第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（知識通關詳解）-【單元測試】2023數(shù)學分層訓練AB卷（解析版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)專題詳解函數(shù)的概念設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：。其中：叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）。（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)考點一：定義域的求法一．已知函數(shù)解析式型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域需要從這幾個方面入手：（1）分母不為零（2）偶次根式的被開方數(shù)非負。（3）對數(shù)中的真數(shù)部分大于0。（4）指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)中x例1：求下列函數(shù)的定義域（1）；（2）；（3）().解析：（1）解得：或所以函數(shù)的定義域為；故答案為：.（2）解得：或所以函數(shù)的定義域為；故答案為：.（3）().解得：所以函數(shù)()的定義域為；故答案為：.二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能用常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的定義域，一般有兩種情況。（一）已知的定義域，求的定義域。其解法是：已知的定義域是求的定義域是解，即為所求的定義域。例2：已知的定義域為，求的定義域。解：，，解得即函數(shù)的定義域為舉一反三已知函數(shù)f(x)的定義域是[-1，4]，求函數(shù)f(2x+1)的定義域.【答案】.【詳解】已知f(x)的定義域是[-1，4]，即-1≤x≤4.故對于f(2x+1)應有-1≤2x+1≤4，∴-2≤2x≤3，∴-1≤x≤.∴函數(shù)f(2x+1)的定義域是.（二）已知的定義域，求的定義域。其解法是：已知的定義域是求的定義域的方法是：，求的值域，即所求的定義域。例3：已知的定義域為，求的定義域。解：，，。即函數(shù)的定義域是。舉一反三已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．【答案】【詳解】因為的定義域為，所以，所以．令，則．即中，．故的定義域為．復合函數(shù)定義域綜合求解例4：已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，則，所以，解得，所以的定義域為，故選：B舉一反三1．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，即，所以，所以，即，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.三、逆向思維型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對于已知定義域為,求參數(shù)的范圍問題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決。例5：已知函數(shù)的定義域為求實數(shù)的取值范圍。解：討論：=1\*GB3①當時，函數(shù)的定義域為；=2\*GB3②當時，是二次不等式，其對一切實數(shù)都成立的充要條件是綜上可知：。舉一反三已知函數(shù)的定義域是，求實數(shù)的取值范圍。解：要使函數(shù)有意義，則必須恒成立，因為的定義域為，即無實數(shù)解討論：=1\*GB3①當時，恒成立，解得；=2\*GB3②當時，方程左邊恒成立。綜上得：的取值范圍是?？键c二：求函數(shù)值域例1已知函數(shù)在上滿足：對任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，得到在上單調(diào)遞減，因此只需，解得.故選：C.二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合）（3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法（5）換元法（包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法）（7）分離常數(shù)法（8）判別式法（9）復合函數(shù)法（10）不等式法（11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學的始終。1.利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當a>0時，值域為{}；當a<0時，值域為{}.例2求下列函數(shù)的值域①y=3x+2(-1x1)②③（記住圖像）解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③當x>0，∴=，當x<0時，=－∴值域是[2，+).（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：2.二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例3求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：①；②；③；④；解：∵，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標為2.①∵拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，∴x=2時，ymin=-3,無最大值；函數(shù)的值域是{y|y-3}.②∵頂點橫坐標2[3,4]，當x=3時，y=-2；x=4時，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域為[-2，1].③∵頂點橫坐標2[0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域為[-2，1].④∵頂點橫坐標2[0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3,x=5時，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域為[-3，6].單調(diào)性法例4求函數(shù)y=4x－(x≤1/3)的值域。設f(x)=4x,g(x)=－,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x-在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為｛y|y≤4/3｝。換元法例51.求函數(shù)的值域解：設，則2.求函數(shù)y＝2x－的值域．答案[，＋∞)．【分析】利用換元法設t＝，將函數(shù)化為y＝2(t2＋1)－t，再利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求求解.【詳解】設t＝，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域為[，＋∞)．5．平方法例7（選）求函數(shù)的值域解：函數(shù)定義域為：6．分離常數(shù)法例8求函數(shù)的值域由，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內(nèi)，值域為；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復合函數(shù)法來求值域。7，數(shù)型結(jié)合法例9已知函數(shù).（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù);（2）在所給的坐標系中畫出該函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像直接寫出該函數(shù)的定義域、值域(不要求寫作圖及解答過程)答案1）（2）圖見解析，定義域，值域【分析】（1）因為,分別討論和,即可求得答案;（2）由（1）得:,畫出函數(shù)圖像,即可求得答案.【詳解】（1）當,;當,（2）由（1）得:畫出函數(shù)的圖像,如圖:根據(jù)函數(shù)圖像可知:定義域,值域.10，反解法例10函數(shù)的值域解法一：（逆求法）2解法二：（換元法）設，則2解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為時不成立時，綜合1）、2）值域11、判別式法例11求函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為當且僅當時取等號，故值域為12.復合函數(shù)法107求函數(shù)的值域10解法一：（復合函數(shù)法）令，則所以，值域5解法二：（判別式法）化為51）時，不成立2）時，得綜合1）、2）值域二、函數(shù)的三種表示法是：解析法；圖象法；列表法。eq\o\ac(○,1)函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；eq\o\ac(○,2)解析法：必須注明函數(shù)的定義域；eq\o\ac(○,3)圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；eq\o\ac(○,4)列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值一：分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集例1：已知若函數(shù)的值域為，則的最小值為______．【答案】【詳解】由題意，函數(shù)，可得，要使得函數(shù)的值域為，則滿足，解得，所以實數(shù)的最小值為．故答案為：．舉一反三1.已知狄利克雷函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的值域為 B．定義域為C． D．的圖象經(jīng)過點【答案】BC【詳解】對于A,的值域為，故A錯誤；對于B,定義域為，故B正確；對于C，當是有理數(shù)時，也為有理數(shù)，當是無理數(shù)時，也為無理數(shù)，故成立，故C正確；對于D，因為，所以的圖象經(jīng)過點，故D錯誤.故選：BC.2.已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)的解集是____.【答案】[，2]【詳解】由題意得或解得x0或0<x2，即不等式的解集為[，2].故答案為：[，2].題型二：圖像法例2：1．已知圖①中的圖象是函數(shù)的圖象，則圖②中的圖象對應的函數(shù)可能是（）A．B．C．D．答案．C.【詳解】圖②中的圖象是在圖①的基礎上，去掉函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的部分，然后將軸左側(cè)圖象翻折到軸右側(cè)，軸左側(cè)圖象不變得來的，∴圖②中的圖象對應的函數(shù)可能是.故選：C.舉一反三1．（多選）下列選項中所給圖象是函數(shù)圖象的為（）A．B．C． D．答案．CD解：根據(jù)函數(shù)的定義，在定義域內(nèi)作一條直線，將直線在定義域內(nèi)左右移動，如果直線與圖象的交點始終只有一個，則圖象是函數(shù)圖象，據(jù)此可判斷C，D選項所給圖象是函數(shù)圖象，故選：CD.2（多選）．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是（）A．在t1時刻，甲車的速度大于乙車的速度B．t0時刻后，甲車的速度小于乙車的速度C．在t0時刻，兩車的位置相同D．在t0時刻，甲車在乙車前面答案：BD【詳解】由圖可知，當時間為t1時，甲車的速度小于乙車的速度，所以選項B正確，選項A錯誤；t0時刻之前，甲車的速度一直大于乙車，時間相同的情況下，甲車行駛路程大于乙車行駛路程，故t0時刻甲車在乙車前面.所以選項D正確，選項C錯誤.故選：BD題型三：列表法例3：1．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）xy101A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，該函數(shù)的值域是.故選：D.舉一反三已知下列表格表示的是函數(shù),寫出.001【答案】【詳解】，，，，四：求解析式湊配法例4：已知f=x2+，求f(x)；【詳解】(配湊法)∵，∴.2.換元法例5：1.已知數(shù)，則的解析式為（）A． B． C．D．【答案】B【詳解】設，則，則，即.故選：B3.待定系數(shù)法例6：已知一次函數(shù)滿足，則＝________.【答案】【詳解】設，則由，得，即，故解得，所以.故答案為：.方程組法例7：已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).【詳解】由f(x)＋2f＝x，將x換為，得f＋2f(x)＝，于是得關于f(x)與f的方程組，消去得f(x)＝－(x≠0).5.賦值法例8：若函數(shù)滿足，則（）A．4 B．12 C．16 D．36【答案】C解：令，得．故選：C．四．函數(shù)的單調(diào)性1、定義：（1）設函數(shù)的定義域為A，區(qū)間MA，如果取區(qū)間M中的任意兩個值,當改變量時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是增函數(shù)，如圖（1）當改變量時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間M上是減函數(shù)，如圖（2）注意：函數(shù)單調(diào)性定義中的x1,x2有三個特征,一是任意性，二是有大小，三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間．2、鞏固概念：定義的另一種表示方法如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2,若即，則函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，若即，則函數(shù)y=f(x)為減函數(shù)。強調(diào)幾點：①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性．②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．③單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間上的整體性質(zhì)，不能用特殊值說明問題。=4\*GB3④函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．熟記以下結(jié)論，可迅速判斷函數(shù)的單調(diào)性．1．函數(shù)y＝－f（x）與函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性相反．2．當f（x）恒為正或恒為負時，函數(shù)y＝與y＝f（x）的單調(diào)性相反．3．在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)等3．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（1）定義法．（2）直接法．運用已知的結(jié)論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出．圖象法．4.函數(shù)的單調(diào)性（1）設那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).5.單調(diào)性性質(zhì)：①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；③增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；④減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。6.復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：⑴如果函數(shù)和都是減函數(shù)（增函數(shù)）,則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù)（增函數(shù)）;增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，定義域優(yōu)先考慮。且復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是它的定義域的某個子區(qū)間。題型一：定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性例1：（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2：設函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【詳解】因為函數(shù)定義域為，其關于原點對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因為函數(shù)在(0,+∞）上單調(diào)遞增，在(-∞,0）上單調(diào)遞增，而在(0,+∞）上單調(diào)遞減，在(-∞,0）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在(0,+∞）上單調(diào)遞增，在(-∞,0）上單調(diào)遞增．故選：A．題型三：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例3：（2021·江西·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】，在上單調(diào)遞減，則，所以．故選：C．題型四：根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性例2：（2021·貴州·高二學業(yè)考試）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題圖知：在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B題型五：復合函數(shù)的單調(diào)性例5：（2021·上海浦東新·三模）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為___________.【答案】(或都對)【解析】利用復合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，即可得到答案；【詳解】令，則，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得：在單調(diào)遞減，故答案為：題型六：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式例6：（2022·河北邢臺·高考模擬）函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A解：∵在上為增函數(shù)，且，∴，解得，故選：A．題型七：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例7：（2021·全國·模擬預測（文））已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，對于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A錯誤；對于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B錯誤；對于C?D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C錯誤，D正確.故選：D.題型8：根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性例8：（2021·福建省德化第一中學高一階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A解：因為定義域為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和；故選：A題型九：單調(diào)性綜合應用例9：1．（2021·全國·高考真題（文））下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.五.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義（1）奇函數(shù)：設函數(shù)的定義域為，如果對內(nèi)的任意一個，都有，則這個函數(shù)叫奇函數(shù).（2）偶函數(shù)：設函數(shù)的定義域為，如果對內(nèi)的任意一個，都有，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).（3）奇偶性：如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)具有奇偶性.（4）非奇非偶函數(shù)：無奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù).注意：（1）奇函數(shù)若在時有定義，則．（2）若且的定義域關于原點對稱，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．2．奇(偶)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)對稱性：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于軸對稱．(2)單調(diào)性：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．3.判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）圖像法（2）定義法eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關系；eq\o\ac(○,3)作出相應結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．題型一判斷函數(shù)的奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】(1)的定義域為，它關于原點對稱.，故為偶函數(shù).(2)的定義域為，它關于原點對稱.，故為奇函數(shù).(3)的定義域為，它關于原點對稱.，故為奇函數(shù).(4)，故，故為非奇非偶函數(shù).題型二利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值例2：1．已知在上是偶函數(shù)，且滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】A解：在R上是偶函數(shù)，且滿足，當時，，則．故選：A．舉一反三已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當時，，則，因為函數(shù)是奇函數(shù)，則.故選：D.題型三利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式例3：若是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當時，，則當時，的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，所以，即，當時，，所以．故選：C舉一反三1.若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，求.解：因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)所以，因為①所以所以②由①②式消去，得.類型四：根據(jù)奇偶性求參數(shù)例4：若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【詳解】由已知，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，整理得：，所以.故選：C.舉一反三1.已知為奇函數(shù)，則______．【答案】【詳解】由題意是奇函數(shù)，則，即，故，由于，故，故答案為：類型五：利用奇偶性求范圍問題例4：定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若不等式的解集為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為為偶函數(shù)，，在單調(diào)遞減，若，則，不等式可轉(zhuǎn)化為，所以，解得：，所以且，即.故選:B.六、函數(shù)的周期性周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)（其中為常數(shù)）,，則是以為周期的周期函數(shù)；②，則是以為周期的周期函數(shù)；③，則是以為周期的周期函數(shù)；④，則是以為周期的周期函數(shù)； ⑤，則是以為周期的周期函數(shù).⑥，則是以為周期的周期函數(shù).⑦，則是以為周期的周期函數(shù).類型一：判斷周期函數(shù)例7：定義在上的函數(shù)滿足，則下列函數(shù)中是周期函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，定義在上的函數(shù)滿足，所以，所以是周期為的周期函數(shù).故選：B.類型二：周期性求值求值例8：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)＝16x，則f

＋f(1)=（

）A．－8 B．－4 C．12 D．20【答案】B【詳解】根據(jù)題意可得：，可得故選：B．類型三：周期性求函數(shù)解析式例9：設定義在上的奇函數(shù)，滿足對任意的都有，且當時，，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，滿足對任意的都有，則，，因此，.故選：C.類型三：周期+奇偶性例6：已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則___________.【答案】【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，即，故，即，故，即，令，則由可得，結(jié)合得，，所以，故答案為：七．函數(shù)對稱性（異號對稱）（1）軸對稱：若函數(shù)關于直線對稱，則①；②；③（2）點對稱：若函數(shù)關于點對稱，則①②③（3）點對稱：若函數(shù)關于點對稱，則①②③題型一：對稱性的判定例11：定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關于直線對稱，則下列選項中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A解：因為函數(shù)滿足，所以，所以，又的圖象關于直線對稱，所以，且，則，所以，所以，無法求出.故選：A.題型二：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值例12：函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象關于直線對稱，，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，而函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以.故選：B題型三：由周期性與對稱性求函數(shù)解析式例13：函數(shù)的圖象與曲線關于軸對稱，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】任取函數(shù)上的一點，由函數(shù)的圖象與曲線關于軸對稱，則點關于軸對稱的點坐標為，又點在曲線上，可得，則.故選：D.題型四：由周期性與對稱性比較大小例14：已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若在上是增函數(shù)，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵f（x+2）=﹣f（x），函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函數(shù)f（x）關于x=1對稱，且f（x+4）=f（x），∴函數(shù)是周期為4的周期數(shù)列．∵f（x）在[﹣1，0]上是增函數(shù)，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，f（）=f（4+）=f（）=f（），∵f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，且1＜＜，∴f（1）＞f（）＞f（），即f（）＜f（）＜f（1），故選D．題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例15：（2022·重慶·西南大學附中模擬預測）函數(shù)滿足，，當時，，則關于x的方程在上的解的個數(shù)是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013【答案】B【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關于點對稱，因為，即，所以函數(shù)關于直線對稱，因為當時，，所以，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，如圖所示：

由圖可知，函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，由于函數(shù)一個周期內(nèi)，與有2個交點，在上，與有1個交點，所以根據(jù)函數(shù)周期性可知，當時，與有個交點.所以關于x的方程在上的解的個數(shù)是個.故選：B奇偶性周期性及對稱性綜合應用1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【詳解】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．八．冪函數(shù)1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減增增x∈(0，＋∞)時，減；x∈(－∞，0)時，減3.冪值的大小比較（1）直接法:當冪指數(shù)相同時,可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較.（2）轉(zhuǎn)化法:當冪指數(shù)不同時,可以先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù),再運用單調(diào)性比較大小.（3）中間值法:當?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同而不能運用單調(diào)性比較大小時,可選取適當?shù)闹虚g值與兩數(shù)分別比較,從而達到比較大小的