人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題09矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題09矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一矩形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型題型二菱形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型題型三正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型題型四特殊平行四邊形中長(zhǎng)度問題題型五特殊平行四邊形中角度問題題型六利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積題型七中點(diǎn)四邊形題型八特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題題型九四邊形中的線段最值問題題型十特殊平行四邊形中的折疊問題題型十一四邊形其他綜合問題【經(jīng)典例題一矩形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】知識(shí)點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)1.邊：對(duì)邊平行且相等；2.角：四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分；4.對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸.（對(duì)稱軸為矩形對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線）知識(shí)點(diǎn)2：矩形的判定定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角都是90°的四邊形是矩形.【例1】（2022春·安徽蕪湖·八年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)校考期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，的垂直平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．12.5 B．12 C．10 D．10.5【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·貴州銅仁·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD的平分線交BC于E，若，則∠COE=（）A．45 B．60 C．75 D．30【變式2】（2021春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上一點(diǎn)，，是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，，，垂足分別為和，則一定與圖中哪條線段的長(zhǎng)度相等：__．【變式3】（2022秋·福建漳州·九年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，，點(diǎn)在上，四邊形是矩形，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，給出下列結(jié)論：①平分；②；③；④若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為____________．【變式4】（2022秋·江西吉安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交的平分線于點(diǎn)，交的外角的平分線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)連接，，點(diǎn)可在上移動(dòng)，若四邊形是矩形，則點(diǎn)在的什么位置？請(qǐng)說明理由．【變式5】（2022春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，等腰的直角頂點(diǎn)是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，求證：．(2)如圖2，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．.【經(jīng)典例題二菱形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】知識(shí)點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)1.邊：對(duì)邊平行，四條邊都相等2.角：對(duì)角相等3.對(duì)角線：4.對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在直線就是對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)2：菱形的判定定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形【例2】（2022秋·山東泰安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于G，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③的最小值為．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①③ D．②③【變式2】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則的最小值等于_________．【變式3】（2022秋·湖北黃石·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）計(jì)算：=________；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，△CEF的面積最大值是____________．【變式4】（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？奸_學(xué)考試）已知，如圖，在菱形中，為對(duì)角線，E是上的點(diǎn)，分別連結(jié)，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式5】（2022春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是菱形的對(duì)角線，，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作菱形，并且使，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，易證：．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），猜想，，之間的關(guān)系并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），直接寫出，，之間的關(guān)系．【經(jīng)典例題三正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】知識(shí)點(diǎn)1：正方形的性質(zhì)邊：對(duì)邊平行，四條邊都相等角：四個(gè)角都是直角對(duì)角線對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸正方形面積求法：（表示正方形的邊長(zhǎng)，表示正方形的對(duì)角線）注：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形有一個(gè)角是直角的菱形是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形知識(shí)點(diǎn)3：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系【例3】（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M在延長(zhǎng)線上，，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·廣東揭陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，是對(duì)角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長(zhǎng)為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，是中點(diǎn)，將沿翻折至，延長(zhǎng)交于，則___________．【變式3】（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在正方形中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為________．【變式4】（江西省九江市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)E在正方形的邊上，連接，過點(diǎn)D作與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接與邊相交于點(diǎn)G，與對(duì)角線相交于點(diǎn)H，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【變式5】（2021春·江蘇常州·八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┮阎涸谥?，為中線，以、為邊向的形外作正方形、正方形．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：．(2)如圖②③，當(dāng)時(shí)，與有怎樣的關(guān)系？在圖②和圖③中可任選一個(gè)圖，證明你的結(jié)論．【經(jīng)典例題四特殊平行四邊形中長(zhǎng)度問題】【例4】（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，矩形，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為（

）A． B．2 C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．6【變式2】（2022秋·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)G，H分別為，的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為______【變式3】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為__．【變式4】（2021春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若厘米，厘米，從點(diǎn)出發(fā)，以1厘米/秒的速度向運(yùn)動(dòng)（不與重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求為何值時(shí)，四邊形是菱形？【變式5】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在平行四邊形中，，將沿翻折至，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)在平行四邊形中，已知：，將沿翻折至，連接．若以A、C、D、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題五特殊平行四邊形中角度問題】【例5】（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在菱形中，，，分別是邊和的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，平分交于，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【變式2】（2022春·山西臨汾·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是_________．【變式3】（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊上有一點(diǎn)G，以為邊向右作長(zhǎng)方形，沿翻折，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，若，則的度數(shù)為_______．【變式4】（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，到點(diǎn)，，使，依次連接,,,各點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，則當(dāng)°時(shí)，四邊形是正方形．【變式5】（2022春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，長(zhǎng)方形ABCD的點(diǎn)A在直線a上，B，C，D三點(diǎn)在平面上移動(dòng)變化（長(zhǎng)方形形狀大小始終保持不變），請(qǐng)根據(jù)如下條件解答：(1)圖1，若點(diǎn)B、D在直線b上，點(diǎn)C在直線b的下方，∠2＝30°，則∠1＝______；(2)圖2，若點(diǎn)D在直線a的上方，點(diǎn)C在平行直線a，b內(nèi)，點(diǎn)B在直線b的下方，m，n表示角的度數(shù)，請(qǐng)寫出m與n的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)圖3，若點(diǎn)D在平行直線a，b內(nèi)，點(diǎn)B，C在直線b的下方，x，y表示角的度數(shù)，且滿足關(guān)系式，求x的度數(shù)．【經(jīng)典例題六利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積】【例6】（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形和都是矩形且點(diǎn)B在上，若，，則矩形的面積是（

）A．2 B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·陜西漢中·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，平分交于點(diǎn)E，，連接，則下面的結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2】（2022春·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校閼c祝建黨90周年，美化社區(qū)環(huán)境，某小區(qū)要修建一塊藝術(shù)草坪．如圖，該草坪依次由部分互相重疊的一些全等的菱形組成，且所有菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線在同一條直線上，前一個(gè)菱形對(duì)角線的交點(diǎn)是后一個(gè)菱形的一個(gè)頂點(diǎn)，如菱形、、，要求每個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為和．（1）若使這塊草坪的總面積是，則需要___個(gè)這樣的菱形；（2）若有個(gè)這樣的菱形（，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是___．【變式3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，，垂足為E，點(diǎn)F、G分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，，則___________．【變式4】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，過點(diǎn)P作線段的垂線，交折線于點(diǎn)E，以線段為邊向右作正方形，設(shè)與正方形重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)F落在線段上時(shí)，求t的值；(3)用含t的代數(shù)式表示重疊部分的面積S；(4)連結(jié)，當(dāng)線段所在直線與的邊垂直時(shí)，直接寫出t的值．【變式5】（2022春·山東青島·七年級(jí)校考期末）如圖，E、F分別是AD和BC上的兩點(diǎn)，EF將四邊形ABCD分成兩個(gè)邊長(zhǎng)為6cm的正方形，∠DEF＝∠EFB＝∠B＝∠D＝90°；點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)，且CH＝2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿HD以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．任意一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．(1)如圖1，點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，①連接QP，當(dāng)t＝_______時(shí)，QP∥BC；②當(dāng)t＝______時(shí)，P點(diǎn)在AQ的垂直平分線上．(2)如圖2，連接EP、EQ，若QE⊥EP，求出t的值；(3)當(dāng)t＝_______時(shí)，△EPD的面積等于面積的．【經(jīng)典例題七中點(diǎn)四邊形】知識(shí)點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形定義：依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.常見結(jié)論原圖形中點(diǎn)四邊形的形狀任意四邊形平行四邊形矩形菱形菱形矩形正方形正方形對(duì)角線相等的四邊形菱形對(duì)角線垂直的四邊形矩形對(duì)角線垂直且相等的四邊形正方形【例7】（2022春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)四邊形滿足時(shí)，四邊形是菱形D．當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，四邊形是矩形【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，，，連接四邊形中點(diǎn)得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H．若，，則四邊形EFGH的面積為______．【變式3】（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）將連接四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的線段稱為“中對(duì)線”．凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝BD＝4，且兩條對(duì)角線的夾角為60°，那么該四邊形較短的“中對(duì)線”的長(zhǎng)度為___．【變式4】（2021秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請(qǐng)寫出一種．【變式5】（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【經(jīng)典例題題八特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題】【例8】（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與重合)，將沿著所在的直線折疊得到，連接，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．8 C．1或8 D．1或9【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，且點(diǎn)在矩形內(nèi)，連接，則的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．【變式2】（2023秋·廣東·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿BE折疊，點(diǎn)A落在處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為______．【變式3】（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線段運(yùn)動(dòng)，已知P、Q同時(shí)開始移動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．若線段的中點(diǎn)為M，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，寫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為___________．【變式4】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，為銳角，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，______；點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，______．（用含t的代數(shù)式表示）(2)點(diǎn)P在上，∥時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)直線平分的面積時(shí)，求t的值．(4)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度改變?yōu)槊棵隺個(gè)單位．當(dāng)，的某兩個(gè)頂點(diǎn)與P、Q所圍成的四邊形為菱形時(shí)，直接寫出a的值．【變式5】（2021春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎涸谥?，，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以為邊作正方形，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖1，若，請(qǐng)連接并求出的長(zhǎng)．(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線的兩側(cè)，其它條件不變；若連接正方形對(duì)角線，交點(diǎn)為O，連接，探究的形狀，并說明理由．【經(jīng)典例題九四邊形中的線段最值問題】【例9】（2021春·四川涼山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是正方形，邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)D在OA上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．下面四個(gè)結(jié)論中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，為．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將矩形沿直線折疊，使得點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)G處，且點(diǎn)E、F分別在邊上（含端點(diǎn)），連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，折痕的長(zhǎng)為___________．【變式3】（2022春·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于，于，為中點(diǎn)，則的最小值為__．【變式4】（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形中，點(diǎn)為邊的上一動(dòng)點(diǎn)，作交、分別于、點(diǎn)，連接．(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)；(3)若正方形邊長(zhǎng)為4，直接寫出的最小值________．【變式5】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）【推理】如圖1，在邊長(zhǎng)為10的正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連結(jié)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：．【運(yùn)用】(2)如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，求線段DH的長(zhǎng)．【拓展】(3)如圖3，在【推理】條件下，連結(jié)．則線段的最小值為．【經(jīng)典例題十特殊平行四邊形中的折疊問題】【例10】（2022秋·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一張長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【變式2】（2022·黑龍江哈爾濱·校考二模）如圖，矩形中，，M為的中點(diǎn)，把矩形沿著過點(diǎn)M的直線折疊，點(diǎn)A剛好落在邊上的點(diǎn)E處，則的長(zhǎng)為___________．【變式3】（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形，，將矩形沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，若三角形為等腰三角形，則______．【變式4】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀?shí)踐與探究操作一：如圖①，已知正方形紙片，將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)M，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線AF折疊，使與重合，此時(shí)______度．操作二：如圖②，將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N．當(dāng)點(diǎn)E在邊某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕上，此時(shí)______度．在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)P．求證：；（2）若，則線段的長(zhǎng)______．【變式5】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長(zhǎng)交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長(zhǎng)為6，求線段的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題十一四邊形其他綜合問題】【例11】（2022·遼寧營(yíng)口·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，E是邊上的一點(diǎn)，，，將正方形邊沿折疊到，延長(zhǎng)交于G，連接，，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）矩形紙片中，，，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的處，折痕為．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M，折痕上有點(diǎn)P，下列五個(gè)結(jié)論中正確的有（）①；②；③；④；⑤若，則四邊形是菱形．A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)，，，，，以為對(duì)角線作正方形，連接，則的最大值是______．【變式3】（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)，向形外分別作正方形，連接，其中正方形和正方形的面積分別為1和5，則長(zhǎng)為_____．【變式4】（2023秋·陜西西安·九年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)校考期末）在菱形中，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊（，，按逆時(shí)針排列），點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)在菱形外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，其他條件不變，連接，若，，請(qǐng)直接寫出的面積．【變式5】（2021春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，點(diǎn)是正方形對(duì)角線的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段為邊作一個(gè)正方形，線段和相交于點(diǎn)．(1)求證：，．(2)若，，求的長(zhǎng)．(3)如圖2，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，與的面積之差是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出與的面積之差；若變化，請(qǐng)說明理由．專題09矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一矩形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型題型二菱形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型題型三正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型題型四特殊平行四邊形中長(zhǎng)度問題題型五特殊平行四邊形中角度問題題型六利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積題型七中點(diǎn)四邊形題型八特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題題型九四邊形中的線段最值問題題型十特殊平行四邊形中的折疊問題題型十一四邊形其他綜合問題【經(jīng)典例題一矩形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】知識(shí)點(diǎn)1：矩形的性質(zhì)1.邊：對(duì)邊平行且相等；2.角：四個(gè)角都是直角；3.對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相平分；4.對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸.（對(duì)稱軸為矩形對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線）知識(shí)點(diǎn)2：矩形的判定定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角都是90°的四邊形是矩形.【例1】（2022春·安徽蕪湖·八年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，的垂直平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．12.5 B．12 C．10 D．10.5【答案】C【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD．【詳解】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，AB=，∴CG=DG=CD=AB=×=，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG(ASA)，∴DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，則BF=BC+CF=AD+CF=AE+DE+DE=6+x+x=6+2x，在Rt△DEG中，，∴，∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，∴6+2x=，解得x=4，經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是方程的解，∴AD=AE+DE=6+4=10，∴BC=AD=10．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·貴州銅仁·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD的平分線交BC于E，若，則∠COE=（）A．45 B．60 C．75 D．30【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義得出，得出，再證，推出是等邊三角形，得出，等量代換得出，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，，∴，，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)的應(yīng)用，通過推導(dǎo)得出是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021春·北京豐臺(tái)·八年級(jí)北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上一點(diǎn)，，是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，，，垂足分別為和，則一定與圖中哪條線段的長(zhǎng)度相等：__．【答案】或【分析】連接，根據(jù)題意的面積等于與面積和，由可得，再由的面積等于，即可得出答案．【詳解】證明：連接，如圖,，，，，又四邊形是矩形，，，，，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及三角形面積計(jì)算，應(yīng)用等面積法列式計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·福建漳州·九年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)校考期中）如圖，，，點(diǎn)在上，四邊形是矩形，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，給出下列結(jié)論：①平分；②；③；④若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)為____________．【答案】①②③④【分析】①先說明是等腰三角形，再由矩形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②證明即可判斷；③過，垂足為，然后根據(jù)角平分線定理可得，再求得，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；④連接，然后證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的和差即可判斷．【詳解】解：①∵∴是等腰三角形∵四邊形是矩形∴∴平分，故①正確；②∵，即∴∵∵，∴在和中∴∴，即②正確；③過作，垂足為，∵平分，∴∵，∴∴，即；故③正確；④由②得，∵為中點(diǎn)∴∵∴在和△中∴∴∴是等腰三角形∵∴∴，即∴是等腰直角三角形，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及解直角三角形，勾股定理，考查知識(shí)點(diǎn)較多，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式4】（2022秋·江西吉安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交的平分線于點(diǎn)，交的外角的平分線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)連接，，點(diǎn)可在上移動(dòng)，若四邊形是矩形，則點(diǎn)在的什么位置？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)若四邊形是矩形，則為的中點(diǎn)時(shí)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線和等腰三角形腰長(zhǎng)相等性質(zhì)證明，進(jìn)而可以解決問題；（2）設(shè)定四邊形為矩形，由矩形的性質(zhì)得點(diǎn)為的中點(diǎn)．【詳解】（1）證明：是的角平分線，；，，為等腰三角形，，同理：，；（2）解：若四邊形是矩形，則為的中點(diǎn)，理由如下：四邊形為矩形，，為的中點(diǎn)，答：若四邊形是矩形，則為的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】考查了矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式5】（2022春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，等腰的直角頂點(diǎn)是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，求證：．(2)如圖2，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．.【答案】(1)見解析；(2)3.4【分析】（1）連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，，，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以是的垂直平分線，故，在中，，定理代換即可證得結(jié)論；（2）連接，由（1）可知，，設(shè)，則，利用勾股定理求出的值即可．【詳解】（1）證明：連接，四邊形是矩形，，，，是直角三角形，，是的垂直平分線，，在中，，；（2）解：連接，由（1）可知，，設(shè)，則，在菱形中，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等．【經(jīng)典例題二菱形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】知識(shí)點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)1.邊：對(duì)邊平行，四條邊都相等2.角：對(duì)角相等3.對(duì)角線：4.對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線所在直線就是對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)2：菱形的判定定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形【例2】（2022秋·山東泰安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在菱形中，，，E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，G，H分別為，的中點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】連接，得到是的中位線，，當(dāng)時(shí)，最小，得到最小值，則，證得是等腰直角三角形，求出即可．【詳解】連接，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∵G，H分別為，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，當(dāng)時(shí)，最小，得到最小值，則，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于G，則下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③的最小值為．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①③ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及，先證明是等邊三角形，再根據(jù)“”可得≌，進(jìn)而可得，可說明是等邊三角形，在是等邊三角形中，要求最小，根據(jù)垂線段最短即可知當(dāng)時(shí)，最小，再通過勾股定理即可求出．【詳解】∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形，∴．∵，∴．∵，∴，∴結(jié)論①正確；∵，∴．∵，∴，即，∴是等邊三角形，∴結(jié)論②正確；∵當(dāng)時(shí)，最小，在中，，可知，∵，∴，∴，∴的最小值是，∴結(jié)論③正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，充分利用含角的菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則的最小值等于_________．【答案】【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，根據(jù)菱形的對(duì)稱性，得到，根據(jù)，得到，推出，得到，根據(jù)，推出，得到的最小值為【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，∵四邊形是菱形，∴B、關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形，含30°的直角三角形，垂線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，垂線段性質(zhì)．【變式3】（2022秋·湖北黃石·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）計(jì)算：=________；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，△CEF的面積最大值是____________．【答案】

6

【分析】（1）連接AC，證明，從而得到：，即可求出；（2）利用，可以推出四邊形AECF的面積等于△ABC的面積，利用△CEF的面積等于△ABC的面積減去△AEF的面積，當(dāng)△AEF的面積面積最小時(shí)，即可求出△CEF的面積．【詳解】解：（1）連接，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∵△AEF為等邊三角形，∴，∵，，又∵，∴，∵，∴（ASA），∴，∴；故答案為：6．（2）∵∴四邊形AECF的面積=，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)最小，∵為等邊三角形，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，同理可求：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接菱形的對(duì)角線，構(gòu)造全等三角形．【變式4】（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？奸_學(xué)考試）已知，如圖，在菱形中，為對(duì)角線，E是上的點(diǎn)，分別連結(jié)，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)SAS證明后,再證明后，即可證明．(2)連接交于點(diǎn)O,由菱形的性質(zhì)得出,結(jié)合，證明是等邊三角形，繼而得出,由直角三角形斜邊.上中線的性質(zhì)得出，即可求出的長(zhǎng)度.【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：如圖2，連接交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．【變式5】（2022春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是菱形的對(duì)角線，，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作菱形，并且使，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，易證：．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），猜想，，之間的關(guān)系并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），直接寫出，，之間的關(guān)系．【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得是等邊三角形，進(jìn)而證明，可得，根據(jù)，即可得證；（2）方法同（1）證明，可得，根據(jù)，即可得證；（1）結(jié)論：，理由如下：四邊形是菱形，四邊形是菱形，，，，是等邊三角形，∴，，，即，在和中，，≌，，，；（2）結(jié)論：，理由如下：理由如下：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，∴．，，即，在和中，，≌，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三正方形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型】知識(shí)點(diǎn)1：正方形的性質(zhì)邊：對(duì)邊平行，四條邊都相等角：四個(gè)角都是直角對(duì)角線對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸正方形面積求法：（表示正方形的邊長(zhǎng)，表示正方形的對(duì)角線）注：正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形有一個(gè)角是直角的菱形是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形知識(shí)點(diǎn)3：四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系【例3】（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M在延長(zhǎng)線上，，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】如圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，先證明得到，進(jìn)而可以證明得到，設(shè)，則，，在中利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如下圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，四邊形是正方形，，，，，又，，又，，，設(shè)，，，，在中，，，解得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·廣東揭陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，是對(duì)角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，．給出下列結(jié)論：①；②四邊形的周長(zhǎng)為8；③；④的最小值為2．其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由題意可得，，則四邊形是矩形，可以得出，，即可判定①②，連接，則有，要使最小，則為最小，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短即可求解．【詳解】∵四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴，，，，∵，，∴，∴四邊形是矩形，、都是等腰直角三角形，∴，，∴，故①錯(cuò)誤；∴，故②正確；連接，如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，∴，，，∴（SAS），∴，故③正確；要使最小，則為最小，則需滿足，∴此時(shí)為等腰直角三角形，∵，∴，即，∴，∴的最小值為，故④錯(cuò)誤；綜上分析：正確的有2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，是中點(diǎn)，將沿翻折至，延長(zhǎng)交于，則___________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，然后利用兩個(gè)三角形全等的判定得到，從而設(shè)，利用勾股定理得到方程，求解即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：在邊長(zhǎng)為6的正方形中，是中點(diǎn)，將沿翻折至，，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，則由得，，即，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求線段長(zhǎng)，涉及折疊性質(zhì)、正方形性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·山東青島·九年級(jí)校考期末）如圖，在正方形中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為________．【答案】10【分析】先證，從而證得，再由F為的中點(diǎn)，，證得B為的中點(diǎn)，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求得長(zhǎng)．【詳解】解：∵正方形，∴，又∵E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∴∴,又∵，∴，∴,又∵F為的中點(diǎn)，∴,∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】（江西省九江市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)E在正方形的邊上，連接，過點(diǎn)D作與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接與邊相交于點(diǎn)G，與對(duì)角線相交于點(diǎn)H，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先證明，得到，則，再證明，根據(jù)，求出，則；（2）在上取一點(diǎn)P，使，連接，證明，得到，再推出，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，即可證明．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，且，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵∴，即，∵，∴，∴，∴；（2）證明：在上取一點(diǎn)P，使，連接，由（1）得，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴∴是等邊三角形，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)性質(zhì)、定理．【變式5】（2021春·江蘇常州·八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┮阎涸谥?，為中線，以、為邊向的形外作正方形、正方形．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：．(2)如圖②③，當(dāng)時(shí)，與有怎樣的關(guān)系？在圖②和圖③中可任選一個(gè)圖，證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得，由“”可證，可得BC=FH，可得結(jié)論；（2）由“”可證，可得，由“”可證，可得，，由三角形內(nèi)角和可證．【詳解】（1）證明：∵以、為邊向的形外作正方形、正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，為中線，∴，∴；（2），理由如下：如圖②，延長(zhǎng)至M，使，連接，延長(zhǎng)交于N，∵為中線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．圖③時(shí)同理可證．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四特殊平行四邊形中長(zhǎng)度問題】【例4】（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，矩形，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)可求的長(zhǎng)，由三角形的三邊可求解．【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，矩形，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在中，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊形關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，，，則線段的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．6【答案】B【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到和，然后利用勾股定理計(jì)算出菱形的邊長(zhǎng)的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，求出的長(zhǎng)．【詳解】已知菱形，對(duì)角線互相垂直平分，∴，在中，∵，，∴根據(jù)勾股定理得，∵，∴，在中，，即菱形的邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為中點(diǎn)，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)G，H分別為，的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為______【答案】【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，由正方形的性質(zhì)，即可證得，可得，，再由勾股定可理可求得的長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：如圖：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，四邊形是正方形，，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為__．【答案】5【分析】由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得最小值．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點(diǎn)作于，于，又，四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵．【變式4】（2021春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若厘米，厘米，從點(diǎn)出發(fā)，以1厘米/秒的速度向運(yùn)動(dòng)（不與重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求為何值時(shí)，四邊形是菱形？【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)是矩形，得出，，再根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，得出，得出，即可證出；（2）根據(jù)已知條件得出的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求出的值．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵（對(duì)頂角相等），∴，∴.（2）解：由題意可知，則，∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是菱形，∴，在中，由勾股定理得即，解得，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在平行四邊形中，，將沿翻折至，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)在平行四邊形中，已知：，將沿翻折至，連接．若以A、C、D、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再由折疊的性質(zhì)證明即可證明；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明，即可證明；（3）分兩種情況當(dāng)四邊形為矩形和四邊形為矩形，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用矩形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∴，，∴，∴，即；（2）證明：∵，∴，同理可得，∵，∴，∴；（3）解：分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴,∴；②如圖2所示：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴,∴，綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五特殊平行四邊形中角度問題】【例5】（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形中，，，分別是邊和的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．根據(jù)已知可得的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到的度數(shù)，從而不難求得的度數(shù)．【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵F是邊的中點(diǎn)，∴，在與中，∴∴，∴F為中點(diǎn)．由題可知，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，平分交于，若，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再由角平分線得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，證明△AOB是等邊三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·山西臨汾·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是_________．【答案】15°##15度【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)有DO=OA=OB=OC，結(jié)合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分線，即有∠COG=90°，AG=CG，則有∠OAG=∠OCG，根據(jù)∠BOG=15°，可得∠COB=75°，進(jìn)而有∠OCB、∠OBC的度數(shù)，則可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即問題得解．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，且AC、BD相互平分，，∴DO=OA=OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵OG⊥AC，∴OG是AC的垂直平分線，∠COG=90°，∴AG=CG，∴∠OAG=∠OCG，∵，∴∠OAG=∠OCD，∵∠BOG=15°，∠COG=90°，∴∠COB=75°，∵∠OCB=∠OBC，∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=，∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=，∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=，∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=，故答案為：15°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OG是AC的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊上有一點(diǎn)G，以為邊向右作長(zhǎng)方形，沿翻折，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，若，則的度數(shù)為_______．【答案】18【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)共線，利用折疊的性質(zhì)得到，利用，，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴點(diǎn)B，C，E三點(diǎn)共線，∵沿翻折，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，∴，∴∠EBF的度數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，證明三點(diǎn)共線，是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，到點(diǎn)，，使，依次連接,,,各點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，則當(dāng)°時(shí)，四邊形是正方形．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出，由證明即可；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，，，證出，得出四邊形是菱形，證明是等腰直角三角形，得出，，證出四邊形是矩形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，，，即，在和中，，；（2）解：若，則當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形．理由如下：∵四邊形是菱形，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是菱形，，，是等腰直角三角形，，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形；故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式5】（2022春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，長(zhǎng)方形ABCD的點(diǎn)A在直線a上，B，C，D三點(diǎn)在平面上移動(dòng)變化（長(zhǎng)方形形狀大小始終保持不變），請(qǐng)根據(jù)如下條件解答：(1)圖1，若點(diǎn)B、D在直線b上，點(diǎn)C在直線b的下方，∠2＝30°，則∠1＝______；(2)圖2，若點(diǎn)D在直線a的上方，點(diǎn)C在平行直線a，b內(nèi)，點(diǎn)B在直線b的下方，m，n表示角的度數(shù)，請(qǐng)寫出m與n的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)圖3，若點(diǎn)D在平行直線a，b內(nèi)，點(diǎn)B，C在直線b的下方，x，y表示角的度數(shù)，且滿足關(guān)系式，求x的度數(shù)．【答案】(1)60°(2)m+n=90°(3)50°【分析】（1）利用互余關(guān)系，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算即可．（2）過點(diǎn)C作CE∥a,根據(jù)平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)計(jì)算即可．（3）結(jié)合（2），構(gòu)造方程組計(jì)算即可．(1)如圖1，∵a∥b，∴∠1=∠3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=90°-∠2，∴∠1=90°-∠2，∵∠2=30°，∴∠1=60°．(2)過點(diǎn)C作CE∥a,設(shè)度數(shù)為m的角為α，度數(shù)為n的角為β，∵a∥b，∴CE∥b,∴∠1=∠4，∴∠2=∠α，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB,∠2+∠1=90°，∴∠4=∠β，∴∠α+∠β=90°，故m+n=90°．(3)如圖3，過點(diǎn)D作c∥a,設(shè)度數(shù)為x的角為α，度數(shù)為y的角為β，∵a∥b，∴c∥b,∴∠6=∠7，∴∠5=∠α，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠5+∠7=90°，∴∠6=∠β，∴∠α+∠β=90°，故x+y=90°,∵x-y=10°，解得x=50°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六利用特殊平行四邊形的性質(zhì)求面積】【例6】（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形和都是矩形且點(diǎn)B在上，若，，則矩形的面積是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，利用勾股定理求出進(jìn)而求出，根據(jù)平行線間間距相等和矩形的性質(zhì)可得，則．【詳解】解：如圖所示，連接，四邊形是矩形，，在中，由勾股定理得：，，四邊形是矩形，，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·陜西漢中·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，平分交于點(diǎn)E，，連接，則下面的結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】由矩形的性質(zhì)可得，可證是等邊三角形，可得，故①正確；在中，由勾股定理可求得，故②錯(cuò)誤；可證，可求，故③錯(cuò)誤；由，可得，故④正確；由三角形的面積公式可求得故⑤正確；即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，故①正確；在中，，∴故②錯(cuò)誤；∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，故④正確；∵，∴∵∴，故⑤正確；∴正確的有①④⑤共3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校閼c祝建黨90周年，美化社區(qū)環(huán)境，某小區(qū)要修建一塊藝術(shù)草坪．如圖，該草坪依次由部分互相重疊的一些全等的菱形組成，且所有菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線在同一條直線上，前一個(gè)菱形對(duì)角線的交點(diǎn)是后一個(gè)菱形的一個(gè)頂點(diǎn)，如菱形、、，要求每個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為和．（1）若使這塊草坪的總面積是，則需要___個(gè)這樣的菱形；（2）若有個(gè)這樣的菱形（，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是___．【答案】

4

【分析】（1）利用菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可分別作出四個(gè)滿足條件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且這些小菱形的對(duì)角線分別為2，3，結(jié)合菱形的面積對(duì)角線另一條對(duì)角線，即可求出圖形的面積和需要的菱形個(gè)數(shù)；（2）由（1）可知若有個(gè)這樣的菱形，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積．【詳解】解：（1）每個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為和．小菱形的對(duì)角線分別為2，3，菱形的面積對(duì)角線另一條對(duì)角線，占地面積為，，則需要4個(gè)這樣的菱形；（2）當(dāng)有一個(gè)這樣的菱形，則草坪的面積為，當(dāng)有2個(gè)這樣的菱形，則草坪的面積為，依此類推若有個(gè)這樣的菱形，且為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是．故答案為：4；．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和菱形的面積公式，掌握菱形的性質(zhì)和菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，，垂足為E，點(diǎn)F、G分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，，則___________．【答案】96【分析】連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)三角形的中位線定理可得，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，最后利用菱形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，，，四邊形是菱形，，，，，故答案為：96．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，過點(diǎn)P作線段的垂線，交折線于點(diǎn)E，以線段為邊向右作正方形，設(shè)與正方形重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)點(diǎn)F落在線段上時(shí)，求t的值；(3)用含t的代數(shù)式表示重疊部分的面積S；(4)連結(jié)，當(dāng)線段所在直線與的邊垂直時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(4)或2或1【分析】（1）分點(diǎn)在線段和在線段上兩種情況進(jìn)行討論，利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，分別用含的代數(shù)式表示出，利用進(jìn)行求解即可；（3）分，，三種情況討論，利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（4）分，三種情況進(jìn)行討論，畫出相應(yīng)圖形，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到線段之間的等量關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵等腰直角三角形，∴，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，∵，，∴，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上時(shí)，∵，∴，∵，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)在上，如圖：∵正方形，∴，∴，∵，∴，∴；（3）當(dāng)時(shí)，正方形在的內(nèi)部，∴；當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)交于點(diǎn)，∵，∴∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖：，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4）當(dāng)時(shí)，如圖：則：，∴，∴，解得﹔當(dāng)時(shí)，此時(shí)在線段上，且是正方形的對(duì)角線，∵，又∵，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∴；當(dāng)時(shí)，此時(shí)在直線上，與點(diǎn)重合，如圖∴，∴，∴綜上所述：的值為或2或1．【點(diǎn)睛】本題考查幾何的綜合應(yīng)用．重點(diǎn)考查了等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022春·山東青島·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，E、F分別是AD和BC上的兩點(diǎn)，EF將四邊形ABCD分成兩個(gè)邊長(zhǎng)為6cm的正方形，∠DEF＝∠EFB＝∠B＝∠D＝90°；點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)，且CH＝2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿HD以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．任意一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．(1)如圖1，點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)，①連接QP，當(dāng)t＝_______時(shí)，QP∥BC；②當(dāng)t＝______時(shí)，P點(diǎn)在AQ的垂直平分線上．(2)如圖2，連接EP、EQ，若QE⊥EP，求出t的值；(3)當(dāng)t＝_______時(shí)，△EPD的面積等于面積的．【答案】(1)①；②(2)(3)或【分析】（1）①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得；②如圖（見解析），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得；（2）先根據(jù)三角形全等的判定證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得；（3）先根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和路徑求出，再分①，②和③三種情況，分別根據(jù)面積關(guān)系建立方程，解方程即可得．（1）解：①由題意得：，如圖，當(dāng)時(shí)，則，四邊形是長(zhǎng)方形，，即，解得，故答案為：；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，則，，解得，故答案為：．（2）解：由題意得：，，，，在和中，，，，即，解得．（3）解：點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間為，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間為，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間為；點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需時(shí)間為，則，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，的面積為，的面積為，的面積等于的面積的，，解得（不符題意，舍去）；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，由（2）已得：，則的面積為，的面積等于的面積的，，解得，符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即，此時(shí)，則的面積為，的面積等于的面積的，，解得，符合題設(shè)；綜上，當(dāng)或時(shí)，的面積等于的面積的，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七中點(diǎn)四邊形】知識(shí)點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形定義：依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.常見結(jié)論原圖形中點(diǎn)四邊形的形狀任意四邊形平行四邊形矩形菱形菱形矩形正方形正方形對(duì)角線相等的四邊形菱形對(duì)角線垂直的四邊形矩形對(duì)角線垂直且相等的四邊形正方形【例7】（2022春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)四邊形滿足時(shí)，四邊形是菱形D．當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，四邊形是矩形【答案】C【分析】先證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據(jù)選項(xiàng)條件結(jié)合矩形、菱形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，分別是，的中點(diǎn)，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形；，分別是，的中點(diǎn)，、分別是、中點(diǎn)，，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，，四邊形是菱形，故A正確，不符合題意；當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，，，，四邊形是菱形，故B正確，不符合題意；當(dāng)四邊形滿足時(shí)，不能證明四邊形是菱形，故C錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，∵，，∴AC是BD的垂直平分線，即∵，∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°∴四邊形是矩形，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，，，連接四邊形中點(diǎn)得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O，由三角形的中位線結(jié)合菱形的性質(zhì)可證明中點(diǎn)四邊形EFGH為矩形，即可得，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可求解AC，BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，∵E，F(xiàn)，G，H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴∴EF=GH，EH=FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAC=60°，∴AC⊥BD，∠BAC=30°，AC=2AO，BD=2BO，∴EF⊥EH，即∠FEH=90°，∴四邊形EFGH為矩形，∵故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)四邊形，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，證明四邊形EFGH為矩形是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H．若，，則四邊形EFGH的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，由可得是菱形，邊長(zhǎng)為2，由，可得，則，是等邊三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，，，，，四邊形是菱形，，∴，，連接，則是等邊三角形，四邊形EFGH的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，求得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）將連接四邊形對(duì)邊中點(diǎn)的線段稱為“中對(duì)線”．凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝BD＝4，且兩條對(duì)角線的夾角為60°，那么該四邊形較短的“中對(duì)線”的長(zhǎng)度為___．【答案】2【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得菱形EFGH，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)兩條對(duì)角線AC、BD的夾角為60°，取四邊的中點(diǎn)并連接起來，設(shè)AC與EH交點(diǎn)M．∴EH是三角形ABD的中位線，∴EH＝BD＝2，EHBD，同理，F(xiàn)G＝BD＝2，F(xiàn)GBD，EF＝AC＝2，EFAC，HG＝AC＝2，HGAC，∴EHHGAC，EF＝FG＝HG＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵EH＝BD＝2，EHBD，∴∠AOB＝60°＝∠AME，∵FEAC，∴∠FEH＝∠AME＝60°，∴△HEF為等邊三角形，∴HF＝EH＝2，∴較短的“中對(duì)線”長(zhǎng)度為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，理解題意，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2021秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．(1)四邊形的形狀是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請(qǐng)寫出一種．【答案】(1)平行四邊形．證明見解析(2)；(3)矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．【分析】（1）連接，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，，，推出，，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)有一組是鄰邊的平行四邊形是菱形，可知當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形是菱形；（3）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，，再根據(jù)矩形對(duì)角線相等，然后根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形．【詳解】（1）四邊形的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖，連接．、分別是、中點(diǎn)，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形；故答案為：平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形是菱形．理由如下：如圖，連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，又四邊形是平行四邊形平行四邊形是菱形；故答案為：；（3）矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形．理由如下：連接、．、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵．【變式5】（2022秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長(zhǎng)，分