直線與圓錐曲線的位置關系(1)教學設計-高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

課題第39課時直線與圓錐曲線的位置關系1課型新授課一、教材內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容類比直線與圓的關系，探究直線與圓錐曲線的位置關系，圓錐曲線的弦長問題，與雙曲線有關的中點弦問題，與拋物線有關的最值問題.2.內(nèi)容解析直線與圓錐曲線的位置關系是圓錐曲線知識應用的重點內(nèi)容，本節(jié)課是學生在學習了直線與圓的位置關系，圓錐曲線的方程和簡單的幾何性質(zhì)的基礎上，進一步研究直線與圓錐曲線的位置關系，讓學生感悟數(shù)形結合及方程思想的運用.學生可以類比直線與圓的三種位置關系的探究過程，學習從代數(shù)的角度歸納直線與圓錐曲線位置關系.弦長公式的推導使用了兩點間距離公式，從公式本身可以發(fā)現(xiàn)弦長與交點的確定坐標無關，因此可以大大簡化計算.中點弦問題考查的內(nèi)容較為綜合，點差法是學生需重點掌握的方法.與弦長有關的問題，從不同的角度體現(xiàn)了根的判別式、根與系數(shù)關系、點差法等知識在判斷位置關系中的作用.坐標法作為連接“形”與“數(shù)”的橋梁，集中地體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，這種思想貫穿了整個“圓錐曲線的方程”一章，是學生應重點掌握的基本數(shù)學方法.通過本節(jié)的學習，學生可以鞏固前面所學的圓錐曲線的性質(zhì)以及直線的基本知識，從而培養(yǎng)邏輯思維能力、運算能力、分析和解決問題的能力等.知識的上下位關系：育人價值：類比直線與圓的位置關系，學習直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求方法、總結結論的思維路線，增強學生的概括能力.經(jīng)歷弦長公式，中點弦問題的研究過程，進一步體會坐標法的基本步驟，數(shù)形結合思想，方程思想，轉化與化歸思想的運用，發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).教學重點：直線與圓錐曲線位置關系的判斷，弦長公式，中點弦問題中利用點差法求直線斜率.二、教學目標及其解析目標目標解析掌握直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，掌握求弦長的兩種方法，理解弦長公式的推導過程會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)判別式的情況求交點個數(shù)，判斷位置關系；會比較雙曲線漸近線的斜率和直線斜率，判斷交點個數(shù)及交點位置.能解方程求出交點坐標，利用兩點間距離公式求弦長；能利用根與系數(shù)關系求出兩根之和，兩根之積，直接使用弦長公式掌握利用“點差法”解決中點弦問題的步驟能聯(lián)立直線與圓錐曲線，利用根與系數(shù)關系和中點坐標求直線斜率；學會使用“點差法”，利用交點在曲線上，滿足曲線方程，作差構造出中點坐標與斜率的關系，進一步體會“坐標法”研究平面解析幾何問題掌握直線與拋物線相離時的最值問題會平移已知直線到與拋物線相切的位置，轉化為求兩直線間距離三、教學問題診斷分析1.學生已有經(jīng)驗從學生的認知基礎看，學生已學過直線和圓的方程，掌握了位置關系的判斷方法，學習了圓錐曲線的方程及簡單性質(zhì)，并且對它們的圖像特征也有所了解，但還不能做到熟練綜合運用圓錐曲線方程的性質(zhì)解決相關問題.已經(jīng)學習了使用“坐標法”解決平面解析幾何的步驟，兩點間距離公式，也反復使用了根與系數(shù)的關系解決一些綜合性問題，積累了一些研究問題的經(jīng)驗，在一定程度上具備了抽象、概括能力和語言轉換能力.2.教學存在問題雙曲線和拋物線由于圖形不是封閉的，學生容易完全借鑒直線與圓的位置關系，認為有一個交點就是相切.直線斜率與雙曲線漸近線斜率的關系對交點個數(shù)的影響，學生容易討論不完全或斜率范圍取錯.中點弦問題中，學生在已知信息中只能發(fā)現(xiàn)中點坐標與斜率的一部分關系，難以建立它們之間的聯(lián)系.3.問題解決策略通過改變直線斜率，直觀感受它對直線與雙曲線位置關系的影響；中點弦的問題中，設置層層遞進的問題串，帶領學生挖掘題目中的隱含信息，發(fā)現(xiàn)交點、中點、斜率彼此之間的關系.4.教學難點點差法求中點弦問題，體會直線斜率和中點坐標的內(nèi)在聯(lián)系.四、教學支持條件分析使用GGB軟件作圖，展示直線斜率對交點個數(shù)的影響五、課堂活動設計【本課時教學流程圖】類比直線與圓的位置關系從數(shù)類比直線與圓的位置關系從數(shù)和形的角度探究直線與雙曲線的位置關系探究求弦長的兩種方法探究中點弦問題，體會“點差法”探究拋物線的最值問題【一】復習回顧【引言】前面我們學習了直線的方程、圓的方程，并且探討直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系的問題，那么判斷直線與圓的位置關系的方法有什么？【教師引導，學生回憶】生：幾何法，利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關系.生：代數(shù)法，將直線方程與圓方程聯(lián)立，通過判別式化為方程組的解的問題.生：利用幾何性質(zhì)，當直線過定點，定點在圓的內(nèi)部，此時直線與圓一定相交.請你回憶并補充下表：位置關系公共點個數(shù)圖形判斷方法（幾何）判斷方法（代數(shù)）相交2相切1相離0師：在初中，我們判斷直線與圓的位置關系是看公共點的個數(shù)，這種判定是直觀地定性描述，當直線與圓無限接近時，從圖形上我們無法判斷，因此我們無法做到嚴格地定量刻畫.現(xiàn)在我們應用了方程思想和數(shù)形結合的思想通過判別式的情況來判斷直線與圓的位置關系，它們是否可以推廣應用到直線與圓錐曲線的位置關系中，我們繼續(xù)來研究下面的例題.設計意圖：設計意圖：復習判斷直線與圓的位置關系的方法，再一次明確位置關系可以從幾何和代數(shù)兩個角度判斷，提出直線與圓錐曲線位置關系的判定問題.直線與圓錐曲線也有相應的位置關系，是不是一樣可以從數(shù)和形的角度來判斷呢？來看下面的例題.【二】例題導學任務一：探究直線與圓錐曲線的位置關系【例1】判斷雙曲線與過其右焦點，傾斜角為的直線的位置關系.問題1：如何判斷二者的位置關系，說說你的想法.師：如果此時直線的斜率是，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：直線與雙曲線只有一個交點.師：前面我們知道了，與雙曲線漸近線平行的直線和雙曲線只交與一點.若此時直線的傾斜角變?yōu)椋甭蕿?，你能從圖形上說說這一變化嗎？生：直線傾斜角變小，又經(jīng)過右焦點，所以與雙曲線左右兩支各交于1點.追問1：當直線仍過右焦點，請你結合圖像，討論直線斜率與交點個數(shù)的關系？（GGB演示）2個交點：當時，與右支雙曲線有2交點；當時，與兩支各有1交點；②1個交點：當時；追問2：除了圖形這一角度，從代數(shù)上你能驗證這樣的位置關系嗎？生：類似與直線與圓，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，轉化為通過判別式的情況來判斷方程組解的個數(shù).【學生自主解題，教師巡視】解：由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為，因為直線的傾斜角是，且直線經(jīng)過右焦點，所以直線的方程為由消去，得.判別式，方程有兩個不相等的實根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解，此時，直線與雙曲線有兩個交點.思考：可以發(fā)現(xiàn)，所以與雙曲線左右兩支各交于一點，我們再一次從“數(shù)”的角度驗證了這一位置關系.請你結合根與系數(shù)的關系，總結交點位置的判斷方法.（預設）①，則與左右兩支各交于1點；②若，則與右支交于2點；③，則與左支交于2點.設計意圖：讓學生通過方程組的解與曲線交點的位置關系，加深對“點在曲線上”的充要條件是“點的坐標滿足對應的方程”這一認識設計意圖：讓學生通過方程組的解與曲線交點的位置關系，加深對“點在曲線上”的充要條件是“點的坐標滿足對應的方程”這一認識.基本步驟是聯(lián)立方程組，把直線方程帶入曲線方程，通過消元得到關于x或y的一元二次方程，將交點個數(shù)轉化成判斷方程解的個數(shù).用具體的例子讓學生體會判斷直線與雙曲線有無公共點的一般方法.問題2：若聯(lián)立消元后得到的方程中二次項系數(shù)為零，此時直線與雙曲線的位置關系如何？【學生根據(jù)一般方程，聯(lián)立整理】追問1：當二次項系數(shù)為零時，能得出什么結論？生：設直線方程為，雙曲線方程為，聯(lián)立消元得.當二次項系數(shù)為0時，此時.追問2：這時直線的斜率會對位置關系產(chǎn)生什么影響？生：直線斜率與雙曲線漸近線的斜率相等，因此直線與雙曲線只有一個公共點.師：需要注意，直線與圓，直線與橢圓只有一個公共點時是相切的位置關系.當直線與雙曲線漸近線平行時，有一個公共點，此時我們叫做直線與雙曲線相交.追問3：你能說說判斷直線與圓錐曲線的位置關系一般方法嗎？需要特別注意什么？師生共同總結：判斷位置關系，既可以從代數(shù)角度：聯(lián)立方程組→判斷Δ與0的關系→公共點的個數(shù)→直線與圓錐曲線的位置關系.特別需要注意，當二次項系數(shù)為0時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點.還可以數(shù)形結合，當直線過定點時，根據(jù)定點位置和直線斜率和雙曲線漸近線斜率的大小關系確定其位置關系.課下思考題：探究直線與拋物線的位置關系.當直線和圓錐曲線相交于兩點時，就有了弦，那么如何來求弦長呢？任務二：探究弦長公式,體會“設而不求”【例2】如圖，過雙曲線的右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線兩點，求.問題3：當直線與雙曲線相交時，如何求兩點間的弦長？【教師引導學生思考、交流，學生動手實踐】生：直接求出交點坐標，利用兩點間距離公式進行求解.方法一：由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為，因為直線的傾斜角是，且直線經(jīng)過右焦點，所以直線的方程為由消去，得.解方程，得將的值分別帶入直線方程，得于是兩點的坐標分別為所以設計意圖：設計意圖：通過具體點的坐標運算，讓學生體會弦長的本質(zhì)就是兩點間距離公式的變形.追問：若設交點坐標，觀察距離公式，你認為求弦長一定要求出交點確定的坐標嗎？（預設）不一定非要求出交點坐標.根據(jù)兩點間距離公式，結果只與有關，而與交點確切的坐標無關.師：是方程根的關系，可以用根與系數(shù)關系進行轉化.而直線方程則給出了的關系.因此我們有弦長公式（課下嘗試推導），請利用弦長公式再次解決這個問題.【教師引導學生思考，學生獨立做題，教師巡視給予個別指導】方法二：設，由消去，得.由韋達定理可知，根據(jù)弦長公式，因此.師：方法二中我們設了兩點的坐標，但是解題過程中并沒有實際求出，這種方法通常成為“設而不求”.當兩交點坐標不便求出時，可以使用弦長公式，可以簡化很多計算量.所以在解決數(shù)學問題時，希望同學們多注意觀察和思考，用最簡便的方式解決問題.與弦長有關的還有這樣一種特殊形式，弦被某一點平分，這樣的弦一定存在嗎？我們來看看下面的例題.任務三：中點弦問題，體會“點差法”【例3】已知雙曲線，求過點且被點平分的弦所在的直線方程.問題4：分析題目，你能發(fā)現(xiàn)已知信息中隱含了哪些關系？（學生思考交流討論，教師引導）生：弦被點平分，可以用中點坐標公式,生：弦所在的直線與雙曲線交于2點.生：點在弦上，三點共線，直線的斜率可用點的坐標表示.師：因此，①若設，則而是根與系數(shù)的關系.②直線與雙曲線聯(lián)立，.因而我們其實有了中點坐標和交點坐標的關系，根據(jù)這些關系請你試著從根于系數(shù)的角度去解決這道題目.（學生獨立完成，教師巡視指導,之后請學生匯報解題步驟，教師板演）解法一（利用根與系數(shù)的關系）：由題意知直線的斜率存在，故可設直線方程為，即.由消去，整理得設，.為MN的中點，.當時，滿足,符合題意.故所求直線方程為師：（若學生沒想到，教師適當引導）③弦MN被點平分，所以三點共線，直線的斜率可用我們發(fā)現(xiàn)交點的坐標既與中點坐標有關，又與斜率有關，因此我們在中點坐標和斜率之間找到了聯(lián)系.追問：若設交點，能得出什么？將兩式作差，請你整理出與有關的式子，并說說你的發(fā)現(xiàn).生：，再次驗證了斜率只與交點對應坐標的和有關，即與中點坐標有關.請你試著從這一角度再次解決這道題.（學生小組合作解決，之后教師板演點差法的步驟）解法二（點差法）：設，均在雙曲線上，，兩式相減，得，經(jīng)驗證，該直線存在.故所求直線方程為師：我們又一次發(fā)現(xiàn)，雖然設了交點坐標，但并沒有解出它們，而是在它們與我們需要的直線斜率之間搭了一個橋梁，“設而不求”解決中點弦問題.像這樣設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標，將這兩點帶入圓錐曲線方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量，我們稱這種代點作差的方法為“點差法”.設計意圖：本題主要考查了直線與雙曲線的綜合問題，解題的關鍵是充分運用數(shù)形結合、方程和轉化的數(shù)學思想來解決較為復雜的綜合問題.，在學生相互交流討論，師生的互動交流中，感受點差法“設而不求”的巧妙，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，體會數(shù)學的嚴謹性，使學生綜合問題的解決能力得到訓練.設計意圖：本題主要考查了直線與雙曲線的綜合問題，解題的關鍵是充分運用數(shù)形結合、方程和轉化的數(shù)學思想來解決較為復雜的綜合問題.，在學生相互交流討論，師生的互動交流中，感受點差法“設而不求”的巧妙，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，體會數(shù)學的嚴謹性，使學生綜合問題的解決能力得到訓練.存在中點弦的區(qū)域：事實上，如圖，雙曲線和漸近線將平面直角坐標系分成如下3個區(qū)域，若點M在區(qū)域①內(nèi)，不存在以該點為中點的弦；若點M在區(qū)域②或③，存在以該點為中點的弦.因此對本題而言，如圖，當時，漸近線上，雙曲線上，因此點在雙曲線右支內(nèi)部，存在以M為中點的弦.思考題.已知雙曲線過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？為什么？解:假設存在過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點.設過的直線方程為，A，B兩點的坐標分別為，則①②得.由P為AB的中點，則則，即直線AB的方程為，即，代入雙曲線，可得檢驗判別式，方程無解.故不存在過點的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點.設計意圖：點差法來解決中點弦問題時計算量較少，但有一個弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個交點，因此需要用判別式加以檢驗.設計意圖：點差法來解決中點弦問題時計算量較少，但有一個弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個交點，因此需要用判別式加以檢驗.拓展：（1）證明在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率,（P不是坐標原點）.（2）證明在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率.（3）證明在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率.直線與圓錐曲線相交時，可以求與弦有關的問題，直線與圓錐曲線相切時，可以求切線方程，當直線與圓錐曲線相離時，有這樣一類的問題。任務四：與拋物線有關的最值問題【例4】在拋物線上求一點，使得點到直線的距離最短，并求最短距離.師：點P在拋物線上，可以得出什么？點P到直線的距離如何表示？問題如何轉化？（學生嘗試解決，應該可以想到用點到直線距離公式求解.教師帶領學生分析，點在曲線上，點的坐標滿足曲線方程）解法一：設為拋物線上的點，則，點到直線的距離當時，取最小值，此時點.問題6：該直線與拋物線有怎樣的位置關系？什么時候拋物線上的點到直線距離最短？生：相離.當直線平移后與拋物線相切時，切點到直線的距離即為拋物線上點到直線的最短距離.師：那么問題可以如何轉化？生：可轉化為求一條平行于的直線與拋物線相切，可以求出切點，利用點到直線距離公式求解.或利用兩平行直線間的距離公式.（學生嘗試自己解決）解法二：與平行且與拋物線相切的直線可設為，聯(lián)立方程，得，令故，所以.最短距離為.設計意圖：從設計意圖：從兩種解法中，引導學生發(fā)現(xiàn)解決最值問題主要有兩種思路：一是利用拋物線的標準方程，進行消元代換，得到含參量的代數(shù)式，轉化為求函數(shù)最值；二是借助圖形的直觀性，數(shù)形結合進行距離的轉化.【三】梳理歸納基礎知識層面問題1：判斷直線與圓錐曲線位置關系的一般方法是什么？在這個過程中特別需要注意的是什么？問題2：如何通過直線斜率得到直線與雙曲線的位置關系？問題3：弦長公式什么？使用弦長公式必須有哪些量？問題4：在中點弦問題中要特別注意哪些量之間的聯(lián)系，分別可以使用什么方法解決問題？問題5：當直線與