福建省漳州市八校2024年高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

福建省漳州市八校2024年高三二診模擬考試數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知橢圓二+與=1（?！瞪场?）的左、右焦點分別為片、F2,過點月的直線與橢圓交于「、。兩點.若APgQ的

ab

內(nèi)切圓與線段2心在其中點處相切，與R2相切于點可，則橢圓的離心率為（）

A0R6°6n

A.?15??\J?

2233

22

2.已知橢圓。:5+當=1的短軸長為2,焦距為2相，耳、耳分別是橢圓的左、右焦點，若點P為C上的任意一點,

a'b

11

則口羽+忸可的取值范圍為（）

A.[1,2]B.[夜,6]C.[四,4]D.[1,4]

4.復數(shù)滿足z+忖=4+8i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知拋物線C:V=6戈的焦點為準線為/,A是/上一點，B是直線AF與拋物線C的一個交點，若E4=3EB，

則1所|=()

1_5

A.B.3C.D.2

22

8.已知數(shù)列｛4｝是公比為2的正項等比數(shù)列，若M、4滿足24<%<10244,貝!|（相—丁+〃的最小值為（）

A.3B.5C.6D.10

9.如圖所示，三國時代數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直

角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不

計，取6。1.732）,則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

A.134B.67C.182D.108

10.一個空間幾何體的正視圖是長為4,寬為省的長方形，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該

幾何體的體積為（）

4--------?

俯視圖

4小2石

B.

'亍"I-

11.已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=（2m+3）x+〃，若對任意的xe（0,+oo）總有〃x）Wg（x）恒成立,記（2加+3）〃

的最小值為了（加,〃），則/（，風”）最大值為（）

111

A.1B.-C.-yD.-『

ee7e

22

12.已知雙曲線C:與-土=1（。>0）的一個焦點與拋物線必=8y的焦點重合，則雙曲線C的離心率為（）

a3

A.2B.73C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為.

778

824468

934

14.已知函數(shù)/（%）=2。（111》一%）+%2（0>0）有兩個極值點再、x2（xt<x2）,則%）+/（X2）的取值范圍為

15.在AABC中，內(nèi)角A瓦。所對的邊分別是a/,c.若bsinA=asinC,c=l,則b=_,AABC面積的最大值

為一

16.已知｛?！埃堑缺葦?shù)列，且。“〉0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則%+%=,%的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標志性指標.黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，建

立解決相對貧困的長效機制”對當前和下一個階段的扶貧工作進行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準扶貧全面消

除絕對貧困，實現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標.為了響應(yīng)黨的號召，某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農(nóng)產(chǎn)品

加工生產(chǎn)銷售進行指導，經(jīng)調(diào)查知，在一個銷售季度內(nèi)，每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2

萬元.經(jīng)統(tǒng)計A，3兩市場以往100個銷售周期該產(chǎn)品的市場需求量的頻數(shù)分布如下表：

A市場:

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)205030

5市場:

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)106030

把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設(shè)該廠在下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)〃噸該產(chǎn)品，在4、3兩市場同時銷售，以X

（單位：噸）表示下一個銷售周期兩市場的需求量，Y（單位：萬元）表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.

（1）求X>200的概率；

（2）以銷售利潤的期望為決策依據(jù)，確定下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=190噸還是〃=200噸?并說明理由.

18.（12分）如圖，在三棱柱ADE-BC/中，ABCD是邊長為2的菱形，且44￡>=60。，CDE歹是矩形，ED=1,

且平面CDE/JL平面ABC。，P點在線段上移動（P不與C重合），H是AE的中點.

（1）當四面體EDPC的外接球的表面積為5兀時，證明：HB//.平面EDP

（2）當四面體EDPC的體積最大時，求平面HOP與平面EPC所成銳二面角的余弦值.

/7

19.（12分）已知AABC的面積為、2，且=—1.

2

（1）求角A的大小及長的最小值；

（2）設(shè)m為的中點，且AM=Y3,N54C的平分線交于點N,求線段的長.

2

20.（12分）某公司打算引進一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為X和F,求X和F的分布列；

(2)若以數(shù)學期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種

設(shè)備？請說明理由.

21.(12分)如圖為某大江的一段支流，岸線4與近似滿足寬度為7k".圓。為江中的一個半徑為2加7的

小島，小鎮(zhèn)4位于岸線乙上，且滿足岸線/一。4,0A=3km.現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島。至對岸〃的水上

通道ABC(圖中粗線部分折線段，B在A右側(cè))，為保護小島，8C段設(shè)計成與圓。相切.設(shè)

ZABC^7V-0\O<0<-\.

(1)試將通道ABC的長L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

(2)若建造通道的費用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元?

11]「10一

22.(10分)已知矩陣4=，二階矩陣3滿足.

0—101

(1)求矩陣3;

(2)求矩陣3的特征值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

可設(shè)心工。的內(nèi)切圓的圓心為/，設(shè)|尸耳卜孫歸閭=〃，可得加+〃=2a,由切線的性質(zhì)：切線長相等推得加=g〃，

解得加、"，并設(shè)|Q周=/,求得/的值，推得APKQ為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設(shè)AP且。的內(nèi)切圓的圓心為/,M為切點,且為「工中點，.?」尸用=歸閘=眼引，

設(shè)|尸周=%歸閭=〃，則機=；〃，且有〃z+〃=2a,解得機=/，〃=F，

設(shè)|Q周=/，|。耳|=2aT,設(shè)圓/切。工于點N,^\NF2\=\MF2\=y,\QN\=\QF^t,

由2a—=|"|=|QN|+|Ng|=/+?,解得/=稱，.?.歸@=加+\=?，

DJD

\PF2\=\QF2\=^,所以APKQ為等邊三角形，

所以，2c=旦也,解得工=走.

23a3

因此，該橢圓的離心率為走.

3

故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬

于中檔題.

2、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸片|+怛月|=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求閆明|怛聞＜4,從而可得

11

----------1-----------的取值范圍.

KI|明

【詳解】

由題設(shè)有6=1,c=百，故。=2,故橢圓C:土+y2=i,

4-

因為點尸為C上的任意一點，故歸用+盧閭=4.

71?1」3mp閭.4.4

乂附||明|*|明附|附||明（4―附了

因為2—若《|兩區(qū)2+百，故1<怛周（4-怛&44,

,11,

所以1V1-------r+1-------\—4

1名^I,

故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓。：++營=1（?！?〉0）的左、右焦點分別是片、鳥，點P為。上的

任意一點,則有用+怛閭=2a,我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況。

【詳解】

/（-X）「+S1『=_X+*=_〃x）,故奇函數(shù)，四個圖像均符合。

1+x1+X-

X+cinX

當xc（O,萬）時，sinx>0,y=>0,排除C、D

1+X

X+cinx

當（匹2萬）時，sinx<o,>0,排除A。

1+x

故選B。

【點睛】

圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。

4、B

【解析】

22++b

設(shè)z=a+砥a/eR),貝!)z+目=a+萬+y]a+b=4+8i,可得<："='即可得到z，進而找到對應(yīng)的點所

在象限.

【詳解】

設(shè)z=a+4(a,beR),則z+忖=a+4+>Ja2+b2=4+83

.a+y/a2+b2=4.fa=-6

b=8b=8

II

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(-6,8)，在第二象限.

故選:B

【點睛】

本題考查復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限,考查復數(shù)的模，考查運算能力.

5、D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得|”卜6,由此求得忸耳的長.

【詳解】

過3作3C，/,垂足為C,設(shè)/與x軸的交點為。.根據(jù)拋物線的定義可知忸司=忸。|.由于=所以

\AB\=2\BC\,所以NC4B=生，所以|AF[=2|ED|=6,所以忸刊=—仙川=2.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

求（d—的展開式中的常數(shù)項，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和《項，再求和即可得出答案.

【詳解】

由題意，中常數(shù)項為=60,

故選:D

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7,D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C,當x->0+時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.

【詳解】

y=sin[x-?In|x|=-cosxln|x\,

-cos（-x）ln|-%|=-cosxln|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項A,C,

當正數(shù)x越來越小，趨近于0時，—cosx<0/n|x|<0,

所以函數(shù)丁=sin[x-1^）ln|x|〉0,故排除選項3,

故選:D

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

8、B

【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)塞的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1（根-“<10再根據(jù)此范圍求（加-1）2+”的

最小值.

【詳解】

數(shù)列｛%｝是公比為2的正項等比數(shù)列，%、4滿足24<勺<10244,

由等比數(shù)列的通項公式得2a「2"-1<q?2"一<1024%?2"^,即2"<2'7<2?!+9，

2<2m~n<210?可得1（加一〃<10,且相、"都是正整數(shù)，

求（加一1）~+”的最小值即求在1<加一〃<10,且加、”都是正整數(shù)范圍下求772-1最小值和”的最小值，討論小、”

取值.

二當〃2=3且”=1時，（機-1）-+”的最小值為（3-1）-+1=5.

故選：B.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)塞的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學運算求解能力和分類討論思

想，是中等題.

9、B

【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為工,且，

22

則小正方形的邊長為走-工，小正方形的面積S=［且-工］=1-—,

22(22)2

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為

500=^1-^x500-(1-0.866)x500=0.134x500=67)

故選:B.

【點睛】

本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積.

【詳解】

由題意原幾何體是正三棱柱，V=-X2X73X4=4A/3.

2

故選：B.

【點睛】

本題考查三視圖，考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.

11、C

【解析】

對任意的xe(0,+8)總有/(x)Wg(x)恒成立，因為lnx<(2/n+3)x+”，對xw(0,+a。)恒成立，可得2m+3〉0,

令y=lnx—(2〃?+3)x—n,可得了=工—Q〃z+3),結(jié)合已知，即可求得答案.

【詳解】

對任意的xw(o,-HX))總有/(X)<g(X)恒成立

/.lnx<(2m+3)x+n,對X￡(0,+8)恒成立，

2m+3>0

令y=In%一(2m+3)x-n,

可得y=l-(2m+3)

X

i

令y=o,得％=

2m+3

1

當九〉y<o

2m+3

1

當Ovxvy>o

2m+3

1.1

「?x=-----,y=ln-------l-n<02根+3"-j

2m+3mmaaxx2m+3

故(2m+3)n>即=/(m,ft)

令斤=0,得〃=1

二當〃>1時，f\m,n)<0

當〃<1,f\rn,n)>0

二當〃=1時，/(私叫?=!

e

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考

查了分析能力和計算能力，屬于難題.

12、A

【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得儲+3=4,解

可得。=1,由離心率公式計算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，拋物線必=8＞的焦點為(0,2),

22

則雙曲線與—土=1的焦點也為(0,2),即c=2,

a23

則有。2+3=4,解可得。=1,

雙曲線的離心率0=￡=2.

a

故選：A.

【點睛】

本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程,關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

寫出莖葉圖對應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【詳解】

解：所有的數(shù)為：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數(shù)，

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數(shù),

Fjj".八位78+82+84+84+86+88+93_

平均分為-------------------------=8o5,

故答案為L

【點睛】

本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

14、(-oo,161n2—24)

【解析】

確定函數(shù)y=/(x)的定義域，求導函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達定理，即可求/(%)+/(%)的取值

范圍.

【詳解】

函數(shù)〃x)=2a(lnx—x)+Y的定義域為(0,+“)，廣(力==2—2ax+2a,

(XJX

依題意，方程2*2—2依+2a=0有兩個不等的正根%、％(其中王＜々)，

則A=41—i6a＞0na＞4,由韋達定理得石+々=。＞0,玉％=。＞0,

所以

/(x1)+/(x2)=2<7111(尤1%2)+(尤;+尤;+x2)

=laIn(西龍2)+[(%+々-2a(石+%)=2aIna+/-2a-IcT=2aIna-a2-2a,

令Zz(a)=2alna-a2-2a(a>4),則/z'(a)=21na-2a,h"(a)=--2=^:—―?

aa

當a>4時，h"(a)<0,則函數(shù)y=〃(a)在(4,+s)上單調(diào)遞減，貝！!”(a)</7(4)=41n2—8<0,

所以，函數(shù)y=〃(a)在(4,+?0上單調(diào)遞減，所以，%)</z(4)=161n2-24.

因此，/(%)+/(々)的取值范圍是(—』61n2—24).

故答案為：(^?,16In2-24).

【點睛】

本題考查了函數(shù)極值點問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將/(%)+/(*2)的取值范圍轉(zhuǎn)化為以。為自變量的函數(shù)

的值域問題是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.

1

15、1—

2

【解析】

由正弦定理，結(jié)合AsinA=asinC,c=l,可求出b；由三角形面積公式以及角A的范圍，即可求出面積的最大值.

【詳解】

因為加inA=asinC,所以由正弦定理可得ba=ac,所以b=c=l;

所以SAABC=g沙cs加A=gsz九4<g，當s譏A=l，即4=90°時，三角形面積最大?

故答案為(1).1(2).!

2

【點睛】

本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.

2

16、5

2

【解析】

+aa2

a2a4+2%%46=25=a；+2%%=25=(a3+a5)=25,「an>0a3+a5=5

.1a：=%%?(%愛了=曰=%,即%的最大值為:

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)0.42；(2)〃=200噸，理由見解析

【解析】

(1)設(shè)“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件A,4，4,“3市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件耳，B?,B.,由題可得P(A),p(4),P(A),P⑻,代入

P(B2),P(B3),

P(X>200)=P(A2B3+A.B2+^B3),計算可得答案；

(2)X可取180,190,200,210,220,求出〃=190噸和〃=200噸時的期望，比較大小即可.

【詳解】

(1)設(shè)“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件A,A,A3,“3市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件與，B2,B3,則

p(4)=0.2,P(A)=0.5,P(A)=0.3,

P⑻=0.1,尸(%=0.6,P(B3)=0.3,

P(X>200)=P(A2B3+A}B2+A}B3)

=尸(4)尸(四)+P(A)尸(4)+尸(A)尸(四)

=0.5xO.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

(2)X可取180,190,200,210,220,

P(X=18O)=P(A4)=O2XO.1=O.O2

P(X=190)=P(A,B1+A52)=0.5X0.1+0.2X0.6=0.17

當“=190時，E(K)=(180x5-10x2)x0.02+190x5x(1-0.02)=948.6

當〃=200時，￡(7)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

948.6<985.3,

二〃=200時，平均利潤大，所以下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=200噸.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的期望，是中檔題.

7

18、(1)證明見解析(2)-

【解析】

(1)由題意，先求得P為6C的中點，再證明平面"V出//平面EOP,進而可得結(jié)論；

(2)由題意，當點尸位于點3時，四面體￡DPC的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.

【詳解】

(1)證明：當四面體瓦)PC的外接球的表面積為5兀時.

則其外接球的半徑為由.

2

因為ABC。時邊長為2的菱形，CDEF是矩形.

ED=1,且平面CDE/，平面ABC。.

則功，平面ABC。，EC=6.

則EC為四面體EDPC外接球的直徑.

所以NEPC=90°,即CBLEP.

由題意，CBLED,EPED=E,所以CBLDP.

因為4AD=N6CD=60°,所以P為的中點.

記AD的中點為"，連接MH,MB.

則MBPOP,MHPDE,DEcDP=D,所以平面平面EDP.

因為HBu平面HMB，所以HB//平面EDP.

(2)由題意，EDL平面ABC。，則三棱錐E-DPC的高不變.

當四面體瓦)PC的體積最大時，△0PC的面積最大.

所以當點P位于點3時，四面體瓦)PC的體積最大.

以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z.

則D（0,0,0）,￡（0,0,1）,3⑼,0）,以乎,—；,；,C（0,2,0）.

所以加=(0,1,0),DH=:y,--,-,EC=(O,2,-l),麗=(國,T).

設(shè)平面電汨的法向量為加=(%i，X，zJ.

DB-m=乖a1+%=0,

則，^311

DH-m=——x.——y,+—z,=0,

〔212121

令為=1,得血=(1,—G,—2g).

設(shè)平面EBC的一個法向量為n=(x2,y2,z2).

ECn-2y?-z?=0,

則r

EB-n=,3%+%—z2=°，

令%=3,得〃=(石,3,6).

mn7

設(shè)平面HOP與平面￡P(guān)C所成銳二面角是9,貝!|cos。=

m^n8

7

所以當四面體EDPC的體積最大時，平面印印與平面EPC所成銳二面角的余弦值為-.

8

【點睛】

本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面

平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

,2萬LJ7

19、(1)A=—,BCmin=>/6；(2)MN

36

【解析】

（1）根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角A及最大邊〃；

（2）根據(jù)AM的長度求出人，。再根據(jù)面積比值求BN仄而求出MN.

【詳解】

（1）在AABC中，由AB.AC=—1,得仍cosA=—1,

由3AA得。csinA=6,

所以(fee)2(cos2A+sin2A)=4,

所以Z?c=2,cosA=-^,

2

因為在AABC中，0<A〈?，所以A=——

3

因為I=Z,2+c2-2bccosA=b2+c2+2..2bc+2（當且僅當b=c時取等）,

所以8C長的最小值為標；

(2)在三角形ABC中，因為為中線，

UUULUUUUUIU

所以AM=A3+3Af，AM=AC+CM<所以2AM=A3+AC，

因為AM=—,所以(2AM)2=(A8+AC)2=〃+C2-2=3,

2

所以〃+。2=5，

由(1)知Z?c=2,所以5=1,c=2或Z?=2,c-\,

所以4=〃+-2)ccosA=不，

\7T\7T

因為⑷V為角平分線，=-AB.ANsin-3,S^CN=-AC.ANsin-,

.S.BN_￡_BN_

??晨1廠*/或

所以BM=①,BN=立或空,

233

所以MN=".

6

【點睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20、(1)X分布列見解析，F(xiàn)分布列見解析；(2)甲設(shè)備，理由見解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,F的可能取值為9000,10000,11000,12000,計算概率得到分布列;

(2)計算期望，得到E(X)=E(y)=10800,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為鼻",計算分布列，計算

數(shù)學期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=,P(X=11000)=—=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

10510

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

P

ioK)W10

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,7

J的可能取值為2,3,4,5

)=冬=)=京=

PC=2)=三=±,P("31)=M31

=-，PG=4二—，PC=5

二777

50105055055010

則4的分布列為

2345

1131

P

105510

1131

E(^)=2x—+3x--^4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值為3,4,5,6

?C、51~八153?八153/、153

p(n=3)=——二——,P⑺=4)=--=—,p(n=5)=——=——,/(77=6)=—?=-—

5010501050105010

則〃的分布列為

3456

1333

r

10101010

1333

E(rf)=3x----i-4x—-+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=E(Y),EC)<E(〃)，因此需購買甲設(shè)備

【點睛】

本題考查了數(shù)學期望和分布列，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.

9—3cosf)(左、

21、(1)L(3)=———,定義域是4,彳.(2)60百萬

sin6*<2J

【解析】

(1)以A為原點，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)A3=a(a>0),利用直線與圓相切得到

2_3ms0

a=一早吆，再代入L=AB+BC這一關(guān)系中，即可得答案；

sin