2023-2024學年福建省高考模擬卷數學試題含解析

2023-2024學年福建省高考卷數學試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

、5

1.二項式-X2的展開式中，常數項為（)

7

A.-80B.80C.-160D.160

2.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶，每個單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為（）

2222C

3.已知橢圓G的方程\+==1,雙曲線C的方程為與-4=1,G和的離心率之積為火，則

a2b2a2b-2

C2的漸近線方程為（）

A.x±V2y=0B.72x±y=0C.x+2y=0D.2x±y=0

函數y=21

4.在［-6,6］的圖像大致為

-2X+2T

5.若向量a=(1,5)]=(一2,1),則q?(a+2Z?)=()

A.30B.31C.32D.33

)

7.已知定義在R上的函數/(x)滿足/(%)=/(—%),且在(0,+8)上是增函數，不等式〃改+2)<〃-1)對于

恒成立，則。的取值范圍是

A.-力B.C.4°D.[0,1]

8.秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州(現四川省安岳縣)人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入x的

值為2,則輸出的u值為()

A.9x210-2B.9x210+2C.9x2n+2D.9x2n-2

9.己知拋物線C:y2=2Px(p>0)的焦點為F,準線為I,氤M,N分別在拋物線C上，且“歹+3人下=0,直線

交/于點P,NN'±l,垂足為N',若尸的面積為246,則P至心的距離為（）

A.12B.10C.8D.6

10.已知函數“X）是R上的偶函數，且當xe[O,a）時，函數/（X）是單調遞減函數，則/（1,25）,

f（log53）的大小關系是（）

A.flog311</(log53)</(log25)B.flog311</(log25)</(log53)

、(、

c./(log53)</10g31|</(log25)

D./(log25)</log3-</(log53)

\3J

x-y>Q

11.已知X,y滿足約束條件<x+y<2,則z=2x+y的最大值為

y>0

A.1B.2C.3D.4

22

12.已知雙曲線C:^-與=1（。>0,b>0）的左、右焦點分別為《，K,點尸是C的右支上一點，連接尸耳與y軸交

于點M,若閨O|=2|OM|（。為坐標原點），PFXLPF?則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=+3xB.y=+s/3xC.y=±2xD.y=+42x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+1..0,

13.已知實數x,V滿足約束條件「x-y-3,,0,則z=2x+y的最大值為.

x>0

14.滿足線性的約束條件的目標函數Z=2x-y的最大值為

x+y<2

21的展開式中各項的二項式系數和為512,其展開式中第四項的系數

15.已知二項式%2

16.已知（l+2x）”的展開式中含有/的項的系數是60,則展開式中各項系數和為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，已知橢圓E的右焦點為工（1,0）,P,。為橢圓上的兩個動點，PQ8周長的最大值為8.

(I)求橢圓E的標準方程；

(II)直線/經過心，交橢圓E于點A,3,直線機與直線/的傾斜角互補，且交橢圓E于點"，N,\MNf^4\AB\,

求證：直線僧與直線/的交點T在定直線上.

18.(12分)平面直角坐標系中，曲線C：(x-If+>2=1.直線/經過點尸(私0),且傾斜角為以。為極點,

X軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

(1)寫出曲線。的極坐標方程與直線/的參數方程；

(2)若直線/與曲線。相交于A,B兩點,且12AH尸理=1,求實數機的值.

19.(12分)已知函數〃x)=alnx+L

X

(1)討論/(X)的零點個數；

(2)證明：當0<a<1時，

20.(12分)如圖，橢圓C:二+4=1(?！?〉0)的左、右頂點分別為4,4,上、下頂點分別為⑸，與，且用(0,1),

ab

44耳為等邊三角形，過點(1，。)的直線與橢圓。在丁軸右側的部分交于"、N兩點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求四邊形為MNg面積的取值范圍.

21.(12分)在某外國語學校舉行的IffiWCN(高中生數學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數之比為1:3,且成績

分布在[40』00],分數在80以上(含80)的同學獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到

成績的頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求。的值,并計算所抽取樣本的平均值1(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);

(H)填寫下面的2x2列聯表，并判斷在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關”.

女生男生總計

獲獎5

不獲獎

總計200

附表及公式:

j)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

甘土匠2n(ad-bc)2

其中K---------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

x=l+2cos。

22.(10分)在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程是c.為參數)，以原點。為極點，x軸正

y=2sma

半軸為極軸，建立極坐標系，直線/的極坐標方程為夕COS6+(=應.

(I)求曲線C的普通方程與直線/的直角坐標方程;

(II)已知直線/與曲線C交于A,B兩點,與X軸交于點尸，求4H

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

求出二項式的展開式的通式，再令X的次數為零，可得結果.

【詳解】

解：二項式[亍—展開式的通式為&=c(5](-x2)r=(-l)rC；25-r￡^+2r,

5—r

令一一—+2r=0,解得r=1,

2

則常數項為(—l)y2’=—80.

故選：A.

【點睛】

本題考查二項式定理指定項的求解，關鍵是熟練應用二項展開式的通式，是基礎題.

2、D

【解析】

三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率，利用互為對立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

「2「2廠3「1

由題意，三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數有

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有尺種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個單位，共有C；C；尺種，故甲、乙兩人在同一個單位的概率

曳=色，乙兩人不在同一個單位的概率為p=i—二=9.

150252525

故選：D.

【點睛】

本題考查古典概型的概率公式的計算，涉及到排列與組合的應用，在正面情況較多時，可以先求其對立事件，即甲、

乙兩人在同一個單位的概率，本題有一定難度.

3、A

【解析】

根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合G和02的離心率之積為走，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率

2

方程.

【詳解】

2222

橢圓G的方程吞+2=1，雙曲線的方程為十-￡=1，

則橢圓離心率G=5—3，雙曲線的離心率4=力?△，

aa

由G和G的離心率之積為—，

一2

，〃廬+廬&

gn2―1a2

ele2------------x------------=—

aa2

解得2=±交，

a2

所以漸近線方程為y=±-x，

2

化簡可得x±0y=O,

故選：A.

【點睛】

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.

4、B

【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數為奇函數，由/(4)的近似值即可得出結果.

【詳解】

設丁=y(x)=2-,則/(-X)=2(r)3=一"二=一/⑴，所以/(X)是奇函數，圖象關于原點成中心對稱,

2%+2r2T+2、2X+2~X

7x43

排除選項C.又/(4)=：4〉0,排除選項口；/(6)=；「7,排除選項A,故選B.

24+2-426+1-6

【點睛】

本題通過判斷函數的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇.本題較易，注重了基礎知識、基

本計算能力的考查.

5,C

【解析】

先求出a+2b，再與a相乘即可求出答案.

【詳解】

因為a+2〃=(1,5)+(-4,2)=(―3,7),所以。?(a+2份=—3+5x7=32.

故選:C.

【點睛】

本題考查了平面向量的坐標運算，考查了學生的計算能力,屬于基礎題.

6、A

【解析】

確定函數在定義域內的單調性，計算x=1時的函數值可排除三個選項.

【詳解】

x>0時，函數為減函數，排除B,T<x<0時，函數也是減函數，排除D,又x=l時，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數解析式選擇函數圖象，可通過解析式研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等等排除，可通過

特殊的函數值，函數值的正負，函數值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項.

7、A

【解析】

根據奇偶性定義和性質可判斷出函數為偶函數且在(-8,0)上是減函數，由此可將不等式化為-1W公+2W1；利用分

離變量法3可得1求得-三3的最大值和--1的最小值即可得到結果.

XXXx

【詳解】

/(%)=/(-%)f(x)為定義在R上的偶函數，圖象關于y軸對稱

又/(X)在(0,+8)上是增函數f(x)在(-8,0)上是減函數

/(ta+2).'.|ar+2|<l,即-

31

—1W4U+2W1對于xG［L4恒成立二—二VaV——在［1,2］上恒成立

JCJC

3「3一

.-.--<?<-1,即。的取值范圍為：一彳,—1

2L2

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用函數的奇偶性和單調性求解函數不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關鍵是能夠利用函數單

調性將函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.

8、C

【解析】

由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的左，v的值，當左=-1時，不滿足條件左.0,跳出循環(huán)，輸出v

的值.

【詳解】

解：初始值丫=10,尤=2,程序運行過程如下表所示：

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8>k=I,

v=10x23+9x2~+8x2+7>k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6,k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5.k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=G,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-L,

跳出循環(huán)，輸出v的值為

1098765432

^^V=10X2+9X2+8X2+7X2+6X2+5X2+4X2+3X2+2X2+1x2+0?

2V=10x2"+9x21°+8x29+7x2'+6x2’+5x26+4x2,+3x2,+2x23+1x22+0②

①一^得

-v=-10x2n+lx210+lx29+lx28+lx27+lx26+lx25+lx24+lx23+lx22+lx2

1-2

v=9x2n+2.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環(huán)得到左，v的值是解題的關鍵，屬于基礎題.

9、D

【解析】

作"腿」/,垂足為V,過點N作NG'M”,垂足為G,設|NF|=m（加＞0）,貝!=結合圖形可

n\MG\=2m,\MN\^4m,從而可求出NWG=60°,進而可求得|VP|=6w,加川=百根，由AMZV'P的面

積Sz^N7=g.|MM'HN'P|=24月即可求出機，再結合產為線段的中點，即可求出/至U/的距離?

【詳解】

如圖所示，

作垂足為AT,-^|A^F|=m(m>0),由MR+3NB=0，^\MF\=3m.,=\NN'\=m.

過點N作NG_LMM',垂足為G,則\M'G\=m,|MG\=2m,

所以在小AMZVG中，|MG|=2〃z,|M2V|=4m,所以85/6削=坐1=(，

11\MN\2

??MMr

所以NNMG=60。，在RAPMM'中，根，所以MP=--------=6m

cos60f

所以|貓|=2〃?，回尸|=4〃，

所以SAMN,P1-3m-y/3m=24^3.解得機=4,

因為IFP|=|FN\+\NP\=3m=\FM\,所以尸為線段“尸的中點,

門A”-、，IMM,|3m,

所以F到l的距離為p=---=—=6.

故選：D

【點睛】

本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題.

10、D

【解析】

利用對數函數的單調性可得log25>log35>log53,再根據/(x)的單調性和奇偶性可得正確的選項.

【詳解】

因為logs5>log33=1,0=log51<log53<log55=1,

^log35>log53>0.

Xlog25>log24=2=log39>log35>0,故log25>log35>log53.

因為當xe[0,+8)時，函數/(%)是單調遞減函數，

所以/(log25)</(log35)</(log53).

因為/(%)為偶函數，故/卜g3m=/(-log35)=/(log35),

(\\

所以“l(fā)og?5)〈/log3-</(log53).

\3J

故選：D.

【點睛】

本題考查抽象函數的奇偶性、單調性以及對數函數的單調性在大小比較中的應用，比較大小時注意選擇合適的中間數

來傳遞不等關系，本題屬于中檔題.

11、D

【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合即可得到結論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

x+y-.

z=2%+y等價于y=-2x+z,作直線y=-2x,向上平移，

易知當直線經過點(2,0)時z最大，所以入砍=2x2+0=4,故選D.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法.

12、C

【解析】

利用三角形AOA/耳與AP/y相似得歸周=2歸引，結合雙曲線的定義求得“，仇。的關系，從而求得雙曲線的漸近線

方程。

【詳解】

設耳(―c,0),g(c,0),

由閨O|=2|OM|,AOMK與相似，

所以\EO命\=IP局FI=2,即|,3|,=2|,理,|,

又因為|「耳卜|尸閶=2即

所以|尸制=4匹|尸鳥|=2a,

所以4c2=16/+44,Bpc2=5a2>b1=4a2>

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線幾何性質、漸近線方程求解，考查數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉化目標函數z=2x+y為y=-2x+z,當目標函數經過點(2,3)時，直線的截距最大,

取得最大值，即得解.

【詳解】

是以A(2,3),B(-1,O),C(1,O),為頂點的三角形及其內部，

轉化目標函數z=2x+y為y=-2x+z

當目標函數經過點(2,3)時，直線的截距最大

此時z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算能力，屬于基礎題.

14、1

【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線進行平移，利用z=2x-y的幾何意義，可求出目標函數的最大值。

【詳解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如圖所示：

平移直線y=2x-z,由圖像知，當直線經過點。時，截距最小，此時z取得最大值。

x-y=0\x=l

由‘c八，解得，，代入直線z=2x—y，得z=2xl—l=l。

x+y-2=0[y=l

【點睛】

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。

15、-672

【解析】

先令x=l可得其展開式各項系數的和，又由題意得2〃=512,解得〃=9,進而可得其展開式的通項，即可得答案.

【詳解】

令x=l,則有2〃=512,解得〃=9,

則二項式—2]的展開式的通項為I.=C；(x2)9-r(-1)r=(-2)r-C；？8-3r,

令r=3,則其展開式中的第4項的系數為(-2)3Cl=-672,

故答案為：-672

【點睛】

此題考查二項式定理的應用，解題時需要區(qū)分展開式中各項系數的和與各二項式系數和，屬于基礎題.

16、1

【解析】

由二項式定理及展開式通項公式得：22戲=60,解得〃=6,令x=l得：展開式中各項系數和，得解.

【詳解】

解：由(l+2x)"的展開式的通項M=C：(2尤)，，

令r=2,

得含有X2的項的系數是2?C；=60,

解得〃=6,

令尤=1得：展開式中各項系數和為(1+2)6=729,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、（I）—+^=1；（II）詳見解析.

43

【解析】

（I）由橢圓的定義可得，PQ8周長取最大值時，線段PQ過點月，可求出。，從而求出橢圓E的標準方程；

（II）設直線/:丁=左（％-1）（化工0）,直線77z:y=—左（1+",A（%,yJ,B（x2,y2）,M（x3,y3）,刈4”）?把

直線旭與直線/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達定理和弦長公式求出|MN『和,根據=4|A可求

出t的值.最后直線m與直線I的方程聯立，求兩直線的交點即得結論.

【詳解】

（I）設PQK的周長為L,

則L=|P閶+|Q閭+|PQ|=2a—|P片|+2a—|Q4|+|PQ|=4a—（|P周+|Q周）+|PQ|

<4a-\PQ\+\P^=4a,當且僅當線段PQ過點耳時“=”成立.

「.4。=8,:.a=2,又c=1>b=^3>

22

二橢圓E的標準方程為—+^=1.

43

（II）若直線/的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線相與直線/相交于點T矛盾，所以直線/的斜率存

在.

設/:丁=左（十一1）（左力0）,加：y=一左（兀+7），4（%,%），5（孫%），/（&，％），陽％”）。

將直線心的方程代入橢圓方程得：（3+4左2）爐+8左2b+4（左2/-3）=0.

8k~t4（居2—3

4A/9k2+9_12（1+左2）

同理,1AB|=J1+左2

3+4左23+4左2

由|腦V「=川45|得f=0,此時△=64/產—16（3+4左2）儼產—3）>0.

直線m:y=-kx,

聯立直線機與直線/的方程得

即點T在定直線兀=」.

2

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.

18、（1）|2（f為參數）；（U）771=1或加=1+0或加=1—四.

y=-t

I2

【解析】

試題分析：本題主要考查極坐標方程、參數方程與直角方程的相互轉化、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查

學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，用/+/=夕2,XUQCOS?；啽磉_式，得到曲

線C的極坐標方程，由已知點和傾斜角得到直線的參數方程；第二問，直線方程與曲線方程聯立，消參，解出M的值.

試題解析：⑴曲線相勺普通方程為：（x-1『+丁2=1,即V+y2=2x,即夕2=2pcos6,

即曲線C的極坐標方程為:p=2cos。.

6

x=m-\---1

直線/的參數方程為｛2。為參數）.

1

y=—t

-2

（2）設A,3兩點對應的參數分別為將直線/的參數方程代入x2+/=2x中，

得產+（也m-垂>）t+m2-2m=0,所以4>0,=m2-2m,,A>0=>—l<m<3

由題意得帆2-2司=1,得m=U+3或1-V2符合題意

考點：本題主要考查：1.極坐標方程，參數方程與直角方程的相互轉化；2.直線與拋物線的位置關系.

19、（1）見解析（2）見解析

【解析】

/TV—1

（1）求出/=分別以當a<。，a=0,。>0時，結合函數的單調性和最值判斷零點的個數.（2）令

/:（%）=talnx+1,結合導數求出/z（x"/4）=，+l?L同理可求出g（x）=\ez滿足g（x）?g6=L從

ee222

而可得以Inx+bgxeiT,進而證明了（'〉2-.

【詳解】

解析：(1)/(x)=^1rA：e(o,-H?),

當a<。時，/,(x)<0,/(x)單調遞減，/[]=—a+e〉O,fy=—l+e"O,此時/(%)有1個零點;

當。=0時，/(%)無零點；

當a>0時，由尸(x)<0得xe(0,：),由尸(x)>0得xegy),二/(%)在(0,：)單調遞減，在(：,+?))單調遞

增，，/(尤)在x=L處取得最小值了(工)=—alna+a,

aa

若-〃lnQ+Q>0,則〃<e,此時/(x)沒有零點；

若—〃lnQ+Q=0,則〃=e,此時/(x)有1個零點；

若—alna+a<0,貝！Ja〉e,/(1)>0,求導易得f(《)>0,此時在(」」)，(±1)上各有1個零點.

aaaa

綜上可得OVave時，沒有零點，avO或〃=e時，/(%)有1個零點，〃>e時，有2個零點.

(2)^h^x)-ax\ax+\,則"(x)=Q(l+lnx),當％一時，>0；當0<%<工時，"(x)<0,

h(x\>/z(—)=-—+!>—.

ee2

令g(%)=g尤3'，則g'(犬)=；/'(1_九)，

當Ovxvl時，g'(x)>。，當％>1時，g'(x)<0,Ag(x)<g(l)=^,

~l]e1-％e1-x

??k(x)>g(x),ctxIn%+1>—xc9??aInx—>---,即/(%)>----?

2x22

【點睛】

本題考查了導數判斷函數零點問題，考查了運用導數證明不等式問題，考查了分類的數學思想.本題的難點在于第二問

不等式的證明中，合理設出函數，通過比較最值證明.

【解析】

(1)根據與坐標和A4,與耳為等邊三角形可得a,。，進而得到橢圓方程;

(2)①當直線斜率不存在時，易求坐標，從而得到所求面積；②當直線MN的斜率存在時，設方程為

y=k(x-1),與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，并確定左的取值范圍；利用S=S/oB,+代

S-6i/—/-i-\

入韋達定理的結論可求得S關于左的表達式，采用換元法將問題轉化為‘一機+百_20，相€(&+后2碼的值

m

域的求解問題，結合函數單調性可求得值域；結合兩種情況的結論可得最終結果.

【詳解】

(1)4(0,1),.?2=1,

_2

的耳不為等邊三角形，.?.a=其=G，.?.橢圓的標準方程為:+>2=i.

(2)設四邊形用的面積為S.

②當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為丁=左(％-1),

設以(4%)，"(%,%)，

(2

X?2_]

+V1222

聯立T-=得：(3k+1)x-6kx+3A:-3=0,

y=^(x-1)

6k23k°—3

.口+”訴r中2=F7T，??.|x_%|二卜&_z)卜S狀:+1

%；>0,x2>0,xYx2>0,>1,

面積

11_3k2回k\12k2_3

S=S+S+S

ANOB,AOMNAMOB,=~X(X1+X2)X1+-X|-^2|X13K+13^+131

223+記

3+F

令42+（,則/e（0,百）,

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