高中數(shù)學(xué)橢圓練習(xí)(含答案)

橢圓

一.選擇題

22

3.FT、B是橢圓二+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)為的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，那么的周

169

長(zhǎng)為

A.8B.16C.25D.32

22

4.橢圓L+二口的左、右焦點(diǎn)分別為西、&，點(diǎn)P在橢圓上，假設(shè)P、Fi、&是一個(gè)直角三角

169

形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么點(diǎn)尸到無(wú)軸的距離為

A9ccc9/「9

A.--D.J》----C一

574

5.橢圓x=4+5cos(p,

Y

y=3sin。(。為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A.〔0,0),[0,—8]B.(0,0),(―8,0)

C.(0,0〕，[0,8)D.(0,0),[8,0)

二.填空題

2

6.橢圓上+絲=1的離心率是,準(zhǔn)線方程是.

259

22

7.尸是橢圓A+5=l(a>6>0)上任意一點(diǎn)，尸與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，且尸到兩準(zhǔn)線距離

a2b2

分別為6、12,那么橢圓方程為.

8.如果方程<+。2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

22

9.點(diǎn)P在橢圓上+二=1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，那么點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是

259

三.解答題

10.尸1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，尸為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)尸尸1，尸兇，PO

//AB為橢圓中心)時(shí)，求橢圓的離心率.

X2

11.如下列圖，設(shè)E：=1[a>b>Q]的焦點(diǎn)為E與尸2，且PCE,ZFPF=29.

7l2

求證：的面積S=%an

12.假設(shè)橢圓加+勿/=1與直線x+y=l交于A、2兩點(diǎn)，M為A2的中點(diǎn)，直線。M9為原點(diǎn))的

斜率為變，且。求橢圓的方程.

2

13.橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的

最短距離是追，求這個(gè)橢圓方程.

14.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+l與橢圓相交于點(diǎn)P和點(diǎn)。，且OPL

OQ,1尸。1=平，求橢圓方程.

15.設(shè)工、y￡R,，、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，假設(shè)向量Q=xi+(y+2)j,

b=xi+(y—2)j,且|a|+|b|=8.

(1)求點(diǎn)M5,y〕的軌跡。的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)(0,3)作直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)而=示+53,是否存在這樣的直線/,

使得四邊形0AP2是矩形？假設(shè)存在，求出直線/的方程；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由.

17.如下列圖，△。尸。的面積為S,且而?FQ=l.

1---?---?

m假設(shè)一VSV2,求向量O尸與尸。的夾角。的取值范圍；

2

—*3—*,

12)設(shè)[0尸|=cS=-c,假設(shè)以。為中心，產(chǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，當(dāng)|。。|取最小

值時(shí)，求橢圓的方程.

18.某橢圓的焦點(diǎn)是B(—4,0)、F2(4,0),過(guò)點(diǎn)尸2,并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為

2,且I均8I+IF2B\=10.橢圓上不同的兩點(diǎn)A[為，％)、C[&,”)滿足條件：IBAI、II、I

F2cI成等差數(shù)列.

(1)求該橢圓的方程；

[2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

[3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為了=依+根，求相的取值范圍.

22

19.直線/過(guò)點(diǎn)Mil,1),與橢圓L+2L=I相交于A、8兩點(diǎn)，假設(shè)AB的中點(diǎn)為試求直線/的

43

方程.

參考答案：

一.選擇題

3.B4.D5.D

二.填空題

三.解答題

22

10.解：設(shè)橢圓方程為一^+f=l[一c,0),?=足一白,

「212,Fi

那么P（—c,b1—彳)，即尸(一的

'：AB//PO,:?kAB=kop，

又a=-\lb2+c2=V2b，

cbV2

a42b2

11.證明：設(shè)1PBi=n，\PF2\=r2,

那么S二一03in2又尸iB|=2c,

2

由余弦定理有

[2c）2二口2+也2-2門井2cos2（r1+/2〕2—2片廠2-2片廠2cos2[24）2—2廠1廠211+cos2。）,

于是2r1粒(l+cos20]=4〃2—4，=412.

2b2

所以片「2=

1+cos20

2b22sinecos8

這樣即有s=--si*9+2cos2g-IDtan夕.

21+cos20

12.解:設(shè)A5i，y\],B[X2，>2)，M[X]為+為〕

2

(〃+/?)x1——2bx+b——1=0.

加+勿2=1,

,x+xb%+為——+12_a

x2------，-i—

一iTa+b22a+b

a]

：.M(—

a+ba+b

koM=——，b=V2a.①

2

VOAXOB,,??五?①二一1.

mx2

.,.xiX2+y1y2=0.

b-1

XiX2=----，yiV2=(l-Xl)[1-X2),

a+b

?,?y1^2=1一〔Xl+%2〕+X1X2

2bb-1a-1

二1一----+-----=-----.

a+ba+ba+b

:.U+0=o

a+ba+b

a+b=2.

由①②得。二2〔后—1),b=2/2(V2-1).

?，.所求方程為2(V2—1)x+2V2(V2—1)y=l.

13.解：由題設(shè)條件可知a-2c,c,又a—c=y[3,解得才=12,廬9.，所求橢圓的方程是

14.解：設(shè)橢圓方程為町；2=i〔m〉0,心0),

設(shè)尸(xi,刀]，Q(血，以)，解方程組

y=x+l,

mx2+ny2=l.消去y,整理得{m+n]x2+2nx+n—1=0.

4=4層-4{m+n]>0,BPm+n—mn>G,OP_LOQ=>xiX2+yiy2=0?

BPX1X2+〔xi+1)(X2+1)=0，2XI%2+(即+冗2)+1=0,__D-2n+]=0.

m+nm-n

m+n=2.

由弦長(zhǎng)公式得2??！健?

1戶r

解(5②得<2或J22

n=—n=—.I橢圓方程為L(zhǎng)+—_/=1或—x?+二=1.

、22、2222

15.⑴解法一：'/a=xi+〔y+2)j,b=xi+(y—2)j,且|a|+|臼=8,

...點(diǎn)M(尤，y)到兩個(gè)定點(diǎn)B[0,—2),F2(0,2)的距離之和為8.

22

軌跡c為以尸1、巳為焦點(diǎn)的橢圓，方程為L(zhǎng)+2L=L

1216

解法二：由題知，Jx2+(y+2)2+y/x2+(y-2)2=8,

移項(xiàng),得Q+(y+2)-=8--\Jx~+(y—2)~,

兩邊平方，得

/+5+2)2=/+［y—2)2—16正+0-2)2+64,

整理，得2Jr2+(y_2)2=8—y,

兩邊平方，得4[r+(y—2)2]=(8—y)2,

22

展開，整理得L+t=l.

1216

⑵:/過(guò)y軸上的點(diǎn)[0,3),

假設(shè)直線/是y軸，那么A、8兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

,?OP=OA+OB=0,

與。重合，與四邊形。1PB是矩形矛盾.

工直線I的斜率存在.設(shè)/方程為y=fcr+3,A〔沏,為)，B(如”)，

y=fc1+3,

12

由，y2消y得〔4+3嚴(yán))/+18日—21=0.止匕時(shí)，A=(18后)~4〔4+3斤〕

[1216

(—21)>0恒成立，且為+%2=——18"0，X\X2=——.

4+3左24+3左2

???0P=0A+05,???四邊形O4P8是平行四邊形.假設(shè)存在直線/,使得四邊形。4P3是矩形，那么

OALOB,即OA?03=0.

*.*OA=(xi,yi〕，OB-［愈，)2〕,

OA,OB=xiX2+y1^2=0,

即［1+3)為X2+3左〔％1+%2)+9=0,

即［1+8?(—21］+3…—儂，)+9=0,BPe=—,得k=土好.

4+3/4+3左2164

,存在直線尸±今+3,使得四邊形。叱是矩形.

16.解：按題意，有A[一2,0),B[2,0),C[2,4cz),D(-2,4a).

設(shè)空用〔04W1),

BCCDDA

由此有_E〔2,4〃左)，F(xiàn)]214左，4〃)，G(—2,4〃一4成).

直線QF的方程為2辦+(2k~1)y=0.①

直線GE的方程為一a(2k~1)x+y—2Q=0.②由①②消

去參數(shù)k,

得點(diǎn)尸(x,y)滿足方程2〃2/+,2—2〃y=0.

整理得《+(y_y=i.

a

2

當(dāng)層=工時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

2

當(dāng)層力1■時(shí)，點(diǎn)？的軌跡為橢圓的一局部，點(diǎn)尸到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng).

2

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)一卜片,),

a,a｝的距離之和為定值行.

當(dāng)》工時(shí),

a?點(diǎn)戶到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)

2

17.解：⑴由，得

—*,—*■

C-\OF\\FQ\sin〔兀一。）=S,

[|OF||FQ|cos8=1.

/?/an9=2S.

jr

V-<S<2,Al<Zan^<4.那么一V0<arc^an4.

24

[2)以O(shè)為原點(diǎn)，而所在直線為％軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)橢圓方程為「+==1〔。>6>0）,Q（尤，y）.

ab

OF=（c,0],那么尸。=[x-c,y）.

1—>33

?；—|OF|?y=—c,.*.y=—.

242

—>—*1

XVOF,FQ-c[%—c）=1,.\x=c+—.

c

2

那么|CQ|=J—+儼+J_）+2〔c22）.

可以證明：當(dāng)c22時(shí)，函數(shù)仁c+,為增函數(shù)，

當(dāng)c=2時(shí)，

此時(shí)?！彩?，士3).將。的坐標(biāo)代入橢圓方程,

22

^~+*二1，a』。,

得.24后解得

I“2—62=402=6.|

22

...橢圓方程為二+匕=1.

106

18.m解：由橢圓定義及條件知

2〃=IF\BI+IF2BI=10,得〃=5.又c=4,

所以b=J「2_(:2=3.

22

故橢圓方程為二十二=1.

259

9

(2)解：由點(diǎn)B〔4,如)在橢圓上，得I/28I=I班I=彳.

方法一：因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為％=2三5，離-心率為？4.

45

425425

根據(jù)橢圓定義，有I"I=M(--xibIF2c\=-[―-X2).

5454

I2AI28I

由尸、I尸、IF2C\成等差數(shù)列，得

425-4,25、_八，9

—(r—~x\]+—〔——％2)=2X—.

54545

由此得出為+%2=8.

設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(%0，刈)，那么為0=土土衛(wèi)=烏=4.

22

方法二：由II、\F2B\.IF2CI成等差數(shù)列，得八一―4『+y；+，(電―4尸+為：=2

2

Y2v9

由A[陽(yáng)，yU在橢圓一+—=1.b,得y/=一(25—xi2),

25925

所以J(xi—4尸+y：=Qx：—8%1+16+(25—x：)=J(5-wX])2=—[25—4為).②

同理可得J；/一4/+式=[〔25—4檢).③

111Q

將②③代入①式，得—(25—4%1)+—(25—4x2)=—.

555

所以為+、2=8.

設(shè)弦AC的中點(diǎn)為尸5o,死〕，

修+%28/

那w/么xo=-------=—=4.

22

［3)解法一：由A［即，yi),C［愈，＞2)在橢圓上，得

W+25yi2=9X25,?

22

9x2+25y2=9X25.⑤

由④一⑤得9(xi2—X22^+25(yi2—y22)=0,

即9+25〔21^)=01X4X2).

22x1-x2

將寧二e,二二”-乃=—_L口wo）代入上式，得

%!-x2