專題19 線段和角的定值問題課堂學(xué)案及配套作業(yè)（原卷版）

專題19線段和角的定值問題（原卷版）教學(xué)案類型一線段中的定值問題1．（2019秋?北侖區(qū)期末）如圖，C為射線AB上一點(diǎn)，AB＝30，AC比BC的14多5，P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以2個(gè)單位/秒和1個(gè)單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），M為BP的中點(diǎn)，N為MQ的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)BP=12BQ時(shí)，t＝12；④M，N兩點(diǎn)之間的距離是定值．其中正確的結(jié)論2．（2020秋?東西湖區(qū)期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB＝a，CD＝b，且a，b滿足|a﹣2|+（b﹣6）2＝0．M為線段AB的中點(diǎn)，N為線段CD中點(diǎn)．（1）求線段AB、CD的長；（2）若線段AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以每秒1個(gè)單位長的速度也向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)前A點(diǎn)表示的數(shù)為﹣2．BC＝6，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求t為何值時(shí)，MN＝4；（3）若將線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)前AD＝36，在線段AB向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段內(nèi)，始終有MN+BC為定值，求出這個(gè)定值，并求出t的取值范圍．

3．（2020秋?遵化市期末）如圖，已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．（1）求線段AB，CD的長；（2）若點(diǎn)M，N分別為線段AC，BD的中點(diǎn)，BC＝4，求線段MN的長；（3）當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P是線段AB的延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①PA?PBPC是定值，②PA+PB4．（2018秋?江夏區(qū)期末）已知，如圖所示，一條直線上依次有A、B、C三個(gè)點(diǎn)．（1）若BC＝10，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD中點(diǎn)，求BCMN（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)（E，F(xiàn)不重合）．下列結(jié)論中：①EFAC+BP是定值；②EF5．（越秀區(qū)期末）已知線段AB＝8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）（1）若在直線AB上取一點(diǎn)C，使得AC＝3CB，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，求AD的長；（2）若M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB延長線上任意一點(diǎn)，請(qǐng)說明PA+PB﹣2PM是一個(gè)定值．

6．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線l有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．（1）求線段AB，CD的長；（2）線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD中點(diǎn)為N，線段AB以每秒4個(gè)單位長度向右運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒1個(gè)單位長度也向右運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)6秒后，MN＝4，求線段BC的長；（3）將線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)，BC＝24，在線段AB向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個(gè)定值，并直接寫出t在哪一個(gè)時(shí)間段內(nèi)．7．（2022秋?平南縣月考）如圖AB＝48，C為線段AB的延長線上一點(diǎn)，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）若BC＝10，求MN的長；（2）若BC的長度為不定值，其它條件不變，MN的長還是定值嗎？若是，請(qǐng)求出MN的長；若不是，請(qǐng)說明理由．

類型二角中的定值問題8．（2017秋?寧?？h期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)OA⊥OB，OC是OA繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（α＜90°）度得到，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若α＝60即∠AOC＝60°時(shí)，則∠BOC＝°，∠DOE＝°．（2）在α的變化過程中，∠DOE的度數(shù)是一個(gè)定值嗎？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．9．（2020秋?平山區(qū)校級(jí)期中）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如圖2，當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10），在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會(huì)因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．10．、如圖，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）如圖1，當(dāng)OC與OB重合時(shí)，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)∠BOD從圖1位置開始繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜90）時(shí)，∠BOM﹣∠DON的值是否為定值？若是定值，求出∠BOM﹣∠DON的值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，當(dāng)∠BOD從圖1位置開始繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（30＜m＜70）時(shí)，滿足∠AOD+∠MON＝7∠BOD，求m的值．11．（2022秋?沁陽市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如圖2，當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10），在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會(huì)因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠COF＝17°時(shí)，t＝秒．12．（2021秋?宿豫區(qū)期末）如圖，將兩塊直角三角尺的60°角和90°角的頂點(diǎn)A疊放在一起．將三角尺ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中三角尺ADE的邊AD始終在∠BAC的內(nèi)部在旋轉(zhuǎn)過程中，探索：（1）∠BAE與∠CAD的度數(shù)有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）試說明∠CAE﹣∠BAD＝30°；（3）作∠BAD和∠CAE的平分線AM、AN，在旋轉(zhuǎn)過程中∠MAN的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若變化，請(qǐng)求出變化范圍．13．（2022秋?晉州市期中）如圖所示，以直線AB上的一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在直線AB的上方作射線OP，使∠BOP＝68°，將一塊直角三角尺（∠MON＝90°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，且直角三角尺在直線AB的上方．設(shè)∠BOM＝n°（0＜n＜90）．（1）當(dāng)n＝30時(shí)，求∠PON的大小；（2）當(dāng)OP恰好平分∠MON時(shí)，求n的值；（3）當(dāng)n≠68時(shí)，嘉嘉認(rèn)為∠AON與∠POM的差為定值，淇淇認(rèn)為∠AON與∠POM的和為定值，且二人求得的定值相同，均為22°，老師說，要使兩人的說法都正確，需要對(duì)n分別附加條件．請(qǐng)你補(bǔ)充這個(gè)條件：當(dāng)n滿足時(shí)，∠AON﹣∠POM＝22°；當(dāng)n滿足時(shí)，∠AON+∠POM＝22°．14．（2021秋?遷安市期末）如圖1，把∠APB放置在量角器上，P與量角器的中心重合，射線PA、PB分別對(duì)準(zhǔn)刻度117°和153°，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線PC．（1）∠APB＝度；（2）求出∠CPB的度數(shù)；（3）小紅在圖1的基礎(chǔ)上，在∠CPB內(nèi)部任意做一條射線PD，并分別做出了∠CPD和∠BPD的平分線PE和PF，如圖2，發(fā)現(xiàn)PD在∠CPB內(nèi)部的不同位置，∠EPF的度數(shù)都是一個(gè)定值，請(qǐng)你求出這個(gè)定值．15．（2022秋?硚口區(qū)期末）∠AOB與它的補(bǔ)角的差正好等于∠AOB的一半（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）如圖1，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC＝4∠BOC，OD是∠BOC的平分線，求∠AOD的度數(shù)；（3）如圖2，射線OM與OB重合，射線ON在∠AOB外部，且∠MON＝40°，現(xiàn)將∠MON繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，0＜n＜50，若在此過程中，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，試問∠AOP?∠BOQ∠POQ

16．（2019秋?莆田期末）定義：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，則我們稱β是α的差余角．例如：若α＝110°，則α的差余角β＝20°．（1）如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，射線OE是∠BOC的角平分線，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)O在直線AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC與∠BOE有什么數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點(diǎn)O在直線AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE與OC在直線AB的同側(cè)，∠AOC?∠BOC∠COE17．（2022秋?荔城區(qū)期末）如圖∠AOB＝120°，把三角板60°的角的頂點(diǎn)放在O處．轉(zhuǎn)動(dòng)三角板（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），OE始終平分∠AOD．（1）【特殊發(fā)現(xiàn)】如圖1，若OC邊與OA邊重合時(shí)，求出∠COE與∠BOD的度數(shù)．（2）【類比探究】如圖2，當(dāng)三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），∠COE與∠BOD的度數(shù)比是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．（3）【拓展延伸】如圖3，在轉(zhuǎn)動(dòng)三角板的過程中（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），若OP平分∠COB，請(qǐng)畫出圖形，直接寫出∠EOP的度數(shù)（無需證明）

配套作業(yè)1．（2022秋?成都期末）已知點(diǎn)O為數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，A、B之間的距離記作AB，且|a+4|+（b﹣10）2＝0．（1）求線段AB的長；（2）設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)PA+PB＝20時(shí)，求x的值；（3）如圖，M、N兩點(diǎn)分別從O、B出發(fā)以v1、v2的速度同時(shí)沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（M在線段AO上，N在線段BO上），P是線段AN的中點(diǎn)，若M、N運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PM為定值，下列結(jié)論：①v2v1的值不變；②v1+2．（2022秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點(diǎn)．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點(diǎn)D是射線CB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求BCMN（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是AP中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中：①AC+BPEF②|AC?BP3．（2016秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，線段AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM；（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM﹣BP為定值．（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長度不變；②MN+PN的值不變．選出一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．4．（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，線段AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM？（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明2BM﹣BP為定值．（3）當(dāng)P在AB延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N長度不變；②MA+PN的值不變，選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．5．（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動(dòng)的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，點(diǎn)M，N分別為AB，CD中點(diǎn)．（1）求線段AB，CD的長；（2）線段AB以每秒4個(gè)單位長度向右運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒1個(gè)單位長度也向右運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)6秒后，MN＝4，求此時(shí)線段BC的長；（3）若BC＝24，將線段CD固定不動(dòng)，線段AB以每秒4個(gè)單位速度向右運(yùn)動(dòng)，在線段AB向右運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)時(shí)間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個(gè)定值，并直接寫出t在哪一個(gè)時(shí)間段內(nèi)．6．（2021秋?洛川縣校級(jí)期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖①，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）當(dāng)∠COD從圖①所示位置繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10）；在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會(huì)因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

7．（2021秋?侯馬市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠AOE﹣∠BOF的值；（3）當(dāng)∠COD從圖示位置繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10）；在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會(huì)因t的變化而變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．8．（2019秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）已知∠AOB＝150°，OC為∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠BOC＝60°．（1）如圖1，若OE平分∠AOB，OD為∠BOC內(nèi)部的一條射線，∠COD=12∠BOD，求∠（2）如圖2，若射線OE繞著O點(diǎn)從OA開始以15度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OB結(jié)束、OF繞著O點(diǎn)從OB開始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OA結(jié)束，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)∠EOC＝∠FOC時(shí)，求t的值：（3）若射線OM繞著O點(diǎn)從OA開始以15度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，ON平分∠AOM，試問2∠BON﹣∠BOM在某時(shí)間段內(nèi)是否為定值，若不是，請(qǐng)說明理由；若是請(qǐng)補(bǔ)全圖形，求出這個(gè)定值并寫出t所在的時(shí)間段．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）9．（2022秋?云夢縣期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當(dāng)OB、OC重合時(shí)，求∠EOF的度數(shù)．（2）當(dāng)∠COD從圖1所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜＜90）時(shí)，如圖2，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值，若不是，請(qǐng)說明理由．

10．（2020秋?江岸區(qū)期末）已知如圖1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC＝（2）如圖2，∠AOC＝20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條直線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如圖3，∠AOC＝20°，射線OM繞著O點(diǎn)從OB開始以5度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，當(dāng)t在某個(gè)范圍內(nèi)4∠AON+∠BOM會(huì)為定值，請(qǐng)直接寫出定值，并指出對(duì)應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．11．（2020秋?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O逆時(shí)針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時(shí)，∠COD立即反向繞點(diǎn)O順時(shí)針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的t的值；②請(qǐng)問在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值及其對(duì)應(yīng)的t的取值范圍（包含運(yùn)動(dòng)的起止時(shí)間）；若不存