江西師范大學(xué)附中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

江西師范大學(xué)附中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖是函數(shù)一個(gè)周期的圖象，則的值等于A． B． C． D．2．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．3．已知，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．5．若，，則與向量同向的單位向量是（）A． B． C． D．6．把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最后所得曲線的一條對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．7．如圖，給出的是的值的一個(gè)程序框圖，判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A． B． C． D．8．已知三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是，若，則等于()A． B． C． D．9．在區(qū)間[–1，1]上任取兩個(gè)數(shù)x和y，則x2+y2≥1的概率為（）A． B．C． D．10．某中學(xué)高一從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，他們?nèi)〉贸煽?jī)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是84，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等比數(shù)列{an}中，a1＜0，{an}是遞增數(shù)列，則滿足條件的q的取值范圍是______________．12．已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么__________．13．竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式為.該結(jié)論實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率取近似值得到的.則根據(jù)你所學(xué)知識(shí)，該公式中取的近似值為______.14．_________________；15．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.16．已知，，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某書店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷，每種單價(jià)（元）試銷l天，得到如表單價(jià)（元）與銷量（冊(cè)）數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)（元）1819202122銷量（冊(cè)）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程：（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量（冊(cè)）與單價(jià)（元）服從（l）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤(rùn)，該冊(cè)書的單價(jià)應(yīng)定為多少元？附：，，，.18．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn)．求證：（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．19．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.20．如圖，矩形所在平面與以為直徑的圓所在平面垂直，為中點(diǎn)，是圓周上一點(diǎn)，且，，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，若直線平面，求實(shí)數(shù)的值．21．在中,為上的點(diǎn),為上的點(diǎn),且.（1）求的長(zhǎng);（2）若,求的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用圖象得到振幅，周期，所以，再由圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，把原式等價(jià)于求的值.【詳解】由圖象得：振幅，周期，所以，所以，因?yàn)閳D象關(guān)于成中心對(duì)稱，所以，，所以原式，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)，如果算出每個(gè)值再相加，會(huì)浪費(fèi)較多時(shí)間，且容易出錯(cuò)，采用對(duì)稱性求解，能使問題的求解過程變得更簡(jiǎn)潔.2、A【解析】

本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.【詳解】，則【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.3、D【解析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.5、A【解析】

先求出的坐標(biāo)，然后即可算出【詳解】因?yàn)?，所以所以與向量同向的單位向量是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】

先求出圖像變換最后得到的解析式，再求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程.【詳解】由題得圖像變換最后得到的解析式為，令，令k=-1,所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像變換和三角函數(shù)圖像對(duì)稱軸的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】試題分析：由題意得，執(zhí)行上式的循環(huán)結(jié)構(gòu)，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；，第次循環(huán)：，此時(shí)終止循環(huán)，輸出結(jié)果，所以判斷框中，添加，故選B．考點(diǎn)：程序框圖．8、D【解析】

根據(jù)正弦定理把邊化為對(duì)角的正弦求解.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，邊角互換是正弦定理的重要應(yīng)用，注意增根的排除.9、A【解析】由題意知，所有的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，其面積為．設(shè)“在區(qū)間[-1,1]上任選兩個(gè)數(shù)，則”為事件A，則事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)椋涿娣e為．由幾何概型概率公式可得所求概率為．選A．10、C【解析】

由均值和中位數(shù)定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數(shù)，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：由題意可得，∴，解得0＜q＜1考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)12、.【解析】分析：由，均為單位向量，它們的夾角為，求出數(shù)量積，先將平方，再開平方即可的結(jié)果.詳解：∵，故答案為.點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.13、3【解析】

首先求出圓錐體的體積，然后與近似公式對(duì)比，即可求出公式中取的近似值.【詳解】由題知圓錐體的體積，因?yàn)閳A錐的底面周長(zhǎng)為，所以圓錐的底面面積，所以圓錐體的體積，根據(jù)題意與近似公式對(duì)比發(fā)現(xiàn)，公式中取的近似值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出答案【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)椋?，所以的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．16、【解析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來求得最小值了.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)【解析】

（l）先計(jì)算的平均值，再代入公式計(jì)算得到（2）計(jì)算利潤(rùn)為：計(jì)算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對(duì)的回歸直線方程為：．（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由題意，,∴，∴．（2）把當(dāng)作底面，因?yàn)榻?90°，所以為高；過作H垂直于EF，H為EF中點(diǎn)（等腰三角形三線合一）；BE＝BF＝BC，；，，，．考點(diǎn)：折疊問題，垂直關(guān)系，體積計(jì)算．點(diǎn)評(píng)：中檔題，對(duì)于折疊問題，要特別注意“變”與“不變”的幾何元素，及幾何元素之間的關(guān)系．本題計(jì)算幾何體體積時(shí)，應(yīng)用了“等體積法”，簡(jiǎn)化了解題過程．19、（1）見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．20、（1）；（2）1【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，即為所求角。在中，易得MC，NC的長(zhǎng)，MN可在直角三角形中求得。再用余弦定理易求得夾角。（2）連接，連接和交于點(diǎn)，連接，易得，所以為的中位線，所以為中點(diǎn)，所以的值為1?！驹斀狻浚?）取中點(diǎn)，連接因?yàn)闉榫匦危謩e為中點(diǎn)，所以所以異面直線與所成角就是與所成的銳角或直角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面矩形中，，平面所以平面又平面，所以中，，所以又是圓周上點(diǎn)，且，所以中，，由余弦定理可求得所以異面直線與所成角的余弦值為（2）連接，連接和交于點(diǎn)，連接因?yàn)橹本€平面，直線平面，平面平面所以矩形的對(duì)角線交點(diǎn)為中點(diǎn)所以為的中位線，所以為中點(diǎn)又，所以的值為1【點(diǎn)睛】（1）異面直線所成夾角