《8.6 空間直線、平面的垂直》復(fù)習(xí)教案與課后作業(yè)

《8.6空間直線、平面的垂直》復(fù)習(xí)教案8.6.1直線與直線垂直8.6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與直線垂直、直線與平面垂直的判定【基礎(chǔ)知識(shí)拓展】1．直線和平面垂直的判定方法(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．線線垂直的判定方法(1)異面直線所成的角是90°；(2)線面垂直，則線線垂直．3．求線面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二證(或說)三計(jì)算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點(diǎn)與面平行的線或面)；(3)等體積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法)．【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直．()(2)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的某一條直線不垂直，那么這條直線一定不與這個(gè)平面垂直．()(3)若直線與平面所成的角為0°，則直線與平面平行．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l與平面α的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．在平面α內(nèi) D．無法確定(2)過平面外一點(diǎn)作該平面的垂線有________條．(3)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，不能保證該直線與平面垂直的是________(填序號(hào))．①平行四邊形的兩條對(duì)角線；②梯形的兩條邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．(4)AB是平面α的斜線段，其長(zhǎng)為a，它在平面α內(nèi)的射影A′B的長(zhǎng)為b，則垂線A′A的長(zhǎng)為________．(5)如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角為________．答案(1)D(2)1(3)②④(4)eq\r(a2－b2)(5)45°【核心素養(yǎng)形成】題型一異面直線垂直的判定及異面直線所成的角例1如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，E，F(xiàn)分別是AA1，AB的中點(diǎn)．(1)哪些棱所在的直線與直線EF垂直？(2)求異面直線C1D1與EF所成的角．[解](1)AD，BC，A1D1，B1C1所在的直線與直線EF垂直．(2)∵AB∥DC，DC∥D1C1，∴AB∥D1C1，∴∠EFA是異面直線C1D1與EF所成的角．∵∠EFA＝45°，∴異面直線C1D1與EF所成的角為45°.【解題技巧】1.判斷異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交．(2)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)所確定的直線和這個(gè)平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線異面．2．求異面直線所成角的一般步驟(1)平移法找出合適的角．(2)求角．(3)結(jié)論：0＜θ≤90°.【跟蹤訓(xùn)練】(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列結(jié)論一定不可能的是()A．l與AD平行 B．l與AB異面C．l與CD所成的角為30° D．l與BD垂直(2)如圖所示，P是平面ABC外一點(diǎn)，PA＝4，BC＝2eq\r(5)，D，E分別為PC，AB的中點(diǎn)，且DE＝3.求異面直線PA和BC所成角的大?。鸢?1)A(2)見解析解析(1)假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，這與“l(fā)與B1C1不平行”矛盾，所以l與AD不平行．(2)如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接DF，EF.在△PAC中，∵D是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴DF∥PA.同理EF∥BC，∴∠DFE(或∠DFE的補(bǔ)角)為異面直線PA與BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝eq\f(1,2)PA＝2，EF＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(5)，∴DE2＝DF2＋EF2.∴∠DFE＝90°，即異面直線PA與BC所成的角為90°.題型二直線與平面垂直的定義例2下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0B．1C．2D．3[解析]當(dāng)l與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時(shí)，若這無數(shù)條直線為平行直線，則l與α不一定垂直，故①錯(cuò)誤；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與α垂直，故②錯(cuò)誤；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③錯(cuò)誤；④正確．故選B.[答案]B【解題技巧】直線與平面垂直的定義的理解直線與平面垂直的定義具有兩重性，既是判定又是性質(zhì)．是判定，指它是判定直線與平面垂直的方法；是性質(zhì)，指如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線，即“l(fā)⊥α，a?α?l⊥a”．這是證明線線垂直的一種方法．【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m答案B解析對(duì)于A，由l⊥m及m?α，可知l與α的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種，故A錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于C，l與m可能平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交，故D錯(cuò)誤．故選B.題型三直線與平面垂直的證明例3如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點(diǎn)．求證：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.[證明](1)∵四棱錐S－ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD.∵E，F(xiàn)分別是SD，SC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又SD?平面SAD，∴EF⊥SD.【解題技巧】應(yīng)用線面垂直判定定理的注意事項(xiàng)(1)要判定一條直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的．(2)判定定理在應(yīng)用時(shí)，切實(shí)要抓住“相交”二字，它把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．即“l(fā)⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝A?l⊥α.”【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE⊥平面ACD1.證明如圖，連接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，易證AE＝CE.因?yàn)锳O＝OC，所以O(shè)E⊥AC.在正方體中易求出：D1O＝eq\r(DD\o\al(2,1)＋DO2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(6),2)a，OE＝eq\r(BE2＋OB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a，D1E＝eq\r(D1B\o\al(2,1)＋B1E2)＝eq\r(\r(2)a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(3,2)a.因?yàn)镈1O2＋OE2＝D1E2，所以D1O⊥OE.因?yàn)镈1O∩AC＝O，D1O?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以O(shè)E⊥平面ACD1.題型四直線與平面所成的角例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值．[解]由圖所示，取AA1的中點(diǎn)M，連接EM，BM，因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則EM＝AD＝2，BE＝eq\r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值為eq\f(2,3).[條件探究]在本例中，若求直線BE與平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？解∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴BE與平面ABCD所成角與所求角相等．連接BD，則∠EBD即為直線BE與平面ABCD所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則在Rt△BDE中，sin∠EBD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3)，即直線BE與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為eq\f(1,3).【解題技巧】求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．【跟蹤訓(xùn)練】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．解(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．若a，b是兩條異面直線，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．過直線a可以作一個(gè)平面并且只可以作一個(gè)平面α與直線b平行B．過直線a至多可以作一個(gè)平面α與直線b垂直C．存在唯一一個(gè)平面α與直線a，b等距D．可能存在平面α與直線a，b都垂直答案D解析a，b是兩條異面直線，把直線b平移，與直線a相交，確定一個(gè)平面，因此經(jīng)過直線a只能作出一個(gè)平面平行于直線b，故A正確；只有a，b垂直時(shí)才能作出一個(gè)平面α與直線b垂直，否則過直線a不可能作出一個(gè)平面α與直線b垂直，故B正確；C顯然正確；若存在平面α與直線a，b都垂直，則可得出a∥b，與a，b異面矛盾，故D錯(cuò)誤．故選D.2．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下列四個(gè)說法：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m⊥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確說法的序號(hào)是()A．①③B．②④C．①④D．②③答案C解析①④可由直線與平面垂直的定義和判定推證．根據(jù)②中條件可知，m與n平行或異面，所以②錯(cuò)誤．③中由m⊥n，m∥α，可知n∥α或n?α，或n與α相交，故③錯(cuò)誤，所以①④正確，選C.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB答案B解析由題意知A1B1⊥平面ADD1A1，∵AD1?平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，又A1D⊥AD1，A1B1∩A1D＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故選B.4．如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直異面 D．相交但不垂直答案C解析連接AC交BD于O，∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD.又MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥MC.又MC∩AC＝C，∴BD⊥平面AMC.又AM?平面AMC，∴BD⊥AM，∴MA與BD異面垂直．5．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．解(1)證明：因?yàn)樗睦忮FP－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA＝1，PD＝eq\r(2)，所以PD2＝PA2＋AD2，所以PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD＝D，所以PA⊥平面ABCD.(2)因?yàn)樗睦忮FP－ABCD的底面積為1，PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P－ABCD的高為PA＝1，所以四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(1,3).《第1課時(shí)直線與直線垂直、直線與平面垂直的判定》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面D．垂直答案A解析∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交，又m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．2．直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定答案D解析直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直，或直線l在平面α內(nèi)，或直線l與平面α相交，都有可能．3．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．異面且垂直D．異面但不垂直答案C解析在題圖1中，AD⊥BC，故在題圖2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因?yàn)锽D∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．3eq\r(5)D．4eq\r(5)答案D解析如圖所示，作PD⊥BC于D，連接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CB.又PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D為BC中點(diǎn)．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段答案A解析如圖所示，易知BD1⊥平面AB1C，故當(dāng)點(diǎn)P在平面AB1C內(nèi)時(shí)，總保持AP⊥BD1，又點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，且B1C為平面AB1C和平面BCC1B1的交線，故點(diǎn)P一定位于線段B1C上．二、填空題6．在四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1.則EF的長(zhǎng)度為________．答案eq\f(\r(3),2)或eq\f(1,2)解析如圖①，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE與OF所成的角即為AC與BD所成的角．而AC，BD所成的角為60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當(dāng)∠EOF＝120°時(shí)，如圖②，取EF的中點(diǎn)M，連接OM，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).7．如圖所示，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案①②③解析∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，故①②③正確．8.如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有________個(gè)．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．答案4解析對(duì)于①，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，①正確；對(duì)于②，∵AB∥CD，AB?平面SCD，∴AB∥平面SCD，②正確；對(duì)于③，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，∴∠SAD是SA與平面ABCD所成的角，③正確；對(duì)于④，∵AB∥CD，∴AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，④正確，故正確的有4個(gè)．三、解答題9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，AA1的中點(diǎn)．(1)求直線AB1和CC1所成的角的大?。?2)求直線AB1和EF所成的角的大?。?1)如圖，連接DC1.∵DC1∥AB1.∴DC1和CC1所成的角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴直線AB1和CC1所成的角為45°.(2)連接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直線AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等邊三角形，∴∠A1DC1＝60°，即直線AB1和EF所成的角為60°.能力提升訓(xùn)練1．如圖，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有()A．8對(duì)B．7對(duì)C．6對(duì)D．5對(duì)答案B解析依題意可知，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD，共7對(duì)．2．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面PAB；(2)設(shè)AB＝eq\r(2)BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值．解(1)證明：連接BE，EP.由題意知∠PDE＝∠BCE＝90°，因?yàn)镋D＝CE，PD＝AD＝BC，所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE.因?yàn)镕為PB的中點(diǎn)，所以EF⊥PB.因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，因?yàn)镈A⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB.在Rt△PAB中，因?yàn)镻F＝BF，所以PF＝AF.又因?yàn)镻E＝BE＝EA，所以△EFP≌△EFA，所以EF⊥FA.因?yàn)镻B∩AF＝F，所以EF⊥平面PAB.(2)不妨設(shè)BC＝1，則AD＝PD＝1，AB＝eq\r(2)，PA＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3).所以△PAB為等腰直角三角形，且PB＝2.因?yàn)镕是PB的中點(diǎn)，所以BF＝1，AF⊥PB.因?yàn)锳F∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF.設(shè)BE交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH∥PB交EF于點(diǎn)H，則GH⊥平面AEF.故∠GAH為AC與平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知，EG＝eq\f(1,2)GB，AG＝2CG，所以EG＝eq\f(1,3)EB，AG＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(3),3).由△EGH∽△EBF，可知GH＝eq\f(1,3)BF＝eq\f(1,3).所以sin∠GAH＝eq\f(GH,AG)＝eq\f(\r(3),6)，所以AC與平面AEF所成角的正弦值為eq\f(\r(3),6).《8.6.1直線與直線垂直8.6.2直線與平面垂直》復(fù)習(xí)教案第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理【基礎(chǔ)知識(shí)拓展】平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線a⊥平面α，直線b⊥平面β，且α∥β，則a∥b.()(2)若直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則直線b⊥直線a.()(3)若直線a⊥平面α，直線a⊥直線b，則直線b∥平面α.()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)若a，b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.A．1B．2C．3D．0(2)在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是________．(3)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD相交于點(diǎn)O，A1C1與B1D1相交于點(diǎn)O1，則OO1與平面A1B1C1D1的位置關(guān)系是________．答案(1)B(2)平行(3)垂直【核心素養(yǎng)形成】題型一線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E是A1D上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.[證明]如圖所示，連接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.[條件探究]在本例中，若E為A1D的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，如何證明EF⊥平面AB1C?證明連接AD1，AB1，B1C，∵E為A1D的中點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可知E為AD1的中點(diǎn)．又∵F為AB的中點(diǎn)，∴EF∥BD1.由例1可知BD1⊥平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.【解題技巧】證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行的定義：證共面且無公共點(diǎn)．(2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.證明(1)如圖，連接A1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又A1C?平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)連接B1A，AD1.∵B1C1綊AD，∴四邊形ADC1B1為平行四邊形，∴C1D∥AB1.∵M(jìn)N⊥C1D，∴MN⊥AB1.又MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.題型二直線與平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用例2如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC.求證：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).[證明]∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).【解題技巧】(1)線線垂直的證明，常轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明，即：把兩條直線中一條放在某個(gè)平面內(nèi)，然后證明另一條垂直于這個(gè)平面．要證線面垂直，可通過線面垂直的定義及判定定理，體現(xiàn)了eq\x(線線垂直)→eq\x(線面垂直)→eq\x(線線垂直)，解題時(shí)要注意這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的合理應(yīng)用．(2)要學(xué)會(huì)逆向分析的方法，從要證明的結(jié)論入手，層層遞推，這是解決問題的有效方法．【跟蹤訓(xùn)練】已知α∩β＝AB，PQ⊥α于點(diǎn)Q，PO⊥β于點(diǎn)O，OR⊥α于點(diǎn)R，求證：QR⊥AB.證明如圖，∵α∩β＝AB，∴AB?α，AB?β，∵PO⊥β，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α，∴PQ∥OR.∴PQ與OR確定平面PQRO.又∵QR?平面PQRO，∴QR⊥AB.【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．不確定答案C解析因?yàn)閘⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m.2．已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1B．2C．3D．0答案B解析對(duì)于①，因?yàn)閘∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對(duì)于②，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對(duì)于③，因?yàn)閘∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯(cuò)誤．3.如圖，PA⊥矩形ABCD，下列結(jié)論中不正確的是()A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BD答案A解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，若PD⊥BD，PA∩PD＝P，∴BD⊥平面PAD.又AB⊥平面PAD，∴BD∥AB，不成立，故選A.4．如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝________.答案eq\r(13)解析因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AF∥ED，所以ED⊥平面ABCD，因?yàn)镃D?平面ABCD，所以ED⊥CD，所以△EDC為直角三角形，CE＝eq\r(ED2＋CD2)＝eq\r(13).5．如圖所示，已知平面α∩平面β＝EF，A為α，β外一點(diǎn)，AB⊥α于點(diǎn)B，AC⊥β于點(diǎn)C，CD⊥α于點(diǎn)D.求證：BD⊥EF.證明∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面．∵AB⊥α，AC⊥β，α∩β＝EF，∴AB⊥EF，AC⊥EF.又AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，∵BD?平面ABDC，∴EF⊥BD.《第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號(hào)是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案C解析由平行公理可知①正確；②不正確，若三條直線在同一平面內(nèi)，則a∥c；③不正確，a與b有可能平行，也有可能異面或相交；由線面垂直的性質(zhì)可知④正確．2．直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．不確定答案D解析根據(jù)題意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD內(nèi)，也可能垂直平面ABCD，所以直線l與m可能平行、相交或異面，故選D.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線l⊥平面A1C1，且直線l過正方形ABCD的中心，則有()A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B與l異面 D．B1B與l相交答案B解析l⊥平面A1C1，BB1⊥平面A1C1.所以直線l與BB1平行或重合，又l過平面ABCD的中心，故直線l與BB1平行．4．設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個(gè)平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n.A．1B．2C．3D．4答案C解析由題意可知①③④正確，②錯(cuò)誤．故選C.5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α∥β且l∥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l答案D解析由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D.二、填空題6．a(chǎn)，b是異面直線，直線l⊥a，l⊥b，直線m⊥a，m⊥b，則l與m的位置關(guān)系是________．答案l∥m解析將b平移至c，且使a與c相交，則a，c確定一個(gè)平面，記作平面α.∵l⊥b，m⊥b，∴l(xiāng)⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l(xiāng)⊥平面α，m⊥平面α，∴l(xiāng)∥m.7.如圖，設(shè)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為棱AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為________．答案eq\r(17)解析過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，則FG⊥平面ABC，連接GE，GE＝eq\f(1,2)BC＝1，則在Rt△FGE中，EF＝eq\r(FG2＋GE2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).8．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝________.答案1解析在三棱錐P－ABC中，∵PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，∴AB⊥平面APC，∵EF?平面PAC，∴EF⊥AB，∵EF⊥BC，∴EF⊥底面ABC，∴PA∥EF，∵F是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，∴E是PC的中點(diǎn)，∴eq\f(PE,EC)＝1.三、解答題9．如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，B為垂足，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.證明因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a.又因?yàn)閍⊥AB，AB∩EB＝B，所以a⊥平面ABE.因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l?α，l?β.因?yàn)镋A⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.又因?yàn)镋A∩EB＝E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.能力提升訓(xùn)練1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．證明(1)∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)如圖所示，設(shè)AD1與A1D的交點(diǎn)為O，連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊eq\f(1,2)CD綊eq\f(1,2)AB，∴ON∥AM.又MN∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴AM＝ON＝eq\f(1,2)AB，即M是AB的中點(diǎn)．2．如圖，AA1，BB1為圓柱的母線，BC是底面圓的直徑，D，E分別是BB1，A1C的中點(diǎn)．證明：(1)DE∥平面ABC；(2)A1B1⊥平面A1AC.證明(1)如圖，取AA1的中點(diǎn)F，連接DF，EF.因?yàn)镈，E分別是BB1，A1C的中點(diǎn)，所以DF∥AB，EF∥AC.所以DF∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ABC.又DE?平面DEF，所以DE∥平面ABC.(2)因?yàn)锳A1，BB1為圓柱的母線，所以AB∥A1B1.因?yàn)锳A1垂直于底面圓所在的平面，所以AA1⊥AB.又BC是底面圓的直徑，所以AB⊥AC.又AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面A1AC，又A1B1∥AB，所以A1B1⊥平面A1AC.《8.6.3平面與平面垂直》復(fù)習(xí)教案第1課時(shí)平面與平面垂直的判定【基礎(chǔ)知識(shí)拓展】1．證明兩個(gè)平面垂直的主要途徑(1)利用面面垂直的定義．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．2．證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實(shí)現(xiàn)的．因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的．3．有助于判斷面面垂直的結(jié)論(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在二面角棱上的位置有關(guān)．()(2)二面角可以看成是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成的．()(3)如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，則α⊥β.()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)在二面角α－l－β的棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，則必須具有的條件是()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β(2)過一點(diǎn)可作________個(gè)平面與已知平面垂直．(3)若∠AOB是銳二面角α－l－β的平面角，則l與平面AOB的位置關(guān)系是________．(4)如圖，空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么圖中互相垂直的平面有________．答案(1)D(2)無數(shù)(3)l⊥平面AOB(4)平面ABD⊥平面BCD，平面ACD⊥平面BCD【核心素養(yǎng)形成】題型一求二面角例1四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；(2)二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；(3)二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B－PA－D的平面角．又由題意可得∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°.[條件探究]在本例中，若求二面角P－BC－D的平面角的度數(shù)又該如何解？解∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AB.又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB.又AB⊥BC，∴∠PBA為二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PAB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角的度數(shù)為45°.【解題技巧】1.確定二面角的平面角的方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．2．求二面角大小的步驟(1)找出這個(gè)平面角；(2)證明這個(gè)角是二面角的平面角；(3)作出這個(gè)角所在的三角形，解這個(gè)三角形，求出角的大小．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。庥梢阎肞A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.題型二用定義法證明平面與平面垂直例2如圖所示，在四面體A－BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.[證明]∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD與△BCD是等腰三角形．∴取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC為二面角A－BD－C的平面角．在Rt△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角為90°.∴平面ABD⊥平面BCD.【解題技巧】用定義證明兩個(gè)平面垂直的步驟利用兩個(gè)平面互相垂直的定義可以直接判定兩個(gè)平面垂直，判定的方法是：①找出兩個(gè)相交平面的平面角；②證明這個(gè)平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個(gè)平面互相垂直．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.證明：平面AEC⊥平面AFC.證明如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3).由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF為二面角E－AC－F的平面角，在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(EG2－BG2)＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△FDG中，可得FG＝eq\r(DG2＋DF2)＝eq\f(\r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2).從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.即二面角E－AC－F的平面角為90°，所以平面AEC⊥平面AFC.題型三利用判定定理證明面面垂直例3如圖，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F(xiàn)分別為MB，PB，PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA.求證：平面EFG⊥平面PDC.[證明]∵M(jìn)A⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，G，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.【解題技巧】證明面面垂直的方法(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”．(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB.證明∵四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，又PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，∴AC⊥平面PDB.又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.題型四折疊問題例4如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，E為BC的中點(diǎn)，把△ABE和△CDE分別沿AE，DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P.(1)求證：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．[解](1)證明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.又PE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，EF，則易知PF⊥AD，EF⊥AD，∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．又PE⊥平面PAD，PF?平面PAD，∴PE⊥PF.∵EF＝AB＝eq\r(2)，∴PF＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，∴cos∠PFE＝eq\f(PF,EF)＝eq\f(\r(2),2).∴二面角P－AD－E的大小為45°.【解題技巧】折疊問題，即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關(guān)問題．解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量．【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.證明如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點(diǎn)，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四邊形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，又A′N?平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC，∴BE必與CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．下列命題：①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)平面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②答案B解析由二面角的定義知，①錯(cuò)誤；a，b分別垂直于兩個(gè)平面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③錯(cuò)誤；由定義知④正確．故選B.2.在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD答案C解析由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A，B，D正確．3.如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°答案A解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，BA?平面ABC，CA?平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA.因此，∠BAC即為二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的平面角為90°.故選A.4．如圖所示，在三棱錐D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則平面ADC與平面BDE的關(guān)系是________．答案垂直解析易知BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.又AC?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E為AB上的點(diǎn)，且AD＝AE＝DC＝2，BE＝1，將△ADE沿DE折疊到點(diǎn)P，使PC＝PB.(1)求證：平面PDE⊥平面ABCD；(2)求四棱錐P－EBCD的體積．解(1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)G，DE的中點(diǎn)H，連接PG，GH，HP.∴HG∥AB，又AB⊥BC，∴HG⊥BC.∵PB＝PC，∴PG⊥BC.又HG∩PG＝G，∴BC⊥平面PGH.又PH?平面PGH，∴PH⊥BC.∵PD＝PE，H為DE的中點(diǎn)，∴PH⊥DE.∵BE∥DC，且DC＝2BE，∴DE與BC必相交，∴PH⊥平面BCDE.而PH?平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE，即平面PDE⊥平面ABCD.(2)連接EC，AH，由(1)可知，PH為四棱錐P－BCDE的高．∵DC∥AE，且AD＝AE＝DC＝2，∴四邊形AECD為菱形．∴CE＝AD＝2.而EB＝1，EB⊥BC，∴BC＝eq\r(CE2－EB2)＝eq\r(3)，DE＝2.∴PH＝AH＝eq\r(3).∴VP－BCDE＝eq\f(1,3)·PH·S梯形BCDE＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).《第1課時(shí)平面與平面垂直的判定》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定答案C解析若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.2．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β答案C解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β.3．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，則二面角C－BD－C1的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°答案A解析如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，連接C1E，則∠CEC1為二面角C－BD－C1的平面角，由等面積公式得CE＝eq\f(2\r(3)×2\r(3),\r(2)×2\r(3))＝eq\r(6)，tan∠CEC1＝eq\f(CC1,CE)＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，因?yàn)?°≤∠CEC1≤180°，所以∠CEC1＝30°.4．如圖，在立體圖形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案B解析由條件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC?平面ADC，AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故選B.5.如圖，在三棱錐P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角答案D解析A正確，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，∴GF∥PC，GE∥CB，∵GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正確，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正確，易知EF∥BP，∴∠BPC是直線EF與直線PC所成的角；D錯(cuò)誤，∵GE與AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角．二、填空題6．如圖所示，一山坡的坡面與水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡腳的水平線成30°的角，沿這山路行走20m后升高_(dá)________m.答案5解析如圖，過B作BH⊥水平面，過H作HC⊥坡腳線，連接BC，則∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，從而BC⊥AC，所以∠BCH為坡面與水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt△BCH中，因?yàn)锳B＝20m，所以BC＝AB·sin30°＝10m，所以BH＝BC·sin30°＝5m.7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝________.答案1解析∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC為平面ABD與平面ACD所成二面角的平面角，∴∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BD＋CD＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(2)，∴BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，折疊后，在Rt△BDC中，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝1.8．如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào))．答案①②④解析連接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因?yàn)锳A1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1.又因?yàn)锳C?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可證AD1∥平面A1BC1，又因?yàn)锳C?平面ACD1，AD1?平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因?yàn)锳1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正確．因?yàn)锽C1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以點(diǎn)P到平面ACD1的距離不變．又因?yàn)閂A－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱錐A－D1PC的體積不變，故①正確．連接DB，DC1，DP，因?yàn)镈B＝DC1，所以當(dāng)P為BC1的中點(diǎn)時(shí)才有DP⊥BC1，故③錯(cuò)誤．因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因?yàn)锳C⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.連接B1D，又因?yàn)锽1D?平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可證B1D⊥AD1.又因?yàn)锳C?平面ACD1，AD1?平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因?yàn)锽1D?平面PDB1，所以平面PDB1三、解答題9．如圖，在三棱錐S－ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P，M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直線AM與直線PC所成的角為60°.(1)求證：平面MAP⊥平面SAC；(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．解(1)證明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC，又P，M分別是SC，SB的中點(diǎn)，∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，又PM?平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.(2)同(1)，可證AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M－AC－B的平面角，∵直線AM與直線PC所成的角為60°，∴過點(diǎn)M作MN⊥CB于點(diǎn)N，連接AN，如圖所示，∴MN∥PC，則∠AMN＝60°，在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1，由勾股定理得AN＝eq\r(2).在Rt△AMN中，MN＝eq\f(AN,tan∠AMN)＝eq\r(2)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(6),3).在Rt△CNM中，tan∠MCN＝eq\f(MN,CN)＝eq\f(\f(\r(6),3),\a\vs4\al(1))＝eq\f(\r(6),3)，故二面角M－AC－B的平面角的正切值為eq\f(\r(6),3).能力提升訓(xùn)練在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝a(如圖所示)，將△ADC沿AC折起，將D翻到D′，記平面ACD′為α，平面ABC為β，平面BCD′為γ.(1)若二面角α－AC－β為直二面角，求二面角β－BC－γ的大??；(2)若二面角α－AC－β為60°，求三棱錐D′－ABC的體積．解(1)在直角梯形ABCD中，由已知得△DAC為等腰直角三角形，∴AC＝eq\r(2)a，∠CAB＝45°.如圖所示，過C作CH⊥AB，垂足為H，則AH＝CH＝a.又AB＝2a，∴BH＝a，BC＝eq\r(2)a，∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.取AC的中點(diǎn)E，連接D′E，則D′E⊥AC.∵二面角α－AC－β為直二面角，∴D′E⊥β.又∵BC?平面β，∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.而D′C?α，∴BC⊥D′C，∴∠D′CA為二面角β－BC－γ的平面角．由于∠D′CA＝45°，∴二面角β－BC－γ為45°.(2)如圖所示，過D′作D′O⊥β，垂足為O，連接OE，∵AC?β，∴D′O⊥AC.又由(1)可知AC⊥D′E，D′O與D′E相交于點(diǎn)D′，∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.∴∠D′EO為二面角α－AC－β的平面角，∴∠D′EO＝60°.在Rt△D′OE中，D′E＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)a，D′O＝eq\f(\r(3),2)D′E＝eq\f(\r(6),4)a.∴V三棱錐D′－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·D′O＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·BC·D′O＝eq\f(1,6)×eq\r(2)a×eq\r(2)a×eq\f(\r(6),4)a＝eq\f(\r(6),12)a3.《8.6.3平面與平面垂直》復(fù)習(xí)教案第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)拓展】平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論(1)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(2)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面．即α⊥β，γ∥β?γ⊥α.(3)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi)．即α⊥β，b⊥β?b∥α或b?α.(4)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ.(5)三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n?l⊥m，m⊥n，l⊥n.【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面．()(2)如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．()(3)平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則平面α⊥平面γ.()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BDA．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直(2)如圖所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈平面α，AB⊥l，垂足為B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，則AC＝________.答案(1)C(2)5【核心素養(yǎng)形成】題型一面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.[證明](1)如圖，連接PG，BD，∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∵G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.【解題技巧】應(yīng)用面面垂直證明線面垂直應(yīng)注意的問題(1)證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，再一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．(2)在應(yīng)用線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理證明有關(guān)問題時(shí)，在善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，還應(yīng)注意尋找線面平行、垂直所需的條件．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V－ABC的體積．解(1)證明：∵O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，∴OM∥VB.∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB.又平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝eq\f(\r(3),4)AB2＝eq\r(3).∵OC⊥平面VAB，∴V三棱錐C－VAB＝eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(1,3)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，∴V三棱錐V－ABC＝V三棱錐C－VAB＝eq\f(\r(3),3).題型二線面垂直與面面垂直的綜合應(yīng)用例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，則能否在棱上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，如圖．∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.(2)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：在△PBC中，F(xiàn)E∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE.又FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.【解題技巧】(1)空間中的垂直關(guān)系有線線垂直、線面垂直、面面垂直，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的．它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：eq\x(線線垂直)eq\o(,\s\up17(判定定理),\s\do15(線面垂直定義))eq\x(線面垂直)eq\o(,\s\up17(判定定理),\s\do15(性質(zhì)定理))eq\x(面面垂直)(2)空間問題化成平面問題是解決立體幾何問題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)，要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)，如等腰(邊)三角形的三線合一、中位線定理、菱形的對(duì)角線互相垂直等．還可以通過解三角形，產(chǎn)生一些題目所需要的條件，對(duì)于一些較復(fù)雜的問題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問題．【跟蹤訓(xùn)練】如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD；(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．解(1)如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，又CE?平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可得DE＝eq\r(3)，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋EC2)＝2.(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD.證明：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锳C＝BC，AD＝BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由(1)知AB⊥DE.又因?yàn)锳C＝BC，所以AB⊥CE.又因?yàn)镈E，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE.由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．若α⊥β，α∩β＝l，點(diǎn)P∈α，P?l，則下列命題中正確的為()①過點(diǎn)P垂直于l的平面垂直于β；②過點(diǎn)P垂直于l的直線垂直于β；③過點(diǎn)P垂直于α的直線平行于β；④過點(diǎn)P垂直于β的直線在α內(nèi)．A．①③ B．②④C．①②④ D．①③④答案D解析當(dāng)過點(diǎn)P垂直于l的直線不在α內(nèi)時(shí)，l與β不垂直，故②不正確；①③④正確．2．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α答案B解析根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理判斷．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，應(yīng)增加條件n⊥m，才能使n⊥β.3．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成幾何體A－BCD，則在幾何體A－BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC答案D解析由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，從而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.4．如圖，在三棱錐P－ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.答案eq\r(5)解析因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).5．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC邊的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAB