《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系》教案、導學案、同步練習

《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學習直線與圓的位置關(guān)系。學生在初中的幾何學習中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學習了直線與圓的方程、點到直線的距離公式、點與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，因此本節(jié)課是對已學內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對于后面學習直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學方法。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一?！窘虒W目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系.B.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.1.數(shù)學抽象：直線與圓的位置關(guān)系2.邏輯推理：判斷直線與圓的位置關(guān)系3.數(shù)學運算：判斷直線與圓的位置關(guān)系4.數(shù)學建模：直線和圓的方程解決實際問題【教學重點】：判斷直線與圓的位置關(guān)系【教學難點】：直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題【教學過程】教學過程教學設(shè)計意圖情境導學“海上生明月，天涯共此時?！?，表達了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風采.這個過程中,月亮看作一個圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，前面我們學習了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，利用直線和圓的方程通過定量計算研究直線與圓的位置關(guān)系。探究新知直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷點睛：幾何法更為簡潔和常用.1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.相切或相交解析:圓心到直線的距離為d=532+42答案:A典例解析例1已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點;(2)只有一個公共點;(3)沒有公共點?思路分析:可聯(lián)立方程組,由方程組解的個數(shù)判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.解:(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴當Δ>0,即m>0或m<-43即直線與圓有兩個公共點;當Δ=0,即m=0或m=-43當Δ<0,即-43<m<0時,直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(方法2)已知圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0的距離d=|2當d<2,即m>0或m<-43當d=2,即m=0或m=-43當d>2,即-43<m<0時,直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個方面:一是點到直線的距離與半徑大小的關(guān)系;二是直線與圓的公共點的個數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計算量小,代數(shù)法可一同求出交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當?shù)倪x擇.例2過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程.思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,進而求出切線方程.解:因為(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點A在圓外.(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y+3=k(x-4).因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,所以|3k-1-3-4所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-158.所以切線方程為y+3=-158(即15x+8y-36=0.(2)若直線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.變式探究過點Q(3,0)作圓x2+y2=4的切線,求此切線方程.解:容易判斷點Q(3,0)在圓外.設(shè)切線的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圓的圓心為(0,0),半徑為2,所以|-3k|1+k所以所求切線方程為y=±255(x-切線方程的求法1.求過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-1k,由點斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或2.求過圓外一點P(x0,y0)的圓的切線時,常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進而切線方程即可求出.但要注意,此時的切線有兩條,若求出的k值只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.例3求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.思路分析:解法一求出直線與圓的交點坐標,解法二利用弦長公式,解法三利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長.解法一由3x+y-6=0故弦AB的長為|AB|=(2解法二由3消去y,得x2-3x+2=0.設(shè)兩交點A,B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|=(x即弦AB的長為10.解法三圓C:x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心坐標(0,1),半徑r=5,點(0,1)到直線l的距離為d=|3×0+1所以半弦長為|AB所以弦長|AB|=10.求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點,設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有(|AB|2)2+d2=r2,即|AB|=圖①(2)代數(shù)法:如圖②所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k圖②跟蹤訓練1已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,且與直線x+y-2=0垂直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為22,求圓C的標準方程.解:(1)由已知得:2x-y∴兩直線交點為(2,1).設(shè)直線l的斜率為k1,∵l與x+y-2=0垂直,∴k1=1,∵l過點(2,1),∴l(xiāng)的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0;(2)設(shè)圓的半徑為r,依題意,圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離為|3則由垂徑定理得r2=(2)2+(2)2=4,∴r=2,∴圓的標準方程為(x-3)2+y2=4.例3．如圖，臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向（北偏東45°）移動，離臺風中心不超過300千米的地區(qū)為危險區(qū)域.城市B在A地的正東400(1)求臺風移動路徑所在的直線方程；(2)求城市B處于危險區(qū)域的時間是多少小時？【解析】（1）以B為原點，正東方向為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系則臺風中心A的坐標是-400,0，臺風移動路徑所在直線斜率為：k=∴臺風移動路徑所在的直線方程為：y=x+400（2）以B為圓心，300千米為半徑作圓，圓和直線y=x+400相交于A1,A2兩點，則臺風中心移到A1∵點B到直線y=x+400的距離：d=200∴A1A∴B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間是10小時通過具體的情景，幫助學生回顧初中幾何中學習過的直線與圓的位置關(guān)系，同時提出運用方程思想解法問題的方法。通過典例解析，幫助學生進一步熟悉兩種基本方法，判斷直線與圓的位置關(guān)系。發(fā)展學生數(shù)學運算，數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習中掌握求圓的切線方程的方法，即：代數(shù)法與幾何法。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。通過與直線與圓位置關(guān)系的應用問題，提升學生數(shù)學建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是()A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=|3×1+4×答案:D2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是()A.0或2 B.2 C.2 D.2或2解析:∵直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,∴圓心O(0,0)到直線的距離|m|2=m,解得答案:B3.經(jīng)過點M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為.

解析:易知點M在圓上,所以M為切點,切點和圓心連線斜率k=12則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.答案:2x+y-5=04.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=.

解析:圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=|0所以弦長|AB|=2r2-d2=24答案:225．如圖所示,一座圓拱（圓的一部分）橋,當水面在圖位置m時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬多少米?【解析】以圓拱拱頂為坐標原點,以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標系,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點為A、B,則由已知得A(6,-2).設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.①將點A的坐標為(6,-2)代入方程①,解得r=10.∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.②當水面下降1米后,可設(shè)點A′的坐標為(x0,-3)(x0＞3),將A′的坐標(x0,-3)代入方程②,求得.∴水面下降1米后,水面寬為通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W反思】針對本節(jié)課的特點，在教法上，采用以教師為主導、學生為主體的教學方法；在教學過程中，注重啟發(fā)式引導、反饋式評價，充分調(diào)動學生的學習積極性，鼓勵同學們動手計算，采用一題多變的形式，讓學生體會由簡單到復雜，由特殊到一般的題型及相應解題策略，教師在學生活動后，給予幫助，促進數(shù)學概念的建構(gòu)，促進數(shù)學基本素養(yǎng)的形成；在教學手段上，運用黑板板書和多媒體展示，激發(fā)學生的創(chuàng)造力，活躍了氣氛，加深了理解。注重提升學生邏輯推理、數(shù)學抽樣、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)?！?.5.1直線與圓的位置關(guān)系》導學案【學習目標】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.【重點和難點】重點：判斷直線與圓的位置關(guān)系難點：直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題【知識梳理】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷點睛：幾何法更為簡潔和常用.1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.相切或相交【學習過程】一、情境導學“海上生明月，天涯共此時。”，表達了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風采.這個過程中,月亮看作一個圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，前面我們學習了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，利用直線和圓的方程通過定量計算研究直線與圓的位置關(guān)系。二、典例解析例1已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當m為何值時,直線與圓(1)有兩個公共點;(2)只有一個公共點;(3)沒有公共點?直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個方面:一是點到直線的距離與半徑大小的關(guān)系;二是直線與圓的公共點的個數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計算量小,代數(shù)法可一同求出交點.解題時可根據(jù)條件作出恰當?shù)倪x擇.例2過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程.變式探究過點Q(3,0)作圓x2+y2=4的切線,求此切線方程.切線方程的求法1.求過圓上一點P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-1k,由點斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或2.求過圓外一點P(x0,y0)的圓的切線時,常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進而切線方程即可求出.但要注意,此時的切線有兩條,若求出的k值只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.例3求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點,設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有(|AB|2)2+d2=r2,即|AB|=圖①(2)代數(shù)法:如圖②所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k圖②跟蹤訓練1已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點,且與直線x+y-2=0垂直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C的圓心為點(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為22,求圓C的標準方程.例3．如圖，臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向（北偏東45°）移動，離臺風中心不超過300千米的地區(qū)為危險區(qū)域.城市B在A地的正東400(1)求臺風移動路徑所在的直線方程；(2)求城市B處于危險區(qū)域的時間是多少小時？【達標檢測】1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是()A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是()A.0或2 B.2 C.2 D.2或23.經(jīng)過點M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為.

4.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=.

5．如圖所示,一座圓拱（圓的一部分）橋,當水面在圖位置m時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬多少米?【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理1.解析:圓心到直線的距離為d=532+42答案:A學習過程例1思路分析:可聯(lián)立方程組,由方程組解的個數(shù)判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.解:(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴當Δ>0,即m>0或m<-43即直線與圓有兩個公共點;當Δ=0,即m=0或m=-43當Δ<0,即-43<m<0時,直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(方法2)已知圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0的距離d=|2當d<2,即m>0或m<-43當d=2,即m=0或m=-43當d>2,即-43<m<0時,直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點例2思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,進而求出切線方程.解:因為(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點A在圓外.(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y+3=k(x-4).因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,所以|3k-1-3-4所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-158.所以切線方程為y+3=-158(即15x+8y-36=0.(2)若直線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.變式探究解:容易判斷點Q(3,0)在圓外.設(shè)切線的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圓的圓心為(0,0),半徑為2,所以|-3k|1+k所以所求切線方程為y=±255(x-例3思路分析:解法一求出直線與圓的交點坐標,解法二利用弦長公式,解法三利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長.解法一由3x+y-6=0故弦AB的長為|AB|=(2解法二由3消去y,得x2-3x+2=0.設(shè)兩交點A,B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|=(x即弦AB的長為10.解法三圓C:x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心坐標(0,1),半徑r=5,點(0,1)到直線l的距離為d=|3×0+1所以半弦長為|AB所以弦長|AB|=10.跟蹤訓練1解:(1)由已知得:2x-y∴兩直線交點為(2,1).設(shè)直線l的斜率為k1,∵l與x+y-2=0垂直,∴k1=1,∵l過點(2,1),∴l(xiāng)的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0;(2)設(shè)圓的半徑為r,依題意,圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離為|3則由垂徑定理得r2=(2)2+(2)2=4,∴r=2,∴圓的標準方程為(x-3)2+y2=4.例3．【解析】（1）以B為原點，正東方向為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系則臺風中心A的坐標是-400,0，臺風移動路徑所在直線斜率為：k=∴臺風移動路徑所在的直線方程為：y=x+400（2）以B為圓心，300千米為半徑作圓圓和直線y=x+400相交于A1則臺風中心移到A1時，城市B開始受臺風影響(危險區(qū))，直到A∵點B到直線y=x+400的距離：d=200∴A1A∴B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間是10小時達標檢測1.解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=|3×1+4×答案:D2.解析:∵直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,∴圓心O(0,0)到直線的距離|m|2=m,解得3.解析:易知點M在圓上,所以M為切點,切點和圓心連線斜率k=12則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.答案:2x+y-5=04.解析:圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=|0所以弦長|AB|=2r2-d2=24答案:225．【解析】以圓拱拱頂為坐標原點,以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標系,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點為A、B,則由已知得A(6,-2).設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.①將點A的坐標為(6,-2)代入方程①,解得r=10.∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.②當水面下降1米后,可設(shè)點A′的坐標為(x0,-3)(x0＞3),將A′的坐標(x0,-3)代入方程②,求得.∴水面下降1米后,水面寬為《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-基礎(chǔ)練》同步練習一、選擇題1．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（）A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離2．直線與圓相切，則實數(shù)等于（）A．或 B．或 C．或 D．或3.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是()A.6 B.3 C.26 D.84．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)（）A．-2 B．-4 C．-6 D．-85．（多選題）在同一直角坐標系中,直線y=ax+a2與圓(x+a)2+y2=a2的位置不可能為()6．（多選題）若過點A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率可能是()A.-1 B.-33 C.13二、填空題7．過原點且傾斜角為60°的直線被圓所截得的弦長為______.8.過點P(3,5)引圓(x-1)2+(y-1)2=4的切線,則切線長為.

9．圓的半徑為______．若直線與圓交于兩點,則的取值范圍是______．10.如下圖所示,一座圓拱橋,當水面在某位置時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬為m.

三、解答題11．已知圓，直線．（1）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點，若直線的傾斜角為120°，求弦AB的長．12.已知兩點O(0,0),A(6,0),圓C以線段OA為直徑,(1)求圓C的方程;(2)若直線l1的方程為x-2y+4=0,直線l2平行于l1,且被圓C截得的弦MN的長是4,求直線l2的方程.《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-基礎(chǔ)練》同步練習答案解析一、選擇題1．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（）A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離【答案】B【解析】由圓的方程得到圓心坐標（0，0），半徑r=1，則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心．所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心．故選B2．直線與圓相切，則實數(shù)等于（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】圓的方程即為（，圓心到直線的距離等于半徑或者，故選C．3.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是()A.6 B.3 C.26 D.8【答案】A【解析】∵圓的方程為x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圓心為(0,3),半徑為3,而直線y=kx+3過定點(0,3),過圓心,故直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長即為直徑6.4．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)（）A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】B【解析】圓心，，設(shè)圓心到直線的距離為，∴，，∴，∴．5．（多選題）在同一直角坐標系中,直線y=ax+a2與圓(x+a)2+y2=a2的位置不可能為()【答案】ABD【解析】由題意,可得a2>0,直線y=ax+a2顯然過點(0,a2),故ABD均不可能.6．（多選題）若過點A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率可能是()A.-1 B.-33 C.13【答案】BC【解析】由題意知直線l的斜率必存在,設(shè)為k,則l的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圓心C(1,0).半徑r=1.直線與圓有公共點,需|k-3k|k2+1≤1,所以|2k|≤k2+1,得k2≤二、填空題7．過原點且傾斜角為60°的直線被圓所截得的弦長為______.【解析】直線方程為，圓方程為，圓心到直線的距離，弦長．8.過點P(3,5)引圓(x-1)2+(y-1)2=4的切線,則切線長為.

【答案】4【解析】由圓的標準方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圓心A坐標(1,1),半徑r=|AB|=2,又點P(3,5)與A(1,1)的距離|AP|=(3-1)2+(5-1)2=25,由直線PB為圓9．圓的半徑為______．若直線與圓交于兩點,則的取值范圍是______．【答案】2；【解析】,所以圓心坐標為：,圓的半徑為2.因為直線與圓交于兩點,所以有.10.如下圖所示,一座圓拱橋,當水面在某位置時,拱頂離水面2m,水面寬12m,當水面下降1m后,水面寬為m.

【答案】251【解析】以圓拱拱頂為坐標原點,以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標系,如下圖所示:由題意可知:設(shè)圓的方程為:x2+(y+r)2=r2(其中r為圓的半徑),因為拱頂離水面2m,水面寬12m,所以設(shè)A(6,-2),代入圓的方程中,得r=10,所以圓的方程為:x2+(y+10)2=100,當水面下降1m后,設(shè)A'(x0,-3)(x0>3)代入圓的方程中,得x0=51,所以此時水面寬251m.三、解答題11．已知圓，直線．（1）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點，若直線的傾斜角為120°，求弦AB的長．【解析】(1)直線l可變形為y－1＝m(x－1)，因此直線l過定點D(1，1)，又＝1<，所以點D在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交．(2)由題意知m≠0，所以直線l的斜率k＝m，又k＝tan120°＝－，即m＝－．此時，圓心C(0，1)到直線l：x＋y－－1＝0的距離d＝＝，又圓C的半徑r＝，所以|AB|＝2＝2＝．12.已知兩點O(0,0),A(6,0),圓C以線段OA為直徑,(1)求圓C的方程;(2)若直線l1的方程為x-2y+4=0,直線l2平行于l1,且被圓C截得的弦MN的長是4,求直線l2的方程.【解析】(1)依題意知:圓C的半徑r=|OA|圓心坐標為(3,0),故圓C的方程為(x-3)2+y2=9.(2)∵直線l2平行于l1,直線l1的方程為x-2y+4=0,∴設(shè)直線l2的方程為x-2y+C=0,又∵弦長MN=4,圓的半徑為3,故圓心C到直線l2的距離d=|3+∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,∴直線l2的方程為x-2y+2=0或x-2y-8=0.《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-提高練》同步練習一、選擇題1．若直線與圓有兩個不同的公共點，那么點與圓的位置關(guān)系是（）．A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．不能確定2．已知過點P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．3.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]4．點在直線上,，與圓分別相切于A，B兩點，O為坐標原點，則四邊形PAOB面積的最小值為（）A．24 B．16 C．8 D．45．（多選題）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC，AB＝AC＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓M上點到直線的最小距離為2B．圓M上點到直線的最大距離為3C．若點（x，y）在圓M上，則的最小值是D．圓與圓M有公共點，則a的取值范圍是6.（多選題）在平面直角坐標系中，圓的方程為.若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取可以是()A． B． C． D．二、填空題7．直線l與圓相交于A，B兩點，若弦AB的中點為，則直線l的方程為____________.8．已知，則直線過定點__________；若直線與圓恒有公共點，則半徑r的取值范圍是__________.9．若直線與圓相交于兩點，且（其中為原點），則的值為__________.10.如圖,正方形ABCD的邊長為20米,圓O的半徑為1米,圓心是正方形的中心,點P、Q分別在線段AD、CB上,若線段PQ與圓O有公共點,則稱點Q在點P的“盲區(qū)”中,已知點P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動,同時,點Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動,則在點P從A移動到D的過程中,點Q在點P的盲區(qū)中的時長約秒(精確到0.1).

三、解答題11．如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系.圓經(jīng)過、、三點.（1）求圓的方程；（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？12．已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值.《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-提高練》同步練習答案解析一、選擇題1．若直線與圓有兩個不同的公共點，那么點與圓的位置關(guān)系是（）．A．點在圓外 B．點在圓內(nèi) C．點在圓上 D．不能確定【答案】A【解析】因為直線與圓有兩個公共點，所以有，即，因為點與的圓心的距離為，圓的半徑為2，所以點在圓外.故選:A．2．已知過點P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)過點的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.3.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]【答案】A【解析】設(shè)圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=22.點P到直線AB的距離為d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤64．點在直線上,，與圓分別相切于A，B兩點，O為坐標原點，則四邊形PAOB面積的最小值為（）A．24 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】分析：因為切線，的長度相等，所以四邊形PAOB面積為的面積的2倍．因為，所以要求四邊形PAOB面積的最小值，應先求的最小值．當取最小值時，取最小值．的最小值為點P到直線的距離，因為圓的圓心坐標為，半徑為．進而可求切線的長度的最小值，最小值為．可求四邊形PAOB面積的最小值．5．（多選題）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC，AB＝AC＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓M上點到直線的最小距離為2B．圓M上點到直線的最大距離為3C．若點（x，y）在圓M上，則的最小值是D．圓與圓M有公共點，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，由點B(－1,3)，點C(4,－2)可