七年級(jí)下- 3實(shí)數(shù)（解析版）

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第六章實(shí)數(shù)》6.3實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一無(wú)理數(shù)的概念◆1、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫做無(wú)理數(shù).◆2、常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)的三種形式：(1)圓周率π以及一些含π的數(shù)，2π﹣3，π2(2)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如：，等；(3)有規(guī)律但不循環(huán)的數(shù)，如1.01001000100001…等.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二實(shí)數(shù)的概念和分類◆1、實(shí)數(shù)的概念：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).◆2、實(shí)數(shù)的分類：（1）按定義分類．（2）按性質(zhì)分類.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系◆1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).◆2、◆3、實(shí)數(shù)的大小比較①正實(shí)數(shù)大于零，負(fù)實(shí)數(shù)小于零，正實(shí)數(shù)大于負(fù)實(shí)數(shù)；②兩個(gè)正實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；③兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四實(shí)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣．◆1、數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù).

◆2、一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.即設(shè)a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù)，則|a|=知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五實(shí)數(shù)的運(yùn)算◆1、當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算.

◆2、◆3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.①加法交換律：a＋b＝b＋a；②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交換律：ab＝ba；④乘法結(jié)合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.題型一無(wú)理數(shù)的識(shí)別題型一無(wú)理數(shù)的識(shí)別【例題1】（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)期末）下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（）A．π2 B．16C．0.25 D．0.1010010001【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．據(jù)此解答即可．【解答】解：A．π2B．16=C．0.25是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．0.1010010001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，掌握帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉（1）對(duì)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)進(jìn)行區(qū)分時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅看到用根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無(wú)理數(shù)；（2）π是無(wú)理數(shù)，，化簡(jiǎn)后含π的數(shù)也是無(wú)理數(shù)，判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)要抓住兩點(diǎn)：一是無(wú)限小數(shù)；二是其形式不循環(huán).【變式1-1】（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）在實(shí)數(shù)﹣2，117，9，3?27，11中的無(wú)理數(shù)是【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．【解答】解：﹣2，9=3，3117無(wú)理數(shù)是11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)．如π，2，0.8080080008…（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式．【變式1-2】下列實(shí)數(shù)中，不是無(wú)理數(shù)的是（）A．2 B．π C．33 【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：A.2是無(wú)理數(shù)；B．π是無(wú)理數(shù)；C.33D．﹣2是整數(shù)，屬于有理數(shù)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式1-3】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）①無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)；②無(wú)理數(shù)都是帶根號(hào)的數(shù)；③只有正數(shù)才有平方根；④3的平方根是3；⑤﹣2是（﹣2）2的平方根．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，可得無(wú)理數(shù)，可判斷①②；根據(jù)平方根，可判斷③④⑤．【解答】解：①無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故①錯(cuò)誤；②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，故②錯(cuò)誤；③0的平方根是0，故③錯(cuò)誤；④3的平方根是±3，故④錯(cuò)誤；⑤±(?2)2=±2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)，注意無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．【變式1-4】（2022春?杜爾伯特縣期中）下列語(yǔ)句正確的是（）A．3.78788788878888是無(wú)理數(shù) B．無(wú)理數(shù)分正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù) C．無(wú)限小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù) D．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：A、3.78788788878888是有限小數(shù)，是有理數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、0是整數(shù)，是有理數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、無(wú)限小數(shù)中的循環(huán)小數(shù)是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式1-5】（2022秋?高郵市期中）下列一組數(shù)：﹣8，2.7，237，πA．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：π2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．題型二實(shí)數(shù)的分類題型二實(shí)數(shù)的分類【例題2】（2022秋?麗水期中）把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的橫線上：①﹣3.14，②2π，③?13，④0.618，⑤?16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨22整數(shù)集合：{……}；分?jǐn)?shù)集合：{……}；無(wú)理數(shù)集合：{……}．【分析】利用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)的定義分類填空．【解答】解：整數(shù)有：⑤?16=?4，⑥0，⑦﹣1，分?jǐn)?shù)有：①﹣3.14，③?13，④0.618，⑨無(wú)理數(shù)有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐漸多1），故答案為：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)的定義．解題技巧提煉本題采用分類法解答，可先把題目中所列各數(shù)分成有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，再?gòu)挠欣頂?shù)中找整數(shù)及分?jǐn)?shù).【變式2-1】（2021秋?社旗縣期末）實(shí)數(shù)?13，A．﹣1 B．?6 C．0 D．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類進(jìn)行解答即可．【解答】解：這一組數(shù)中的負(fù)整數(shù)是﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)，熟知實(shí)數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋?寧波期中）下列實(shí)數(shù)：2，39，1，94，π2，?A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類及分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：這一組數(shù)中的分?jǐn)?shù)有：94，?73故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)，熟知所有的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．實(shí)數(shù)包括有理數(shù)、無(wú)理數(shù)和零 B．有理數(shù)包括正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù) C．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù) D．無(wú)論是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)都是實(shí)數(shù)【分析】靈活掌握實(shí)數(shù)分類以及有理數(shù)和無(wú)理數(shù)概念，注意容易混淆的知識(shí)點(diǎn)．【解答】解：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，0屬于有理數(shù)，故A錯(cuò)誤，有理數(shù)包括正有理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)和0，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故B錯(cuò)誤，無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)是無(wú)理數(shù)，故C錯(cuò)誤，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了實(shí)數(shù)的概念，以及有理數(shù)和無(wú)理數(shù)概念及分類．【變式2-4】（2022春?夏津縣期末）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．3?27是整數(shù) B．?17C．33是分?jǐn)?shù) D．9【分析】根據(jù)立方根，算術(shù)平方根，有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：A、∵3?27∴3?27故A不符合題意；B、?1713是有理數(shù)，故C、33是無(wú)理數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，故CD、∵9=3，3的立方根是33，∴9的立方根是無(wú)理數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022秋?黑山縣期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：33，?4，25，4【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)以及正實(shí)數(shù)的定義，在給定實(shí)數(shù)中分別挑出無(wú)理數(shù)以及正實(shí)數(shù)，此題得解．【解答】解：如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】（2021春?個(gè)舊市校級(jí)期中）在下列各數(shù)中，選擇合適的數(shù)填入相應(yīng)的集合中．?15，39，π2，3.14．?3（1）有理數(shù)集合：{…}；（2）無(wú)理數(shù)集合：{…}；（3）正實(shí)數(shù)集合：{…}；（4）負(fù)實(shí)數(shù)集合：{…}；【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類法填寫即可．【解答】解：（1）有理數(shù)為：3.14，?327，0，?1故答案為：3.14，?327，0，?1（2）無(wú)理數(shù)為：39，π2，﹣5.123456…，故答案為：39，π2，﹣5.123456…，（3）正實(shí)數(shù)為：39，π2，3.14，327故答案為：39，π2，3.14，（4）負(fù)實(shí)數(shù)為：?15，?3故答案為：?15，?3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握實(shí)數(shù)的分類方法是解本題的關(guān)鍵．題型三實(shí)數(shù)和數(shù)軸的關(guān)系題型三實(shí)數(shù)和數(shù)軸的關(guān)系【例題3】（2022?海淀區(qū)校級(jí)模擬）實(shí)數(shù)a與b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|【分析】根據(jù)數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)b＜a，且，由此即可判斷以上選項(xiàng)正確與否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合題意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合題意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合題意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)軸與實(shí)數(shù)的大小比較等相關(guān)內(nèi)容，會(huì)利用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)的大小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”及“在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大”，我們可以把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，利用數(shù)形結(jié)合思想計(jì)較實(shí)數(shù)的大小.【變式3-1】（2021春?南岸區(qū)期中）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若實(shí)數(shù)b滿足a＜b＜2，則b的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【分析】先判斷b的范圍，再確定符合條件的數(shù)即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)確定數(shù)的范圍．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)大小比較：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大，這個(gè)數(shù)越小．【變式3-2】（2022春?鼓樓區(qū)期中）若將三個(gè)數(shù)?2，5，10表示在如圖所示的數(shù)軸上，則被墨跡覆蓋的數(shù)是三個(gè)數(shù)中的【分析】依據(jù)表示三個(gè)數(shù)?2，5，10【解答】解：∵﹣2＜?2＜?1，2＜5∴被墨跡覆蓋的數(shù)是三個(gè)數(shù)中的5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．【變式3-3】把表示下列各數(shù)的點(diǎn)畫在數(shù)軸上，再按從小到大的順序，用“＜”號(hào)把這些數(shù)連接起來(lái)：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先計(jì)算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用數(shù)軸表示數(shù)的方法表示所給的6個(gè)數(shù)，然后寫出它們的大小關(guān)系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用數(shù)軸表示為：，它們的大小關(guān)系為﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2【變式3-4】（2022春?海安市校級(jí)月考）7、如圖：數(shù)軸上表示1、5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，且點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（）A．5?1 B．1?5 C．5?2【分析】設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出x的值即可．【解答】解：設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則x+5解得x＝2?5故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2022秋?邢臺(tái)期中）如圖，有一個(gè)半徑為12個(gè)單位長(zhǎng)度的圓，將圓上的點(diǎn)A放在原點(diǎn)，并把圓沿?cái)?shù)軸逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)一周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A'的位置，則點(diǎn)A'表示的數(shù)；若點(diǎn)B表示的數(shù)是?10，則點(diǎn)B在點(diǎn)A'的【分析】因?yàn)閳A從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)一周，可知OA′＝π，再根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)及π的值即可解答；比較﹣π與?10【解答】解：∵圓的周長(zhǎng)為π×2×12∴OA′＝π，故A′點(diǎn)表示的數(shù)是﹣π，∵（﹣π）2≈9.8282，（?10）2∴﹣π＞?10∴點(diǎn)B在點(diǎn)A′的左邊．故答案為：﹣π；左邊．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸的特點(diǎn)，熟知實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2022秋?寧波期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離相等，若點(diǎn)B表示1，點(diǎn)C表示7，則點(diǎn)A表示的數(shù)是．【分析】設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是x，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是x，由題意得，1﹣x=7解得x＝2?7故答案為：2?7【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，主要利用了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示，是基礎(chǔ)題．【變式3-7】（2022秋?西安月考）如圖，已知實(shí)數(shù)?5，﹣1，5，3，其在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，C，D（1）求點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的距離；（2）記點(diǎn)A與點(diǎn)B之間距離為a，點(diǎn)C與點(diǎn)D之間距離為b，求a﹣b的值．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）先根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的計(jì)算方法計(jì)算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的距離為3?5（2）根據(jù)題意可得，a＝|﹣1+5|=5?1，ba﹣b=5?1﹣（3?5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸及數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系及數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．題型四實(shí)數(shù)的大小比較題型四實(shí)數(shù)的大小比較【例題4】在﹣1，0，π，3這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．π D．3【分析】實(shí)數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．【解答】解：根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得﹣1＜0＜3＜∴在這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。忸}技巧提煉1、①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小．2、比較實(shí)數(shù)大小比較的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脫去根號(hào)比較）.當(dāng)一個(gè)帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)和一個(gè)有理數(shù)進(jìn)行比較時(shí)，首選的方法就是把有理數(shù)還原成帶根號(hào)的形式，比較被開(kāi)方數(shù)，也可采用近似值的方法來(lái)比較大小.【變式4-1】（2022?沂源縣一模）在3，?3A．3 B．?3 C．0 【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，?3，0，2這四個(gè)數(shù)中，最小的一個(gè)數(shù)是?故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)大小比較，可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號(hào)兩數(shù)及0的大小，利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。咀兪?-2】三個(gè)數(shù)﹣π，﹣3，?3A．﹣3＜﹣π＜?3 B．﹣π＜﹣3＜?3 C．﹣π＜?3＜?3【分析】先對(duì)無(wú)理數(shù)進(jìn)行估算，再比較大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，?3因?yàn)?.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜?3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同學(xué)們對(duì)無(wú)理數(shù)大小的估算能力及比較兩個(gè)負(fù)數(shù)大小的方法，即兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而?。咀兪?-3】設(shè)a為實(shí)數(shù)且0＜a＜1，則在a2，a，a，1aA．1a＞a＞a＞a2 B．a(chǎn)【分析】根據(jù)正數(shù)比較大小的法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜a＜1，∴1a＞a＞a故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-4】比較2，5，37A．2＜5＜37 B．2＜37＜5 【分析】把2轉(zhuǎn)化為4，【解答】解：∵2=4∴5＞2∵2=3∴2＞3∴5＞2＞即37故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，解決本題的關(guān)鍵是把2轉(zhuǎn)化為4，【變式4-5】比較大?。?3【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【解答】解：(?3)2∵3＞2.25，∴?3故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，兩個(gè)負(fù)數(shù)平方大的反而?。咀兪?-6】比較大?。?1135．【分析】首先將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)部，進(jìn)而利用實(shí)數(shù)比較大小方法得出即可．【解答】解：∵211=44，3∴211＜35故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，正確將根號(hào)內(nèi)的數(shù)字移到根號(hào)內(nèi)部是解題關(guān)鍵．【變式4-7】（2021秋?新津縣校級(jí)月考）比較大?。??1212，32【分析】（1）比較出兩個(gè)數(shù)的差的正負(fù)，即可判斷出它們的大小關(guān)系．（2）首先比較出兩個(gè)數(shù)的平方的大小關(guān)系；然后根據(jù)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)數(shù)也大，判斷出原來(lái)的兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系即可．【解答】解：（1）∵3?1∴3?1（2）(32)2∵18＞12，∴32＞23故答案為：＜、＞．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)數(shù)也大．題型五求一個(gè)的數(shù)的相反數(shù)或絕對(duì)值題型五求一個(gè)的數(shù)的相反數(shù)或絕對(duì)值【例題5】實(shí)數(shù)?3A．3 B．?33 C．?3【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：實(shí)數(shù)?3的絕對(duì)值是：3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值，正確掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，結(jié)果符號(hào)相反、絕對(duì)值不變；即數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù).

2、一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.【變式5-1】2的相反數(shù)是（）A．?2 B．2 C．12【分析】根據(jù)相反數(shù)的含義，可得求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，據(jù)此解答即可．【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的含義，可得2的相反數(shù)是：?2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)的含義以及求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在；求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”．【變式5-2】|?2A．?2 B．2 C．﹣2 【分析】運(yùn)用平方運(yùn)算的法則運(yùn)算即可．【解答】解：|?2故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方運(yùn)算的法則，熟練掌握法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-3】填空：（1）5的相反數(shù)是，絕對(duì)值是；（2）3?1的相反數(shù)是，絕對(duì)值是（3）若|x|=3，則x＝【分析】根據(jù)相反數(shù)和絕對(duì)值的定義即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反數(shù)是?5，絕對(duì)值是5（2）3?1的相反數(shù)是1?3，絕對(duì)值是（3）∵|x|=3∴x=±3故答案為：（1）?5，5（2）1?3，3（3）±3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根，掌握絕對(duì)值等于3的數(shù)有2個(gè)是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022秋?輝縣市校級(jí)月考）5?2的相反數(shù)是；81的平方根是【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方根，相反數(shù)的定義求解即可．【解答】解：5?2的相反數(shù)是2?5；故答案為：2?5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根，平方根，相反數(shù)，先求出81的值，再求它的平方根是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2021?市南區(qū)模擬）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）A．﹣2與(?2)2 B．﹣2與3?8 C．2與（?2）2 【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得一個(gè)數(shù)的相反數(shù)．【解答】解：A、只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，故A正確；B、是同一個(gè)數(shù)，故B錯(cuò)誤；C、是同一個(gè)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D、是同一個(gè)數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，利用了只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．【變式5-6】（2021秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）已知31?3b與32a+1互為相反數(shù)，求3﹣6a+9【分析】根據(jù)立方根和相反數(shù)的意義先求出﹣2a與3b的關(guān)系，再整體代入求出3﹣6a+9b的平方根．【解答】解：∵31?3b與3∴31?3b∴31?3b∴1﹣3b＝﹣（2a+1）．∴﹣2a+3b＝2．∴3﹣6a+9b＝3+3（﹣2a+3b）＝3+3×2＝9．∵9的平方根是±3，∴3﹣6a+9b的平方根是±3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的計(jì)算，掌握相反數(shù)的意義、立方根的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-7】（2022春?如皋市校級(jí)月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及平方根的性質(zhì)分類討論得出答案．【解答】解：∵|x|=5∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴當(dāng)x=5，則y=?故x+y=5當(dāng)x=?5，則y=?故x+y=?5綜上所述：x+y的值為5?11或【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確分類討論是解題關(guān)鍵．題型六有關(guān)數(shù)軸與絕對(duì)值的化簡(jiǎn)題型六有關(guān)數(shù)軸與絕對(duì)值的化簡(jiǎn)【例題6】（2022秋?大竹縣校級(jí)期末）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，則|a﹣b|?a2A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由數(shù)軸可得a＜b＜0，然后利用算術(shù)平方根與絕對(duì)值的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|?a2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)軸、算術(shù)平方根與絕對(duì)值的性質(zhì)．此題難度適中，注意a2=|解題技巧提煉本題給出數(shù)軸上一些實(shí)數(shù)，求一些含絕對(duì)值的式子的和,方法是先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)行合并計(jì)算.【變式6-1】實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則|3?b|+|a+3|+a2的值【分析】直接利用數(shù)軸結(jié)合絕對(duì)值以及平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜?3，0＜b＜故|3?b|+|a+3=3?b﹣（a+=3?b﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確化簡(jiǎn)各式是解題關(guān)鍵．【變式6-2】實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)(a?b)2?|a+c|+【分析】利用數(shù)軸首先得出各式的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：如圖所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，則原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確判斷出各式的符號(hào)是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2021春?南通期末）如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡(jiǎn)：c2+|a+b|+3(a+b)【分析】直接利用數(shù)軸得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化簡(jiǎn)求解．【解答】解：由數(shù)軸可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確化簡(jiǎn)各式是解題關(guān)鍵．【變式6-4】實(shí)數(shù)a，b，c表示在數(shù)軸上如圖所示，完成下列問(wèn)題，試化簡(jiǎn)：(a?c)2【分析】根據(jù)題意可得：b＜0＜a＜c，從而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值，立方根的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(a?c)＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022秋?保定月考）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)B沿?cái)?shù)軸向左爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)B表示3，設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為m．（1）實(shí)數(shù)m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，m=3故答案為：3?2（2）m+1=3∵1＜3∴0＜3（m+2）2+|m+1|＝（3?2+2）2+|3＝（3）2+＝3+＝2+3故答案為：2+3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸及絕對(duì)值，熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．題型七實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用題型七實(shí)數(shù)非負(fù)性的應(yīng)用【例題7】（2022春?澗西區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足（a﹣2）2+|2b+6|+5?c（1）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；（2）求a?3b+c的平方根．【分析】（1）直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合偶次方的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根的性質(zhì)得出a，b，c的值；（2）直接利用平方根定義得出答案．【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+5?c∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，則a?3b+c＝4，故a?3b+c的平方根為：±2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值都等于零，據(jù)此得出關(guān)于字母的方程，運(yùn)用方程思想求相關(guān)字母的值.【變式7-1】已知m，n是實(shí)數(shù)，且2m+1+|3n?2|=0，求m2+n2【分析】根據(jù)算術(shù)平方根與絕對(duì)值的和為0可得算術(shù)平方根與絕對(duì)值同時(shí)為0，可得答案．【解答】由題意得：2m+1＝0，3n﹣2＝0，∴m=?12，n∴m2+n2＝（?12）2+（23）∴m2+n2的平方根是±56【點(diǎn)評(píng)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)算術(shù)平方根與絕對(duì)值的和為0可得算術(shù)平方根與絕對(duì)值同時(shí)為0．【變式7-2】已知|a+1|+3a?2b?1=0，求4a+5b【分析】根據(jù)平方與絕對(duì)值的和為零，可得平方與絕對(duì)值同時(shí)為零，可得a、b的值；將a和b的值代入待求式，求值，并求其算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵|a+1|+3a?2b?1∴a+1＝0，3a﹣2b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴4a+5b2＝4×（﹣1）+5×4＝16，∴4a+5b2的算術(shù)平方根為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，利用了平方與絕對(duì)值的和為零，得出平方與絕對(duì)值同時(shí)為零是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋?原陽(yáng)縣月考）若a?12b+|b【分析】直接利用絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)數(shù)性質(zhì)得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵a?12b+∴a?1解得a=1b=2∴14【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．【變式7-4】（2021秋?撫州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）2+3?c=0，求a﹣b+4【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，代入a﹣b+4c計(jì)算求出的值，最后根據(jù)平方根的定義得出答案．【解答】解：∵|a2﹣1|+（b﹣2）2+3?c∴a2﹣1＝0，b﹣2＝0，3﹣c＝0，解得a＝±1，b＝2，c＝3，∴2A﹣B又∵|a|+a＝0，∴a＝﹣1，∴a﹣b+4c＝﹣1﹣2+4×3＝9，∴a﹣b+4c的平方根是±3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和平方根的的定義，解答此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)正確求出a、b、c的值．【變式7-5】（2022春?孟村縣期中）已知|2a+b|與3b+12互為相反數(shù)．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解關(guān)于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【分析】（1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依據(jù)平方根的定義求解即可；（2）將a、b的值代入得到關(guān)于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由題意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根為±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2