2023-2024學(xué)年廣東省廣州第七中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省廣州第七中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且=3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若=x+(1-x)，則x的取值范圍是()A． B．C． D．2．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3．在中，，，則的最小值是（）A．2 B．4 C． D．124．若向量，，則（）A． B． C． D．5．直線x+2y﹣3＝0與直線2x+ay﹣1＝0垂直，則a的值為（）A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣46．已知扇形的圓心角，弧長為，則該扇形的面積為（）A． B． C．6 D．127．當(dāng)為第二象限角時，的值是（）．A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列{an}中a1＝﹣2，an+1＝1，則a2019的值為（）A．﹣2 B． C． D．9．若實數(shù)x，y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值（）A． B．－1 C．0 D．210．若三棱錐中，，，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知三棱錐的外接球的球心恰好是線段的中點，且，則三棱錐的體積為__________.12．將函數(shù)的圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變；再向右平移個單位長度得到的圖象，則_________.13．在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.14．若數(shù)列的前4項分別是，則它的一個通項公式是______.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數(shù)共__項16．的值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取5所學(xué)校，對學(xué)生進(jìn)行視力檢查．（1）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；（2）若從抽取的5所學(xué)校中抽取2所學(xué)校作進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析：①列出所有可能抽取的結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校至少有一所中學(xué)的概率．18．已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項和為，求證：.19．某制造商月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣個進(jìn)行檢查，測得每個球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表分組頻數(shù)頻率10205020合計100(1)請在上表中補充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間的中點值是作為代表.據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).20．已知點，圓.（1）求過點的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，求的值.21．在中，角所對的邊為.已知面積（1）若求的值；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)所給的數(shù)量關(guān)系，寫出要求向量的表示式，注意共線的向量之間的三分之一關(guān)系，根據(jù)表示的關(guān)系式和所給的關(guān)系式進(jìn)行比較，得到結(jié)果．【詳解】如圖.依題意，設(shè)=λ，其中1<λ<，則有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且不共線，于是有x=1-λ∈，即x的取值范圍是.故選D.【點睛】本題考查向量的基本定理，是一個基礎(chǔ)題，這種題目可以出現(xiàn)在解答題目中，也可以單獨出現(xiàn)，注意表示向量時，一般從向量的起點出發(fā)，繞著圖形的邊到終點．2、B【解析】

利用不等式的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同乘，可得成立.故選：B.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)，，得到，，平方計算得到最小值.【詳解】故答案為C【點睛】本題考查了向量的模，向量運算，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.4、B【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，先由，求得，再求的坐標(biāo)．【詳解】因為，所以，所以．故選：B【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由兩直線垂直的條件，列出方程即可求解，得到答案．【詳解】由題意，直線與直線垂直，則滿足，解得，故選：A．【點睛】本題主要考查了兩直線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線垂直的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

可先由弧長計算出半徑，再計算面積．【詳解】設(shè)扇形半徑為，則，，．故選：A．【點睛】本題考查扇形面積公式，考查扇形弧長公式，掌握扇形的弧長和面積公式是解題基礎(chǔ)．7、C【解析】

根據(jù)為第二象限角，，，去掉絕對值，即可求解．【詳解】因為為第二象限角，∴，，∴，故選C．【點睛】本題重點考查三角函數(shù)值的符合，三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號可以結(jié)合口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加記憶印象，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】

根據(jù)遞推公式，算出即可觀察出數(shù)列的周期為3，根據(jù)周期即可得結(jié)果．【詳解】解：由已知得，，，

，…，，

所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，故，

故選：B．【點睛】本題考查遞推數(shù)列的直接應(yīng)用，難度較易．9、A【解析】

線性規(guī)劃問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。【詳解】可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到A點時z取最小值，故選A【點睛】線性規(guī)劃中線性的目標(biāo)函數(shù)問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。10、B【解析】

將棱錐補成長方體，根據(jù)長方體的外接球的求解方法法得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得到棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱為長方體的楞，該三棱錐補成長方體，兩者的外接球是同一個，外接球的球心是長方體的體對角線的中點處。設(shè)球的半徑為R，則表面積為故答案為：B.【點睛】本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意得出平面后，由計算可得答案.【詳解】因為三棱錐的外接球的球心恰好是的中點，所以和都是直角三角形，又因為，所以，，又，則平面.因為，所以三角形為邊長是的等邊三角形，所以.故答案為：【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱錐與球的組合，考查了三棱錐的體積公式，屬于中檔題.12、【解析】

由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，，可得的解析式，從而求得的值．【詳解】將函數(shù)向左平移個單位長度可得的圖象；保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍可得的圖象，故，所以.【點睛】本題主要考查函數(shù)）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．13、【解析】

假設(shè)正方體棱長，根據(jù)//，得到異面直線與所成角，計算，可得結(jié)果.【詳解】假設(shè)正方體棱長為1，因為//，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷出該數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可寫出該數(shù)列的一個通項公式．【詳解】解：∵，該數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列的通項公式是：，故答案為：．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義以及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由題意有：由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數(shù)共項，得解.【詳解】解：當(dāng)時，不等式左邊為，當(dāng)時，不等式左邊為，則由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數(shù)共項，故答案為：.【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式，結(jié)合根式運算，化簡求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意，由于，所以故答案為：【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式，考查根式運算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3所、2所；（2）①共10種；②【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣的方法，得到分層抽樣的比例，即可求解樣本中小學(xué)與中學(xué)抽取的學(xué)校數(shù)目；（2）①3所小學(xué)分別記為；2所中學(xué)分別記為，利用列舉法，即可求得抽取的2所學(xué)校的所有結(jié)果；②利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應(yīng)的概率．【詳解】（1）學(xué)?？倲?shù)為35所，所以分層抽樣的比例為，計算各類學(xué)校應(yīng)抽取的數(shù)目為：，故從小學(xué)、中學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3所、2所．（2）①3所小學(xué)分別記為；2所中學(xué)分別記為應(yīng)抽取的2所學(xué)校的所有結(jié)果為：共10種．②設(shè)“抽取的2所學(xué)校至少有一所中學(xué)”作為事件．其結(jié)果共有7種，所以概率為．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)和的關(guān)系式，利用，整理化簡得到，從而證明是等差數(shù)列；（2）利用由（1）寫出的通項，利用裂項相消法求出，從而證明【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3；（2）當(dāng)時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以，所以，所以【點睛】本題考查根據(jù)與的關(guān)系證明等差數(shù)列，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.19、(1)見解析；(2)40.00(mm)【解析】解：(1)頻率分布表如下：分組

頻數(shù)

頻率

[39.95,39.97)

10

0.10

5

[39.97,39.99)

20

0.20

10

[39.99,40.01)

50

0.50

25

[40.01,40.03]

20

0.20

10

合計

100

1

注：頻率分布表可不要最后一列，這里列出，只是為畫頻率分布直方圖方便．頻率分布直方圖如下：(2)整體數(shù)據(jù)的平均值約為39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．20、（1）或；（2）【解析】分析：（1）根據(jù)點到直線的距離等于半徑進(jìn)行求解即可，注意分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況；（2）根據(jù)直線和圓相交時的弦長公式進(jìn)行求解.詳解：（1）由圓的方程得到圓心，半徑，當(dāng)直線斜率不存在時，方程與圓相切，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為，即，由題意得