北京市大興區(qū)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

北京市大興區(qū)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．過曲線的左焦點(diǎn)且和雙曲線實(shí)軸垂直的直線與雙曲線交于點(diǎn)A,B,若在雙曲線的虛軸所在的直線上存在—點(diǎn)C,使得,則雙曲線離心率e的最小值為（）A． B． C． D．3．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，84．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（）A．-199 B．199 C．-101 D．1015．函數(shù)，的值域是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M的橫坐標(biāo)為，若在圓上存在點(diǎn)N，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知直線：是圓的對稱軸.過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（）A．2 B． C．6 D．9．若，則下列結(jié)論中:(1)；(2)；(3)若，則；(4)若，則的最小值為.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．410．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為（）A．16 B．17 C．18 D．19二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則________.12．已知內(nèi)接于拋物線，其中O為原點(diǎn)，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的外接圓方程為_____.13．在賽季季后賽中,當(dāng)一個(gè)球隊(duì)進(jìn)行完場比賽被淘汰后,某個(gè)籃球愛好者對該隊(duì)的7場比賽得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表:場次得分104為了對這個(gè)隊(duì)的情況進(jìn)行分析,此人設(shè)計(jì)計(jì)算的算法流程圖如圖所示(其中是這場比賽的平均得分),輸出的的值______.14．已知，為第二象限角，則________15．已知，，則________16．某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積是___三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線：及圓心為的圓：．（1）當(dāng)時(shí)，求直線與圓相交所得弦長；（2）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值．18．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.19．已知時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否對一切正整數(shù)，有？說明理由.21．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）.（1）若，求x的值；（2）若，求x的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

先化簡集合,再利用交集運(yùn)算法則求.【詳解】,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），依題意知當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得雙曲線離心率e的取值范圍．求出最小值．【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：，（a＞0，b＞0），∵雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB⊥x軸，設(shè)左焦點(diǎn)F1（﹣c，0），則A（﹣c，），B（﹣c，），∵△ABC為直角三角形，依題意知，當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∴∠AOF1≥45°，∴tan∠AOF11，整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，解得：e．即雙曲線離心率e的最小值為：．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，分析得到當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大是關(guān)鍵，得到∠AOF1≥45°是突破口，屬于中檔題．3、C【解析】試題分析：由題意得，，選C.考點(diǎn)：莖葉圖4、D【解析】

由特點(diǎn)可采用并項(xiàng)求和的方式求得.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查并項(xiàng)求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由的范圍求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【詳解】∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值1，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最小值，即函數(shù)的值域?yàn)?，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的值域問題，通過自變量的范圍求出整體的范圍是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的定義域得不等關(guān)系．【詳解】由題意，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)要注意對數(shù)函數(shù)的定義域．7、D【解析】

由題意畫出圖形，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得相切，設(shè)切點(diǎn)為P,數(shù)形結(jié)合找出M點(diǎn)滿足|MP|≤|OP|的范圍,從而得到答案．【詳解】由題意可知直線與圓相切，如圖，設(shè)直線x+y?2=0與圓相切于點(diǎn)P，要使在圓上存在點(diǎn)N,使得，使得最大值大于或等于時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得，而當(dāng)MN與圓相切時(shí)，此時(shí)|MP|取得最大值，則有|MP|≤|OP|才能滿足題意，圖中只有在M1、M2之間才可滿足，∴的取值范圍是[0,2].故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，畫圖進(jìn)行分析可得，屬于中等題.8、C【解析】試題分析：直線l過圓心，所以，所以切線長，選C.考點(diǎn)：切線長9、B【解析】

利用函數(shù)知識(shí)、換元法、絕對值不等式等知識(shí)，對選項(xiàng)進(jìn)行一一推理證明，即可得答案.【詳解】對（1），，∴或，∵或，∴原不等式成立，故（1）正確；對（2），∵，故（2）正確；對（3），令，則，顯然不成立，故（3）錯(cuò)誤；對（4），∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴的最小值為顯然不成立，故（4）錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與不等式的知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意消元法、換元法的使用.10、C【解析】

先由，得到，，，公差大于零，再由數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，，，，所以公差大于零.又，，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用裂項(xiàng)求和法求出，取極限進(jìn)而即可求解.【詳解】，故，所以，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了裂項(xiàng)求和法以及求極限值，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

由拋物線的對稱性知A、B關(guān)于x軸對稱，設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用三角形的垂心的性質(zhì)，結(jié)合斜率之積等于﹣1即可求得直線MN的方程，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，問題得以解決．【詳解】∵拋物線關(guān)于x軸對稱，內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，三邊上的高過焦點(diǎn)，∴另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂線MN，交x軸與C點(diǎn)，而Ox是AB的中垂線，故C點(diǎn)即為△ABO的外接圓的圓心，OC是外接圓的半徑，設(shè)A（x1，2），B（x1，﹣2），連接BF，則BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF?kAO＝?1，整理，得x1（x1﹣5）＝1，則x1＝5，（x1＝1不合題意，舍去），∵AO的中點(diǎn)為（，），且MN∥BF，∴直線MN的方程為y（x），當(dāng)x1＝5代入得2x+4y﹣91，∵C是MN與x軸的交點(diǎn)，∴C（，1），而△ABO的外接圓的半徑OC，于是得到三角形外接圓方程為（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圓方程為：x2﹣9x+y2＝1，故答案為x2﹣9x+y2＝1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題13、【解析】

根據(jù)題意,模擬程序框圖的運(yùn)行過程,得出該程序運(yùn)行的是求數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,即可求得答案.【詳解】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行的結(jié)果是求這個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是方差是:標(biāo)準(zhǔn)差是故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)程序框圖求輸出結(jié)果,解題關(guān)鍵是掌握程序框圖基礎(chǔ)知識(shí)和計(jì)算數(shù)據(jù)方差的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

先求解,再求解,再利用降冪公式求解即可.【詳解】由,又為第二象限角,故,且.又.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了降冪公式的用法等,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

直接利用反三角函數(shù)求解角的大小，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，根?jù)反三角函數(shù)的性質(zhì)，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角方程的解法，以及反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、6【解析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計(jì)算.【詳解】幾何體如圖所示：去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的，所以三棱柱的體積：所以幾何體的體積：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與幾何體的體積.關(guān)鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)弦長為4；(1)0【解析】

（1）由得到直線過圓的圓心，可求得弦長即為圓的直徑4；（1）由點(diǎn)到直線的距離等于半徑1，得到關(guān)于的方程，并求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線：，圓：．圓心坐標(biāo)為，半徑為1．圓心在直線上，則直線與圓相交所得弦長為4.（1）由直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，所以，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交、相切兩種位置關(guān)系，求解時(shí)注意點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.18、（I）；（II）.【解析】

（I）根據(jù)已知的兩個(gè)條件求出公差d,即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和得解.【詳解】（I）由題得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)為；（II）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、【解析】

討論的取值范圍，分別計(jì)算，最后得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意（2）當(dāng)時(shí)，不合題意舍去（3）當(dāng)時(shí)，綜上所述【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題，忽略二次系數(shù)為0的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.20、（1）；（2）對一切正整數(shù)，有.【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）對一切正整數(shù)n，有，考慮當(dāng)時(shí)，，再由裂項(xiàng)相消求和，即可得證?！驹斀狻浚?）當(dāng)時(shí)，兩式做差得，，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，。（2）證明：當(dāng)時(shí)，可得由可得即有<則當(dāng)時(shí)，不等式成立。檢驗(yàn)時(shí)，不等式也成立，綜上對一切正整數(shù)n，有。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．21、（1）.（2）1.【解析】

（1）利用向量平行的代數(shù)形式得到x