廣東省深圳某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級下冊4月月考數(shù)學(xué)試卷

廣東省深圳外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考

數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜|(》+1)(工一9)<0},8={尤|2<》<11},則()

A.(2,9)B.(2,11)C.(-1,9)D.(-1,11)

2.在平面直角坐標系中，若角a的終邊經(jīng)過點尸(si吟,-cos^),則sing+“=()

A.--B.eC.-BD.1

2222

3.已知a=204,&=log042,c=tan43。，則()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

4.已知向量a=力=(2,0),向量4在向量Z?上的投影向量c=()

A.(-2,0)B.(2,0)

C.(-1,0)D.(1,0)

5.在ABC中，2sinA=3sinB,AB=2AC,則cosC=()

A.gB.--C.-D.--

2244

6.剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折.將一

張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正

方形A3CZ)的邊長為4,點尸在四段圓弧上運動，則AP-AB的取值范圍為()

C.[-12,36]D.[-12,24]

7.已知名夕是函數(shù)/(x)=3sin(2x+E)-2在恒［上的兩個零點，則cos(a-，)=(

)

B.好C岳-220+百

3'-6-6

8.已知ABC的內(nèi)角A,B,。滿足2sin2A+2sin2B=l—4sinCcosC,記a,b,c分

24

別為A,B,C所對的邊，^--<ab<--,貝U“左的取值不可能是()

B.7A/2D.8c

9.已知一圓錐的底面半徑為百，其側(cè)面展開圖是圓心角為6兀的扇形，A8為底面圓

的一條直徑上的兩個端點，則()

A.該圓錐的母線長為2

B.該圓錐的體積為兀

C.從A點經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達B點的最短距離為2月

D.過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為行

10.下列說法中正確的有()

A.|(a-/?)c|<|a||z?||c|

1r25

B.已知d在B上的投影向量為且|切=5,則。吆=三

C.若非零向量滿足|a|=|b|=|a-b|,則。與“的夾角是30°

D.已知。=(1,2),6=(1,1),且a與。+勸夾角為銳角，則2的取值范圍是，3,+s]

11.在銳角ABC中，角A,氏C的對邊分別為a,b,c,且滿足/一^=A.則下列結(jié)論正

確的有()

A.A=2BB.叫了力

C.f的取值范圍為(3,2)D.2sinA+-^--一]的取值范圍為

tanBtanA

、填空題

12.已知z是純虛數(shù)，出是實數(shù)，那么目=

13.中國傳統(tǒng)文化博大精深，源遠流長，其中我國古代建筑文化更是傳統(tǒng)文化中一顆璀

璨之星，在古代建筑中臺基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由臺階，月臺，

欄桿，臺明四部分組成，某地的國家二級文化保護遺址一玉皇閣，其臺基可近似看作上、

下底面邊長分別為2m,4m,側(cè)棱長為3m的正四棱臺，則該四棱臺的體積約為.

試卷第2頁，共4頁

14.在直角梯形ABC￡)中AB-AD=0,48=30。，AB=2區(qū)BC=2,點、E為BC邊上一

點，S.AE=xAB+yAD,則孫的取值范圍是

四、解答題

15.已知向量向人滿足同=5,忖=4,(a+6)_L6.

⑴求°與6的夾角的余弦值；

(2)求忸+同.

16.銳角ABC中，內(nèi)角A民C的對邊分別為“也。，已知cosA=與sinCsin13-6

⑴求C；

⑵若c=26,AB邊上的中線長為近，求ABC的面積S.

17.函數(shù)/(x)=Acos(0x+e)(A>0,a>>Q,]。|<])的部分圖像如圖所示.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)將函數(shù)/(x)的圖像上的各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函

數(shù)g(x)的圖像，若xe時，g(x)的圖像與直線y=?恰有三個公共點，記三

個公共點的橫坐標分別為占，巧，W且石<龍2<尤3，求COS(%+W)的值.

18.已知函數(shù)〃耳=:簧是定義域上的奇函數(shù).

⑴求實數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)的值域；

⑶若關(guān)于，的不等式〃左)+/(石sindcosd+cos2@>0在-工上有解，求實數(shù)

上的取值范圍.

19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一

個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托

里拆利給出了解答，當ABC的三個內(nèi)角均小于120。時，使得

/403=/30。=/。。4=120。的點0即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于

120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知“C的內(nèi)角

A,B,C所對的邊分別為。也c,且cos2B+cos2C—cos2A=1

⑴求A；

⑵若6c=2,設(shè)點尸為，ABC的費馬點，^PAPB+PBPC+PCPA-,

(3)設(shè)點P為ABC的費馬點，\PB\+\PC\=t\PA\,求實數(shù)f的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【分析】解一元二次不等式解得集合A,再求并集即可.

【詳解】4=卜|（尤+l）（x-9）<0}={尤|-l<x<9},又8={x[2<x<n},

則{A|-1<X<11}.

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到-弓）從而利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)定義求

出答案.

【詳解】因為sin^=L-cos烏=-立，故角a的終邊經(jīng)過點尸",-,

故選：D.

3.D

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性確定與中間量?！坏拇笮?，進而得到答案.

【詳解】函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，所以。=2°4>2°=1,

函數(shù)y=logo,4-^在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以匕=logo,42<log04l=0,

又c=tan430<tan45°=1,且c=tan43°>0

所以a>c>〃，

故選：D.

4.C

【分析】利用平面向量投影向量的定義求解.

【詳解】解：因為向量。=（-M）,b=（2,0）,

所以向量不在向量b上的投影向量e=當包=（T，°）,

答案第1頁，共14頁

故選：c

5.D

【分析】結(jié)合正弦定理可得23c=3AC,再結(jié)合余弦定理可得cosC.

【詳解】

由正弦定理可得，23c=3AC,

y.AB=2AC,所以AC:BC:AB=2:3:4,

不妨設(shè)AC=2k,BC=3k,AB=4k,

所以由余弦定理得cosC=I"=

2x22x3%4

故選：D.

6.B

【分析】以點A為坐標原點，AB,4)所在直線分別為x、,軸建立平面直角坐標系，求

出點尸的橫坐標的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得AP."的取值范圍.

【詳解】以點A為坐標原點，AB,4)所在直線分別為X、，軸建立如下圖所示的平面直

角坐標系My,

設(shè)點尸(x,y),易知，點尸的橫坐標尤的取值范圍是[-2,6],

又因為AP=(x,y),AB=(4,0),所以，AB-AP=4xG[-8,24].

故選：B.

7.A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可得a+=進而代入化簡，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.

答案第2頁，共14頁

【詳解】令/⑶=0,M3sin（2x+y）=2=>sin（2x+y）=1,

663

,_7T._7T/Tc7兀、

%G（。，7）,2X+—G（―,—）,

2666

因為名分是函數(shù)/(x)=3sin(2x+凱712在上的兩個零點,

6

則名夕是sin(2x+g名在0,弓上的兩個根,

63

故2a+工+2夕+二=九=。+/=工，故0=巴一月,

6633

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的對稱性得到々源的關(guān)系，從而得解.

8.A

【分析】先利用三角形公式將條件變形可得sinAsinBsinC=：,再將條件中不等式變形為

O

1<SVABC<2,利用面積公式計算得到He的范圍即可.

【詳解】2sin2A+2sin2B=1-4sinCcosC

=2sin2A+2sin2B=1—2sin2C

=>2sin2A+2sin2B+2sin2C=1

^>4sinAcosA+2sin（（B+C）+（B-C））+2sin（（B+C）-（B-C））=l

=>-4sinAcos（B+C）+4sin（B+C）cos（B—C）—l

=>4sinA^cos（B-C）-cos（B+C）］=1

=>8sinAsinBsinC=1

=>sinAsinBsinC=—,

8

241

又一.----<ab<-.......=>1<—4zZ?sinC<2,,gp1<S<2,

sinCsinC2NABC

又以ABC=—absinC=—acsinB=—bcsinA,

222

答案第3頁，共14頁

2<?/?sinC<4

所以<2<acsinB<4,

2<Z?csinA<4

所以8?（aZ?c）2sinAsinBsinC<64,

所以64<<64x8,

所以8W"CW16A/L

故選：A.

2<absinC<4

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對2W〃csinBV4連乘求出必。的范圍，因為發(fā)現(xiàn)

2<Z?csinA<4

sinAsinBsinC是積的形式，所以要看條件怎么變形得到積的形式.

9.AB

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓臺的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項計算，即可求解.

【詳解】對于A中，由圓錐的底面半徑廠=石，可得底面圓周長為2口=2后，

又由其側(cè)面展開圖是圓心角為也兀的扇形，

設(shè)圓錐的母線長為/,則、所?/=2后，解得/=2,所以A正確；

對于B中，因為廠=6,且母線長為/=2,

所以該圓錐的高為//=爐，=1，所以其體積為:兀（若）2x1=*所以B正確；

對于C中，假設(shè)該圓錐的軸截面將該圓錐分成兩部分，將其中的一部分展開，

則其側(cè)面展開圖是一個圓心角為叵的扇形，

2

也兀

所以從A點經(jīng)過圓錐的表面到達5點的最短距離為。。?島「0,所以c

2x2xsin=4sin------W2,3

24

不正確；

對于D中，過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面為腰長為2的等腰三角形，

設(shè)其頂角為，，則該三角形的面積為S=1x2x2sin。，

2

22

當截面為軸截面時，無，則0<。（丁，

答案第4頁，共14頁

所以，當6=g時，5max=|x2x2xl=2^V3,所以D不正確.

故選：AB.

10.ABC

【分析】利用向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量投影向量的定義可判斷B；運用向量數(shù)

量積的運算法則，結(jié)合夾角公式可判斷C；判斷。與用平行時2的取值可判斷D.

【詳解】對于A,因為卜因第聞cos，閆刪，

所以恤網(wǎng)=|(ZZ)|F閆麗陣故A正確；

I11r

-T

1ra-br--P

對于B,因為。在b上的投影向量為；匕，所以百.b2

2忖

I

III

又|刈=5,所以2.2=_1￡,則故B正確；

5522

對于C,因為非零向量匕,目滿足|m=|6|=|"-」|,

—>—>]—>

則I°|2=1切2=s-32=[05+1切2-2〃.b,即有a/=/1a『，

所以〃?(〃+/?)=〃+〃/=耳|〃|2,又=^\a\9

所以d與a+》的夾角的余弦值為f(2=v，

IQ|?Ia+b|

又0。<(“,°+68180。，可得:與上了的夾角為30。，故C正確；

對于D,因為。=(1,2),6=(1,1),所以。+46=(1,2)+(42)=(1+九2+4),

當&與a+X6平行時，2+2-2(1+^)=0,解得2力0,

此時&與4+用的夾角不為銳角，故D錯誤.

故選：ABC.

11.ABD

【分析】利用正弦定理和余弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，可判斷A；結(jié)合銳

1

角「ABC,可判斷B；利用正弦定理邊化角結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判斷C；將2sinA+工——T

tanBtanA

化簡為ZsinA+L，結(jié)合A的范圍，利用對勾函數(shù)單調(diào)性，可判斷D.

sinA

【詳解】由余弦定理得，b2+c2—a2=2bccosA,a2-b2=bc,

fffUkc2—be=2Z?ccosA,BPc—b=2bcosA,

答案第5頁，共14頁

由正弦定理得，

c-b=2fcosAosinC-sinB=2sinBcosA①，

又因為A+B+C=7t,所以

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB②，

將②式代入①式可得sinAcosB-sinB=sinBcosA,

M^sin(A-B)=sinB,

因為A,￡(0,兀)，所以A—6=6,即A=25,故A正確;

71

0<A=2B<-

77T7T

在銳角ABC中，,解得:<3<:，故B正確;

on7164

0n<K-3B<—

2

,asinA2sinBcosB_?/rr/r\.>

由：=—=————=2cosBeV2,V3,故CA錯+誤a;

bsinBsinB')

11sin(A-B)

2sinA+----------=2sinA+—-----L

tanBtanAsinBsinA

=2sinAd--------=2sinAd-----

sinBsinAsinA

又g<A=25<￡,—<sinA<1,

322

「石)1

令/二sinA,——<t<l,則/?)=—+2，，

2t

由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，〃f)」+2/在上單調(diào)遞增,

t<2)

2

G411。4115gA

2sinAT------------2sinAT—■—G----,3故D正確.

tanBtanAsinA3

\J

故選：ABD.

12.2

【分析】設(shè)z=〃geR且》HO),根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則，即可得出6=2,從而

求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)z=bi(6eR且6力。)，則。=(：一七心+：)=?+2-b)i,

1-11-1(1-1)(1+1)2

答案第6頁，共14頁

由題得2-6=0,解得6=2,所以|z|=|2i|=2,

故答案為：2.

13.”/”新

33

【分析】根據(jù)棱臺的體積公式計算.

【詳解】由已知該棱臺的高為九="產(chǎn)120=幣,

所以體積為1=；（22+不+區(qū)系卜近=笞區(qū).

故答案為：變I.

3

14.0,；

【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式，結(jié)合配方法進行求解即

可.

【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系,過。作CF1AB,垂足為尸，

號

二一R.

A\FBx

?.?/5=30,BC=2,

CFBF

：.有sinZABC=—,cosZABC=——=>CF=2sin30=1,BF=2cos30=6,

BCBC

???A（0,0）,B（2^,0）,C（V3,l）,r>（0,l）,

設(shè)石=（機￡[0,1]）,

因止匕有（〃一2百力）=網(wǎng)_百』）=><；26=—y/3m—=2\/3—y/3m

\b=m

AE=xAB+yAD,

a=2A/3Xx=—1a=2幣—6m

有（。,〃）=（后）（）（氐,）

%20+y0,1=2y=>1,=16,而。

[[y=bi

9i

答案第7頁，共14頁

當相=1時，移有最大值3，當相=0,犯有最小值0,

...沖的取值范圍是0，；.

故答案為：［og.

4

15.（D--

（2）2713

【分析】(1)根據(jù)向量垂直得到卜+6)/=0,由數(shù)量積的定義及運算律計算可得;

(2)首先求出a-b，再根據(jù)數(shù)量積的運算律求出(2。+6)]即可得解.

【詳解】⑴V(a+b]Yb,同=5,忖=4,

^a+b^-b=a-b+b2=0,

/.5x4xcos(a,6)+16=0,

cos(a,b)=—-；

(2)由(1)知=5x4x]-g)=-16,

(2a+/?)2=4a2+Z72+4a-/?=4x25+16+4x(-16)=52,

.?..++2而；

71

16.(1)C=j；

(2)S=2技

【分析】（1）首先根據(jù)三角恒等變換化解等式，再結(jié)合函數(shù)是銳角三角形，即可求解；

（2）根據(jù)余弦定理，再結(jié)合中線的向量表示2CD=C4+C2,平方后，根據(jù)兩等式，即可

求解必，并求三角形的面積.

【詳解】（1）因為4=?！˙+C）,

所以cosA=-cos（2?+C）=sinBsinC-cosBcosC,

答案第8頁，共14頁

—sinCsinffi-7-1空sinC—sinB-icosB

又cosA=

36322

7

=sinBsinC-sinCcosB，

3

所以cosBcosC=sinCcosB，所以一￡cosfif-sinC-^cosC^O,

122J

33

所以cosB=0或LinC-9cosc=0,

22

JT

若cosBuO,則2==,與ABC為銳角三角形矛盾，舍去，

2

從而,sinC-4sC=0,則tanC=A/3,

22

又0<C<：,所以c=g.

22

(2)由余弦定理，得/=/+/-2。/7cosC,BP12=a+b—ab@9

設(shè)AB的中點為。，則2cL?=Ci+C2，兩邊同時平方可得：4CD2=(C4+CB)2.

即：4\CD^a2+b2+2abcosC,即：2S=a1+b2+ab@,

由①可得：ab=8,

于是：ABC的面積S」absinC'x8x左=26―

222

17.⑴/(x)=2cos(2x-。

5兀77rl__

(2)-----Fkit,---Fku，左1￡Z

二1212_

⑶1+4小

⑶--

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的最低點求得A的值，根據(jù)圖象得到函數(shù)的周期，并求得。的值，代

入點(晟，-2)求得。的值.由此求得函數(shù)的解析式；

(2)利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑶令/=尤一$6-2兀,g，貝!|y=2cosf,利用y=2cost的圖象可得cos「=,f[=尤]一芻，

62」36

又三一%=2兀，從而得到COS(菁+W)=2852再一1,再利用COSX]=cos,+1),即可求得結(jié)

果.

答案第9頁，共14頁

兀

【詳解】(1)由圖象可得，A=2,4T=77?-57T=^71

41234

OjT

:.T=7i,貝！JG=——=2,

it

:"(x)=2cos(2x+0),又圖象過點(￡,-2),

所以cos1*+°)=—l,解得夕=—《+2E,ZwZ,

所以函數(shù)/(x)的解析式為/(%)=2cosl2x-^

71

(2)由余弦函數(shù)可知，-7i+2fai<2x——<2far,A;GZ,

6

3兀7,/兀7

-------\~KitW%W----FKU,k￡Z,

1212

SJT冗

所以函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為-正+E，歷+際化eZ).

(3)由題可得，g(無)=2cos]x-。，

又因為xe一野,耳，所以-2*,

6362

?7C八兀._

令t=x----￡—2兀,一，貝|y=2cos/',

62

4

設(shè)直線y=§與y=2cost的圖象交點橫坐標自左向右依次為乙4久，

由y=2cosr的圖象可知，tx+/2=-2it,t2+r3=0,

且2cos%=2cosL=2cos%=—,

二.cos%]=g,又由圖象知乙￡(-2兀,一段)，所以sin%=當，

V7,兀兀兀C

;=%，’2="2-------，’3=”3，/?電一石二2兀，

666

所以cos(%+&)=cos(石+石+2TI)=COS2%=2cos2-1,又

(扃7t..7t2V3A/512A/3-5/5

cosx.=cost,+—=cosAcos----sinAsin—=—x------------x—=-------------,

U6)61632326

f273-75?1+4厲

/.cos&+x)=2x

3~18~

答案第10頁，共14頁

18.(1)-3；

(2)(-3,3)；

⑶(-8，。).

【分析】（1）由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)/（0）=0可求。；

（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）結(jié)合輔助角公式，二倍角公式對豆豆11。<；0$。+（；052。進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的

性質(zhì)求出其最大值，再由函數(shù)單調(diào)性及存在性問題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求.

【詳解】（1）因為/（x）=淺^是定義域R上的奇函數(shù),

所以/⑼=T=0，即。=—3,

3-3ev

所以“》）=

l+ex

3-3e-,3e'-3

又〃T）==-〃x),

l+e-xe'+l

所以/（x）此時為奇函數(shù)，符合題意；

⑵由⑴得?。?*=-3[1一鼻）,

因為1+e">1,

2

所以一1<1一^---T<1，

1+e

所以—3</⑺<3,即函數(shù)的值域為（-3,3）.

(3)因為651!1夕＜：05夕+(：0526=^^51112夕+工?052。+,=51口(26+巴］+工,

222I6/2

答案第11頁，共14頁

當-巴wew四時，--<20+-<—,

63666

所以-gsin126+胃Wl,

所以0Wsin(20+?]+屋。,

Ioyzz

由1+e，w0無實數(shù)解可得/(x)的定義域為R,

易知y=l+e*單調(diào)遞增，所以=-311-$^在R上單調(diào)遞減，

若關(guān)于，的不等式)+/(低in&osd+cos2，)>0在Me-；,：上有解,

貝1|/(瘋indcos6?+cos??)>-/(%)=/(-%)在de-2，；上有解，

兀71

所以J§sin，cos，+cos2e<一左在上有解，

o3

所以一左〉0,即％<0,

故上的范圍為(-