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文檔簡介

2023-2024學年湖南省瀏陽一中、攸縣一中高考數學倒計時模擬卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點為,準線與軸的交點為,點為拋物線上任意一點的平分線與軸交于,則的最大值為A. B. C. D.2.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點,點為平行四邊形外一點,且,,則()A. B.C. D.3.函數f(x)=2x-3A.[32C.[324.已知是虛數單位,則()A. B. C. D.5.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點,則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線6.函數的單調遞增區(qū)間是()A. B. C. D.7.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內所有直線與l異面B.α內只存在有限條直線與l共面C.α內存在唯一的直線與l平行D.α內存在無數條直線與l相交8.已知向量,夾角為,,,則()A.2 B.4 C. D.9.已知,則()A. B. C. D.210.將函數f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度,得到函數g(x)的圖象,給出下列關于g(x)的結論:①它的圖象關于直線x=對稱;②它的最小正周期為;③它的圖象關于點(,1)對稱;④它在[]上單調遞增.其中所有正確結論的編號是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④11.若函數在時取得最小值,則()A. B. C. D.12.函數y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,,則_________.14.設為拋物線的焦點,為上互相不重合的三點,且、、成等差數列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標為_______.15.已知拋物線的焦點為,斜率為的直線過且與拋物線交于兩點,為坐標原點,若在第一象限,那么_______________.16.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結果應是:_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知關于的不等式解集為().(1)求正數的值;(2)設,且,求證:.18.(12分)某單位準備購買三臺設備,型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品,提供設備的商家規(guī)定:可以在購買設備的同時購買該易耗品,每件易耗品的價格為100元,也可以在設備使用過程中,隨時單獨購買易耗品,每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數.該單位調查了這三種型號的設備各60臺,調査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數,并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數678型號A30300頻數型號B203010型號C04515將調查的每種型號的設備的頻率視為概率,各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.(1)求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率;(2)以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據,該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品?19.(12分)已知函數,,設.(1)當時,求函數的單調區(qū)間;(2)設方程(其中為常數)的兩根分別為,,證明:.(注:是的導函數)20.(12分)已知,,設函數,.(1)若,求不等式的解集;(2)若函數的最小值為1,證明:.21.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)如圖,在中,,的角平分線與交于點,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標,利用拋物線的定義,轉化求出比值,,求出等式左邊式子的范圍,將等式右邊代入,從而求解.【詳解】解:由題意可得,焦點F(1,0),準線方程為x=?1,

過點P作PM垂直于準線,M為垂足,

由拋物線的定義可得|PF|=|PM|=x+1,

記∠KPF的平分線與軸交于

根據角平分線定理可得,,當時,,當時,,,綜上:.故選:A.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、性質的簡單應用,直線的斜率公式、利用數形結合進行轉化是解決本題的關鍵.考查學生的計算能力,屬于中檔題.2、D【解析】

連接,根據題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點睛】本題考查向量的線性運算問題,屬于基礎題3、A【解析】

根據冪函數的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數y=2x-3解得x≥32且∴函數f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數的解析式,則構造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解;(3)若已知函數fx的定義域為a,b,則函數fgx4、B【解析】

根據復數的乘法運算法則,直接計算,即可得出結果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復數的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎題型.5、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據判斷A的正誤.根據,判斷B的正誤.根據與相交,判斷C的正誤.根據,判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因為,所以平面,故A正確.因為,所以,所以平面故B正確.因為,所以平面,故D正確.因為與相交,所以與平面相交,故C錯誤.故選:C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.6、D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數的解析式,再根據正弦函數的單調性,并采用整體法,可得結果.【詳解】因為,由,解得,即函數的增區(qū)間為,所以當時,增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數的單調遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數的單調性,同時對于整體法的應用,使問題化繁為簡,難度較易.7、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯誤,故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關系,直線與直線的位置關系,難度不大.8、A【解析】

根據模長計算公式和數量積運算,即可容易求得結果.【詳解】由于,故選:A.【點睛】本題考查向量的數量積運算,模長的求解,屬綜合基礎題.9、B【解析】

結合求得的值,由此化簡所求表達式,求得表達式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.10、B【解析】

根據函數圖象的平移變換公式求出函數的解析式,再利用正弦函數的對稱性、單調區(qū)間等相關性質求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由圖象的平移變換公式知,函數g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期為,故②正確;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是對稱軸,故①錯誤;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函數g(x)的圖象關于點(,1)對稱,故③正確;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④錯誤;故選:B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數的對稱性、單調性和最小正周期等性質;考查運算求解能力和整體代換思想;熟練掌握正弦函數的對稱性、單調性和最小正周期等相關性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、??碱}型11、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式,再根據正弦函數的最值,求得在函數取得最小值時的值.【詳解】解:,其中,,,故當,即時,函數取最小值,所以,故選:D【點睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數的最值的應用,屬于基礎題.12、D【解析】分析:先研究函數的奇偶性,再研究函數在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數,排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數的單調性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

由得,算出,再代入算出即可.【詳解】,,,,解得:,,則.故答案為:2【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算,向量垂直的性質,向量的模的計算.14、或【解析】

設出三點的坐標,結合等差數列的性質、線段垂直平分線的性質、拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為:,設,由拋物線的定義可知:,,,因為、、成等差數列,所以有,所以,因為線段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應用,考查了等差數列的性質,考查了數學運算能力.15、2【解析】

如圖所示,先證明,再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因為.所以,過點A、B分別作準線的垂線,垂足分別為M,N,過點B作于點E,設|BF|=m,|AF|=n,則|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因為,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案為:2【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的定義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、1【解析】

根據程序框圖直接計算得到答案.【詳解】程序在運行過程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結果應是:1故答案為:1.【點睛】本題考查了程序框圖,意在考查學生的計算能力和理解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)證明見解析.【解析】

(1)將不等式化為,求解得出,根據解集確定正數的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質,得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當且僅當時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數的范圍以及基本不等式的應用,屬于中檔題.18、(1)(2)應該購買21件易耗品【解析】

(1)由統(tǒng)計表中數據可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數總數為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數為6和7的頻率均為;B型號的設備一個月使用易耗品的件數為6,7,8的頻率分別為;C型號的設備一個月使用易耗品的件數為7和8的頻率分別為;設該單位一個月中三臺設備使用易耗品的件數分別為,則,,,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數總數為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購買設備的同時購買了20件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設備的同時購買了21件易耗品,設該單位一個月中購買易耗品所需的總費用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購買設備時應該購買21件易耗品【點睛】本題考查獨立事件的概率,考查離散型隨機變量的分布列和期望,考查數據處理能力.19、(1)在上單調遞增,在上單調遞減.(2)見解析【解析】

(1)求出導函數,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)求出含有參數的,再求出,由的兩根是,得,計算,代入后可得結論.【詳解】解:,函數的定義域為,.(1)當時,,由得,由得,故函數在上單調遞增,在上單調遞減.(2)證明:由條件可得,,,方程的兩根分別為,,,且,可得..【點睛】本題考查用導數研究函數的單調性,考查導數的運算、方程根的知識.在可導函數中一般由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間.20、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)利用零點分段法,求出各段的取值范圍然后取并集可得結果.(2)利用絕對值三角不等式可得,然后使用柯西不等式可得結果.【詳解】

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