押重慶卷第7-10題（找規(guī)律、圓、四邊形、代數(shù)證明）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學臨考題號押題（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學臨考題號押題

押重慶卷第7-10題押題方向一：找規(guī)律3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶A卷第7題圖形類規(guī)律探索；從近年重慶中考來看，找規(guī)律以選擇題形式考查，比較簡單；預計2024年重慶卷還將繼續(xù)對找規(guī)律考查。圖形類需特別注意，按重慶的慣例一般不考第n個，只需注意前10個即可。2023年重慶B卷第6題圖形類規(guī)律探索；2022年重慶A卷第6題數(shù)字類規(guī)律探索；圖形類規(guī)律探索；2022年重慶B卷第6題圖形類規(guī)律探索；1．（2023·重慶·中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是（

）

A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計算的規(guī)律，由此即可得到答案．【詳解】解：第①個圖案用了4+5=9根木棍，第②個圖案用了4+5×2=14根木棍，第③個圖案用了4+5×3=19根木棍，第④個圖案用了4+5×4=24根木棍，……，第⑧個圖案用的木棍根數(shù)是4+5×8=44根，故選：B．【點睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計算的規(guī)律是解題的關鍵．2．（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（

）

A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【分析】根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因為第①個圖案中有2個圓圈，2=3×1?1；第②個圖案中有5個圓圈，5=3×2?1；第③個圖案中有8個圓圈，8=3×3?1；第④個圖案中有11個圓圈，11=3×4?1；…，所以第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為3×7?1=20；故選：B.【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個圖案圓圈的個數(shù)找到第n個圖案的規(guī)律為3n?1是解題的關鍵.3．（2022·重慶·中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數(shù)為（

）

A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【分析】第1個圖中有5個正方形，第2個圖中有9個正方形，第3個圖中有13個正方形，……，由此可得：每增加1個圖形，就會增加4個正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個圖形的算式，然后再解答即可．【詳解】解：第1個圖中有5個正方形；第2個圖中有9個正方形，可以寫成：5+4=5+4×1；第3個圖中有13個正方形，可以寫成：5+4+4=5+4×2；第4個圖中有17個正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n個圖中有正方形，可以寫成：5+4（n-1）=4n+1；當n=9時，代入4n+1得：4×9+1=37．故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結結合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關鍵．4．（2022·重慶·中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為（

）A．15 B．13 C．11 D．9【答案】C【分析】根據(jù)第①個圖案中菱形的個數(shù)：1；第②個圖案中菱形的個數(shù)：1+2=3；第③個圖案中菱形的個數(shù)：1+2×2=5；…第n個圖案中菱形的個數(shù)：1+2n?1【詳解】解：∵第①個圖案中菱形的個數(shù)：1；第②個圖案中菱形的個數(shù)：1+2=3；第③個圖案中菱形的個數(shù)：1+2×2=5；…第n個圖案中菱形的個數(shù)：1+2n?1∴則第⑥個圖案中菱形的個數(shù)為：1+2×6?1故選：C．【點睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案個數(shù)的變化規(guī)律．此類題題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，根據(jù)已知圖案歸納出圖案個數(shù)的變化規(guī)律，通過歸納與總結結合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關鍵。1．下列圖形都是由同樣大小的△按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中一共有6個△，第②個圖形中一共有13個△，第③個圖形中一共有22個△，……，按此規(guī)律排列，則第⑧個圖形中△的個數(shù)為（

）A．97 B．95 C．87 D．85【答案】A【分析】本題考查了探究圖形變化規(guī)律，找出圖形變化的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．寫出各圖形中三角形的個數(shù)和，然后根據(jù)變化規(guī)律寫出第n個圖形中的個數(shù)，再取n=8進行計算即可得解．【詳解】解：第①個圖形中三角形有：6=2+3+1第②個圖形中三角形有：13=4+5+2第③個圖形中三角形有：22=6+7+3…，依此類推，第n個圖形中三角形有2n+2n+1+n所以，第⑧個圖形中圓和正三角形個數(shù)一共是：82故選：A．2．用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案用的木棍根數(shù)是（

）A．24 B．29 C．34 D．39【答案】C【分析】本題考查了圖形類規(guī)律探索，由圖得出第n個圖案用木棍4+5×n=(5n+4)根，再令n=6，計算即可得出答案．【詳解】解：由圖可得：第1個圖案用木棍：4+5=9（根），第2個圖案用木棍：4+5×2=14（根），第3個圖案用木棍：4+5×3=19（根），…，∴第n個圖案用木棍4+5×n=(5n+4)（根），∴當n=6時，5×6+4=34（根），故選：C．3．用若干大小相同的開口笑圖形按如圖所示的規(guī)律拼成一列圖案，其中第①個圖案中有4個開口笑圖形，第②個圖案中有7個開口笑圖形，第③個圖案中有10個開口笑圖形，?，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中開口笑圖形的個數(shù)是（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】C【分析】觀察發(fā)現(xiàn)每一個圖形比前一個圖形多三個開口笑圖形，利用此規(guī)律求解即可．本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律：第n個圖案中開口笑圖形的個數(shù)為3n+1．【詳解】解：第①個圖案中有1+3=4個開口笑圖形，第②個圖案中有1+2×3=7個開口笑圖形，第③個圖案中有1+3×3=10個開口笑圖形，…，按此規(guī)律排列下去，則第n個圖案中開口笑圖形的個數(shù)為3n+1，∴第⑦個圖案中開口笑圖形的個數(shù)為3×7+1=22，故選：C．4．規(guī)律探究題：如圖是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第2023個圖案用幾根火柴棒（

）A．8093 B．8095 C．8092 D．8091【答案】A【分析】觀察圖形的變化即可得第1個圖形火柴棒的個數(shù)；擺第2個圖案要用的火柴棒；擺第3個圖案要用的火柴棒；即可得第n個圖形的火柴棒個數(shù)，從而可求解．【詳解】觀察圖形的變化可知：擺第1個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：5；擺第2個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：9=5+4=5+4×1；擺第3個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：13=5+4+4=5+4×2；…則擺第n個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：5＋故第2023個圖案要用火柴棒的根數(shù)為：4×2023+1=8093故選：A【點睛】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運算規(guī)律，解題的關鍵是利用規(guī)律解決問題．5．下列圖形是按照一定規(guī)律排列的，其中第①個圖形中有3個圓點，第②個圖形中有9個圓點，第③個圖形中有18個圓點，按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中的圓點的個數(shù)為（）A．80 B．82 C．84 D．86【答案】C【分析】本題主要考查圖形類規(guī)律，解題的關鍵是通過觀察圖形得出規(guī)律．根據(jù)已知圖形找到規(guī)律：第n個圖形中圓點的個數(shù)為：3nn+12．再把【詳解】解：第①個圖形有：3=3×1個圓點；第②個圖形有：9=3×1+2第③個圖形有：18=3×1+2+3……∴可知第n個圖形有：31+2+3+4+……+n∴第⑦個圖形有：3×7×82故選：C．押題方向二：圓3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶A卷第8題用勾股定理解三角形；切線的性質定理；從近年重慶中考來看，圓以選擇題為主進行考查，比較簡單，但近幾年難度在增加；變化趨勢由原來的求角度變?yōu)榍蠼饩€段長，預計2024年重慶卷還將繼續(xù)對圓，特別是切線以及垂徑定理考查。還要關注幾種常見輔助線的作法。2023年重慶B卷第8題切線的性質定理；2022年重慶A卷第10題切線的性質定理；2022年重慶B卷第10題圓與三角形的綜合(圓的綜合問題)；2021年重慶A卷第5題已知圓內(nèi)接四邊形求角度；2021年重慶B卷第5題半圓（直徑）所對的圓周角是直角；1．（2023·重慶·中考真題）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點，連接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，則OC的長度是（

A．3 B．23 C．13 D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質及正切的定義得到OB=2，再根據(jù)勾股定理得到OC=13【詳解】解：連接OB，∵AC是⊙O的切線，B為切點，∴OB⊥AC，∵∠A=30°，AB=23∴在Rt△OAB中，OB=AB?∵BC=3，∴在Rt△OBC中，故選C．

【點睛】本題考查了切線的性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質是解題的關鍵．2．（2023·重慶·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD=50°，則∠BAC的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】連接OC，先根據(jù)圓的切線的性質可得∠OCD=90°，從而可得∠OCA=40°，再根據(jù)等腰三角形的性質即可得．【詳解】解：如圖，連接OC，

∵直線CD與⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠ACD=50°，∴∠OCA=40°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA=40°，故選：B．【點睛】本題考查了圓的切線的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握圓的切線的性質是解題關鍵．3．（2022·重慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長度是（

）A．3 B．4 C．33 D．【答案】C【分析】連接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用OBAB=tan【詳解】解：連接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一個外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A=∠D，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵OBAB∴AB＝OBtan故選：C【點睛】此題考查了切線的性質定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質等知識，求出∠A＝30°是解決此題的關鍵．4．（2022·重慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，若AC=PC=33，則PB的長為（

A．3 B．32 C．23【答案】D【分析】連接OC，根據(jù)AC=PC，OC=OA，證出∠A=∠OCA=∠P，求出∠A=∠OCA=∠P=30°，在Rt△OPC中，tan∠P=OCPC,cos∠P=PCOP，解得【詳解】解：連接OC，如圖所示，∵AC=PC，∴∠A=∠P，∵OC=OA，∴∠A=∠OCA，∴∠A=∠OCA=∠P，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCP=90°，∵∠A+∠P+∠OCA+∠OCP=180°，∴∠A=∠OCA=∠P=30°，在Rt△OPC中，tan∠P=OCPC∴OC=PC×tan∠P=33∵PB=OP?OB，OB=3，∴PB=3，故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、切線的性質、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．5．（2021·重慶·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，若∠A=80°，則∠C的度數(shù)是（

）A．80° B．100° C．110° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠C=180°-∠A=100°，故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．6．（2021·重慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，若∠A=20°，則∠B的度數(shù)為（

）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】A【分析】直接根據(jù)直徑所對的圓周角為直角進行求解即可．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，故選：A．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角為直角，理解基本定理是解題關鍵．此類題考查了等腰三角形的性質、切線的性質、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線是解答此題的關鍵，如果涉及輔助線的證明，多考慮連接圓心和過切點的半徑。構造直角三角形利用勾股定理解題也是常用思路。1．如圖，點A、C是⊙O上兩點，連接AC并延長交切線BD于點D，連接OB、OC、BC、AB，若∠CBD=40°，則∠BOC=（

）A．40° B．55° C．70° D．80°【答案】D【分析】本題考查了切線的性質、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理，由切線的性質得∠OBD=90°，求出∠OBC=50°，再由等邊對等角得出∠OBC=∠OCB=50°，最后再由三角形內(nèi)角和定理計算即可得出答案．【詳解】解：∵BD切⊙O于D，∴∠OBD=90°，∵∠CBD=40°，∴∠OBC=∠OBD?∠CBD=90°?40°=50°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=50°，∴∠BCO=180°?∠OBC?∠OCB=80°，故選：D．2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC為弦，D是弧BC的中點，連接AD交BC于E，若∠BAD=30°，AB=23，則EC=（

A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】本題考查了圓周角、弦、弧的關系，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，連接OD，BD，CD，OC，OD交BC于點F，由題意得出OD⊥BC，CD=BD，證明出【詳解】解：連接OD，BD，CD，OC，OD交BC于點，∵D是弧BC的中點，∴OD⊥BC，∵∠BOD=2∠BAD=60°，∴∠COD=60°，又∵OD=OC，∴△OCD為等邊三角形，∴OF=DF=12OD=14故CE=CF?EF=3故選A．3．如圖，點D是⊙O的弦AB延長線上一點，CD切⊙O于點C，若OB∥CD，AB=OB=3，則BD的長度為（

A．5 B．3+1 C．23【答案】D【分析】本題考查了圓的切線的性質，等邊三角形的性質，平行線的性質，含有30°角直角三角形的性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．連接OC，過點B作BE⊥CD于點E，先證明△OAB是等邊三角形，由OB∥CD得∠D=∠OBA=60°，繼而解Rt△BED【詳解】解：連接OC，過點B作BE⊥CD于點E，∵AB=OB=3，OA=OB∴OA=OB=AB=3∴△OAB是等邊三角形，∴∠OBA=60°，∵OB∥CD，∴∠D=∠OBA=60°，∵CD切⊙O于點C，∴∠OCD=90°，∵BE⊥CD，OB∥CD，∴BE=OC=3在Rt△BED中，BD=故選：D．4．如圖，已知AB與⊙O相切于點A，AC是⊙O的直徑，連接BC交⊙O于點D，E為⊙O上一點，當∠CED=58°時，∠B的度數(shù)是（

）

A．32° B．64° C．29° D．58°【答案】D【分析】連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠DOC，從而求得∠OCD，根據(jù)AB與⊙O相切得到∠CAB=90°，結合三角形內(nèi)角和即可得到答案；【詳解】解：連接OD，∵CD?=CD∴∠DOC=2∠CED=116°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=180°?116°∵AB與⊙O相切，∴∠CAB=90°，∴∠B=180°?90°?32°=58°，故選：D．

【點睛】本題考查圓周角定理，切線性質，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是作出輔助線得到∠DOC．5．如圖，點C是⊙O的直徑AB延長線上一點，CD切⊙O于點D，DE為⊙O的弦，若∠AED=60°，⊙O的半徑是2．則CD的長為（

）A．4 B．3 C．23 D．【答案】C【分析】如圖所示，連接OD，根據(jù)切線的性質得到∠ODC=90°，再由圓周角定理求出∠AOD的度數(shù)，進而求出∠DOC的度數(shù)，再解直角三角形即可．【詳解】解：如圖所示，連接OD，∵CD是圓O的切線，∴∠ODC=90°，∵∠AED=60°，∴∠AOD=2∠AED=120°，∴∠DOC=60°，∵⊙O的半徑是2，∴tan60°=CD∴CD=23故選C．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．押題方向三：四邊形求解3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶A卷第9題根據(jù)正方形的性質求角度；根據(jù)旋轉的性質求解；從近年重慶中考來看，四邊形中求值以選擇題形式考查，難度逐年增大；預計2024年重慶卷還將繼續(xù)考查，主要注意三方面：一直接求角度，二利用字母表示角，三求線段長。特別注意用字母表示角，考到可能性更大。2023年重慶B卷第9題全等的性質和SAS綜合（SAS）；等腰三角形的性質和判定；斜邊的中線等于斜邊的一半；根據(jù)正方形的性質求線段長；2022年重慶A卷第9題角平分線的有關計算；全等三角形綜合問題；根據(jù)正方形的性質證明；2022年重慶B卷第9題全等的性質和SAS綜合（SAS）；根據(jù)正方形的性質求線段長；2021年重慶A卷第9題全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）；根據(jù)正方形的性質證明；2021年重慶B卷第9題斜邊的中線等于斜邊的一半；根據(jù)正方形的性質求角度；1．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，則∠FEC一定等于（）

A．2α B．90°?2α C．45°?α D．90°?α【答案】A【分析】利用三角形逆時針旋轉90°后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】將△ADF繞點A逆時針旋轉90°至△ABH，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°，由旋轉性質可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90°，AF=AH，∴∠ABH+∠ABC=180°，∴點H，B，C三點共線，∵∠BAE=α，∠EAF=45°，∠BAD=∠HAF=90°，∴∠DAF=∠BAH=45°?α，∠EAF=∠EAH=45°，∵∠AHB+∠BAH=90°，∴∠AHB=45°+α，在△AEF和△AEH中AF=AH∠FAE=∠HAE∴△AFE≌△AHE(SAS∴∠AHE=∠AFE=45°+α，∴∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+α，∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+2α，∵∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°，∴∠FEC=2α，故選：A．

【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，解題的關鍵是能正確作出旋轉，再證明三角形全等，熟練利用性質求出角度．2．（2023·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接BE，BE=BA，連接CE并延長，與∠ABE的平分線交于點F，連接OF，若AB=2，則OF的長度為（

）

A．2 B．3 C．1 D．2【答案】D【分析】連接AF，根據(jù)正方形ABCD得到AB=BC=BE，∠ABC=90°，根據(jù)角平分線的性質和等腰三角形的性質，求得∠BFE=45°，再證明△ABF≌△EBF，求得∠AFC=90°，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點等于斜邊的一半，即可求出OF的長度．【詳解】解：如圖，連接AF，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BE=BC，∠ABC=90°，AC=2∴∠BEC=∠BCE，∴∠EBC=180°?2∠BEC，∴∠ABE=∠ABC?∠EBC=2∠BEC?90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠EBF=1∴∠BFE=∠BEC?∠EBF=45°，在△BAF與△BEF,AB=EB∠ABF=∠EBF∴△BAF≌△BEFSAS∴∠BFE=∠BFA=45°，∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°，∵O為對角線AC的中點，∴OF=1故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質，直角三角形特征，作出正確的輔助線，求得∠BFE=45°是解題的關鍵．3．（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF，若BE=AF，則∠CDF的度數(shù)為（

）

A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°【答案】C【分析】先利用正方形的性質得到AD=AB，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45°，利用角平分線的定義求得∠BAE，再證得△ABE≌△DAFSAS，利用全等三角形的性質求得∠ADF=∠BAE=22.5°，最后利用∠CDF=∠ADC?∠ADF【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠B=∠ADC=90°，∠BAC=45°，∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠BAE=1在△ABE和△DAF中，AD=AB∠DAF=∠B∴△ABE≌△DAFSAS∴∠ADF=∠BAE=22.5°，∴∠CDF=∠ADC?∠ADF=90°?22.5°=67.5°，故選：C【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．4．（2022·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．E、F分別為AC、BD上一點，且OE=OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE=25°，則∠CBE的度數(shù)為（

）A．50° B．55° C．65° D．70°【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質證明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，進而得到∠CBE的度數(shù)．【詳解】解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵OE=OF，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵∠AFE=25°，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故選：C．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，熟記正方形的性質是解題的關鍵．5．（2021·重慶·中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（

）A．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】先證明△MAO?△NDO(ASA)，再證明四邊形MOND的面積等于，△DAO的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，∴∠AOD=90°∵ON⊥OM∴∠MON=90°∴∠AOM=∠DON又∵∠MAO=∠NDO=45°,AO=DO∴△MAO?△NDO(ASA)∴∵四邊形MOND的面積是1，∴∴正方形ABCD的面積是4，∴A∴AB=2故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．6．（2021·重慶·中考真題）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O，且點O為MN的中點，則∠AMP的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數(shù)，即可求出∠AMP的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵點O為MN的中點∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，∠AMP=180°?75°?30°=75°，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質和直角三角形的性質、等腰三角形的性質，解題關鍵是熟練運用相關性質，根據(jù)角的關系進行計算．此類題考查了特殊四邊形的性質、全等三角形的判定和性質以及角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵。還會涉及輔助線的證明。但不會脫離常用輔助線，遇到困難時也可以嘗試用特殊值加測量的方法解決問題。1．如圖，在正方形ABCD中，邊AB、AD上分別有E，F(xiàn)兩點，AE=DF，BP平分∠CBF交CD于點P．若∠CPB=α，則∠CEB的度數(shù)為（

）A．90°?α B．α C．180°?2a D．90°?【答案】C【分析】本題考查正方形的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，先根據(jù)直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義求出∠CBF=2∠CBP=180°?2α，再根據(jù)平行線的性質推出∠AFB=∠CBF=180°?2α，最后證明△BAF≌△CBESAS，即可得出【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=DC，∠A=∠EBC=∠BCD=90°，∵AE=DF，∴AB?AE=AD?DF，即AF=BE，∵∠CPB=α，∴∠CBP=90°?∠CPB=90°?α，∵BP平分∠CBF，∴∠CBF=2∠CBP=180°?2α，∵正方形ABCD中，AD∥∴∠AFB=∠CBF=180°?2α．在△BAF和△CBE中，AB=BC∠A=∠CBE∴△BAF≌△CBE∴∠BEC=∠AFB=180°?2α．即∠CEB的度數(shù)為180°?2a．故選C．2．如圖，在菱形ABCD中，∠BEF=α°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EP⊥CD于點P，則∠PFC=（

）A．90°?12α° B．90°?α° C．180°?2α°【答案】D【分析】延長PF交EB的延長線于H點，根據(jù)題意證出△BHF≌△CPF，得HF=FP，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得EF=FH=FP，在等腰△EHF中易求出最終結果；此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定方法、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點，準確作出輔助線是解決此題的關鍵．【詳解】延長PF交EB的延長線于H點，∵ABCD是菱形，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點∴BE=BF,BF=FC∵∠BEF=α°∴∠BEF=∠BFE=α°∵AH∴∠FBH=∠FCP在△BHF和△CPF中∠FBH=∠FCP∴△BHF≌△CPF∴HF=FP∴F是PH的中點∵EP⊥CD∴EP⊥AB在Rt△HEP中，EF是中線，PH∴PH=2EF∴EF=FH=FP∴∠H=α°∠CFP=∠BFH=180°?∠H?∠HEF?∠EFB=180°?α°?α°?α°=180°?3α°故選：D．3．如圖，在矩形ABCD中，點E為邊AB上一點，連接DE，點F為對角線AC的中點，連接EF，若DE⊥AC，AB=2AD，設∠AFE=α，則∠DAF的度數(shù)可以表示為（

）A．45°+12α B．45°+α C．45°?α【答案】B【分析】取AB的中點G，連接FG，則FG為△ACB中位線，F(xiàn)G=12CB,FG∥BC，先證明∠1=∠2，則tan∠1=tan∠2，設AD=2x，則【詳解】解：取AB的中點G，連接FG，則FG為△ACB中位線，F(xiàn)G=1∵AB=2AD，∴設AD=2x，則AB=4x∵矩形ABCD，∴∠B=∠ADC=∠DAB=90°,AB=DC=4x,BC=AD=2x，∵DE⊥AC，∴∠1+∠CDE=∠2+∠CDE=90°，∴∠1=∠2，∴tan∠1=∴AEAD∴AE2x∴AE=x，∴EG=AG?AE=2x?x=x，而FG=1∴FG=x，∴FG=FE，又FG∥CB,∠B=90°，∴∠FGE=90°，∴△FGE為等腰直角三角形，∴∠FEB=45°，∵∠FEB=α+∠EAF，∴∠EAF=45°?α，∴∠DAF=90°?∠EAF=90°?45°?α故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形的中位線定理，外角定理，以及同角的余角相等，銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．4．在正方形ABCD中，連接BD，E為BC中點，F(xiàn)為BD上一點，連接EF，AF，滿足AF=EF，延長AF交CD于點N，連接EN，若∠DAF=α，則∠ENC用含α的式子表示為（

）A．45°?α2 B．45°?α C．2α 【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理等知識，連接CF，先證明△ABF≌△CBF，得到∠FEC=90°?α，∠BFE=45°?α，∠AFB=45°+α，進而得到∠EFN+∠BCD=180°，證明N、F、E、C中點共圓，即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：連接CF，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=∠ADB=45°，∠BAD=∠BCD=90°，∵∠DAF=α，∴∠BAF=90°?α，∠AFB=∠ADB+∠DAF=45°+α，在△ABF和△CBF中，AB=BC∠ABD=∠CBD∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∠BCF=∠BAF=90°?α，∵AF=EF，∴CF=EF，∴∠FEC=∠BCF=90°?α，∴∠BFE=∠FEC?∠CDB=90°?α?45°=45°?α，∵∠AFB=45°+α，∴∠AFE=∠AFB+∠BFE=45°+α+45°?α=90°，∴∠EFN=180°?∠AFE=90°，又∵∠BCD=90°，∴∠EFN+∠BCD=180°，∴N、F、E、C中點共圓，∴∠ENC=∠EFC，∵∠FEC=∠BCF=90°?α，∴在△EFC中，∠EFC=180°?∠FEC?∠BCF=2α，∴∠ENC=∠EFC=2α，故選：C．5．如圖，延長矩形ABCD的邊CB至點E，使EB=AC，連接DE，若∠BAC=α，則∠E的度數(shù)是（

）A．α2 B．45°?α2 C．α?45°【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定及性質，三角形內(nèi)角和定理等；連接BD與AC交于O，根據(jù)矩形的性質可證∠OBA=∠BAC=α，BD=BE，由等腰三角形的性質及三角形內(nèi)角和定理即可求解；掌握性質，作出輔助線，構建等腰△BDE是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接BD與AC交于O，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC，OA=OB=1∠ABC=90°，∴∠OBA=∠BAC=α，∴∠ABE=90°，∴∠DBE=∠ABE+∠OBA=90°+α，∵BE=AC，∴BD=BE，∴∠E=∠BDE，∴∠E==45°?1故選：B．押題方向四：代數(shù)證明3年成都真題考點命題趨勢2023年重慶第10題化簡絕對值；合并同類項；從近年重慶中考來看，代數(shù)證明以選擇題形式考查，難度很大；預計2024年重慶卷還將對代數(shù)證明考查。注意分類討論思想在此類題目中的滲透。2022年重慶第12題新定義下的實數(shù)運算；去括號；1．（2023·重慶·中考真題）在多項式x?y?z?m?n（其中x>y>z>m>n)中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n，x?y?z?m?n=x?y?z?m+n①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．其中正確的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結果進行比較排除相等的結果，匯總得出答案．【詳解】解：x?y?z?m?n=x?y?z?m?n若使其運算結果與原多項式之和為0，必須出現(xiàn)?x，顯然無論怎么添加絕對值，都無法使x的符號為負，故說法②正確．當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是x?y?z?m?n=x?y?z?m?n；x?y?z?m?n=x?y+z?m?n；x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n；x?y?z?m?n=x?y?z?m+n．當添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是x?y有兩對運算結果相同，故共有5種不同運算結果，故說法③不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進行情況討論；需要注意去絕對值時的符號，和所有結果可能的比較．主要考查絕對值計算和分類討論思想的應用．2．（2022·重慶·中考真題）對多項式x?y?z?m?n任意加括號后仍然只含減法運算并將所得式子化簡，稱之為“加算操作”，例如：(x?y)?(z?m?n)=x?y?z+m+n，x?y?(z?m)?n=x?y?z+m?n，…，給出下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其結果與原多項式相等；②不存在任何“加算操作”，使其結果與原多項式之和為0；③所有的“加算操作”共有8種不同的結果．以上說法中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】給x?y添加括號，即可判斷①說法是否正確；根據(jù)無論如何添加括號，無法使得x的符號為負號，即可判斷②說法是否正確；列舉出所有情況即可判斷③說法是否正確．【詳解】解：∵x?y∴①說法正確∵x?y?z?m?n?x+y+z+m+n=0又∵無論如何添加括號，無法使得x的符號為負號∴②說法正確③第1種：結果與原多項式相等；第2種：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3種：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4種：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5種：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6種：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7種：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8種：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合題意；∴共有8種情況∴③說法正確∴正確的個數(shù)為3故選D．【點睛】本題考查了新定義運算，認真閱讀，理解題意是解答此題的關鍵．此類題綜合性強，主要考查了整式，分式，根式等的變形計算或操作，熟練掌握添括號和去括號法則，靈活運用乘法公式，用配方法因式分解換元法設參數(shù)拆項與逐步合并等技巧變形，也可以用特殊值解決部分問題。1．有一列數(shù)?1,?2,?3,?4，將這列數(shù)中的每個數(shù)求其相反數(shù)得到1,2,3,4，再分別求與1的和的倒數(shù)，得到12,13,14,15，設為a1①a5=2，a6=32，③a2015=3；④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給的操作方式，求出前面的數(shù)，再分析存在的規(guī)律，從而可求解．解答的關鍵是求出前面的幾個數(shù)，發(fā)現(xiàn)其存在的規(guī)律．【詳解】解：由題意得：a1=12，a2a5=1?12+1a9=1?2+1=?1，a∵2015÷4=503??3，∴a2015是由a∵a3=14，a7∴a3、a7、∵503÷3=167??2，∴a2015依次計算：a13=11+1=12則每3次操作，相應的數(shù)會重復出現(xiàn)，∵==?79∵50÷12=42∴=?=?97綜上分析可知，正確的有2個，故選：C．2．對于整式：x?3、2x?1、4x+1、5x+3、6x+5，在每個式子前添加“+”或“?”號，先求和再求和的絕對值，稱這種操作為“全絕對”操作，并將絕對值化簡的結果記為M．例如：|x?3+(2x?1)?(4x+1)?(5x+3)?(6x+5)|=|?12x?12|，當x≤?1時，M=?12x?12；當x≥?1時，M=12x+12，所以M=?12x?12或12x+12．下列相關說法①至少存在一種“全絕對”操作使得操作后化簡的結果為常數(shù)；②若一種“全絕對”操作的化簡結果為M=?2x+k（k為常數(shù)），則x≤32；③所有可能的“全絕對”操作后的式子化簡后有32種不同的結果．正確的個數(shù)是（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查了整式的加減、絕對值的意義，根據(jù)絕對值的意義、整式的加減運算法則逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：∵x?3+∴①正確，符合題意；∵M=?2x+k，x?3?2x?1∴2x?3≤0，解得：x≤3∴②正確，符合題意；由題意得：x?3、2x?1、4x+1、5x+3、6x+5的絕對值各有2種，∴“全絕對”操作后的式子化簡后有2×2×2×2=16種不同的結果，∴③錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②，共2個，故選：C．3．已知兩個正整數(shù)a，b，可按規(guī)則c=a+1b+1?1擴充得到一個新數(shù)，再從a，b，c三個數(shù)中任取兩個數(shù)，按上述規(guī)則又可擴充得到一個新數(shù)，依次下去，將每擴充得到一個新數(shù)叫做