高中數(shù)學(xué)暑假初高銜接講義15+基本不等式

遍歷山河，人間值得。第第頁練習(xí)主題基本不等式知識點一：基本不等式如果a、b是正數(shù)，那么≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立），我們把不等式≤（a、b≥0）稱為基本不等式.證法一：對于正數(shù)a、b有-=（a+b-）=[（）2+（）2-2]=（-）2因為（-）2≥0，所以-≥0，即≤，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b時，等號成立.當(dāng)a、b∈R時，由（a-b）2≥0可得：a2+b2≥2ab，a2+b2+2ab≥4ab，即≥ab，（）2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.從而得到：當(dāng)a、b∈R時，ab≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）ab≤（）2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）這兩個不等式通?？梢灾苯邮褂?例1、設(shè)a、b為正數(shù)，證明下列不等式成立.（1）+≥2；（2）a+b++≥4；對應(yīng)練習(xí)：1、下列不等式中正確的是（）A.a+≥4B.x2+≥C.≥D.a2+b2≥4ab2、不等式a+1≥（a＞0）中等號成立的條件是（）A.a=0B.a=C.a=1D.a=23、證明：（1）a+≥3（a＞1）；（2）x+≤-2（x＜0）知識點二：基本不等式與最大（小）值1、和積（最值）定理（1）已知a＞0，b＞0，則如果a+b=m（和為定值），那么當(dāng)a=b時，ab有最大值：；（2）已知a＞0，b＞0，則如果a·b=m（積為定值），那么當(dāng)a=b時，a+b有最小值：；證明：因為a、b都是正數(shù)，所以≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.（1）當(dāng)a+b為定值m時，有≤，所以xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。因此當(dāng)a=b時，ab有最大值：；（2）當(dāng)ab為定值m時，有≥，所以a+b≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。因此當(dāng)a=b時，a+b有最小值：；上述結(jié)論可快速求解兩正數(shù)所對應(yīng)的兩類最值問題：（1）和為定值，積有最大值；（2）積為定值，和有最小值.因此，上述結(jié)論也稱為最值定理.可以簡單的記為“和定積最大，積定和最小”基礎(chǔ)練習(xí)：1、已知x＞0，若x+的值最小，則x為（）A．81B．9C．3D．162、若實數(shù)a，b，滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（）A．18B．6C．2D．33、若a＞0，b＞0，且a+2b-2=0，則ab的最大值為（）A．B．1C．2 D．4利用基本不等式求最值方法1：湊項例1、已知函數(shù)y=x+，x∈（-2，+∞），求此函數(shù)的最小值.對應(yīng)練習(xí)：1、函數(shù)y=x+（x＞2）的最小值為.2、函數(shù)y=x+（x＞2）在x=a處取最小值，則a=.3、已知x＜，則函數(shù)y=4x-2+的最大值是.方法2：湊系數(shù)例2、已知0＜x＜，求函數(shù)y=2x-5x2的最大值．對應(yīng)練習(xí)：1、已知0＜x＜4，則y=x（8-2x）的最大值為．2、設(shè)0＜x＜，則函數(shù)y=4x（3-2x）的最大值為．方法3：分離法例3、設(shè)x＞0，則的最小值為．對應(yīng)練習(xí)：1、求當(dāng)x＞0時，y=的最小值.2、求當(dāng)x＞0時，y=的最小值.3、函數(shù)y=（x＞-1）的最小值為．方法4：換元法例4、函數(shù)y=的最大值為．對應(yīng)練習(xí)：1、函數(shù)y=的最小值為．方法5：巧用“1”代換的最值問題例4、已知正數(shù)a、b滿足a+2b=1，求+的最小值.對應(yīng)練習(xí)：1、已知x＞0，y＞0，+=1，求x+y的最小值.2、已知x＞0，y＞0，且x+y=2，求的最小值為．3、已知x＞0，y＞0，x+2y=3，求的最小值為．基本不等式的綜合應(yīng)用求參數(shù)值或取值范圍例1、已知不等式（x+y）（+）≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為.對應(yīng)練習(xí)：1、若不等式x2-ax+1≥0對一切x∈（0，1）恒成立，則a的取值范圍是________．2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，則m的最大值為（）A．9B．12C．18D．243、已知不等式2x+m+＞0對一切x∈（1，+∞）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．4、已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，若+＞2m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．知識點二：基本不等式的應(yīng)用例1、某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800m3，深度為3m.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價為多少元?例2、如圖所示，要設(shè)計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.則廣告牌的高與寬分別設(shè)計為多少（單位：cm）時，能使矩形廣告牌的面積最小.對應(yīng)練習(xí)：1、某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是．2、某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F=.（1）如果不限定車型，L=6.05,則最大車流量為輛/時；（2）如果限定車型，L=5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加輛/時.鞏固練習(xí)：1、已知兩個正數(shù)m，n，滿足mn=3，則m+3n的最小值為（）A．3B．6C．D．2、已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y=+的最小值是（）A.B．4C.D．53、已知x≥0，則y=的最小值是（）A．-2B．C．3D．24、若a，b都是正數(shù)，則（1+）（1+）的最小值為（）A．7B．8C．9D．105、若正實數(shù)x，y滿足x+y=2，且≥M恒成立，則M的最大值為（）A．1B．2C．3D．46、若-1＜x＜1，則y=的最大值為.7、已知x＞0，y＞0，且+=1，則x+y的最小值是________．8、已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20.則+的最小值為________．9、設(shè)m，n為正數(shù)，且m+n=2，則則的最小值為________．10、當(dāng)x＜時，求函數(shù)y=x+的最大值；11、設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)y=的最大值．12、已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．13、某校擬建一座游泳池，池的深度一定，現(xiàn)有兩個方案，方案一：游泳池底面為矩形且面積為200平方米，池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁（與矩形的一邊所在直線平行）建造單價為每米100元，池底建造單價為每平方米60元（池壁厚