右)鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo),且極限存在;則:(或:)3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件:定理:在處可導(dǎo)在處連續(xù)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:定理:存在,且存在。5.導(dǎo)函數(shù):在內(nèi)處處可導(dǎo)。y6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì): 是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。ox0x㈡求導(dǎo)法則1.基本求導(dǎo)公式:2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算:1o2o3o3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,或☆注意與的區(qū)別:表示復(fù)合函數(shù)對自變量求導(dǎo);表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。4.高階導(dǎo)數(shù):函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。㈢微分的概念1.微分:在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,其中:與無關(guān),是比較高階的無窮小量,即:則稱在處可微,記作:2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系:定理: 在處可微在處可導(dǎo),且:3.微分形式不變性:不論u是自變量,還是中間變量,函數(shù)的微分都具有相同的形式?!?.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容㈠中值定理1.羅爾定理:滿足條件:yaoξbxaoξbx2.拉格朗日定理:滿足條件:㈡羅必塔法則:(型未定式)定理:和滿足條件:1o;2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),且;3o則:☆注意:1o法則的意義:把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。2o若不滿足法則的條件,不能使用法則。即不是型或型時(shí),不可求導(dǎo)。3o應(yīng)用法則時(shí),要分別對分子、分母求導(dǎo),而不是對整個(gè)分式求導(dǎo)。4o若和還滿足法則的條件,可以繼續(xù)使用法則,即:5o若函數(shù)是型可采用代數(shù)變形,化成或型;若是型可采用對數(shù)或指數(shù)變形,化成或型。㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線方程和法線方程:設(shè):切線方程:法線方程:曲線的單調(diào)性:⑴⑵3.函數(shù)的極值:⑴極值的定義:設(shè)在內(nèi)有定義,是內(nèi)的一點(diǎn);若對于的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn),都有:則稱是的一個(gè)極大值(或極小值),稱為的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))。⑵極值存在的必要條件:定理:稱為的駐點(diǎn)⑶極值存在的充分條件:定理一:當(dāng)漸增通過時(shí),由(+)變(-);則為極大值;當(dāng)漸增通過時(shí),由(-)變(+);則為極小值。定理二:若,則為極大值;若,則為極小值?!钭⒁猓厚v點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4.曲線的凹向及拐點(diǎn):⑴若;則在內(nèi)是上凹的(或凹的),(∪);⑵若;則在內(nèi)是下凹的(或凸的),(∩);⑶5。曲線的漸近線:⑴水平漸近線:⑵鉛直漸近線:第三章一元函數(shù)積分學(xué)§3.1不定積分主要內(nèi)容㈠重要的概念及性質(zhì):1.原函數(shù):設(shè):若:則稱是的一個(gè)原函數(shù),并稱是的所有原函數(shù),其中C是任意常數(shù)。2.不定積分:函數(shù)的所有原函數(shù)的全體,稱為函數(shù)的不定積分;記作:其中:稱為被積函數(shù);稱為被積表達(dá)式; 稱為積分變量。3.不定積分的性質(zhì):⑴或:⑵或:⑶—分項(xiàng)積分法⑷(k為非零常數(shù))4.基本積分公式:㈡換元積分法:⒈第一換元法:(又稱“湊微元”法)常用的湊微元函數(shù)有:1o2o3o4o5o6o2.第二換元法:第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù),其作用是將根式有理化。一般有以下幾種代換:1o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))2o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))3o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))4o(當(dāng)被積函數(shù)中有時(shí))㈢分部積分法:1.分部積分公式:2.分部積分法主要針對的類型:⑴⑵⑶⑷⑸其中:(多項(xiàng)式)3.選u規(guī)律:⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中,令,其余記作dv;簡稱“三多選多”。⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中,令,其余記作dv;簡稱“指多選多”。⑶在多項(xiàng)式乘對數(shù)函數(shù)中,令,其余記作dv;簡稱“多對選對”。⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中,選反三角函數(shù)為u,其余記作dv;簡稱“多反選反”。⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中,可任選一函數(shù)為u,其余記作dv;簡稱“指三任選”。㈣簡單有理函數(shù)積分:1.有理函數(shù):其中是多項(xiàng)式。2.簡單有理函數(shù):⑴⑵⑶§3.2定積分f(x)主要內(nèi)容(一).重要概念與性質(zhì)定積分的定義:Oax1x2xi-1ξixixn-1bx定積分含四步:分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義:是介于x軸,曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號,yx軸下方的面積取負(fù)號。++a0-bx定積分存在定理:若:f(x)滿足下列條件之一:若積分存在,則積分值與以下因素?zé)o關(guān):牛頓——萊布尼茲公式:*牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理,其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問題。原函數(shù)存在定理:定積分的性質(zhì):yyyf(x)g(x)1f(x)0acbx0abx0abxyyMf(x)f(x)m0abx0aξbx(二)定積分的計(jì)算:換元積分分部積分廣義積分定積分的導(dǎo)數(shù)公式(三)定積分的應(yīng)用平面圖形的面積:與x軸所圍成的圖形的面積yf(x) 求出曲線的交點(diǎn),畫出草圖;

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