《第八章 立體幾何初步》知識(shí)梳理、考點(diǎn)專練和單元檢測(cè)試卷

《第八章立體幾何初步》知識(shí)梳理【知識(shí)構(gòu)建】【知識(shí)梳理】一、常見幾何體的面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.圓柱的側(cè)面積S側(cè)=2πrl,表面積S=2πr(r+l).圓錐的側(cè)面積S側(cè)=πrl,表面積S=πr(r+l).圓臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)=π(r'+r)l,表面積S=π(r'2+r2+r'l+rl).球的表面積S=4πR2.其中r',r分別為上、下底面半徑,l為母線長(zhǎng),R為球的半徑.二、常見幾何體的體積柱體的體積V=Sh;錐體的體積V=13臺(tái)體的體積V=13(S'+S球的體積V=43πR3其中S',S分別為上、下底面面積,h為高,R為球的半徑.三、平面的基本事實(shí)基本事實(shí)1:過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.四、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.空間中直線與直線的位置關(guān)系共面直線2.空間中直線與平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)直線與平面平行——沒有公共點(diǎn).當(dāng)直線與平面相交或平行時(shí),直線不在平面內(nèi),也稱為直線在平面外.3.空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn);(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.五、空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì)1.直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.2.直線與平面平行的性質(zhì)定理:一條直線與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.3.平面與平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.4.平面與平面平行的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行.六、空間垂直關(guān)系的判定及性質(zhì)1.直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.3.平面與平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直.4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.《第八章立體幾何初步》考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)一基本立體圖形解決空間基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征問題的三個(gè)策略(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提高空間想象力．(2)構(gòu)建幾何模型、變換模型中的線面關(guān)系．(3)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析．一．選擇題1．將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐 C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓錐【答案】B【解析】設(shè)等腰梯形，較長(zhǎng)的底邊為，則繞著底邊旋轉(zhuǎn)一周可得一個(gè)圓柱和兩個(gè)圓錐，（如右軸截面圖）故選B．2．某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈“，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①、②、③處可依次寫上A．樂、新、快 B．快、新、樂 C．新、樂、快 D．樂、快、新【答案】B【解析】根據(jù)四棱錐圖形，正好看到“新年快樂”的字樣，可知順序?yàn)棰谀辎佗?，故選B．3．以下空間幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是A．圓臺(tái) B．棱臺(tái) C．正方體 D．三棱錐【答案】A【解析】一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．所以選項(xiàng)正確．故選A．4．一個(gè)圓錐的母線與其軸所成的角為，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)圓錐的母線為，底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，解得，所以底面圓的周長(zhǎng)為，所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為．故選D．5．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體不可能是A．圓錐 B．圓柱 C．三棱錐 D．正方體【答案】B【解析】用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐時(shí)，軸截面的形狀是一個(gè)等腰三角形，所以滿足條件；用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱時(shí)，截面的形狀不可能是一個(gè)三角形，所以不滿足條件；用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐時(shí)，截面的形狀是一個(gè)三角形，所以滿足條件；用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體時(shí)，截面的形狀可以是一個(gè)三角形，所以滿足條件．故選B．6．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，這個(gè)幾何體可能是A．圓錐 B．圓柱 C．球體 D．以上都有可能【答案】D【解析】用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是一個(gè)圓面，則這個(gè)幾何體可能是圓錐，也可能是圓柱，也可能是球體．故選D．7．下列說(shuō)法正確的是A．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線 B．棱柱的底面一定是平行四邊形 C．圓錐的軸截面是等腰三角形 D．用一個(gè)平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)【答案】C【解析】對(duì)于，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有且僅有一條母線，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，棱柱的底面不一定是平行四邊形，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，圓錐的軸截面是腰長(zhǎng)等于母線的等腰三角形，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．8．下列說(shuō)法正確的是A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B．一個(gè)直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉圖形叫圓錐 C．棱錐的所有側(cè)面都是三角形 D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】C【解析】對(duì)于，棱臺(tái)的上下底面互相平行，側(cè)面都是四邊形，但棱臺(tái)不是棱柱，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為直角邊時(shí)，所得幾何體為圓錐，當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸為斜邊時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由于棱錐的所有側(cè)棱都交于一點(diǎn)，故棱錐的側(cè)面都是三角形，故正確；對(duì)于，當(dāng)平面與棱錐的底面不平行時(shí)，截面與棱錐底面間的幾何體不是棱臺(tái)，故錯(cuò)誤．故選C．二．填空題9．圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角．【答案】【解析】圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則它的側(cè)面展開圖扇形的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為；所以扇形的圓心角為．故答案為：．10．一圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，母線與軸的夾角為，上底面半徑為，則下底面半徑為，圓臺(tái)的高為．【答案】，．【解析】如圖所示，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，母線與軸的夾角為，上底面的半徑為，所以圓臺(tái)的高為，則，所以底面圓的半徑為．故答案為：，．三．解答題11．已知正四棱錐的高為，側(cè)棱長(zhǎng)為，求它的斜高．【答案】【解析】如圖所示，在正四棱錐中，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)檎睦忮F的高為，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，，在中，，所以，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，則為該正四棱錐的斜高，在中，因?yàn)?，所以?2．一個(gè)正四棱臺(tái)的高是，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和．求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高．【答案】側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為【解析】如圖所示，設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是、，和的中點(diǎn)分別是和，連接、、、、、，則四邊形和都是直角梯形．，，，，，，，，，．這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為．考點(diǎn)三立體圖形的直觀圖斜二測(cè)畫法的步驟:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O,且使∠xOy=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面。(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段。(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半(橫不變,縱減半)。規(guī)律:兩變半(坐標(biāo)軸夾角，平行于y軸的線段)兩不變(平行于x軸的線段，平行關(guān)系不改變)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．一．選擇題1．如圖，△是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，則以下說(shuō)法正確的是A．是鈍角三角形 B．是等腰三角形，但不是直角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是等邊三角形【答案】C【解析】由斜二測(cè)畫法的直觀圖知，，所以原圖形中，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以是等腰直角三角形．故選C．2．如圖，△A'B'C'是的直觀圖，其中，軸，軸，那么是A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】D【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫法中平行與坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變，且平行于軸的線段，長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，直觀圖△的原來(lái)圖形是直角三角形，且，不是等腰直角三角形．故選D．3．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是A．6 B．8 C． D．【答案】B【解析】作出該直觀圖的原圖形，因?yàn)橹庇^圖中的線段軸，所以在原圖形中對(duì)應(yīng)的線段平行于軸且長(zhǎng)度不變，點(diǎn)和在原圖形中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和的縱坐標(biāo)是的2倍，則，所以，則四邊形的長(zhǎng)度為8．故選B．4．如圖，正方形O'A'B'C'的邊長(zhǎng)為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖的周長(zhǎng)是A． B． C． D．【答案】A【解析】由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長(zhǎng)度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對(duì)角線在軸上，可求得其長(zhǎng)度為，故在平面圖中其在軸上，且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，長(zhǎng)度為2，其原來(lái)的圖形如圖所示，則原圖形的周長(zhǎng)是：8觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)符合題意．故選A．5．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)直觀圖中與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則在直角坐標(biāo)系中先做出對(duì)應(yīng)的和點(diǎn)，再由平行與軸的線在原圖中平行于軸，且長(zhǎng)度不變，作出原圖可知選故選C．6．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的邊長(zhǎng)為的等邊得到的直觀圖△A'B'C'，則△A'B'C'的面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】由直觀圖與原圖形的面積之比為可得，；而，所以△的面積為．故選C．7．一水平放置的平面四邊形OABC用斜二測(cè)畫法繪制的直觀圖如圖所示，其中，，，四邊形OABC的面積為A． B． C．3 D．【答案】B【解析】平面四邊形的直觀圖是直角梯形，其面積為；根據(jù)平面圖形與它的直觀圖面積比為，計(jì)算四邊形的面積為，故選B．8．已知水平放置的是按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，那么原的面積是A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，且若△的面積為，那么的面積為．故選A．二．填空題9．一個(gè)三角形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，則原三角形的面積等于．【答案】【解析】三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為正三角形，直觀圖的面積是；由斜二測(cè)畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系：，原三角形的面積為：．故答案為：．10．如圖所示，△為水平放置的的直觀圖，其中，，則的面積是．【答案】【解析】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示：由題意知，，，所以的面積是．故答案為：．三．解答題11．如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的形狀是什么？面積是多少？【答案】原圖形是平行四邊形，如圖所示，.【解析】在直觀圖中，設(shè)與交于點(diǎn)，則，，，在原圖形中，，，，因?yàn)?，，所以原圖形是平行四邊形，如圖所示，其面積為．12．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖．請(qǐng)畫出原來(lái)的平面圖形的形狀，并求原圖形的周長(zhǎng)與面積．【答案】，．【解析】正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖是平行四邊形，相鄰邊長(zhǎng)為：1和，原圖的周長(zhǎng)是：8．故周長(zhǎng)為：8，面積為；故答案為：，．考點(diǎn)四簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和．(2)對(duì)側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來(lái)進(jìn)行，要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來(lái)求解相關(guān)問題．(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(4)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法將幾何體轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．5根據(jù)幾何體常規(guī)幾何體、組合體或旋轉(zhuǎn)體的特征求表面積：①求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面圖形后再求面積.②對(duì)于組合體，要弄清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，要注意“表面和外界直接接觸的面”的定義，以確保不重復(fù)、不遺漏.一．選擇題1．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．現(xiàn)已知該四棱錐的高與斜高的比值為，則該四棱錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該正四棱錐底面的邊長(zhǎng)為，高為，斜高為，則有，解得，所以該正四棱錐的底面面積為，側(cè)面面積為，故該正四棱錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是．故選B．2．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為4，高為3的圓錐一個(gè)．若將它重新制作成一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱（橡皮泥沒有浪費(fèi)），則該圓柱表面積的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】橡皮泥制作的底面半徑為4，高為3的圓錐一個(gè)，將它重新制作成一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱（橡皮泥沒有浪費(fèi)），則，解得，該圓柱表面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)．該圓柱表面積的最小值為．故選B．3．圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)都等于球的直徑，則圓錐與球的表面積之比是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球的直徑為，則圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是扇形，故扇形的半徑為母線長(zhǎng)，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐的底面周長(zhǎng)為，故扇形的面積為，即圓錐的側(cè)面積為，所以圓錐的表面積為，球的表面積為，所以圓錐與球的表面積之比是．故選C．4．棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是A． B． C． D．【答案】D【解析】棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是四個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形面積之和，所以表面積為．故選D．5．如圖，長(zhǎng)方體中，，，三棱錐的體積為A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【解析】長(zhǎng)方體中，平面，．故選B．6．在三棱錐中，，，為AC中點(diǎn)．，則三棱錐體積最大值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，為中點(diǎn)，，，又，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，，且，，可得，，又，，平面，平面，又，三棱錐體積最大值為．故選C．7．如圖，已知底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2a，若截面PAC的面積為，則正四棱錐的體積等于A． B． C． D．【答案】B【解析】作底面于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，，截面的面積為，，解得，正四棱錐的體積為：．故選B．8．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為正方形的中心，，，分別為，AB，BC的中點(diǎn)，則四面體OPMN的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，求得，，，，取的中點(diǎn)，連接，，可得，，，，在中，由余弦定理可得，，，則到平面的距離．．故選B．二．填空題9．已知三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐的體積為．【答案】【解析】如圖，三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，射影在底面上的射影在的平分線上，可得棱錐的高為：，所以，與底面所成角也是，在底面的射影是底面三角形的外心，外接圓的半徑為2，所以射影點(diǎn)為，是的中點(diǎn)，則是等腰直角三角形，所以該三棱錐的體積為：．故答案為：．10．直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若是兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8的直角三角形，側(cè)棱，則的最大值為．【答案】【解析】若是兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8的直角三角形，不妨設(shè)，，，則，三角形的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?，所以，所以球與直三棱柱側(cè)面相切時(shí)，直三棱柱的內(nèi)切球半徑最大取2，則的最大值為．故答案為：．三．解答題11．如圖，已知點(diǎn)為正方形所在平面外一點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：連接，設(shè)，連接，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：在正方形中，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，因?yàn)闉榈冗吶切危覟榫€段的中點(diǎn)，所以，所以．12．在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，三角形為等腰直角三角形，，已知，，，．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，是等腰三角形，，，又，，平面，則，，，是等腰直角三角形，且；（2）解：由（1）可知平面，而平面，平面平面，又，，，得．又，為正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則平面，且，，四棱錐的體積．考點(diǎn)五空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系證明線共面或點(diǎn)共面的三種常用方法(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．判斷空間兩直線位置關(guān)系的三種策略(1)對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法進(jìn)行判定．(2)對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來(lái)判斷．(3)對(duì)于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直．一．選擇題1．已知平面與互相垂直，與交于，和分別是平面，上的直線．若，均與既不平行．也不垂直，則與的位置關(guān)系是A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行【答案】D【解析】①假設(shè)，因?yàn)榕c既不垂直，也不平行，所以，過(guò)在內(nèi)作直線，如圖所示，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，這與與既不垂直，也不平行矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不垂直，同理與也不垂直；②假設(shè)，則，，，所以，這與和與既不垂直，也不平行矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不平行．綜上所述，與的位置關(guān)系是既不可能垂直，也不可能平行．故選D．2．設(shè)，是兩個(gè)不同平面，，是兩條直線，下列命題中正確的是A．如果，，，那么 B．如果，，，那么 C．如果，，，那么 D．如果，與所成的角和與所成的角相等，那么【答案】C【解析】由，是兩個(gè)不同平面，，是兩條直線，知：對(duì)于，如果，，，那么與相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，如果，，，那么與相交或平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，如果，，，那么由面面平行的判定定理得，故正確；對(duì)于，如果，與所成的角和與所成的角相等，那么與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤．故選C．3．平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系是A．平行或相交或異面 B．相交 C．異面 D．平行【答案】A【解析】如圖，正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，平面，平面，，由此得到平行于同一平面的兩條直線可能平行；平面，平面，，由此得到平行于同一平面的兩條直線可能相交；平面，平面，與是異面直線，由此得到平行于同一平面的兩條直線可能異面．綜上：平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交或異面．故選A．4．若直線與平面不平行，且直線也不在平面內(nèi)，則A．內(nèi)不存在與異面的直線 B．內(nèi)存在與平行的直線 C．內(nèi)存在唯一的直線與相交 D．內(nèi)存在無(wú)數(shù)條與垂直的直線【答案】D【解析】由直線與平面不平行，且直線也不在平面內(nèi)，可得直線與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為，則內(nèi)不過(guò)的直線都有直線異面，故錯(cuò)誤；若內(nèi)存在與平行的直線，由直線與平面平行的判定，可得，與已知矛盾，故錯(cuò)誤；內(nèi)所有過(guò)的直線都有直線相交，故錯(cuò)誤；若，則內(nèi)的所有直線都與垂直，若與不存在，則內(nèi)所有與在內(nèi)的射影垂直的直線都與垂直，故正確．故選D．5．平面平面，，，則直線和的位置關(guān)系A(chǔ)．平行 B．平行或異面 C．平行或相交 D．平行或相交或異面【答案】B【解析】平面平面，平面與平面無(wú)公共點(diǎn)，，，直線和的位置關(guān)系是平行或異面，故選B．6．在空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)、、、，若直線EF、GH相交于點(diǎn)，則A．點(diǎn)必在直線上 B．點(diǎn)必在直線上 C．點(diǎn)必在平面內(nèi) D．點(diǎn)必在平面內(nèi)【答案】A【解析】作圖如下：因?yàn)閷儆谝粋€(gè)面，而屬于另一個(gè)面，且和能相交于點(diǎn)，所以在兩面的交線上，因?yàn)槭莾善矫娴慕痪€，所以點(diǎn)必在直線上．故選A．7．下列命題中正確的是A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．垂直于同一直線的兩條直線平行 C．若直線與平面上的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則直線 D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、共面【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)：由墻角模型可知，顯然錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋耘c唯一確定一個(gè)平面，設(shè)為平面，又與和都相交，所以也在平面內(nèi)，即直線、、共面，故選項(xiàng)D正確，故選D．8．設(shè)，是不同的直線，，是不同的平面，則A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】由，是不同的直線，，是不同的平面，知：在中，若，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交但不一定垂直，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則由面面垂直的判定理得，故正確．故選D．二．填空題9．在正方體中，下列說(shuō)法正確的是．①平面；②與相交；③點(diǎn)、到平面的距離相等；④與平行的面只有一個(gè)，與垂直的面有兩個(gè)．【答案】①③【解析】對(duì)于①，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，故①正確；對(duì)于②，與是異面直線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)橹本€平面，所以點(diǎn)、到平面的距離相等，故③正確；對(duì)于④，與平行的面有兩個(gè)，分別為平面，平面．故正確的是①③．故答案為：①③．10．已知，，是空間中的三條相互不重合的直線，下列命題中：①若與相交，與相交，則與相交；②若，，則；③若平面，平面，則，一定是異面直線；④若，與成等角，則．真命題是（填序號(hào)）【答案】②【解析】由，，是空間中的三條相互不重合的直線，知：對(duì)于①，在正方體中，，，，，，與是異面直線，，，，與相交，與相交，則與相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，，則由平行公理得，故②正確；對(duì)于③，若平面，平面，則，有可能是共面直線，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，與成等角，則與相交、平行或異面，故④錯(cuò)誤．故答案為：②．三．解答題11．如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）中，、為、中點(diǎn)，．中，，，（平行線公理），、、、四點(diǎn)共面．（2），，，平面，平面，又平面平面，直線．、、三點(diǎn)共線．12．如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1），、分別是、的中點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面．（2）與交于點(diǎn)面在面內(nèi)，同理在面又面面在直線上、、三點(diǎn)共線．考點(diǎn)六直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷或證明線面平行的常用三種方法(1)利用線面平行的定義(常用反證法)．(2)利用線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面與已知平面相交找它們的交線．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一個(gè)平面．一．選擇題1．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，，分別為AB，AD上的點(diǎn)，且，又，分別為BC，CD的中點(diǎn)，則A．平面，且四邊形是矩形 B．平面，且四邊形是梯形 C．平面，且四邊形是菱形 D．平面，且四邊形是平行四邊形【答案】B【解析】在平面內(nèi)，，．又平面，平面，平面．又在平面內(nèi)，，分別是，的中點(diǎn)，．．又，，．在四邊形中，且，四邊形為梯形．故選B．2．一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為，GH的中點(diǎn)為，下列結(jié)論正確的是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【解析】連結(jié)，設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，，因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，所以，且，，且，所以且，則四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．故選C．3．已知正方體中，，分別是它們所在線段的中點(diǎn)，則滿足平面的圖形個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①中，平移至，可知與面只有一個(gè)交點(diǎn)，則與平面不平行；②中，由于，而平面，平面，故平面；③中，平移至，可知與面只有一個(gè)交點(diǎn)，則與平面不平行；故選B．4．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是A．存在一條直線，， B．存在一條直線，， C．存在兩條平行直線、，，，， D．存在兩條異面直線、，，，，【答案】D【解析】對(duì)于，一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行．故不對(duì)；對(duì)于，一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故不對(duì)；對(duì)于，兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故不對(duì)；對(duì)于，兩個(gè)平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個(gè)平面，可以保證兩個(gè)平面平行，故正確．故選D．5．有下列四個(gè)條件：①，，；②，；③，，；④、是異面直線，，，．其中能保證直線平面的條件是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【解析】①若，，，則直線平面，故符合題意；②若，時(shí)，則或直線平面，故不符合題意；③若，，時(shí)，則或直線平面，故不符合題意；④、是異面直線，，，，則直線平面，故符合題意．綜上所述，符合題意的條件是①④．故選C．6．如圖，在三棱錐中，，分別為AB，AD的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG．則下列結(jié)論中不一定成立的是A． B． C．平面 D．平面【答案】D【解析】對(duì)于，，分別為，的中點(diǎn)，，過(guò)的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，，，故正確；對(duì)于，過(guò)的平面截三棱錐得到的截面為，平面平面，，故正確；對(duì)于，，平面，平面，平面，故正確；對(duì)于，的位置不確定，與平面有可能相交，故錯(cuò)誤．故選D．7．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則在側(cè)面上的軌跡的長(zhǎng)度是A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，分別為、、邊上的中點(diǎn)則四點(diǎn)共面，且平面平面又面，落在線段上，正方體中的棱長(zhǎng)為，．即在側(cè)面上的軌跡的長(zhǎng)度是．故選D．8．如圖，四棱錐中，，分別為AC，PC上的點(diǎn)，且平面PAD，則A． B． C． D．以上均有可能【答案】B【解析】四棱錐中，，分別為，上的點(diǎn)，且平面，平面，平面平面，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：．故選B．二．填空題9．如圖，在四面體中，若截面是正方形，則在下列命題中，正確的有．（填上所有正確命題的序號(hào)）①；②；③截面．【答案】①③【解析】因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，故①正確；又截面，截面，所以截面，故③正確；由．，可得，所以，同理可證，所以，，但與不一定相等，所以與不一定相等，故②錯(cuò)誤．故①③正確．故答案為：①③．10．正四棱柱中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且平面，則．【答案】1【解析】如圖所示，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，此點(diǎn)即為所求．理由如下：、分別為、的中點(diǎn)，，，為中點(diǎn)，，又，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．由于為的中點(diǎn)，所以．故答案為：1．三．解答題11．如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）在四棱錐中，平面，平面，平面平面，．（2）取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，，又由（1）可得，且，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．12．在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，，平面，．（1）求證：平面；（2）若，求該幾何體的表面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，由于平面，所以平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面．?）由，知，，，四點(diǎn)共面，連接，于是該幾何體是由兩個(gè)相同的四棱錐，構(gòu)成的，由題意知，，，，在中，，，，，所以該幾何體的表面積為．考點(diǎn)七面面平行的判定與性質(zhì)證明面面平行的五種常用方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．一．選擇題1．平面與平面平行的條件可以是A．內(nèi)有無(wú)窮多條直線與平行 B．直線， C．直線，直線，且， D．內(nèi)的任何直線都與平行【答案】D【解析】當(dāng)內(nèi)有無(wú)窮多條直線與平行時(shí)，與可能平行，也可能相交，故不選．當(dāng)直線，時(shí)，與可能平行，也可能相交，故不選．當(dāng)直線，直線，且時(shí)，直線和直線可能平行，也可能是異面直線，故不選．當(dāng)內(nèi)的任何直線都與平行時(shí)，由兩個(gè)平面平行的定義可得，這兩個(gè)平面平行，故選D．2．下列條件中，能判斷平面與平面平行的是A．內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行 B．與同時(shí)平行于同一條直線 C．與同時(shí)要垂直于同一條直線 D．與同時(shí)垂直于同一個(gè)平面【答案】C【解析】對(duì)于，若內(nèi)有無(wú)窮多條平行的直線與平行，則不能說(shuō)明平行；對(duì)于，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能不平行，還可以相交；對(duì)于，垂直于同一條直線的兩平面平行；對(duì)于，垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，還可以垂直．綜上，選項(xiàng)正確．故選C．3．設(shè)、、為平面，、為直線，給出下列條件：①、，，；②，；③，；④，，．其中能使成立的條件是A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】①若、，，，由面面平行的判斷定理與定義可得：可能或者與相交．所以①錯(cuò)誤．②若，，由平面與平面平行的傳遞性可得：．所以②正確．③若，，則由平面與平面的位置關(guān)系可得：可能或者與相交．所以③錯(cuò)誤．④若，，由線面垂直的定義可得：，又因?yàn)?，所以．所以④正確．故選C．4．設(shè)，為兩個(gè)不重合的平面，能使成立的是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行 C．內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】對(duì)于，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，如兩個(gè)相交平面，可以找出無(wú)數(shù)條平行于交線的直線，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，內(nèi)有兩條相交直線與平行，根據(jù)兩平面平行的判定定理知，，所以正確；對(duì)于，內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到的距離相等，如兩個(gè)相交平面，可以找出無(wú)數(shù)條直線平行于平面，所以也能得出無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)、垂直于同一個(gè)平面時(shí)，與也可以相交，所以錯(cuò)誤．故選B．5．平面與平面平行的條件可以是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)多條直線都與平行 B．直線，，且， C．直線，，且直線不在內(nèi)，也不在內(nèi) D．一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面【答案】D【解析】一個(gè)平面內(nèi)兩條不平行的直線必相交，根據(jù)平面與平面平行的判定定理可知選．故選D．6．設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線 C．內(nèi)有兩條相交直線與平行 D．，垂直于同一平面【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)與相交時(shí)，內(nèi)也有無(wú)數(shù)條直線與平行，所以選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)、平行于同一條直線時(shí)，與可能相交，所以選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：根據(jù)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．可知正確；對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)、垂直于同一平面，則與可能垂直，例如墻角的三個(gè)面，所以選項(xiàng)不正確；故選C．7．在正方體中，下列四對(duì)截面彼此平行的是A．平面與平面 B．平面與平面 C．平面與平面 D．平面與平面【答案】A【解析】對(duì)于，，，，，根據(jù)面面平行的判定定理得：面與平面彼此平行，故正確；對(duì)于，與相交，平面與平面相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于，與相交，平面與平面相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于，與相交，平面與平面相交，故錯(cuò)誤．故選A．8．設(shè)，為兩個(gè)平面，則能斷定的條件是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線 C．，垂直于同一條直線 D．，垂直于同一平面【答案】【解析】對(duì)于，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，或；對(duì)于，，平行于同一條直線，或；對(duì)于，，垂直于同一條直線，；對(duì)于，，垂直于同一平面，或．故選C．二．填空題9．設(shè)平面，、，、，直線與交于，若，，，則．【答案】68或【解析】如圖（1），由可知，，即，．如圖（2），由知，，即．故答案為：68或10．已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同直線，給出條件：①；②，；③，，．上述條件中能推出平面平面的是．（填寫序號(hào)）．【答案】①②【解析】若，則平面與平面無(wú)公共點(diǎn)，由面面平行的定義可得平面平面，故①正確；若，，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得平面平面，故②正確；若，，則平面與平面可能平行也可能相交，且與條件無(wú)關(guān)，故③錯(cuò)誤故答案為：①②三．解答題11．在正方體中，、、分別是、和的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）連接，，是正方形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）連接，，是正方形，是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，，平面，平面，平面，由（1）得平面，且，平面平面．12．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，分別是和的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）證明：平面平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，．（2），為的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，．在中，，分別是和的中點(diǎn)，，，，平面平面．考點(diǎn)八直線與平面垂直的判定與性質(zhì)證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)利用面面垂直的性質(zhì)．一．選擇題1．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，是兩條不同的直線，且，，則A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于，由已知條件，若，且，，可得出兩直線，沒有公共點(diǎn)，所以它們可能平行或那異面，故不正確；對(duì)于，由條件，，可得出，或，相交，故不正確；對(duì)于，由，，結(jié)合面面垂直的判定定理知，，故正確；對(duì)于，若，且，，可得出，的位置可能是相交，平行或異面，故不正確．故選C．2．如圖所示，平面ABC，，在圖中與AC垂直的直線有A．5條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】平面，平面，，又，，平面，因此，平面中的4條直線、、、都與垂直．故選D．3．在如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，由，且與成的角，不垂直，則直線與平面不垂直；對(duì)于②，由于，，由線面垂直的判定定理可得平面；對(duì)于③，與成的角，不垂直，則直線與平面不垂直；對(duì)于④，連接，由正方形的性質(zhì)可得，而平面，可得，則平面，即有，同理可得，所以平面．綜上，②④滿足題意．故選B．4．如圖，在直三棱柱中，，若，則A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連結(jié)，，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，，，平面，，，，側(cè)面，，，，．故選C．5．在正四面體中，，，側(cè)棱AB，BC，CA的中點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是A．面 B．面面 C．面面 D．面【答案】B【解析】由，可得平面，故正確．由平面可得，，且垂直與交點(diǎn)和點(diǎn)邊線，從而平面平面，平面平面，故錯(cuò)誤．由平面可得，平面平面，故正確．若平面，垂足為，則在上，則，又故平面，故正確．故選B．6．在正方體中，下列判斷正確的是A．面 B．面 C．面 D．【答案】A【解析】在正方體中，，又，且，平面，則，同理，則平面，故正確，不正確；連接，，則為與所成角，為，故、不正確．故選A．7．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是A． B． C．平面平面 D．【答案】D【解析】由四棱錐的底面為正方形，底面，知：在中，底面，，四棱錐的底面為正方形，，，平面，平面，，故正確；在中，四棱錐的底面為正方形，底面，，，，平面，平面，，故正確；在中，底面，，四棱錐的底面為正方形，，，平面，平面，平面平面，故正確；在中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，，，，0，，，0，，，，，，0，，，與不垂直，故錯(cuò)誤．故選D．8．三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面ABC的射影為的A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】由三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，可得三條側(cè)棱兩兩垂直，由，，、平面，，平面，又平面．．設(shè)點(diǎn)在底面的射影是，則平面，平面，．又、為平面內(nèi)兩條相交直線，平面，在平面內(nèi)，則；同理可證，，故為的垂心．故選D．二．填空題9．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，則四個(gè)側(cè)面，，，中，有個(gè)直角三角形．【答案】4【解析】平面，，為直角三角形事實(shí)上，，平面為直角三角形同理為直角三角形四個(gè)側(cè)面三角形均為直角三角形．10．已知平面，和直線，給出條件：①；②：③；④；⑤．當(dāng)滿足條件時(shí)，．【答案】②④【解析】由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故由②④可推出．即②④是的充分條件，故當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足的條件是②④，故答案是：②④．三．解答題11．在如圖所示的多面體中，是正方形，，，，四點(diǎn)共面，面．（1）求證：面；（2）若，，，求證：平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）因?yàn)槭钦叫?，所以，又面，面，所以面，因?yàn)槊?，，，平面，所以面面，又面，所以面．?）在平面中，作交于點(diǎn)，因?yàn)槊妫矫?，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面?2．如圖，在正方體中．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】證明：（1）因?yàn)?，所以為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，?）連接，，由正方形性質(zhì)得，底面，底面，所以，又，所以平面又平面，所以，同理平面，故，又，所以平面考點(diǎn)九平面與平面垂直的判定與性質(zhì)證明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，勾股定理的逆定理等．②用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．③客觀題中，也可應(yīng)用：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面．一．選擇題1．在三棱錐中，若，，那么必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】在三棱錐中，若，，且，可得平面，由平面，可得平面平面，由平面，可得平面平面，故正確；若平面平面，又平面平面，平面平面，可得平面，，與矛盾，故錯(cuò)誤；若平面平面，又平面平面，可得平面，，不一定成立，故錯(cuò)誤；若平面平面，又平面平面，可得平面，則，不一定成立，故錯(cuò)誤．故選A．2．如圖，點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論不總成立的是A．三棱錐的體積不變 B．平面 C．平面平面 D．【答案】D【解析】由三棱錐的體積即為三棱錐的體積,而底面的面積為定值，到平面的距離為正方體的棱長(zhǎng)，故三棱錐的體積為定值，則正確；由,,由面面平行的判定定理可得平面平面,而平面,所以平面,則正確；由,,可得平面,則,同理可得,則平面,而面,即平面平面,則正確；當(dāng)與重合時(shí)，與成的角，則不正確．故選D．3．如圖，在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論不正確的為A．平面平面 B．平面 C． D．平面【答案】B【解析】對(duì)于，因?yàn)?，，，所以平面，又平面，平面平面，所以正確；對(duì)于，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，且，所以平面，否則，與平面不垂直，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，，且，所以平面，又平面，所以，選項(xiàng)正確；對(duì)于，平面，平面，所以平面，選項(xiàng)正確．故選B．4．在空間四邊形ABCD中，，，那么必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】C【解析】由，，平面，平面，平面平面．故選C．5．已知AB是圓柱上底面的一條直徑，是上底面圓周上異于，的一點(diǎn)，為下底面圓周上一點(diǎn)，且圓柱的底面，則必有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因?yàn)槭菆A柱上底面的一條直徑，所以，又垂直圓柱的底面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．故選B．6．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是A．平面 B．平面 C．平面 D．平面【答案】C【解析】由平面，得，由四邊形為矩形得，從而有平面，平面，所以平面平面．故選C．7．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD，且底面ABCD為菱形，是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使得平面平面PCD，則應(yīng)補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是A． B． C． D．是棱的中點(diǎn)【答案】B【解析】在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，，，，平面，．當(dāng)（或時(shí)，即有平面．而屬于平面，平面平面．故選B．8．空間四邊形ABCD中，若，，那么有A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】，，平面又在平面內(nèi)，平面平面故選D．二．填空題9．把邊長(zhǎng)為4的正方形沿對(duì)角線折成空間四邊形，使得平面平面．則空間四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為．【答案】4【解析】取中點(diǎn)，連接，，把邊長(zhǎng)為4的正方形沿對(duì)角線折成空間四邊形，使得平面平面．，，是平面與平面所成角的二面角，平面平面，，，空間四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為：．故答案為：4．10．已知是平面的垂線，是平面的斜線，平面，，則面面垂直的有．【答案】平面平面【解析】連結(jié)，，得到平面包含于平面中，因?yàn)榇怪庇?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，又因?yàn)榘谄矫?，得出結(jié)論：平面平面．故答案為：平面平面．三．解答題11．如圖所示的五面體中，四邊形是正方形，平面平面，，．（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）證明：由，，可得為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，可得，由平面平面，平面平面，可得平面，則，由四邊形是正方形，可得，由，可得平面，而平面，所以平面平面；（2）由，平面，平面，可得平面，又平面平面，可得，平面，平面，可得平面，所以到平面的距離為到平面的距離．取的中點(diǎn)，連接，可得，由平面平面，可得平面，由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得，所以三棱錐的體積為．12．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（Ⅰ）證明：連結(jié)，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）證明：面面，平面面，又為正方形，，平面，平面，，又，是等腰直角三角形，且，平面，平面，且，平面，又平面，平面平面，《第八章立體幾何初步》單元檢測(cè)試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖所示，不是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的展開圖的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊，都不能折成正四面體．2．在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(7,6)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析棱長(zhǎng)為1的正方體的體積為1,8個(gè)三棱錐的體積為8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，所以剩下的幾何體的體積為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).3.已知水平放置的△ABC，按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC的面積是()A.eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),4)答案A解析由斜二測(cè)畫法的原則可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，由圖易得AO⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故選A.4．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面答案B解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A不正確；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D不正確．5．如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6).過(guò)A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′，B′，則AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3答案A解析如圖，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝eq\f(π,6)，BB′⊥面α，∠BAB′＝eq\f(π,4).設(shè)AB＝a，則BA′＝eq\f(\r(3),2)a，BB′＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a，∴AB∶A′B′＝2∶1.6．用m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，則下列命題正確的是()A．若m∥n，n?α，則m∥αB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m⊥n，n?α，則m⊥αD．若m⊥α，n?α，則m⊥n答案D解析若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故排除A；若m∥α，n?α，則m∥n或m，n異面，故排除B；若m⊥n，n?α，則不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n?α，m?α，則m與α不垂直，故排除C.故選D.7．在正方體ABCD－A1B1C1D1A．A1C1⊥AD B．D1C1C．AC1與DC成45°角 D．A1C1與B1答案D解析如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1C1與AD所成的角為45°；直線D1C1與直線AB平行；異面直線AC1與DC所成的角的大小為∠C1AB的大小，其正切值為eq\f(BC1,AB)＝eq\r(2)≠1，所以異面直線AC1與DC所成的角不是45°；連接A1D，DC1，因?yàn)锳1D∥B1C，所以異面直線A1C1與B1C所成的角就是直線A1C1與直線A1D所成的角．而△A1DC1是等邊三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1與8．如圖，正三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞邊DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形．現(xiàn)給出下列命題：①恒有直線BC∥平面A′DE；②恒有直線DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析由BC∥DE知，恒有直線BC∥平面A′DE，①正確；由DE⊥A′G，DE⊥FG知，恒有直線DE⊥平面A′FG，②正確；由直線DE⊥平面A′FG，DE?平面A′DE知，恒有平面A′FG⊥平面A′DE，③正確．9．如圖，在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也分別為AS，SC的中點(diǎn)，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).10．PA，PB，PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)答案C解析構(gòu)造正方體如圖所示，連接AB，過(guò)點(diǎn)C作CO⊥平面PAB，垂足為O，易知O是正三角形ABP的中心，連接PO并延長(zhǎng)交AB于D，于是∠CPO為直線PC與平面PAB所成的角．設(shè)PC＝a，則PD＝eq\f(\r(3)a,2)，故PO＝eq\f(2,3)PD＝eq\f(\r(3),3)a，故cos∠CPO＝eq\f(PO,PC)＝eq\f(\r(3),3).故選C.11．已知S，A，B，C是球O表面上的不同點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝eq\r(2)，若球O的表面積為4π，則SA＝()A.eq\f(\r(2),2) B．1C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)答案B解析根據(jù)已知把S－ABC補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體．因?yàn)榍騉的表面積為4π，所以球O的半徑R＝1,2R＝eq\r(SA2＋1＋2)＝2，解得SA＝1，故選B.12．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3) D．2π答案C解析過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓的半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓的半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，故選C.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為________．答案①③解析把正方體的平面展開圖還原為正方體，如圖所示．因?yàn)锳B∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正確，②錯(cuò)誤；EF與MN是異面直線，故③正確；易知MN⊥CD，故④錯(cuò)誤．故填①③.14．如圖所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，D為BC的中點(diǎn)，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角B－AD－C′為60°，則折疊后二面角A－BC′－D的正切值為________．答案2解析易知∠BDC′即為二面角B－AD－C′的平面角，則∠BDC′＝60°，所以△BDC′為等邊三角形．取BC′的中點(diǎn)M，連接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角為∠AMD.在等邊三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等邊三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.15．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC邊上取點(diǎn)E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是________．答案a>6解析如圖所示，連接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，則需DE⊥AE.要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，滿足條件的E點(diǎn)有兩個(gè)，則需以AD為直徑的圓與BC相割．∴圓心到BC邊的距離d<R，即3<eq\f(a,2)，得a>6.16．如圖(1)所示，一個(gè)裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1cm和半徑為3cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20cm；當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28cm，則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為________cm.答案29解析設(shè)上、下圓柱的半徑分別是rcm，Rcm，高分別是hcm，Hcm.由水的體積不變得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h(huán))，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.即這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為29cm.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)有一根長(zhǎng)為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，求鐵絲的最短長(zhǎng)度．解把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖所示)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點(diǎn)A、點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度．AC＝eq\r(AB2＋BC2