高中數(shù)學(xué)競賽知識點

高中數(shù)學(xué)競賽知識點

均值不等式

Q”被稱為均值不等式。?即調(diào)和平均數(shù)不超

過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超

過平方平均數(shù)，簡記為“調(diào)幾算方”。

nn

H"=AT=J_J_￡

其中：工*“+石+…+石，被稱為調(diào)和平均數(shù)。

G“二伽二際F,被稱為幾何平均數(shù)。

n

匕

制+“+???+，被稱為算術(shù)平均數(shù)。

,被稱為平方平均數(shù)。

一般形式

d+%+…+%V

（H—J（當r不等于0時）；出?乃?…

（當r:0時），有re時，D（r）<D（s）o

可以注意到，Hn<Gn<An<Qn僅是上述不等式的特殊情形,

即D（-l）50）51）52）。

特例

⑴對實數(shù)a,b,有J+bZ》？曲（當且僅當a=b時取“二”號），

『+戶>_2疝（當且僅當a=-b時取"=”號）

⑵對非負實數(shù)a,b,有0+疝，即

⑶對非負實數(shù)a,b,有仿+匕）>2病》0

⑷對實數(shù)a,b,有,b（"b）

⑸對非負實數(shù)a,b,有/+『》2時》0

⑹對實數(shù)a,b,有拄+供》寫L?2時

⑺對實數(shù)a,b,c,有。2+扶+八（。+產(chǎn)）

⑻對非負數(shù)a,b,有J+ab+y,/a+bF

⑼對非負數(shù)a,b,c,有丁一

在幾個特例中，最著名的當屬算術(shù)一幾何均值不等式（AM-GM

不等式）：

+12+，+%

M

當n=2時，上式即:

Xi+x

——2》V'lF

當且僅當Xi時，等號成立。

根據(jù)均值不等式的簡化，有一個簡單結(jié)論，即

2r-ra+bla*2+b2

a+h。

排序不等式

基本形式：a2+b2+c2>ab+be+0￡

排序不等式的證明

要證J+h2+c2>ah+be+ac

只需證203+2『+2?>2ab+2bc+2ac

根據(jù)基本不等式+”2>2mti

只+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)>2ab+2bc+2ac

「?原結(jié)論正確

棣莫弗定理

設(shè)兩個復(fù)數(shù)(用三角形式表示)

Zi=n(cos0i+ism0i),zj=力(88%+isin%)，貝U：

Z1Z2=nnfcosfOi+02)+isin(0i+02)1

復(fù)數(shù)乘方公式：.[r(cos6+isine)]"=rn(cos?0+isinn6)

圓排列

定義

從n個不同元素中不重復(fù)地取出m個元素在一個

圓周上，叫做這n個不同元素的圓排列。如果一個m-圓排列旋

轉(zhuǎn)可以得到另一個m-圓排列，則認為這兩個圓排列相同。

計算公式

n個不同元素的m-圓排列個數(shù)N為：嬴=4⑴

特別地，當m二n時，n個不同元素作成的圓排列總數(shù)N為：

N=(w-l)!o

費馬小定理

費馬小定理(FermatTheory)是數(shù)論中的一個重要定理，其

內(nèi)容為：假如P是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=l,那么a(p-1)=1(modp)o

即：假如a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)(即兩者只有一個公

約數(shù)1),那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。

組合恒等式

組合數(shù)C(k,n)的定義：從n個不同元素中選取k個進行組合

的個數(shù)。

基本的組合恒等式

nC(k,n)=kC(k-l,n-1)

C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)

￡C(i,n)=2'n

E[(T)T]*C(i,n)=0

C(m,n+1)=C(rn-1,n)+C(m,n)(這個性質(zhì)叫組合的【聚合性】)

C(k,n)+C(k,n+1)+....+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)

C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+....+C(p-

1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)

韋達定理

逆定理

b￡

如果兩數(shù)a和0滿足如下關(guān)系：a+0=~~,a?B7,那

么這兩個數(shù)a和0是方程ax2+bx+c=0(a,b,ceR,"0)的根。

通過韋達定理的逆定理，可以利用兩數(shù)的和積關(guān)系構(gòu)造一元

二次方程。[5]

推廣定理

韋達定理不僅可以說明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還可

以推廣說明一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

定理：

n-1w-2

設(shè)=2、3、...n)是方程：x+flix"+a,x++a?_ix+a?=0

的n個根，記"=2'品為整數(shù))，則有：

St+fi]Sl_i+?2$t_2+.....+anSk-n=0°[

實系數(shù)方程虛根成對定理：

實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(bWO)是

方程的一個根，貝ka-bi也是一個根。

無窮遞降法

無窮遞降法是證明方程無解的一種方法。其步驟為：

假設(shè)方程有解，并設(shè)X為最小的解。

從X推出一個更小的解Y。

從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解。

孫子定理

又稱中國剩余定理，中國剩余定理給出了以下的一元線性同

余方程組：

xsax(modmJ

xs(mod

(S)：,.

xsa?(modmN)

有解的判定條件，并用構(gòu)造法給出了在有解情況下解的具體

形式。

中國剩余定理說明：假設(shè)整數(shù)ml,m2,...,mn兩兩互質(zhì)，則

對任意的整數(shù)：al,a2,...,an,方程組⑸有解，并且通解可以

用如下方式構(gòu)造得到：

設(shè)M=Exm2X.「m一口岫是整數(shù)1111nl2,...,mn的乘積，并

設(shè)M=M/g，Vi€[1,2,…，前是除了mi以外的n-1個整數(shù)的乘積。

設(shè)kMfi為小模g的數(shù)論倒數(shù)kM?1(modm,)(Vie|l,2,.,n|.：方程

組⑸的通解形式

n

x=+a2f2M2+…+011GlM”+AM=kM+尸a/M，kwZ

:=i?

n

在模M的意義下，方程組(S)只有一個解：為=23網(wǎng)”

同余

同余公式也有許多我們常見的定律，比如相等律,結(jié)合律,交

換律，傳遞律….如下面的表示：

1)a=a(modd)

2)a=b(modd)一b三a(modd)

3)(a=b(modd),b=c(modd))-a三c(modd)

如果a三x(modd),b=m(modd),則

4)a+b=x+m(modd)

其中a=x(modd),b=m(modd)

5)a-b=x-m(modd)

其中a=x(modd),b=m(modd)

6)a*b三x*m(modd)

其中a三x(modd),b=m(modd)

7)a=b(modd)則a-b整除d

歐拉函數(shù)

cp函數(shù)的值通式：cp

(x)=x(l-l/pl)(l-l/p2)(l-l/p3)(l-l/p4)???..(1-1/pn),其中

pl,p2...pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。cp(1)=1

(唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1本身)。(注意：每種

質(zhì)因數(shù)只一個。比如12=2*2個那么cp(12)=12*(1-1/2)

*(1-1/3)=4

若n是質(zhì)數(shù)p的k次幕,(p(n)=pkp-(kT)=(pT)p-(k-1),

因為除了P的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。

設(shè)n為正整數(shù)，以(p(n)表示不超過n且與n互

素的正整數(shù)的個數(shù)，稱為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)

(p：N-N,n-(p(n)稱為歐拉函數(shù)。

歐拉函數(shù)是積性函數(shù)---若叫n互質(zhì)，(p(mn)=(p(m)(p(n)o

特殊性質(zhì)：當n為奇數(shù)時，cp(2n)=(p(n),證明與上述類似。

若n為質(zhì)數(shù)則(p(n)=n-lo

格點

定義

數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點

(latticepoint)或整點。

性質(zhì)

1、格點多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)(奇數(shù)的一半)。

2、格點關(guān)于格點的對稱點為格點。

3、格點多邊形面積公式（坐標平面內(nèi)頂點為格點的三角形稱

為格點三角形，類似地也有格點多邊形的概念。）設(shè)某格點多邊

形內(nèi)部有格點a個，格點多邊形的邊上有格點b個，該格點多邊

形面積為S,

則根據(jù)皮克公式有S=a+b/2-lo

4,格點正多邊形只能是正方形。

5,格點三角形邊界上無其他格點，內(nèi)部有一個格點，則該點

為此三角形的重心。

三面角

定義

三面角：由三個面構(gòu)成的多面角稱為三面角，如圖中三面角

可記作NABCo

特別地，三個面角都是直角的三面角稱為直三面角。

三面角的補三面角：由三條自己知三面角定點發(fā)出的垂直于

已知三面角的三個平面的射線組成的三面角叫做已知三面角的

補三面角。

性質(zhì)

1、三面角的任意兩個面角的和大于第三個面角。

2、三面角的三個二面角的和大于180°,小于540°。

三面角相關(guān)定理

設(shè)三面角NO-ABC的三個面角NAOB、NBOC、NAOC所對的二

面角依次為NOC,ZOA,Z0Bo

1、三面角正弦定理：

sinZ0A/sinZB0C=sinZ0B/sinZA0C=sinZ0C/sinZA0Bo

2、三面角第一余弦定理：

cosNBOC二cosNOAXsinNAOBXsinNAOC+cosNAOBXcosN

AOCo

3、三面角第二余弦定理：

cosNOA二cosNBOCXsinNOBXsinNOC-cosNOBXcosNOC。

直線方程

一般有以下八種描述方式：點斜式，斜截式，兩點式，截距

式，一般式，法線式，法向式，點向式。

點斜式

已知直線一點(xl,yl,)并且存在直線的斜率k,則直線可表示

為：y-yl=k(x-xl)o適用范圍：斜率K存在的直線。

斜截式

已知與Y軸的交點(0,b),斜率為K,則直線可表示為:y=kx+b。

適用范圍：斜率存在的直線。

兩點式

兩點式是解析幾何直線理論的重要概念。當已知兩點(XI,

Yl),(X2,Y2)時，將直線的斜率公式k=(y2-yl)/(x2-xl)代

入點斜式時，得到兩點式(y-yl)/(y2-yl)=(x-xl)/(x2-xl)。適

用范圍：不平行于(或者說不垂直于)坐標軸的的直線。

截距式

已知與坐標軸的交點(a,0),(0,b)時，截距式的一般

形式：x/a+y/b=l(aWO且bWO)。適用范圍：不平行于(或者

說不垂直于)坐標軸的直線，不過原點的直線。

一般式

ax+by+c=O(A、B不同時為0)。斜率：-A/B截距：-C/B。兩

直線平行時：A1/A2=B1/B2WC1/C2,則無解。兩直線相交時：

A1/A2WB1/B2；兩直線垂直時：A1A2+B1B2=OA1/B1XA2/B2=-1,

都只有一個交點。兩直線重合時：A1/A2=B1/B2=C1/C2,則有無

數(shù)解。適用范圍：所有直線均可適用。

法線式

過原點向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角

為ct,P是該線段的長度。x,cosa+ysina-p=0o

法向式

知道直線上一點(x0,y0)和與之垂直的向量(a,b),則a

(x-xO)+b(y-yO)=0,法向量n=(a,b)方向向量d=(b,-a)

k=a/bo

點向式

知道直線上一點(xO,yO)和方向向量(u,v),

(x-x0)/u=(y-yO)/v(uWO,vWO)。

極坐標系

極坐標系(polarcoordinates)是指在平面內(nèi)由極點、極軸

和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點0,稱為極點。從。出

發(fā)引一條射線Ox,稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規(guī)定

角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用

線段0P的長度p以及從Ox到0P的角度0來確定，有序數(shù)對

(p,e)就稱為P點的極坐標，記為P(p,e)；p稱為P

點的極徑，e稱為P點的極角。

極坐標方程

于極點(90°/270°)對稱，如果r(9-Ct)=r(9),則曲

線相當于從極點順時針方向旋轉(zhuǎn)a°。

圓

方程為r(e)=1的圓。

在極坐標系中，圓心在(r0,(P)半徑為a的圓的方程為

r2-2rr0cos(0-(p)+rO2=a^2

該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如

方程r(e)=a表示一個以極點為中心半徑為a的圓。

直線

經(jīng)過極點的射線由如下方程表示e=(p

，其中甲為射線的傾斜角度，若k為直角坐標系的射線的斜

率，則有cp=arctank。任何不經(jīng)過極點的直線都會與某條

射線垂直。這些在點(rO,(P)處的直線與射線e=(p垂直,

其方程為

r(0)=rOsec(0-cp)

圓寨

點到圓的幕：設(shè)P為。。所在平面上任意一點，PO=d,00

的半徑為r,則12——2就是點P對于的事.過P任作一直

線與。0交于點A、B,則PA?PB=|d2-r2|.

“到兩圓等塞的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條

直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”

這個結(jié)論.這條直線稱為兩圓的“根軸”.

三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一

點稱為三圓的“根心”.

三個圓的根心對于三個圓等幕.

當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直

線交于一點.

1.定義從一點A作一圓周的任一割線，從A起到和圓相交

為止的兩段之積，稱為點A于這圓周的幕.

2.圓哥定理已知。(0,r),通過一定點P,作。。的任一

割線交圓于A,B,則PA,PB為P對于。0的幕，記為k,貝IJ

當P在圓外時，k=P(T2-E2；

當P在圓內(nèi)時，k=r-2-P(T2；

當P在圓上時，k=0.

圖I：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓。的兩條任意弦。相

交于點P,連接AD、BC,由于NB與ND同為弧AC所對的圓周角，

因此由圓周角定理知：ZB=ZD,同理NA=NC,所以APAD?APCB。

所以有：PC=PB>即：PAXPR=PCXPD°

圖n：割線定理。如圖，連接AD、BCo可知NB=ND,又因為

NP為公共角，所以有APAD~APCB,同上證得P4xPB=PCxPD。

圖HI：切割線定理。如圖，連接AC、ADoNPAC為切線PA與

弦AC組成的弦切角，因此有NPBC=ND,又因為NP為公共角，

所以有APAC~APDA易P42_PCXPD

圖IV：PA、PC均為切線，則NPAO=NPC0=90°,在直角三角

形中：0C=0A=R,P0為公共邊，因此APAOmAPC。。所以PA二PC,所

以P42=PU2。

綜上可知，P4xPB=PCxPD是普遍成立的。

根軸

定義

在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓累相等的點的集合

是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。

另一角度也可以稱兩不同心圓的等幕點的軌跡為根軸，或者稱

作等幕軸。

根軸方程

設(shè)兩圓01,02的方程分別為：

(x-al廠2+(y-bl12-(rl廠2=0(1)

(x-a2/2+(y-b2)-2-(r2『2=0(2)

由于根軸上任意點對兩圓的圓累相等，所以根軸上任一點(x,y),

有

(x-al12+(y-bl廠2-(rl12=圓塞=(x-a2廠2+(y-b2)2-(r2)八2

兩式相減，得根軸的方程(即x,y的方程)為

2(a2-al)x+2(b2-bl)y+fl-f2=0

其中fl=(al)^2+(bl)^2-(rl)^2,f2類似。

解的不同可能

(1)(2)連立的解，是兩圓的公共點M(xl,yl),N(x2,y2)

如果是兩組不等實數(shù)解，MN不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的

公共弦。

如果是相等實數(shù)解，MN重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內(nèi)公

切線。

如果是共甄虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標

系內(nèi)沒有實質(zhì)。稱M,N是共輾虛點。

尺規(guī)作圖

相交,相切時根軸為兩圓交點的連線.

內(nèi)含時，作一適當?shù)膱A與兩園相交,這圓與兩圓的根軸的交點在

根軸上.同理

再作一點,兩點所在的直線即為根軸（等幕軸）

相關(guān)定理

1,平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線;

2,若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3,若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；

4,若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線，則切

線長相等。

5,蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓

心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三

圓圓心共線，則三條根軸互相平行；

6,反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個圓共根軸。

容斥原理

IAIUAZU…二

悶一工|A,nAm\+工|4。4戶4卜nA2n…nA1Ml

l<i<ml<i<j<k<m

也可表示為：設(shè)S為有限集,AiCS（i=12…，兒吐2）則

Hn

口為二工㈠產(chǎn)[I^Hnx,2n---nAlt|

?=1￡=1

兩個集合的容斥關(guān)系公式：AUB