《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系。學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容，因此本節(jié)課是對(duì)已學(xué)內(nèi)容的深化何延伸；另一方面，本節(jié)課對(duì)于后面學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容又是一個(gè)鋪墊，具有承上啟下的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系.B.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.1.數(shù)學(xué)抽象：直線與圓的位置關(guān)系2.邏輯推理：判斷直線與圓的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：判斷直線與圓的位置關(guān)系4.數(shù)學(xué)建模：直線和圓的方程解決實(shí)際問題【教學(xué)重點(diǎn)】：判斷直線與圓的位置關(guān)系【教學(xué)難點(diǎn)】：直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖情境導(dǎo)學(xué)“海上生明月，天涯共此時(shí)。”，表達(dá)了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個(gè)圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采.這個(gè)過程中,月亮看作一個(gè)圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，利用直線和圓的方程通過定量計(jì)算研究直線與圓的位置關(guān)系。探究新知直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷點(diǎn)睛：幾何法更為簡潔和常用.1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.相切或相交解析:圓心到直線的距離為d=532+42答案:A典例解析例1已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當(dāng)m為何值時(shí),直線與圓(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn)?思路分析:可聯(lián)立方程組,由方程組解的個(gè)數(shù)判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.解:(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴當(dāng)Δ>0,即m>0或m<-43即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)Δ=0,即m=0或m=-43當(dāng)Δ<0,即-43<m<0時(shí),直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn)(方法2)已知圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0的距離d=|2當(dāng)d<2,即m>0或m<-43當(dāng)d=2,即m=0或m=-43當(dāng)d>2,即-43<m<0時(shí),直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面:一是點(diǎn)到直線的距離與半徑大小的關(guān)系;二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計(jì)算量小,代數(shù)法可一同求出交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.例2過點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程.思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,進(jìn)而求出切線方程.解:因?yàn)?4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點(diǎn)A在圓外.(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y+3=k(x-4).因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,所以|3k-1-3-4所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-158.所以切線方程為y+3=-158(即15x+8y-36=0.(2)若直線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時(shí)直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.變式探究過點(diǎn)Q(3,0)作圓x2+y2=4的切線,求此切線方程.解:容易判斷點(diǎn)Q(3,0)在圓外.設(shè)切線的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圓的圓心為(0,0),半徑為2,所以|-3k|1+k所以所求切線方程為y=±255(x-切線方程的求法1.求過圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-1k,由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或2.求過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線時(shí),常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進(jìn)而切線方程即可求出.但要注意,此時(shí)的切線有兩條,若求出的k值只有一個(gè)時(shí),則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.例3求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.思路分析:解法一求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo),解法二利用弦長公式,解法三利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長.解法一由3x+y-6=0故弦AB的長為|AB|=(2解法二由3消去y,得x2-3x+2=0.設(shè)兩交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|=(x即弦AB的長為10.解法三圓C:x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心坐標(biāo)(0,1),半徑r=5,點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為d=|3×0+1所以半弦長為|AB所以弦長|AB|=10.求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有(|AB|2)2+d2=r2,即|AB|=圖①(2)代數(shù)法:如圖②所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k圖②跟蹤訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn),且與直線x+y-2=0垂直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C的圓心為點(diǎn)(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為22,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:(1)由已知得:2x-y∴兩直線交點(diǎn)為(2,1).設(shè)直線l的斜率為k1,∵l與x+y-2=0垂直,∴k1=1,∵l過點(diǎn)(2,1),∴l(xiāng)的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0;(2)設(shè)圓的半徑為r,依題意,圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離為|3則由垂徑定理得r2=(2)2+(2)2=4,∴r=2,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4.例3．如圖，臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向（北偏東45°）移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心不超過300千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.城市B在A地的正東400(1)求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程；(2)求城市B處于危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間是多少小時(shí)？【解析】（1）以B為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則臺(tái)風(fēng)中心A的坐標(biāo)是-400,0，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在直線斜率為：k=∴臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程為：y=x+400（2）以B為圓心，300千米為半徑作圓，圓和直線y=x+400相交于A1,A2兩點(diǎn)，則臺(tái)風(fēng)中心移到A1∵點(diǎn)B到直線y=x+400的距離：d=200∴A1A∴B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間是10小時(shí)通過具體的情景，幫助學(xué)生回顧初中幾何中學(xué)習(xí)過的直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)提出運(yùn)用方程思想解法問題的方法。通過典例解析，幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉兩種基本方法，判斷直線與圓的位置關(guān)系。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中掌握求圓的切線方程的方法，即：代數(shù)法與幾何法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過與直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是()A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=|3×1+4×答案:D2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是()A.0或2 B.2 C.2 D.2或2解析:∵直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,∴圓心O(0,0)到直線的距離|m|2=m,解得答案:B3.經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為.

解析:易知點(diǎn)M在圓上,所以M為切點(diǎn),切點(diǎn)和圓心連線斜率k=12則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.答案:2x+y-5=04.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

解析:圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=|0所以弦長|AB|=2r2-d2=24答案:225．如圖所示,一座圓拱（圓的一部分）橋,當(dāng)水面在圖位置m時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬多少米?【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A、B,則由已知得A(6,-2).設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.①將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,-2)代入方程①,解得r=10.∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.②當(dāng)水面下降1米后,可設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x0,-3)(x0＞3),將A′的坐標(biāo)(x0,-3)代入方程②,求得.∴水面下降1米后,水面寬為通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】針對(duì)本節(jié)課的特點(diǎn)，在教法上，采用以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)方法；在教學(xué)過程中，注重啟發(fā)式引導(dǎo)、反饋式評(píng)價(jià)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鼓勵(lì)同學(xué)們動(dòng)手計(jì)算，采用一題多變的形式，讓學(xué)生體會(huì)由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的題型及相應(yīng)解題策略，教師在學(xué)生活動(dòng)后，給予幫助，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)的形成；在教學(xué)手段上，運(yùn)用黑板板書和多媒體展示，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，活躍了氣氛，加深了理解。注重提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽樣、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！?.5.1直線與圓的位置關(guān)系》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：判斷直線與圓的位置關(guān)系難點(diǎn)：直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題【知識(shí)梳理】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷點(diǎn)睛：幾何法更為簡潔和常用.1.直線3x+4y=5與圓x2+y2=16的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.相切或相交【學(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)學(xué)“海上生明月，天涯共此時(shí)?！?，表達(dá)了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個(gè)圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采.這個(gè)過程中,月亮看作一個(gè)圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程，圓的方程，已經(jīng)用方程研究兩條直線的位置關(guān)系，下面我們未必用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法，利用直線和圓的方程通過定量計(jì)算研究直線與圓的位置關(guān)系。二、典例解析例1已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當(dāng)m為何值時(shí),直線與圓(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn)?直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面:一是點(diǎn)到直線的距離與半徑大小的關(guān)系;二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計(jì)算量小,代數(shù)法可一同求出交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.例2過點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,求此切線的方程.變式探究過點(diǎn)Q(3,0)作圓x2+y2=4的切線,求此切線方程.切線方程的求法1.求過圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,則由垂直關(guān)系,切線斜率為-1k,由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.若k=0或斜率不存在,則由圖形可直接得切線方程為y=b或2.求過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線時(shí),常用幾何方法求解設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,進(jìn)而切線方程即可求出.但要注意,此時(shí)的切線有兩條,若求出的k值只有一個(gè)時(shí),則另一條切線的斜率一定不存在,可通過數(shù)形結(jié)合求出.例3求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法(1)幾何法:如圖①,直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為|AB|,則有(|AB|2)2+d2=r2,即|AB|=圖①(2)代數(shù)法:如圖②所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k圖②跟蹤訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn),且與直線x+y-2=0垂直.(1)求直線l的方程;(2)若圓C的圓心為點(diǎn)(3,0),直線l被該圓所截得的弦長為22,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.例3．如圖，臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向（北偏東45°）移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心不超過300千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域.城市B在A地的正東400(1)求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程；(2)求城市B處于危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間是多少小時(shí)？【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是()A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心2.若直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,則m的值是()A.0或2 B.2 C.2 D.2或23.經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為.

4.直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

5．如圖所示,一座圓拱（圓的一部分）橋,當(dāng)水面在圖位置m時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬多少米?【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理1.解析:圓心到直線的距離為d=532+42答案:A學(xué)習(xí)過程例1思路分析:可聯(lián)立方程組,由方程組解的個(gè)數(shù)判斷,也可求出圓心到直線的距離,通過與半徑比較大小判斷.解:(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.∵Δ=4m(3m+4),∴當(dāng)Δ>0,即m>0或m<-43即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)Δ=0,即m=0或m=-43當(dāng)Δ<0,即-43<m<0時(shí),直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn)(方法2)已知圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0的距離d=|2當(dāng)d<2,即m>0或m<-43當(dāng)d=2,即m=0或m=-43當(dāng)d>2,即-43<m<0時(shí),直線與圓相離,即直線與圓沒有公共點(diǎn)例2思路分析:利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率,進(jìn)而求出切線方程.解:因?yàn)?4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點(diǎn)A在圓外.(1)若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y+3=k(x-4).因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,所以|3k-1-3-4所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-158.所以切線方程為y+3=-158(即15x+8y-36=0.(2)若直線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時(shí)直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.變式探究解:容易判斷點(diǎn)Q(3,0)在圓外.設(shè)切線的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圓的圓心為(0,0),半徑為2,所以|-3k|1+k所以所求切線方程為y=±255(x-例3思路分析:解法一求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo),解法二利用弦長公式,解法三利用幾何法作出直角三角形,三種解法都可求得弦長.解法一由3x+y-6=0故弦AB的長為|AB|=(2解法二由3消去y,得x2-3x+2=0.設(shè)兩交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|=(x即弦AB的長為10.解法三圓C:x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心坐標(biāo)(0,1),半徑r=5,點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為d=|3×0+1所以半弦長為|AB所以弦長|AB|=10.跟蹤訓(xùn)練1解:(1)由已知得:2x-y∴兩直線交點(diǎn)為(2,1).設(shè)直線l的斜率為k1,∵l與x+y-2=0垂直,∴k1=1,∵l過點(diǎn)(2,1),∴l(xiāng)的方程為y-1=x-2,即x-y-1=0;(2)設(shè)圓的半徑為r,依題意,圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離為|3則由垂徑定理得r2=(2)2+(2)2=4,∴r=2,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4.例3．【解析】（1）以B為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則臺(tái)風(fēng)中心A的坐標(biāo)是-400,0，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在直線斜率為：k=∴臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑所在的直線方程為：y=x+400（2）以B為圓心，300千米為半徑作圓圓和直線y=x+400相交于A1則臺(tái)風(fēng)中心移到A1時(shí)，城市B開始受臺(tái)風(fēng)影響(危險(xiǎn)區(qū))，直到A∵點(diǎn)B到直線y=x+400的距離：d=200∴A1A∴B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間是10小時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析:圓心(1,-1)到直線3x+4y+12=0的距離d=|3×1+4×答案:D2.解析:∵直線x+y+m=0與圓x2+y2=m相切,∴圓心O(0,0)到直線的距離|m|2=m,解得3.解析:易知點(diǎn)M在圓上,所以M為切點(diǎn),切點(diǎn)和圓心連線斜率k=12則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.答案:2x+y-5=04.解析:圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,故圓心C(0,-1),半徑r=2,圓心到直線y=x+1的距離d=|0所以弦長|AB|=2r2-d2=24答案:225．【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A、B,則由已知得A(6,-2).設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2.①將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,-2)代入方程①,解得r=10.∴圓的方程為x2+(y+10)2=100.②當(dāng)水面下降1米后,可設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x0,-3)(x0＞3),將A′的坐標(biāo)(x0,-3)代入方程②,求得.∴水面下降1米后,水面寬為《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（）A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離2．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A．或 B．或 C．或 D．或3.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是()A.6 B.3 C.26 D.84．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)（）A．-2 B．-4 C．-6 D．-85．（多選題）在同一直角坐標(biāo)系中,直線y=ax+a2與圓(x+a)2+y2=a2的位置不可能為()6．（多選題）若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率可能是()A.-1 B.-33 C.13二、填空題7．過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓所截得的弦長為______.8.過點(diǎn)P(3,5)引圓(x-1)2+(y-1)2=4的切線,則切線長為.

9．圓的半徑為______．若直線與圓交于兩點(diǎn),則的取值范圍是______．10.如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為m.

三、解答題11．已知圓，直線．（1）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為120°，求弦AB的長．12.已知兩點(diǎn)O(0,0),A(6,0),圓C以線段OA為直徑,(1)求圓C的方程;(2)若直線l1的方程為x-2y+4=0,直線l2平行于l1,且被圓C截得的弦MN的長是4,求直線l2的方程.《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（）A．相切B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心D．相離【答案】B【解析】由圓的方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1，則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心．所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心．故選B2．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】圓的方程即為（，圓心到直線的距離等于半徑或者，故選C．3.直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長是()A.6 B.3 C.26 D.8【答案】A【解析】∵圓的方程為x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圓心為(0,3),半徑為3,而直線y=kx+3過定點(diǎn)(0,3),過圓心,故直線y=kx+3被圓x2+y2-6y=0所截得的弦長即為直徑6.4．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)（）A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】B【解析】圓心，，設(shè)圓心到直線的距離為，∴，，∴，∴．5．（多選題）在同一直角坐標(biāo)系中,直線y=ax+a2與圓(x+a)2+y2=a2的位置不可能為()【答案】ABD【解析】由題意,可得a2>0,直線y=ax+a2顯然過點(diǎn)(0,a2),故ABD均不可能.6．（多選題）若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率可能是()A.-1 B.-33 C.13【答案】BC【解析】由題意知直線l的斜率必存在,設(shè)為k,則l的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圓心C(1,0).半徑r=1.直線與圓有公共點(diǎn),需|k-3k|k2+1≤1,所以|2k|≤k2+1,得k2≤二、填空題7．過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓所截得的弦長為______.【解析】直線方程為，圓方程為，圓心到直線的距離，弦長．8.過點(diǎn)P(3,5)引圓(x-1)2+(y-1)2=4的切線,則切線長為.

【答案】4【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圓心A坐標(biāo)(1,1),半徑r=|AB|=2,又點(diǎn)P(3,5)與A(1,1)的距離|AP|=(3-1)2+(5-1)2=25,由直線PB為圓9．圓的半徑為______．若直線與圓交于兩點(diǎn),則的取值范圍是______．【答案】2；【解析】,所以圓心坐標(biāo)為：,圓的半徑為2.因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn),所以有.10.如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為m.

【答案】251【解析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如下圖所示:由題意可知:設(shè)圓的方程為:x2+(y+r)2=r2(其中r為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2m,水面寬12m,所以設(shè)A(6,-2),代入圓的方程中,得r=10,所以圓的方程為:x2+(y+10)2=100,當(dāng)水面下降1m后,設(shè)A'(x0,-3)(x0>3)代入圓的方程中,得x0=51,所以此時(shí)水面寬251m.三、解答題11．已知圓，直線．（1）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為120°，求弦AB的長．【解析】(1)直線l可變形為y－1＝m(x－1)，因此直線l過定點(diǎn)D(1，1)，又＝1<，所以點(diǎn)D在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交．(2)由題意知m≠0，所以直線l的斜率k＝m，又k＝tan120°＝－，即m＝－．此時(shí)，圓心C(0，1)到直線l：x＋y－－1＝0的距離d＝＝，又圓C的半徑r＝，所以|AB|＝2＝2＝．12.已知兩點(diǎn)O(0,0),A(6,0),圓C以線段OA為直徑,(1)求圓C的方程;(2)若直線l1的方程為x-2y+4=0,直線l2平行于l1,且被圓C截得的弦MN的長是4,求直線l2的方程.【解析】(1)依題意知:圓C的半徑r=|OA|圓心坐標(biāo)為(3,0),故圓C的方程為(x-3)2+y2=9.(2)∵直線l2平行于l1,直線l1的方程為x-2y+4=0,∴設(shè)直線l2的方程為x-2y+C=0,又∵弦長MN=4,圓的半徑為3,故圓心C到直線l2的距離d=|3+∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,∴直線l2的方程為x-2y+2=0或x-2y-8=0.《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1．若直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）．A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定2．已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．3.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]4．點(diǎn)在直線上,，與圓分別相切于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最小值為（）A．24 B．16 C．8 D．45．（多選題）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓M上點(diǎn)到直線的最小距離為2B．圓M上點(diǎn)到直線的最大距離為3C．若點(diǎn)（x，y）在圓M上，則的最小值是D．圓與圓M有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是6.（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為.若直線上存在一點(diǎn)，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取可以是()A． B． C． D．二、填空題7．直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為____________.8．已知，則直線過定點(diǎn)__________；若直線與圓恒有公共點(diǎn)，則半徑r的取值范圍是__________.9．若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為__________.10.如圖,正方形ABCD的邊長為20米,圓O的半徑為1米,圓心是正方形的中心,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、CB上,若線段PQ與圓O有公共點(diǎn),則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中,已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng),則在點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長約秒(精確到0.1).

三、解答題11．如圖，某海面上有、、三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過、、三點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？12．已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.《2.5.1直線與圓的位置關(guān)系-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．若直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）．A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以有，即，因?yàn)辄c(diǎn)與的圓心的距離為，圓的半徑為2，所以點(diǎn)在圓外.故選:A．2．已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.3.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]【答案】A【解析】設(shè)圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=22.點(diǎn)P到直線AB的距離為d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤64．點(diǎn)在直線上,，與圓分別相切于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最小值為（）A．24 B．16 C．8 D．4【答案】C【解析】分析：因?yàn)榍芯€，的長度相等，所以四邊形PAOB面積為的面積的2倍．因?yàn)?，所以要求四邊形PAOB面積的最小值，應(yīng)先求的最小值．當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值．的最小值為點(diǎn)P到直線的距離，因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，半徑為．進(jìn)而可求切線的長度的最小值，最小值為．可求四邊形PAOB面積的最小值．5．（多選題）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓M上點(diǎn)到直線的最小距離為2B．圓M上點(diǎn)到直線的最大距離為3C．若點(diǎn)（x，y）在圓M上，則的最小值是D．圓與圓M有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】ACD【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，由點(diǎn)B(－1,3)，點(diǎn)C(4,－2)可