福建省龍巖市2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題

第1頁（共1頁）福建省龍巖市2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）＝（）A． B． C． D．2．（5分）復數(shù)的實部和虛部分別是（）A．1，1 B．1，i C． D．3．（5分）下列結論正確的是（）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐 B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐 C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺 D．棱臺的所有側棱所在直線必交于一點4．（5分）如圖，△O′A′B′是△OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中O′B′＝2O′A′＝4，則△OAB的面積是（）A． B．4 C．8 D．5．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：4：6，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的6．（5分）設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥n，n?α，則m∥α B．若m∥α，n∥m，則n∥α C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n7．（5分）如圖，某數(shù)學興趣小組的成員為了測量某直線型河流的寬度，在該河流的一側岸邊選定A，B兩處，在該河流的另一側岸邊選定C處，測得AB＝30米，∠ABC＝75°，∠BAC＝45°，則該河流的寬度是（）A．米 B．米 C．米 D．米8．（5分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，點P為棱BB1上的動點（含端點），則AP+PC的最小值是（）A．6 B． C．8 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知復數(shù)z＝（1+2i）i5，則（）A． B． C． D．（多選）10．（6分）用一個平面去截一個幾何體，截面是四邊形，則這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐（多選）11．（6分）對任意兩個非零的平面向量和，定義：；．若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能為（）A．1 B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）一個棱臺至少有個面．13．（5分）在△ABC中，D，E分別在邊BC，AC上，且，若，則x﹣y＝，線段AD與BE交于點F，則＝．14．（5分）如圖，在扇形OAB中，半徑OA＝4，∠AOB＝90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知復數(shù)z＝a2﹣2a﹣3+（a﹣3）i，a∈R．（1）若z是純虛數(shù)，求a的值；（2）若z+i在復平面內對應的點位于第二象限，求a的取值范圍．16．（15分）如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個半球和一個圓柱組合而成的．已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上、下底面圓的圓心連線的平面）ABCD是邊長為6的正方形．（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，sin2A﹣sin2B＝sin2C（cosB﹣1）．（1）求的值；（2）若a＝3，，求△ABC的面積．18．（17分）如圖，在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝6，E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1C1上，且B1E＝B1F＝1．（1）證明：AA1∥平面BC1D．（2）證明：直線AE，BB1，CF交于同一點．19．（17分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6）．（1）①證明：cos∠ABC+cos∠ADC＝0．②證明存在點P，使得PA＝PB＝PC＝PD，并求出P的坐標．（2）若點E在四邊形ABCD的四條邊上運動，且CE將四邊形ABCD分成周長相等的兩部分，求點E的坐標．參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）＝（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝．故選：B．2．（5分）復數(shù)的實部和虛部分別是（）A．1，1 B．1，i C． D．【解答】解：z＝＝＝1+i，則實部和虛部分別是1，1．故選：A．3．（5分）下列結論正確的是（）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐 B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐 C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺 D．棱臺的所有側棱所在直線必交于一點【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，各側面都是全等的等腰三角形，且底面為正多邊形的棱錐是正棱錐，A錯誤；對于B，繞直角三角形的一條直角邊所在直線旋轉一周得到的幾何體是圓錐，B錯誤；對于C，若幾何體中，有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形，不能保證側棱的延長線交于一點，該幾何體不一定為棱臺，C錯誤；對于D，由棱臺的定義，棱臺的所有側棱所在直線必交于一點，D正確．故選：D．4．（5分）如圖，△O′A′B′是△OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中O′B′＝2O′A′＝4，則△OAB的面積是（）A． B．4 C．8 D．【解答】解：根據題意，直觀圖△O′A′B′中，O′B′＝2O′A′＝4，∠B′O′A′＝45°，則其直觀圖的面積S′＝×O′B′×O′A′×sin45°＝2，則原圖的面積S＝2S′＝2×2＝8．故選：C．5．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：4：6，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定的【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝3：4：6，由正弦定理得a：b：c＝3：4：6，令a＝3t，b＝4t，c＝6t，t＞0，則cosC＝＝＝﹣＜0，則∠C為鈍角，則△ABC為鈍角三角形．故選：C．6．（5分）設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m∥n，n?α，則m∥α B．若m∥α，n∥m，則n∥α C．若m∥α，n∥α，則m∥n D．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n【解答】解：m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，對于A，若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故A錯誤；對于B，若m∥α，n∥m，則n∥α或n?α，故B錯誤；對于C，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若m∥α，m?β，α∩β＝n，則由線面平行的性質得m∥n，故D正確．故選：D．7．（5分）如圖，某數(shù)學興趣小組的成員為了測量某直線型河流的寬度，在該河流的一側岸邊選定A，B兩處，在該河流的另一側岸邊選定C處，測得AB＝30米，∠ABC＝75°，∠BAC＝45°，則該河流的寬度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【解答】解：因為AB＝30米，∠ABC＝75°，∠BAC＝45°，所以∠ACB＝60°，在△ABC中，由正弦定理可得，則＝＝米，如圖，作CD⊥AB，垂足為D，因為sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝，所以在Rt△BDC中，CD＝BCsin∠ABC＝米，所以該河流的寬度是米．故選：A．8．（5分）在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝6，AA1＝4，點P為棱BB1上的動點（含端點），則AP+PC的最小值是（）A．6 B． C．8 D．【解答】解：如圖，把四邊形A1ABB1，BB1C1C展開至同一個平面，連接AC，AC1，AB1，易知AP+PC的最小值就是展開圖中AC的長，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠ABC＝120°，則，即AP+PC的最小值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知復數(shù)z＝（1+2i）i5，則（）A． B． C． D．【解答】解：z＝（1+2i）i5＝（1+2i）i＝﹣2+i，＝﹣2﹣i，故A錯誤；|z|＝＝，故B正確；z+＝﹣2+i+（﹣2﹣i）＝﹣4，故C錯誤；z﹣＝﹣2+i﹣（﹣2﹣i）＝2i，故D正確．故選：BD．（多選）10．（6分）用一個平面去截一個幾何體，截面是四邊形，則這個幾何體可能是（）A．圓錐 B．圓柱 C．三棱柱 D．三棱錐【解答】解：用一個平面去截一個圓錐，得到的圖形可能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線的一支、三角形，不可能是四邊形，故A不滿足要求；用一個平面去截一個圓柱，軸截面是四邊形，故B滿足要求；用一個平面去截一個三棱柱，當截面平行于側棱時，截面是四邊形，故C滿足要求；用一個平面去截一個三棱錐，當截面經過兩組對棱的中點時，截面是四邊形，故D滿足要求．故選：BCD．（多選）11．（6分）對任意兩個非零的平面向量和，定義：；．若平面向量滿足，且和都在集合中，則的值可能為（）A．1 B． C． D．【解答】解：，設向量和的夾角為，則：，因為，所以，所以，所以，故，⊙＝，當時，，又，所以，符合題意；當時，，又，所以，符合題意，所以或．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）一個棱臺至少有5個面．【解答】解：易知面數(shù)最少的棱臺是三棱臺，而三棱臺有5個面，則一個棱臺至少有5個面．故答案為：5．13．（5分）在△ABC中，D，E分別在邊BC，AC上，且，若，則x﹣y＝，線段AD與BE交于點F，則＝9．【解答】解：因為，所以，因為，所以，則，，故，因為B，F(xiàn)，E三點共線，所以＝，因為＝3，所以，所以，因為A，F(xiàn)，D三點共線，所以，所以，所以，解得k＝，則＝9．故答案為：，9．14．（5分）如圖，在扇形OAB中，半徑OA＝4，∠AOB＝90°，C在半徑OB上，D在半徑OA上，E是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形BCDE的周長的取值范圍是（8，12]．【解答】解：連接OE、AB，設∠AOE＝2θ，則∠BOE＝﹣2θ，∠ABE＝θ，所以∠OBE＝θ+；在△OBE中，由正弦定理得，＝，則BE＝＝＝8cos（θ+）；在Rt△ODE中，由正弦定理得，＝，則DE＝OEsin2θ＝4sin2θ，所以平行四邊形BCDE的周長為：2（BE+DE）＝16cos（θ+）+8sin2θ＝16cos（θ+）﹣8cos（2θ+）＝﹣16cos2（θ+）+16cos（θ+）+8＝﹣16+12，因為0＜2θ＜，所以0＜θ＜，所以＜θ+＜，所以0＜cos（θ+）＜，所以0≤＜，所以8＜﹣16+12≤12，即平行四邊形BCDE的周長取值范圍是（8，12]．故答案為：（8，12]．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知復數(shù)z＝a2﹣2a﹣3+（a﹣3）i，a∈R．（1）若z是純虛數(shù)，求a的值；（2）若z+i在復平面內對應的點位于第二象限，求a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可得，解得a＝﹣1；（2）由題意可得z+i＝a2﹣2a﹣3+（a﹣2）i，因為z+i在復平面內對應的點位于第二象限，所以，解得2＜a＜3，故a的取值范圍為（2，3）．16．（15分）如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個半球和一個圓柱組合而成的．已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上、下底面圓的圓心連線的平面）ABCD是邊長為6的正方形．（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積．【解答】解：由題意可知半球的半徑R＝3，圓柱的底面圓半徑r＝3，高h＝6，（1）由球的表面積公式可得半球的曲面面積，由圓的面積公式可得圓柱底面圓的面積，由圓柱的側面積公式可得圓柱的側面積S3＝2πrh＝36π，故該幾何體的表面積S＝S1+S2+S3＝18π+9π+36π＝63π．（2）由球的體積公式可得半球的體積，由圓柱的體積公式可得圓柱的體積，故該幾何體的體積V＝V1+V2＝18π+54π＝72π．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，sin2A﹣sin2B＝sin2C（cosB﹣1）．（1）求的值；（2）若a＝3，，求△ABC的面積．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2A﹣sin2B＝sin2C（cosB﹣1）及正弦定理，得a2﹣b2＝c2（cosB﹣1），整理得a2+c2﹣b2＝c2cosB，由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2accosB，于是c2cosB＝2accosB，而，即cosB≠0，又c＞0，所以．（2）由（1）知，c＝2a＝6，由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，得，整理得，而b＞0，解得，所以△ABC的面積．18．（17分）如圖，在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝6，E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1C1上，且B1E＝B1F＝1．（1）證明：AA1∥平面BC1D．（2）證明：直線AE，BB1，CF交于同一點．【解答】證明：（1）連接A1C1，AC，設AC與BD交于O，連接OC1，因為AB＝2A1B1，由正四棱臺可得A1C1∥AC，且A1C1＝AC＝AO，所以四邊形AOC1A1