廣東省興寧一中2024年數學高一下期末考試試題含解析

廣東省興寧一中2024年數學高一下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若三棱錐的四個面都為直角三角形,平面,,,則三棱錐中最長的棱長為()A． B． C． D．2．在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，若，則等于（）A． B． C． D．3．向量，，若，則（）A．5 B． C． D．4．不等式的解集為（）A． B． C． D．5．設是平面內的一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是（）A．與 B．與C．與 D．與6．某防疫站對學生進行身體健康調查，與采用分層抽樣的辦法抽取樣本.某中學共有學生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，樣本中男生103人，則該中學共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人7．已知，則()A．-3 B． C． D．38．將八進制數化成十進制數，其結果為（）A． B． C． D．9．在等差數列中，，則等于()A．2 B．18 C．4 D．910．若圓錐的高擴大為原來的3倍，底面半徑縮短為原來的12A．縮小為原來的34 B．縮小為原來的C．擴大為原來的2倍 D．不變二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若把寫成的形式，則______.12．已知圓Ω過點A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝0的距離為_____．13．設向量，，且，則______．14．已知等比數列的前項和為，若，且，則_____．15．已知數列滿足，則__________.16．已知，則與的夾角等于___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，（1）求函數的最小正周期；（2）設的內角的對邊分別為，且，，，求的面積．18．已知，為常數，且，，．（I）若方程有唯一實數根，求函數的解析式．（II）當時，求函數在區(qū)間上的最大值與最小值．（III）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．19．數列中，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求；⑶設，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．在△中，，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的大?。?1．已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且ＥＨ∥ＦＧ．求證：EH∥BD.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據題意，畫出滿足題意的三棱錐，求解棱長即可.【詳解】因為平面，故，且，則為直角三角形，由以及勾股定理得：；同理，因為則為直角三角形，由，以及勾股定理得：；在保證和均為直角三角形的情況下，①若，則在中，由勾股定理得：，此時在中，由，及，不滿足勾股定理故當時，無法保證為直角三角形.不滿足題意.②若，則，又因為面ABC，面ABC，則，故面PAB，又面PAB，故，則此時可以保證也為直角三角形.滿足題意.③若，在直角三角形BCA中，斜邊AB=2，小于直角邊AC=，顯然不成立.綜上所述：當且僅當時，可以保證四棱錐的四個面均為直角三角形，故作圖如下：由已知和勾股定理可得：，顯然，最長的棱為.故選：B.【點睛】本題表面考查幾何體的性質，以及棱長的計算，涉及線面垂直問題，需靈活應用.2、D【解析】

由正弦定理將邊化角可求得，根據三角形為銳角三角形可求得.【詳解】由正弦定理得：，即故選：【點睛】本題考查正弦定理邊化角的應用問題，屬于基礎題.3、A【解析】

由已知等式求出，再根據模的坐標運算計算出模．【詳解】由得，解得．∴，，．故選：A．【點睛】本題考查求向量的模，考查向量的數量積，及模的坐標運算．掌握數量積和模的坐標表示是解題基礎．4、A【解析】

因式分解求解即可.【詳解】,解得.故選：A【點睛】本題主要考查了二次不等式的求解,屬于基礎題.5、C【解析】

利用向量可以作為基底的條件是，兩個向量不共線，由此分別判定選項中的兩個向量是否共線即可．【詳解】由是平面內的一組基底，所以和不共線，對應選項A：，所以這2個向量共線，不能作為基底；對應選項B：，所以這2個向量共線，不能作為基底；對應選項D：，所以這2個向量共線，不能作為基底；對應選項C：與不共線，能作為基底.故選：C．【點睛】本題主要考查基底的定義，判斷2個向量是否共線的方法，屬于基礎題．6、D【解析】由分層抽樣的辦法可知在名學生中抽取的男生有，故女生人數為，應選答案D．7、C【解析】

由同角三角函數關系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點睛】這個題目考查了三角函數的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.8、B【解析】

利用進制數化為十進制數的計算公式，，從而得解．【詳解】由題意，，故選．【點睛】本題主要考查八進制數與十進制數之間的轉化，熟練掌握進制數與十進制數之間的轉化計算公式是解題的關鍵．9、D【解析】

利用等差數列性質得到，，計算得到答案.【詳解】等差數列中，故選：D【點睛】本題考查了等差數列的計算，利用性質可以簡化運算，是解題的關鍵.10、A【解析】

設原來的圓錐底面半徑為r，高為h，可得出變化后的圓錐的底面半徑為12r，高為【詳解】設原來的圓錐底面半徑為r，高為h，該圓錐的體積為V=1變化后的圓錐底面半徑為12r，高為該圓錐的體積為V'=1故選：A.【點睛】本題考查圓錐體積的計算，考查變化后的圓錐體積的變化，解題關鍵就是圓錐體積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查弧度與角度的互化，象限角的表示，屬于基礎題．12、【解析】

求得線段和線段的垂直平分線，求這兩條垂直平分線的交點即求得圓的圓心，在求的圓心到直線的距離.【詳解】∵A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），∴AB的中點坐標為（5，2），則AB的垂直平分線方程為y＝2；BC的中點坐標為（2，2），，則BC的垂直平分線方程為y﹣2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣8＝1．聯(lián)立，得．∴圓Ω的圓心為Ω（2，2），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝1的距離為d．故答案為：【點睛】本小題主要考查根據圓上點的坐標求圓心坐標，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.13、【解析】

根據即可得出，進行數量積的坐標運算即可求出x．【詳解】∵；∴；∴x＝﹣1；故答案為﹣1．【點睛】考查向量垂直的充要條件，以及向量數量積的坐標運算，屬于基礎題．14、4或1024【解析】

當時得到，當時，代入公式計算得到，得到答案.【詳解】比數列的前項和為，當時：易知，代入驗證，滿足，故當時：故答案為：4或1024【點睛】本題考查了等比數列，忽略掉的情況是容易發(fā)生的錯誤.15、【解析】

數列為以為首項，1為公差的等差數列?！驹斀狻恳驗樗杂炙詳盗袨橐詾槭醉?，1為公差的等差數列。所以所以故填【點睛】本題考查等差數列，屬于基礎題。16、【解析】

利用再結合已知條件即可求解【詳解】由，即，故答案為：【點睛】本題考查向量的夾角計算公式，在考題中應用廣泛，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）利用二倍角和輔助角公式可將函數整理為，利用求得結果；（2）由，結合的范圍可求得；利用兩角和差正弦公式和二倍角公式化簡已知等式，可求得；分別在和兩種情況下求解出各邊長，從而求得三角形面積.【詳解】（1）的最小正周期：（2）由得：，即：，，解得：，由得：即：若，即時，則：若，則由正弦定理可得：由余弦定理得：解得：綜上所述，的面積為：【點睛】本題考查正弦型函數的最小正周期、三角形面積的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、兩角和差正弦公式、二倍角公式、輔助角公式的應用，考查學生對于三角函數、三角恒等變換和解三角形知識的掌握.18、（I）;（II）;;（III）.【解析】

（I）根據方程ax2+（b-1）x=0有唯一解，以及列方程求解即可;（II）根據二次函數的性質，函數的單調性，即可求得求得最值，（III）分離參數，構造函數，求出函數的最值即可.【詳解】∵，∴，∴.（I）方程有唯一實數根，即方程有唯一解，∴，解得∴（II）∵,∴，,若,若.（III）解法一、當時，不等式恒成立，即：在區(qū)間上恒成立，設，顯然函數在區(qū)間上是減函數，,當且僅當時，不等式在區(qū)間上恒成立，因此.解法二：因為當時，不等式恒成立,所以時，的最小值,當時，在單調遞減，恒成立,而,所以時不符合題意．當時，在單調遞增，的最小值為,所以，即即可,綜上所述，.19、（1）；（2）（3）7.【解析】

（1）由可得為等差數列，從而可得數列的通項公式；（2）先判斷時數列的各項為正數，時數列各項為負數，分兩種情況討論分別利用等差數列求和公式求解即可；（3）求得利用裂項相消法求得，由可得結果.【詳解】（1）由題意，，為等差數列，設公差為，由題意得，.（2）若時，時，，故.（3），若對任意成立，的最小值是，對任意成立，的最大整數值是7,即存在最大整數使對任意，均有【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式與求和公式，以及裂項相消法求和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計