安徽省淮南市壽縣中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

安徽省淮南市壽縣中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比（）A． B． C． D．2．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是()A． B． C． D．3．經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上的圓方程為（）A． B．C． D．4．已知，則比多了幾項(xiàng)（）A．1 B． C． D．5．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形6．設(shè)是△所在平面上的一點(diǎn)，若，則的最小值為A． B． C． D．7．在中，角所對(duì)的邊分別為.若，，，則等于（）A． B． C． D．8．已知一個(gè)幾何體是由半徑為2的球挖去一個(gè)三棱錐得到（三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上）.若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．9．如圖是一三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則該人最后一天走的路程為（）.A．24里 B．12里 C．6里. D．3里二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積為______.12．已知與的夾角為，，，則________.13．若數(shù)列{an}滿足a1=2，a14．若數(shù)列滿足，且，則___________.15．若直線：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.16．已知兩個(gè)數(shù)k＋9和6－k的等比中項(xiàng)是2k，則k＝________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，．（1）若，求證：數(shù)列為等比數(shù)列．（2）若，求．18．在等差數(shù)列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n項(xiàng)和為Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn，并證明Tn＜．19．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，該商場(chǎng)向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付元，沒有獎(jiǎng)金；第二種，每天的底薪元，另有獎(jiǎng)金.第一天獎(jiǎng)金元，以后每天支付的薪酬中獎(jiǎng)金比前一天的獎(jiǎng)金多元；第三種，每天無底薪，只有獎(jiǎng)金.第一天獎(jiǎng)金元，以后每天支付的獎(jiǎng)金是前一天的獎(jiǎng)金的倍.（1）工作天，記三種付費(fèi)方式薪酬總金額依次為、、，寫出、、關(guān)于的表達(dá)式；（2）該學(xué)生在暑假期間共工作天，他會(huì)選擇哪種付酬方式？21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，以及取到最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的集合；（2）在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程可得的值．【詳解】∵，∴，又，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，等比數(shù)列中共有五個(gè)量，其中是基本量，這五個(gè)量可“知三求二”，求解的實(shí)質(zhì)是解方程或解方程組．2、A【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的值域即可.【詳解】偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故函數(shù)的值域?yàn)?本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值域的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、B【解析】

設(shè)出圓心坐標(biāo)，由圓心到切線的距離和它到點(diǎn)的距離都是半徑可求解．【詳解】由題意設(shè)圓心為，則，解得，即圓心為，半徑為．圓方程為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系．求出圓心坐標(biāo)與半徑是求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法．4、D【解析】

由寫出，比較兩個(gè)等式得多了幾項(xiàng).【詳解】由題意，則，那么：，又比多了項(xiàng).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)函數(shù)的理解和帶值計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)榻菫槿切蝺?nèi)角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查判定三角形的形狀問題，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.6、C【解析】分析：利用向量的加法運(yùn)算，設(shè)的中點(diǎn)為D，可得，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可將原式化簡(jiǎn)為，為AD中點(diǎn)，從而得解.詳解：由，可得.設(shè)的中點(diǎn)為D，即.點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，為AD中點(diǎn).∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值.故選C.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．7、B【解析】

利用正弦定理可求.【詳解】由正弦定理得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于容易題.8、C【解析】由三視圖可知，三棱錐的體積為9、D【解析】把此三棱錐嵌入長(zhǎng)寬高分別為：的長(zhǎng)方體中三棱錐即為所求的三棱錐其中，，，則，故可求得三棱錐各面面積分別為：，，，故表面積為三棱錐體積設(shè)內(nèi)切球半徑為，則故三棱錐內(nèi)切球體積故選10、C【解析】

由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人最后一天走的路程．【詳解】解：記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4.【解析】

設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，在直角三角形POA中，求得高,利用體積公式，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，AB=，PA=設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=，在直角三角形POA中，，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐體積的計(jì)算，其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì)，以及棱錐的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12、3【解析】

將平方再利用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?故.化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，?故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了模長(zhǎng)與數(shù)量積的綜合運(yùn)用,經(jīng)常利用平方去處理.屬于基礎(chǔ)題.13、2×【解析】

判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式．【詳解】數(shù)列{an}中，a可得數(shù)列是等比數(shù)列，等比為3，an故答案為：2×3【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的判斷以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力．14、【解析】

對(duì)已知等式左右取倒數(shù)可整理得到，進(jìn)而得到為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，從而求得結(jié)果.【詳解】，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，關(guān)鍵是明確對(duì)于形式的遞推關(guān)系式，采用倒數(shù)法來進(jìn)行推導(dǎo).15、【解析】若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點(diǎn)應(yīng)在線段上（不包含點(diǎn)）,當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，直線的傾斜角為，當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為16、3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】

（1）證明即可；（2）化簡(jiǎn)，討論，和即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以．又所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列．（2）因?yàn)?，所以，所以：?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，極限的運(yùn)算，注意分類討論的應(yīng)用，是中檔題18、（1）（2）見解析【解析】

（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，求得（），再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得Tn，再由不等式的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，則an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），（），前n項(xiàng)和Tn（1）（1）（）．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）存在，【解析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項(xiàng)；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以或，又，則，所以；（2）因?yàn)?，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)及其前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度一般.對(duì)于公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列，分析前項(xiàng)和所滿足的不等式時(shí)，注意分類討論，因此的奇偶會(huì)影響的正負(fù).20、（1），，；（2）第三種，理由見解析.【解析】

（1）三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、，可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式可計(jì)算出、、關(guān)于的表達(dá)式；（2）利用（1）中的結(jié)論，計(jì)算出、、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、，它們的前項(xiàng)和分別為、、，第一種付酬方式每天所付金額組成