七年級(jí)下-第八章 二元一次方程組 知識(shí)串講+熱考題型（解析版）

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第八章二元一次方程組》本章知識(shí)綜合運(yùn)用有有關(guān)概念●●1、二次一次方程的定義：每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.●●2、二次一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.●●3、二次一次方程組的定義：方程組有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.●●4、二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.●●5、三元一次方程的定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做三元一次方程.●●6、三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．解二（三）元一次方程組解二（三）元一次方程組解二元一次方程組的思想是消元思想，即將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想方法.解二元一次方程組的方法有兩種：代入消元法和加減消元法.●●1、代入法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法.◆用代入法解二元一次方程組的一般步驟：②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解．●●2、加減法：一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.◆用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用x=ay=b●●3、解三元一次方程組的基本思路：消元，先消去一個(gè)未知數(shù)，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.◆◆解三元一次方程組的方法是代入消元法和加減消元法.用方程組的解決實(shí)際問(wèn)題用方程組的解決實(shí)際問(wèn)題●●1、列二（三）元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）審：審題，找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)：設(shè)元，找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．（3）找：找等量關(guān)系，挖掘題目中的所有條件，找出兩個(gè)等量關(guān)系．（4）列：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組．（5）解：解方程組，求出未知數(shù)的值．（6）答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，然后作答．●●2、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．題型一題型一二元一次方程（組）的識(shí)別【例題1】（2022春?偃師市校級(jí)期中）在①x+y＝6；②x（y+1）＝3；③3x+y＝z+1；④mn＝7中，二元一次方程共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)二元一次方程的定義即可求出答案．【解答】解：①x+y＝6，是二元一次方程；②x（y+1）＝3，含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2次，不是二元一次方程；③3x+y＝z+1，含有三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程；④mn＝7，含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2次，不是二元一次方程．所以二元一次方程共有1個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考二元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二元一次方程的定義．解題技巧提煉1、判斷二元一次方程的方法是看它是否需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．2、在識(shí)別二元一次方程組時(shí)，首先看是否有兩個(gè)未知數(shù)，其次看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是否是1，另外還要注意方程是不是整式方程.【變式1-1】（2023春?東陽(yáng)市月考）下列是二元一次方程的是（）A．2x＝3 B．2x2＝y(tǒng)﹣1 C．y+1x=?5 D．x【分析】含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．根據(jù)二元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．2x＝3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．2x2＝y(tǒng)﹣1，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．y+1D．x﹣6y＝0，是二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的定義，二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．【變式1-2】（2022秋?大東區(qū)期末）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（）A．x+y=5y=2 B．x+y=2C．xy=4y=1 D．【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可．【解答】解：A、x+y=5y=2B、x+y=2y?z=6C、xy=4y=1D、x2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋?清河區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，則mn的值是．【分析】根據(jù)二元一次方程定義可得m+n=1m?n+2=1，據(jù)此可得m、n【解答】解：∵關(guān)于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，∴m+n=1m?n+2=1解得：m=0n=1∴mn的值是0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程，關(guān)鍵是掌握二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．【變式1-4】（2022春?曹縣期中）方程（a﹣5）|a﹣4|+5y＝1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值為．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出a﹣5≠0，|a﹣4|＝1，再求出a即可．【解答】解：∵方程（a﹣5）|a﹣4|+5y＝1是關(guān)于x，y的二元一次方程，∴a﹣5≠0且|a﹣4|＝1，∴a＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的定義和絕對(duì)值，能根據(jù)二元一次方程的定義得出a﹣5≠0和|a﹣4|＝1是解此題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022春?輝縣市期末）已知方程組(m?2)x=23x?y|m|?1A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程解答．【解答】解：由題意得，m?2≠0|m|?1=1解得m＝﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的定義，解答時(shí)，一定要緊扣二元一次方程組的定義：組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．題型題型二利用二元一次方程的解求字母參數(shù)的值【例題2】（2023春?東城區(qū)校級(jí)月考）已知x=2y=?1是二元一次方程y﹣kx＝7的解，則kA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】將x=2y=?1代入二元一次方程y﹣kx＝7，得到關(guān)于k【解答】解：根據(jù)題意得，﹣1﹣2k＝7，解得：k＝﹣4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用二元一次方程的解求字母的參數(shù)的值的方法：將方程的解代入二元一次方程，得到關(guān)于字母參數(shù)的新方程，解這個(gè)方程即可求出字母參數(shù)的值.【變式2-1】（2023?建湖縣一模）已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x與y互為相反數(shù)，則x，y的值為（）A．x＝﹣4，y＝4 B．x＝4，y＝﹣4 C．x＝3，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝3【分析】x與y互為相反數(shù)，那么y＝?x，然后代入2x+3y＝3求出x的值，即可求解．【解答】解：由題意得x+y＝0，即y＝?x，代入2x+3y＝3，得2x?3x＝3，解得x＝?3，則y＝3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程解的含義是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2021秋?建寧縣期末）下面各組數(shù)值中，二元一次方程2x+y＝10的解是（）A．x=?2y=6 B．x=6y=?2 C．x=4y=3【分析】把各選項(xiàng)的值代入方程驗(yàn)算即可．【解答】解：A選項(xiàng)，2x+y＝﹣4+6＝2≠10，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，2x+y＝12﹣2＝10，故該選項(xiàng)符合題意；C選項(xiàng)，2x+y＝8+3＝11≠10，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，2x+y＝﹣6+4＝﹣2≠10，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，把各選項(xiàng)的值代入方程驗(yàn)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x、y的方程ax+y＝2的一組解是x=3y=?1，則aA．1 B．﹣1 C．13 【分析】將x=3y=?1代入原方程，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a【解答】解：將x=3y=?1代入原方程得3a解得：a＝1，∴a的值為1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，牢記“一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解”是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022秋?李滄區(qū)期末）若x=3y=?2是二元一次方程ax+by＝﹣2的一個(gè)解，則3a﹣2b+2024的值為【分析】把解代入二元一次方程中，把得到的等式和代數(shù)式整理變形，整體代入求值．【解答】解：∵若x=3y=?2是二元一次方程ax+by∴3a﹣2b＝﹣2，∴3a﹣2b+2024＝﹣2+2024＝2022，故答案為：2022．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入求值．【變式2-5】（2022秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考）x=1y=?2和x=0y=3都是方程ax﹣y＝b的解，則ab＝【分析】先將兩組解分別代入方程ax﹣y＝b，可得a和b的值，即可求出代數(shù)式的值．【解答】解：將兩組解分別代入方程，得a+2＝b，﹣3＝b，∴a＝﹣5，b＝﹣3，∴ab＝（﹣5）﹣3=?1故答案為：?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程得解，將解代入方程求出a和b的值是解題的關(guān)鍵．題型題型三直接代入二元一次方程組的解求字母參數(shù)的值【例題3】（2022春?嵊州市期末）已知x=2y=?2是方程組ax+by=4ax?by=6的解，則a2﹣b2的值是【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義，再根據(jù)平方差公式解決此題．【解答】解：由題意得，2a?2b=4，∴a?b=2，a+b=3．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組的解的定義、平方差公式，熟練掌握二元一次方程組的解的定義、平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用二元一次方程組的解求字母的參數(shù)的值的方法：將方程組的解代入二元一次方程組中，得到關(guān)于字母參數(shù)的新方程組，解這個(gè)方程組即可求出字母參數(shù)的值.【變式3-1】（2022春?平南縣期末）如果方程組x+y=〇2x+y=5的解為A．7，9 B．9，7 C．1，﹣1 D．﹣1，1【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義解決此題．【解答】解：由題意得，﹣4+y＝5．∴y＝9．∴■＝9．∴x+y＝﹣2+9＝7．∴〇＝7．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春?永年區(qū)校級(jí)期末）已知x=4y=2是方程組ax+by=5bx+ay=1的解，則a﹣A．﹣1 B．2 C．3 D．4【分析】將x、y的值代入方程組后，兩式相加化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：將x=4y=2代入方程組ax+by=54a+2b=5①4b+2a=1②①﹣②得，2a﹣2b＝4，∴a﹣b＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組解的問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠正確代入解并化簡(jiǎn)計(jì)算．【變式3-3】（2022春?樂(lè)清市校級(jí)月考）若x=2y=1是方程組mx?ny=1nx+my=8的解，試求3m﹣2【分析】將x=2y=1代入方程組可得2m?n=1①2n+m=8②，先求m、n的值，再求3m﹣2【解答】解：由題意得，將x=2y=12m?n=1①2n+m=8②①×2+②得，5m＝10，解得m＝2，把m＝2代入①得n＝3，∴方程組的解為m=2∴3m﹣2n＝3×2﹣2×3＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程組的解的意義以及二元一次方程組的解法，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題關(guān)鍵．【變式3-4】（2022春?通道縣期中）若x=1y=2是關(guān)于x、y的方程ax﹣by＝1的一個(gè)解，且a+b＝﹣5，求a﹣b【分析】首先根據(jù)二元一次方程的解得出a﹣2b＝1，然后聯(lián)立a+b＝﹣5組成二元一次方程組，解方程組即可得出a，b的值，最后代入a﹣b中計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵x=1y=2是關(guān)于x、y的方程ax﹣by∴a﹣2b＝1，∵a+b＝﹣5，∴聯(lián)立方程組a?2b=1a+b=?5解得：a=?3b=?2∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．∴a﹣b的值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程的解，二元一次方程組的應(yīng)用及代數(shù)式求值．能夠求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2022春?隆陽(yáng)區(qū)期中）已知x=1y=2是二元一次方程組ax+by=8（1）求a，b的值；（2）求2ba的算術(shù)平方根．【分析】（1）將x=1y=2代入原方程組，可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出a，b（2）代入a，b的值，求出2ba的算術(shù)平方根即可．【解答】解：（1）將x=1y=2代入原方程組得：a+2b=8①由①可得：a＝8﹣2b③，將③代入②得：2（8﹣2b）﹣b＝1，解得：b＝3，將b＝3代入③得：a＝8﹣2×3＝2，∴a的值為2，b的值為3；（2）∵a＝2，b＝3，∵2ba＝2×3×2＝12，∴2ba的算術(shù)平方根為23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解以及算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握解二元一次方程組的方法及步驟；（2）熟練掌握算術(shù)平方根的概念．題型題型四求二元一次方程的特殊解【例題4】（2022?溫嶺市校級(jí)自主招生）二元一次方程x+2y＝6的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是．【分析】先用含y的代數(shù)式表示出x＝6﹣2y，再將符合條件的y的值代入x＝6﹣2y即可求解．【解答】解：當(dāng)y＝1時(shí)，x＝4，當(dāng)y＝2時(shí)，x＝2，所以二元一次方程x+2y＝6的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的解，掌握用含y的式子表示x是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉最常見(jiàn)的求特殊解就是求整數(shù)解的情況,一般的方法是:①變形:把x看成常數(shù),把方程變形為用x表示y的形式.②劃界:根據(jù)方程的解都是整數(shù)的情況,劃定x的取值范圍.③試值:在x的取值范圍內(nèi)逐一試值.④確定:根據(jù)試值的結(jié)果得到二元一次方程的整數(shù)解.【變式4-1】（2022春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)寫出二元一次方程2x+y＝6的一組正整數(shù)解．【分析】由2x+y＝6，可得出y＝6﹣2x，代入x＝1求出y值，此題得解．【解答】解：∵2x+y＝6，∴y＝6﹣2x．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝6﹣2×1＝4，∴x=1y=4是二元一次方程2x+y故答案為：x=1y=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，求出二元一次方程的一組整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春?秀英區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于二元一次方程x+3y＝10，有幾組正整數(shù)解（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義解決此題．【解答】解：由題意得，0＜x≤10，1≤y≤3．當(dāng)x＝1，則y＝3；當(dāng)x＝2，則y=8當(dāng)x＝3，則y=7當(dāng)x＝4，y＝2；當(dāng)x＝5，y=5當(dāng)x＝6，y=4當(dāng)x＝7，y＝1；當(dāng)x＝8，y=2當(dāng)x＝9，y=1當(dāng)x＝10，y＝0（不符題意，故舍去）．綜上：符合條件的有3組．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春?南崗區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然數(shù)解有（）A．3組 B．4組 C．5組 D．6組【分析】將方程整理為y＝7﹣2x，將x的值依次代入，即可進(jìn)行解答．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝7﹣2×0＝7，符合題意；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7﹣2×1＝5，符合題意；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝7﹣2×2＝3，符合題意；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝7﹣2×3＝1，符合題意；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝7﹣2×4＝﹣1，不符合題意；綜上：符合條件的自然數(shù)解有4組，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將一個(gè)未知數(shù)看做已知數(shù)求出另一個(gè)未知數(shù)．【變式4-4】（2023春?東陽(yáng)市月考）二元一次方程x+2y＝5的正整數(shù)解有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．無(wú)數(shù)組【分析】求出x＝5﹣2y，根據(jù)x、y為正整數(shù)得出5﹣2y＞0，求出y＜52，再求出【解答】解：x+2y＝5，x＝5﹣2y，∵x、y都是正整數(shù)，∴5﹣2y＞0，即y＜5∴y只能為1和2，∴當(dāng)y＝1時(shí)，x＝3，當(dāng)y＝2時(shí)，x＝1，即方程的解有x=3y=1和x=1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，能求出y只能為1和2是解此題的關(guān)鍵．【變式4-5】（2022春?普陀區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】把x看作已知數(shù)表示出y，即可確定出非負(fù)整數(shù)解．【解答】解：方程2x+3y＝20，解得：y=20?2x當(dāng)x＝1時(shí)，y＝6；x＝4，y＝4；x＝7，y＝2；x＝10，y＝0，共4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．題型題型五二元一次方程特殊解的實(shí)際應(yīng)用【例題5】（2022春?香坊區(qū)校級(jí)月考）七年一班20名學(xué)生去春游，同時(shí)租用兩種型號(hào)的車輛，一種車每輛有8個(gè)座位，另一種車每輛有4個(gè)座位，要求租用的車輛不留空座，也不能超載，則可以租8個(gè)座位的車輛．【分析】設(shè)租用每輛8個(gè)座位的車x輛，每輛有4個(gè)座位的車y輛，根據(jù)車座位數(shù)等于學(xué)生的人數(shù)列出二元一次方程，再根據(jù)x、y都是正整數(shù)求解即可．【解答】解：設(shè)租用每輛8個(gè)座位的車x輛，每輛有4個(gè)座位的車y輛，根據(jù)題意得，8x+4y＝20，整理得，2x+y＝5，∵x、y都是正整數(shù)，∴x＝1時(shí)，y＝3，x＝2時(shí)，y＝1，x＝3時(shí)，y＝﹣1（不符合題意，舍去），所以，則可以租8個(gè)座位的車2或3輛．故答案為：2或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于車輛數(shù)是正整數(shù)．解題技巧提煉本題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程并求這個(gè)二元一次方程的特殊解，但這些特殊解要符合實(shí)際情況.【變式5-1】（2022春?嘉峪關(guān)校級(jí)期末）某地突發(fā)地震，為了緊急安置40名地震災(zāi)民，需要搭建可容納6人或4人的帳篷，若所搭建的帳篷恰好（既不多也不少）能容納這40名災(zāi)民，則不同的搭建方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．6種【分析】設(shè)搭建可容納6人的帳篷x個(gè)，可容納4人的帳篷y個(gè)，根據(jù)所搭建的帳篷恰好（既不多也不少）能容納這40名災(zāi)民，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為自然數(shù)，即可得出共有4種搭建方案．【解答】解：設(shè)搭建可容納6人的帳篷x個(gè)，可容納4人的帳篷y個(gè)，依題意得：6x+4y＝40，∴y＝10?32又∵x，y均為自然數(shù)，∴x=0y=10或x=2y=7或x=4y=4∴不同的搭建方案有4種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春?費(fèi)縣期末）學(xué)校計(jì)劃用200元錢購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品（兩種都要買），A種每個(gè)15元，B種每個(gè)25元，在錢全部用完的情況下，有多少種購(gòu)買方案（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】設(shè)購(gòu)買A種獎(jiǎng)品x件，B種獎(jiǎng)品y件，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，即可得出共有2種購(gòu)買方案．【解答】解：設(shè)購(gòu)買A種獎(jiǎng)品x件，B種獎(jiǎng)品y件，依題意得：15x+25y＝200，∴y＝8?35又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=5y=5或x=10∴共有2種購(gòu)買方案．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022春?同安區(qū)期中）用如圖①中的長(zhǎng)方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無(wú)蓋紙盒．現(xiàn)有m張正方形紙板和n張長(zhǎng)方形紙板，如果做兩種紙盒若干個(gè)，恰好將紙板用完，則m+n的值可能是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】設(shè)做豎式和橫式的兩種無(wú)蓋紙盒分別為x個(gè)、y個(gè)，再根據(jù)所需長(zhǎng)方形紙板和正方形紙板的張數(shù)列出方程組，然后根據(jù)x、y的系數(shù)表示出m+n并判斷m+n為5的倍數(shù)，然后選擇答案即可．【解答】解：設(shè)做豎式的無(wú)蓋紙盒為x個(gè)，橫式的無(wú)蓋紙盒為y個(gè)，由題意得：4x+3y=nx+2y=m兩個(gè)方程相加得：m+n＝5（x+y），∵x、y都是正整數(shù)，∴m+n是5的倍數(shù)，∵2018、2019、2020、2021四個(gè)數(shù)中只有2020是5的倍數(shù)，∴m+n的值可能是2020，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022秋?吉州區(qū)期末）某藥店出售A、B兩種N95的口罩，已知該店進(jìn)貨4個(gè)A種N95口罩和2個(gè)B種N95口罩共需22元，進(jìn)貨8個(gè)A種N95口罩所需費(fèi)用比進(jìn)貨4個(gè)B種N95口罩所需費(fèi)用多4元．（1）請(qǐng)分別求出A、B兩種N95口罩的進(jìn)價(jià)是多少元？（2）已知藥店將A種N95口罩每個(gè)提價(jià)1元出售，B種N95口罩每個(gè)提價(jià)20%出售，小雅在該藥店購(gòu)買A、B兩種N95口罩（兩種口罩均要購(gòu)買），共花費(fèi)40元，小雅有哪幾種購(gòu)買方案？【分析】（1）設(shè)A種N95口罩的進(jìn)價(jià)是x元，B種N95口罩的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)“該店進(jìn)貨4個(gè)A種N95口罩和2個(gè)B種N95口罩共需22元，進(jìn)貨8個(gè)A種N95口罩所需費(fèi)用比進(jìn)貨4個(gè)B種N95口罩所需費(fèi)用多4元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買A種N95口罩m個(gè)，B種N95口罩n個(gè)，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，再結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案．【解答】解：（1）設(shè)A種N95口罩的進(jìn)價(jià)是x元，B種N95口罩的進(jìn)價(jià)是y元，依題意得：4x+2y=228x?4y=4解得：x=3y=5答：A種N95口罩的進(jìn)價(jià)是3元，B種N95口罩的進(jìn)價(jià)是5元．（2）設(shè)購(gòu)買A種N95口罩m個(gè)，B種N95口罩n個(gè)，依題意得：（3+1）m+5×（1+20%）n＝40，解得：m＝10?32又∵m，n均為正整數(shù)，∴m=7n=2或m=4n=4或∴小雅共有3種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)買A種N95口罩7個(gè)，B種N95口罩2個(gè)；方案2：購(gòu)買A種N95口罩4個(gè)，B種N95口罩4個(gè)；方案3：購(gòu)買A種N95口罩1個(gè)，B種N95口罩6個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．題型題型六列二元一次方程組【例題6】（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期中）學(xué)校幾位老師決定眾籌某款年貨大禮包，若每人出18元，則盈余3元；若每人出17元，則還差4元．設(shè)共有x位老師，年華大禮包價(jià)格為y元，則所列方程正確的是（）A．18x=y?317x=y+4 B．18x=y+3C．17x=y+318x=y?4 D．【分析】根據(jù)“若每人出18元，則盈余3元；若每人出17元，則還差4元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵每人出18元，則盈余3元，∴18x＝y(tǒng)+3；∵每人出17元，則還差4元，∴17x＝y(tǒng)﹣4．∴根據(jù)題意可列二元一次方程組18x=y+317x=y?4故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉會(huì)分析題意，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系式列出二元一次方程組.【變式6-1】（2023?建昌縣一模）我國(guó)民間流傳一道數(shù)學(xué)名題．其題意為：一群老者去趕集，半路買了一堆梨，一人一個(gè)多一個(gè)，一人兩個(gè)少兩個(gè)．請(qǐng)問(wèn)君子知道否，幾個(gè)老者幾個(gè)梨？沒(méi)有老者x人，有梨y個(gè)，則可列二元一次方程組為（）A．?x=y+12x=y+2 B．x=y?1C．x=y?12x=y?2 D．【分析】題意中涉及兩個(gè)未知數(shù)：幾個(gè)老頭幾個(gè)梨．兩組條件：一人一個(gè)多一梨，一人兩個(gè)少二梨，可列出二元一次方程組．【解答】解：依題意得x=y?12x=y+2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，尋找建立方程組的兩個(gè)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春?北碚區(qū)校級(jí)月考）小張家在小王家西邊100米，他們同時(shí)從各自家里出發(fā)，前往小張家西邊的博物館．設(shè)小張每分鐘走x米，小王每分鐘走y米，如果出發(fā)10分鐘后兩人同時(shí)到達(dá)了博物館，并且小張3分鐘行走的路程比小王5分鐘行走的路程少210米，則可列方程組（）3x+210=5y10y?10x=100 B．3x?210=5yC．3x+210=5y10x?10y=100 D．【分析】出發(fā)10分鐘后兩人同時(shí)到達(dá)了博物館，可列方程10y﹣10x＝210，小張3分鐘行走的路程比小王5分鐘行走的路程少210米，可列方程3x+210＝5y，由此即可得到答案．【解答】解：由題意得，3x+210=5y10y?10x=100故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次方程組，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023?市北區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若一艘輪船沿江水順流航行120km需用3小時(shí)，它沿江水逆流航行60km也需用3小時(shí)，設(shè)這艘輪船在靜水中的航速為xkm/h，江水的流速為ykm/h，則根據(jù)題意可列方程組為（）A．3x?y=603x+y=120 B．3(x+y)=120C．3(x?y)=1203(x+y)=60 D．【分析】根據(jù)“順流航行120km需用3小時(shí)，它沿江水逆流航行60km也需用3小時(shí)”建立方程，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，得3(x+y)=1203(x?y)=60故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題是由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，主要考查了水流問(wèn)題，找到相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2022春?仁壽縣期中）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個(gè)，或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身可以和兩個(gè)盒底可制成一個(gè)罐頭盒．現(xiàn)有36張白鐵皮，設(shè)用x張制盒身，y張制盒底，恰好配套制成罐頭盒，根據(jù)題意，可列方程組．【分析】根據(jù)題意可以找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，x+y=3625x×2=40y故答案為：x+y=3625x×2=40y【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．【變式6-5】某工廠第一車間人數(shù)比第二車間人數(shù)的45少30人，如果從第二車間抽調(diào)10人到第一車間，那么第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的34，求這兩個(gè)車間原來(lái)的人數(shù)．若設(shè)第一車間原來(lái)有x人，第二車間原來(lái)有A．x=45(y?30)x+10=C．x=45y?30【分析】根據(jù)題意可知，第一車間的人數(shù)＝第二車間的人數(shù)×45?【解答】解：設(shè)第一車間的人數(shù)是x人，第二車間的人數(shù)是y人．根據(jù)題意得x=4故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程組．題型題型七解二元一次方程組【例題7】（2023春?岱岳區(qū)校級(jí)月考）用代入法解方程組2x?y=5，y=1+xA．2x﹣1+x＝5 B．x﹣1+x＝5 C．x﹣1﹣x＝5 D．2x﹣1﹣x＝5【分析】把②代入①得出2x﹣（1+x）＝5，再去掉括號(hào)即可．【解答】解：2x?y=5①把②代入①，得2x﹣（1+x）＝5，2x﹣1﹣x＝5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，解二元一次方程組的方法有代入消元法和加減消元法兩種．解題技巧提煉1、用代入法解方程組時(shí)，選擇方程用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)是關(guān)鍵，它影響著解題的繁簡(jiǎn)成對(duì)，應(yīng)盡量選取系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程.2、方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等,直接利用加減法消元，方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值既不相等,也不成倍數(shù)關(guān)系,要先變形再利用加減消元法來(lái)解.【變式7-1】（2023春?任城區(qū)校級(jí)月考）方程組6x+2y=4①3x?3y=?6②，下列步驟可以消去未知數(shù)xA．①×2+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×2【分析】根據(jù)加減消元法進(jìn)行求解即可．【解答】解：A、①×2+②×2，得9x﹣y＝﹣2，變形后不能消元，故不符合題意；B、①×3+②×2，得x+y＝12，變形后不能消元，故不符合題意；C、①﹣②×2，得8y＝16，可以消去x，故符合題意．D、①+②×2，得3x﹣y＝﹣2，變形后不能消元，故不符合題意；C、①﹣②×2，得8y＝16，可以消去x，故符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022秋?南海區(qū)期末）已知x、y是二元一次方程組3x?y=10x?3y=?2的解，那么x﹣yA．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】將方程兩式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．【解答】解：將方程兩式相加得，4x﹣4y＝8，∴x﹣y＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春?南崗區(qū)校級(jí)月考）解下列方程組：（1）a=2b+3a=3b+20（代入消元法）；（2）3m+b=11【分析】（1）直接把①式代入②式，求出b的值，再將b的值代入①式，求出a的值即可；（2）用①式加上②式，即可消去b，求出m的值，再將m的值代入①式，求出b的值即可．【解答】解：（1）a=2b+3①a=3b+20②把①代入②得：2b+3＝3b+20，解得：b＝﹣17，把b＝﹣17代入①得：a＝2×（﹣17）+3，解得：a＝﹣31，∴原方程組的解為a=?31b=?17（2）3m+b=11①?4m?b=11②由①+②得：﹣m＝22，解得：m＝﹣22，把m＝﹣22代入①得：3×（﹣22）+b＝11，解得：b＝77，∴原方程組的解為b=77m=?22【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法和步驟，具有消元的思想．【變式7-4】（2023春?義烏市月考）解方程組：（1）2x+y=8y=2x；（2）2x+y=?11【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程組即可；（2）運(yùn)用加減消元法解答即可．【解答】解：（1）2x+y=8①將②代入①得：2x+2x＝8，解得：x＝2，將x＝2代入②得y＝4，∴方程組的解為：x=2y=4（2）2x+y=?11①①×2﹣②得：x＝﹣9，把x＝﹣9代入①得：﹣18+y＝﹣11，解得：y＝7，所以方程組的解為x=?9y=7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式7-5】（2023春?杭州月考）解方程組（1）x+2y=13x+2y=7；（2）x【分析】（1）利用加減消元法或代入消元法解方程組；（2）先去分母，再利用加減消元或代入消元法解方程組．【解答】解：（1）x+2y=1①3x+2y=7②①﹣②得：﹣2x＝1﹣7，解得x＝3，把x＝3代入①得：3+2y＝1，y＝﹣1，∴方程組的解為x=3y=?1（2）x2整理方程組得：3x+2y=39①5x?2y=17②①+②得：8x＝56，x＝7，把x＝7代入①得：21+2y＝39，y＝9，∴方程組的解為x=7y=9【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元二次方程組，掌握解一元二次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．題型題型八用特殊方法解復(fù)雜的二元一次方程組【例題8】（2022春?新建區(qū)校級(jí)期中）若方程組3a1m+2b1A．x=4y=8 B．x=95y=85【分析】將m=3n=4代入原方程組，可得出9a1+8b1=5【解答】解：將m=3n=4代入原方程組得：9∴95∴方程組a1x+b故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、用整體代入法解特殊方程組.2、用換元法解特殊方程組.3、用整體加減法解輪換對(duì)稱方程組.【變式8-1】已知關(guān)于x、y的方程組a1x+b1y=19a2x+b【分析】設(shè)3m+2n＝x，2m﹣n＝y(tǒng)，根據(jù)已知可得3m+2n=4①2m?n=5②，即可解得m，n【解答】解：在方程組a1(3m+2n)+b1(2m?n)=19a2(3m+2n)+b2(2m?n)=26中，設(shè)3m+2n∵方程組a1x+b∴3m+2n=4①2m?n=5②①+②×2得：7m＝14，∴m＝2，把m＝2代入①得：6+2n＝4，∴n＝﹣1，∴m的值是2，n的值是﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組和二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組的一般方法及整體思想的應(yīng)用．【變式8-2】（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）閱讀以下材料：解方程組：x?y?1=0①4(x?y)?y=0②小亮在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種新的方法，他把這種方法叫做“整體代入法”，解題過(guò)程如下：解：由①得x﹣y＝1③，將③代入②得：（1）請(qǐng)你替小亮補(bǔ)全完整的解題過(guò)程；（2）請(qǐng)你用這種方法解方程組：3x?y?2=06x?2y+1【分析】（1）利用整體代入法進(jìn)行求解即可；（2）利用整體代入法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，將③代入②得：4×1﹣y＝0，解得y＝4，把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，解得x＝5，故原方程組的解是：x=5y=4（2）3x?y?2=0①6x?2y+1整理得：3x?y=2③2(3x?y)+1+15y=50④把③代入④得：2×2+1+15y＝50，解得y＝3，把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，解得x=5故原方程組的解是：x=5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．【變式8-3】用換元法解二元一次方程組：（1）x+2y（2）2x+3y【分析】觀察方程組，（1）中都含有x+2y，x﹣2y，（2）中都含2x+3y，2x﹣3y，考慮運(yùn)用換元法解原方程組．【解答】解：（1）x+2y設(shè)x+2y＝m，x﹣2y＝n，則m3解這個(gè)方程組，得m=60n=20則x+2y=60x?2y=20解這個(gè)方程組，得x=40y=10∴原方程組的解為x=40y=10（2）2x+3y設(shè)2x+3y＝m，2x﹣3y＝n，則m4解這個(gè)方程組，得m=60n=?24則2x+3y=602x?3y=?24解這個(gè)方程組，得x=9y=14∴原方程組的解為x=9y=14【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法解分式方程，理解換元的意義是正確解答的關(guān)鍵．【變式8-4】（2022秋?山亭區(qū)期末）解方程（組）：（1）x+2y=1①3x?2y=11②（2）閱讀材料：善于思考的小明同學(xué)在解方程組3(m+5)?2(n+3)=?13(m+5)+2(n+3)=7解：把m+5，n+3看成一個(gè)整體，設(shè)m+5＝x，n+3＝y(tǒng)，原方程組可化為3x?2y=?13x+2y=7，解得x=1y=2∴m+5=1n+3=2，∴原方程組的解為m=?4【分析】設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，則原方程可化為3m?4n=5m2+n6【解答】解：設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，原方程可化為3m?4n=5m2+②﹣①得，n＝﹣1，把n＝﹣1代入②得，m=1∴n=?1m=∴x+y=1解得x=?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，利用整體思想解方程組是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）閱讀探索：材料一：解方程組(a?1)+2(b+2)=62(a?1)+(b+2)=6解：設(shè)a﹣1＝x，b+2＝y(tǒng)，原方程組可化為x+2y=62x+y=6解得x=2y=2，即a?1=2b+2=2，解得材料二：解方程組4x+10y=6①8x+22y=10②解：將方程②8x+20y+2y＝10，變形為2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，則y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為：x=4y=?1根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：（1）運(yùn)用換元法解求關(guān)于a，b的方程組：(a（2）若關(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2（3）已知x、y、z，滿足3x?2z+12y=47①2x+z+8y=36②，試求z【分析】（1）用換元法替換a4?1和（2）用換元法替換5（m﹣3）和3（n+2），根據(jù)已知條件解方程組即可；（3）仿照題意將方程①變形為32(2x+z+8y)?72z=47③，然后把將方程②【解答】解：（1）設(shè)a4?1=x，∴原方程可以化為x+2y①2x+y②用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程組的解為x=2y=1即a4解得a=12b=?3∴原方程組的解為a=12b=?3（2）解：設(shè)5(m?3)=x3(n+2)=y則方程化為：a1即5(m?3)=103(n+2)=6解得m=5n=0（3）解：將方程①3x﹣2z+12y＝47，變形為32將方程②代入③得：32解得z＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用換元法解二元一次方程組；換元法：如果方程或方程組由某幾個(gè)代數(shù)式整體組成，那么可以引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)代替它們，使之轉(zhuǎn)化為新的方程或方程組，然后求解，進(jìn)而求原方程的解．題型題型九方程組的解滿足某一附加條件求字母參數(shù)值【例題9】（2022春?泌陽(yáng)縣期中）已知方程組3x+5y=m+25x+3y=m的解x、y互為相反數(shù)，則m的值是【分析】由x與y互為相反數(shù)，得到y(tǒng)＝﹣x，代入方程組中消去y得到關(guān)于x與m的方程組，消去x即可求出m的值．【解答】解：由題意得：y＝﹣x，代入方程組得：?2x=m+22x=m∴m+m+2＝0，解得：m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．解題技巧提煉求二元一次方程組中的字母參數(shù)的一般步驟：①把字母參數(shù)看作已知數(shù)并解方程組；②根據(jù)方程組解的特點(diǎn)，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程；③解方程組求得字母參數(shù).【變式9-1】（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如果關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+2y=2mx?y=4m+5的解滿足x+2y＝0，求m【分析】先消m，求出x，y的值，再求m．【解答】解：3x+2y=2m①x?y=4m+5②①×2﹣②得：5x+5y＝﹣5．∴x+y＝﹣1，∵x+2y＝0．∴x＝﹣2，y＝1．代入方程①得：﹣6+2＝2m．∴m＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，消m后求出x，y的值是求解本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023?北碚區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）關(guān)于x，y的方程組2x+y=4+3ax+3y=1?5a的解滿足x﹣2y＝﹣1，則a的值為【分析】①﹣②得x﹣2y＝3+8a，則3+8a＝﹣1，即可得出結(jié)論．【解答】解：2x+y=4+3a①x+3y=1?5a②①﹣②得：x﹣2y＝3+8a，∵x﹣2y＝﹣1，∴3+8a＝﹣1，解得：a=?1故答案為：?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，得出x﹣2y＝3+8a是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022春?通州區(qū)期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x?y=63x?2y=k的解滿足x﹣y＝2，求k【分析】將二元一次方程組中的兩個(gè)方程相減，再結(jié)合已知即可求解．【解答】解：2x?y=6①3x?2y=k②②﹣①，得x﹣y＝k﹣6，∵x﹣y＝2，∴k﹣6＝2，∴k＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，結(jié)合已知條件，對(duì)二元一次方程組靈活處理是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2022春?上蔡縣校級(jí)月考）已知方程組3x+2y=2(m?1)x+3y=3的解滿足x+y＝3，求m【分析】由題意建立關(guān)于x，y的新的方程組，求得x，y的值，再代入x+y＝3中，求得k的值．【解答】解：由題意得3x+2y=2x+y=3解得x=?4y=7代入方程（m﹣1）x+3y＝3，解得m＝5.5．答：m的值是5.5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查方程組的解，本題實(shí)質(zhì)是解三元一次方程組，通過(guò)先求得x，y這兩元后，再求第三元m的值，即解方程組關(guān)鍵是消元．【變式9-5】（2022?南京模擬）已知方程組3x+2y=m+14x+2y=m?1（1）當(dāng)m為何值時(shí)，x，y的符號(hào)相反，絕對(duì)值相等；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，x比y大1．【分析】（1）將m看作已知數(shù)表示出x與y，根據(jù)x，y的符號(hào)相反，絕對(duì)值相等，得到y(tǒng)＝﹣x，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；（2）將m看作已知數(shù)表示出x與y，根據(jù)x比y大1，得到x＝y(tǒng)+1，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：方程組整理解得：x＝﹣2，y＝0.5m+3.5，（1）當(dāng)x，y的符號(hào)相反，絕對(duì)值相等，可得0.5m+3.5＝2，解得：m＝﹣3；（2）當(dāng)x比y大1，可得：0.5m+3.5＝﹣3解得：m＝﹣13【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．題型題型十二元一次方程組的同解問(wèn)題【例題10】（2022春?永春縣月考）已知方程組3x+y=5ax?2y=4的解也是方程組3x?by=54x?5y=?6的解，求a，【分析】根據(jù)題意可知兩個(gè)方程組有相同的解，即說(shuō)明第一個(gè)方程組的解也適合第二個(gè)方程組，再根據(jù)二元一次方程組解的定義，即可求出答案．【解答】解：3x+y＝5①4x﹣5y＝﹣6②，①×（﹣5）﹣②得，﹣19x＝﹣19，解得x＝1，把x＝1代入①得，3+y＝5，解得y＝2，所以方程組3x+y=54x?5y=?6的解是x=1把x=1y=2代入方程組ax?2y=4得a?4=43?2b=5，解得a=8故答案為：a＝8，b＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組解的定義及二元一次方程組的解法，解答此題的關(guān)鍵是要弄清題意，兩個(gè)方程組有相同的解，即說(shuō)明第一個(gè)方程組的解也適合第二個(gè)方程組．解題技巧提煉由于兩個(gè)方程組的解相同，那么這一對(duì)x、y的值就應(yīng)滿足四個(gè)方程，從中選取兩個(gè)不含字母系數(shù)的方程組合成新的方程組，所求得解即為兩個(gè)方程組的相同的解，最后把相同的解代入含有其它字母參數(shù)的方程組中，就可以求出字母參數(shù)的值，并利用求出的字母參數(shù)的值解決問(wèn)題.【變式10-1】（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于x，y的方程組2x+3y=19ax+by=?1與3x?2y=9bx+ay=?7有相同的解，則a+4A．?1 B．?6 C．?10 D．?12【分析】解不等式組2x+3y=193x?2y=9，可得出x=5y=3，將其代入ax+by=?1bx+ay=?7中，可求出a，b的值，再將a，b的值，代入a【解答】解：不等式組2x+3y=193x?2y=9的解為x=5將x=5y=3代入關(guān)于x，y的方程組ax+by=?1bx+ay=?7得：解得：a=1b=?2∴a+4b?3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022春?源匯區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+3y=74x+y=9與?x+5y=35x+by=8的解相同，則A．1 B．±1 C．2 D．±2【分析】先解方程組?x+5y=35x+by=8，再把方程組的解代入ax+3y＝7和5x+by＝8，求出a、b【解答】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+3y=74x+y=9與?x+5y=3∴方程組組?x+5y=34x+y=9解方程組?x+5y=34x+y=9x=2y=1把x=2y=1，分別代入ax+3y＝7和5x+by2a+3＝7，10+b＝8，解得，a＝2，b＝﹣2；∴a?b=2+2=2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程的解和算術(shù)平方根，解題關(guān)鍵是明確同解方程的意義，熟練掌握解二元一次方程組的步驟．【變式10-3】（2022秋?榕城區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的方程組4x?y=?5ax+by=?1和3x+y=?93ax+4by=18有相同的解，那么A．0 B．±2 C．2 D．2【分析】由題意可知方程組4x?y=?53x+y=?9和ax+by=?13ax+4by=18有相同的解，用代入消元法求得方程組的解為x=?2y=?3，再求得b【解答】解：由題意可知，方程組4x?y=?53x+y=?9和ax+by=?14x?y=?5①3x+y=?9②中，①+②得，x將x＝﹣2代入①得，y＝﹣3，∴方程組的解為x=?2y=?3ax+by=?1③3ax+4by=18④中，③×3，得3ax+3by＝﹣3⑤④﹣⑤得，by＝21，∴b＝﹣7，∴a＝11，∴a+b＝4，∴a+b=∴a+b的算術(shù)平方根是2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法、加減消元法解二元一次方程組、并能正確求算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．【變式10-4】（2022春?冠縣期末）已知關(guān)于x，y的方程組3x?4y=2ax?by=?4和2x+5y=9bx+ay=3的解相同，則（3a+b）A．1 B．﹣1 C．0 D．2021【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義解決此題．【解答】解：由3x?4y=22x+5y=9，得x=2將x＝2，y＝1代入ax﹣by＝﹣4和bx+ay＝3中，得2a?b=?42b+a=3∴a=?1b=2∴（3a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．題型題型十一二元一次方程組的看錯(cuò)解問(wèn)題【例題11】（2022春?寧遠(yuǎn)縣期中）已知方程組ax+by=15①ax?by=?12②，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1，乙看錯(cuò)了②中的b，得到方程組的解為x=5【分析】把甲的結(jié)果代入②，乙的結(jié)果代入①組成方程組，求出解即可．【解答】解：根據(jù)題意，可知x=?3y=?1滿足方程②，x=5y=4滿足方程則?3a+b=?125a+4b=15把a(bǔ)=1b=52解得x=29∴原方程組的解為：解得x=29【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．解題技巧提煉求利用二元一次方程組解決錯(cuò)解問(wèn)題的方法是正確的解代入任何一個(gè)方程當(dāng)中都對(duì)，再把看錯(cuò)的解代入沒(méi)有看錯(cuò)的方程中去從而求出參數(shù)的值，然后利用參數(shù)的值解決其它的問(wèn)題.【變式11-1】（2022春?銅梁區(qū)月考）已知方程組ax+by=4①ax?by=?5②，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=1y=?2；乙看錯(cuò)了②中的b，得到方程組的解為（1）求a、b的值；（2）求原方程組的正確解．【分析】（1）將甲得到的方程組的解代入第二個(gè)方程，將乙得到方程組的解代入第一個(gè)方程，聯(lián)立兩個(gè)方程求出a，b；（2）確定出正確的方程組，求出方程組的解即可得到正確的解．【解答】解：（1）將x＝1，y＝﹣2代入方程組中的第二個(gè)方程得：a+2b＝﹣5①，將x＝1，y＝﹣1代入方程組中的第一個(gè)方程得：a﹣b＝4②，聯(lián)立①②a+2b=?5解得：a=1b=?3（2）則方程組為x?3y=4①①+②得：2x＝﹣1，解得：x=?1將x=?12代入①得：y則方程組的正確解為x=?1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式11-2】（2022春?上蔡縣校級(jí)月考）甲，乙兩人同時(shí)解關(guān)于x，y的二元一次方程組mx+y=5①2x?ny=13②．甲解題時(shí)看錯(cuò)了①中的m，解得x=72y=?2，乙解題時(shí)看錯(cuò)了②中的【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m與n的值代入方程組求出解即可．【解答】解：把x=72y=?2代入②解得：n＝3，把x=3y=?7代入①得：3m解得：m＝4；把m＝4，n＝3代入方程組得：4x+y=5①2x?3y=13②①×3+②得：14x＝28，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣3，則方程組的解為x=2y=?3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式11-3】（2022春?鶴城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x，y的方程組ax+5y=15①4x?by=?2②，甲同學(xué)由于看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1；乙同學(xué)由于看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為（1）求出原題中a和b的正確值是多少？（2）求這個(gè)方程組的正確解是多少？【分析】（1）甲同學(xué)看錯(cuò)了a，但是所得的方程組的解是滿足方程②，乙同學(xué)看錯(cuò)了b，但是所得的方程組的解滿足①，由此得到關(guān)于a，b的方程；（2）根據(jù)（1）所求得到原方程組為?x+5y=15①4x?10y=?2②【解答】解：（1）由題意得?3×4+b=?25a+5×4=15∴a=?1b=10（2）由（1）得原方程組為?x+5y=15①4x?10y=?2②用①×2+②得：2x＝28，解得x＝14，把x＝14代入①得：﹣14+5y＝15，解得y=29∴原方程組的解為x=14y=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題，正確理解題意得到關(guān)于a，b的方程是解題的關(guān)鍵．【變式11-4】（2021春?沂源縣期中）已知方程組ax+y=15，(1)4x?by=?2．(2)甲由于看錯(cuò)了方程（1）中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1，乙由于看錯(cuò)了方程（2）中的b，得到方程組的解為x=4y=3.，若按正確的計(jì)算，求x【分析】將x＝﹣3，y＝﹣1代入（2）求出b的值，將x＝4，y＝3代入（1）求出a的值，進(jìn)而確定出方程組的解，即可求出x+6y的值．【解答】解：將x＝﹣3，y＝﹣1代入（2）得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；將x＝4，y＝3代入（1）得：4a+3＝15，即a＝3，方程組為3x+y=15(1)4x?10y=?2(2)（1）×10+（2）得：34x＝148，即x=74將x=7417代入（1）得：y則x+6y=74【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式11-5】（2021春?新泰市期末）在解關(guān)于x，y的方程組ax+by=2cx?7y=8時(shí)，老師告訴同學(xué)們正確的解是x=3y=?2，小明由于看錯(cuò)了系數(shù)c，因而得到的解為x=?2y=2，試求a+b【分析】將兩對(duì)x與y的值代入方程組中第一個(gè)方程，求出a，b的值，將第一對(duì)x與y的值代入方程組第二個(gè)方程求出c的值即可．【解答】解：將x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2分別代入方程組第一個(gè)方程得：3a?2b=2①?a+b=1②①+②×2得：a＝4，將a＝4代入②得：b＝5，將x＝3，y＝﹣2代入方程組第二個(gè)方程得：3c+14＝8，即c＝﹣2，則a+b+c＝7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．題型題型十二用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題【例題12】（2022秋?市中區(qū)校級(jí)期末）一張競(jìng)賽試卷有25道題，做對(duì)一道題得4分，做錯(cuò)一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，則他做對(duì)的題有（）A．16道 B．17道 C．18道 D．19道【分析】設(shè)小明做對(duì)的題為x道，做錯(cuò)的題為y道，由題意：做對(duì)一道題得4分，做錯(cuò)一道題倒扣1分，小明做了全部試題得到70分，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)小明做對(duì)的題為x道，做錯(cuò)的題為y道，根據(jù)題意得：x+y=254x?y=70解得：x=19y=6即他做對(duì)的題為19道，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗(yàn)并作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．【變式12-1】（2022秋?章丘區(qū)校級(jí)期末）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)寬是60厘米的大長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米，由大長(zhǎng)方形的寬為60厘米，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：x+y=603x=2x+3y解得：x=45y=15則每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝2（x+y）＝120（厘米），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2022秋?樂(lè)東縣期末）某花店每盆甲品種鮮花的售價(jià)比每盆乙品種鮮花多5元；3盆甲品種鮮花和1盆乙品種鮮花共售155元，求甲、乙兩品種鮮花每盆售價(jià)各多少元？【分析】設(shè)每盆甲品種鮮花的售價(jià)是x元，每盆乙品種鮮花的售價(jià)是y元，根據(jù)“每盆甲品種鮮花的售價(jià)比每盆乙品種鮮花多5元，3盆甲品種鮮花和1盆乙品種鮮花共售155元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每盆甲品種鮮花的售價(jià)是x元，每盆乙品種鮮花的售價(jià)是y元，根據(jù)題意得：x?y=53x+y=155解得：x=40y=35答：每盆甲品種鮮花的售價(jià)是40元，每盆乙品種鮮花的售價(jià)是35元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2022秋?渠縣校級(jí)期末）隨著國(guó)家“億萬(wàn)青少年學(xué)生陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”活動(dòng)的啟動(dòng)，某區(qū)各所中小學(xué)也開(kāi)創(chuàng)了體育運(yùn)動(dòng)的一個(gè)新局面．你看某校七年級(jí)（1）、（2）兩個(gè)班共有100人，在兩個(gè)多月的長(zhǎng)跑活動(dòng)之后，學(xué)校對(duì)這兩個(gè)班的體能進(jìn)行了測(cè)試，大家驚喜的發(fā)現(xiàn)（1）班的合格率為96%，（2）班的合格率為90%，而兩個(gè)班的總合格率為93%，求七年級(jí)（1）、（2）兩班的人數(shù)各是多少？【分析】設(shè)（1）班有x人，（2）班有y人，根據(jù)題目中所述的兩個(gè)等量關(guān)系可得出方程組，解出即可得出答案．【解答】解：設(shè)（1）班有x人，（2）班有y人，依題意得：x+y=10096%x+90%y=100×93%解得：x=50y=50答：（1）、（2）班各有50個(gè)人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，將等量關(guān)系找到，然后用方程解決．【變式12-4】（2021秋?市北區(qū)期末）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝后，都加價(jià)40%再標(biāo)價(jià)出售，春節(jié)期間商場(chǎng)搞優(yōu)惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標(biāo)價(jià)的八折和九折出售，某顧客購(gòu)買甲、乙兩種服裝共付款182元，兩種服裝標(biāo)價(jià)之和為210元，這兩種服裝的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)各是多少元？【分析】通過(guò)理解題意，可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即甲種服裝的標(biāo)價(jià)+乙種服裝的標(biāo)價(jià)＝210元，甲種服裝的標(biāo)價(jià)×0.8+乙種服裝的標(biāo)×0.9＝182元，根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組求解即可．【解答】解：設(shè)甲的進(jìn)價(jià)為x元，乙的進(jìn)價(jià)為y元，依題意得：0.8×1.4x+0.9×1.4y=1821.4x+1.4y=210解得x=501.4×50＝70，1.4×100＝140．答：甲、乙進(jìn)價(jià)分別為50元、100元，標(biāo)價(jià)分別為70元、140元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是弄清題意，找合適的等量關(guān)系，列出方程組．在設(shè)未知量時(shí)知道到底設(shè)哪個(gè)更簡(jiǎn)單，否則較難列出方程組．本題還需注意進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)之間的關(guān)系．【變式12-5】（2021秋?王益區(qū)期末）周末，小玉騎自行車去五臺(tái)山，出發(fā)時(shí)，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到達(dá)五臺(tái)山，共用了1.5h；返回時(shí)，她先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走過(guò)平路，回到原出發(fā)點(diǎn)，共用了55min，求從出發(fā)點(diǎn)到五臺(tái)山的路程．【分析】設(shè)平路為x千米，坡路為y千米，根據(jù)往返所用的時(shí)間列出二元一次方程組，解方程組，即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)平路為x千米，坡路為y千米，根據(jù)題意得：x8解得：x=6y=3則x+y＝6+3＝9（千米）．答：從出發(fā)點(diǎn)到五臺(tái)山的路程是9千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式12-6】（2022春?寧遠(yuǎn)縣期中）去年春季，蔬菜種植場(chǎng)在15公頃的大棚地里分別種植了茄子和西紅柿，總費(fèi)用是26.5萬(wàn)元．其中，種植茄子和西紅柿每公頃的費(fèi)用和每公頃獲利情況如表：每公頃費(fèi)用（萬(wàn)元）每公頃獲利（萬(wàn)元）茄子1.72.4西紅柿1.82.6請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求出茄子和西紅柿的種植面積各為多少公頃？（2）種植場(chǎng)在這一季共獲利多少萬(wàn)元？【分析】（1）設(shè)茄子種植面積為x公頃，西紅柿種植面積為y公頃，構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；（2）分別求出茄子和西紅柿的獲利多少，即可解決問(wèn)題；【解答】解：（1）設(shè)茄子種植面積為x公頃，西紅柿種植面積為y公頃，根據(jù)題意x+y=151.7x+1.8y=26.5解x=5y=10答：茄子種植面積為5公頃，西紅柿種植面積為10公頃；（2）種植茄子獲利：5×2.4＝12（萬(wàn)元），種植西紅柿獲利：10×2.6＝26（萬(wàn)元）共獲利12+26＝38（萬(wàn)元），答：種植場(chǎng)在這一季共獲利38萬(wàn)元【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式12-7】（2022秋?將樂(lè)縣期末）某商場(chǎng)用相同的價(jià)格分兩次購(gòu)進(jìn)A型和B型兩種型號(hào)的電腦，前兩次購(gòu)進(jìn)情況如下表．A型（臺(tái)）B型（臺(tái)）總進(jìn)價(jià)（元）第一次2030210000第二次1020130000（1）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A型和B型電腦的單價(jià)各為多少元？（2）已知商場(chǎng)A型電腦的標(biāo)價(jià)為每臺(tái)4000元，B型電腦的標(biāo)價(jià)為每臺(tái)6000元，兩種電腦銷售一半后，為了促銷，剩余的A型電腦打九折，B型電腦打八折全部銷售完，問(wèn)兩種電腦商場(chǎng)獲利多少元？【分析】（1）設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A型電腦的單價(jià)為x元，B型電腦的單價(jià)為y元，利用總進(jìn)價(jià)＝每臺(tái)的進(jìn)價(jià)×進(jìn)價(jià)數(shù)量，結(jié)合兩次購(gòu)進(jìn)A型和B型兩種型號(hào)的電腦的數(shù)量及總進(jìn)價(jià)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總利潤(rùn)＝銷售單價(jià)×銷售數(shù)量﹣總進(jìn)價(jià)，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A型電腦的單價(jià)為x元，B型電腦的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：20x+30y=21000010x+20y=130000解得：x=3000y=5000答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A型電腦的單價(jià)為3000元，B型電腦的單價(jià)為5000元；（2）根據(jù)題意得：4000×20+102+4000×0.9×20+102＝4000×15+4000×0.9×15+6000×25+6000×0.8×25﹣210000﹣130000＝60000+54000+150000+120000﹣210000﹣130000＝44000（元）．答：兩種電腦全部售出后商場(chǎng)獲利44000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．題型題型十三解三元一次方程組【例題13】（2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）方程組2x+y=33x?z=7A．x=2y=1y=?1B．x=2y=?1z=1【分析】由②③消去z，轉(zhuǎn)化為二元方程組即可解決問(wèn)題．【解答】解：2x+y=3②×3+③得到：10x﹣y＝21④由①④解得x=2y=?1代入②得z∴x=2y=?1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三元方程組，解題的關(guān)鍵是三元方程組轉(zhuǎn)化為二元方程組，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中考?？碱}型．解題技巧提煉①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組．②然后解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值．③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程．④解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值．⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)合寫在一起即可．【變式13-1】（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如果三元一次方程組為x+y=5y+z=6x+z=7，那么x+y+z＝【分析】三個(gè)方程相加可得結(jié)論．【解答】解：將三元一次方程組中的三個(gè)方程相加得2x+2y+2z＝18，∴x+y+z＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用整體思想解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【變式13-2】（2021春?浦東新區(qū)期末）解方程組：x+y=5①y+z=?2②【分析】利用加減消元法解方程組．【解答】解：由①+②+③得：x+y+z＝3④，④﹣①，得：z＝﹣2，④﹣②，得：x＝5，④﹣③，得：y＝0．∴方程組的解是x=5y=0【點(diǎn)評(píng)】本題考查加減消元法解三元一次方程組，掌握解方程組的步驟準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式13-3】解下列三元一次方程組x?2y=?9①y?z=2②【分析】利用加減消元法解方程組即可．【解答】解：③﹣①得：2z+2y＝56，∴y+z＝28④，②+④得：2y＝30，∴y＝15，把y＝15代入①得：x﹣30＝﹣9，∴x＝21，把y＝15代入②得：15﹣z＝2，∴z＝13，∴x=21y=15【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，掌握加減消元法或代入消元法是解答本題的關(guān)鍵．【變式13-4】（2021春?普陀區(qū)期末）解方程組：x?2y=?12x+y+z=5【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：x?2y=?1①2x+y+z=5②②+③得：3x﹣2y＝5④，由④和①組成一個(gè)二次一次方程組x?2y=?13x?2y=5解得：x=3y=2把x=3y=2代入③3﹣6﹣z解得：z＝﹣3，所以原方程組的解是：x=3y=2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【變式13-5】解下列三元一次方程組：（1）x?4y+z=?32x+y?z=18，x?y?z=7；【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1）x?4y+z=?3①2x+y?z=18②①+②得：3x﹣3y＝15，即x﹣y＝5④，①+③得：2x﹣5y＝4⑤，④×5﹣⑤得：3x＝21，解得：x＝7，把x＝7代入④得：7﹣y＝5，解得：y＝2，把x＝7，y＝2代入③得：7﹣2﹣z＝7，解得：z＝﹣2，則方程組的解為x=7y=2（2）x+z?3=0①2x?y+2z=2②②﹣③得：x+3z＝5④，④﹣①得：2z＝2，解得：z＝1，把z＝1代入①得：x+1﹣3＝0，解得：x＝2，把x＝2，z＝1代入③得：2﹣y﹣1＝﹣3，解得：y＝4，則方程組的解為x=2y=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，以及解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．題型題型十四三元一次方程組的解的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例題14】（2022秋?南開(kāi)區(qū)校級(jí)期末）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且x+y＝3，則zA．9 B．﹣3 C．12 D．不確定【分析】用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程即可得到x+y與z的關(guān)系，然后根據(jù)x+y＝3，即可得到z的值，本題得以解決．【解答】解：2x+3y=z②﹣①，得x+y＝z+6，∵x+y＝3，∴z+6＝3，解得，z＝﹣3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三元一次方程組，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將原方程組變形，建立與已知條件x+y的關(guān)系，求出相應(yīng)的z的值．解題技巧提煉三元一次方程組的簡(jiǎn)單應(yīng)用有求字母系數(shù)問(wèn)題，求比值問(wèn)題，三元一次方程組與非負(fù)數(shù)的綜合等問(wèn)題，主要是利用三元一次方程組的解的定義和解方程組的知識(shí)來(lái)解決.【變式14-1】（2022春?如東縣期中）三個(gè)二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，則k的值是（）A．3 B．?163 C．﹣2【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1組成方程組，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．【解答】解：3x?y=7①2x+3y=1②把①式兩邊乘3，得9x﹣3y＝21③，②+①得11x＝22，得x＝2，把x＝2代入①得6﹣y＝7，解得y＝﹣1，將x=2y=?1代入y＝kx﹣9得2k解得k＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查