2025屆天津市和平區(qū)天津一中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆天津市和平區(qū)天津一中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知滿足：，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A．6 B．8 C．16 D．42．設(shè)集合,則（）A． B． C． D．3．設(shè)a,b,c均為不等于1的正實(shí)數(shù),則下列等式中恒成立的是A．B．C．D．4．我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸意思是：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分；且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分則“立春”時日影長度為A．分 B．分 C．分 D．分5．過點(diǎn)的直線的斜率為，則等于（）A． B．10 C．2 D．46．如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔64海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為（）海里/小時．A． B．C． D．7．設(shè)是內(nèi)任意一點(diǎn)，表示的面積，記，定義，已知，是的重心，則（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在內(nèi)C．點(diǎn)在內(nèi) D．點(diǎn)與點(diǎn)重合8．直線與、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．9．在中，（，，分別為角、、的對邊），則的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形10．一個幾何體的三視圖如圖（圖中尺寸單位：m），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則實(shí)數(shù)的值為_______.12．已知三棱錐，若平面ABC，，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為______．13．如圖，以為直徑的圓中，，在圓上，，于，于，，記，，的面積和為，則的最大值為______.14．設(shè)，，為三條不同的直線，，為兩個不同的平面，下列命題中正確的是______．(1)若，，，則；(2)若，，，則；(3)若，，，，則；(4)若，，,則．15．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，，則的值是________．16．若兩個向量與的夾角為，則稱向量“”為向量的“外積”，其長度為.若已知，，，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是，的中點(diǎn)，與平面所成的角的正切值是；（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．18．四棱錐中，，，底面，，直線與底面所成的角為，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）若，求證：直線平面；（3）求棱錐的體積．19．如圖，在三棱柱中，為正三角形，為的中點(diǎn)，，，．（1）證明：平；（2）證明：平面平面．20．定理：若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且方程有個根，則這個根之和為.利用上述定理，求解下列問題：（1）已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求的值及方程的所有根之和；（2）若關(guān)于的方程在實(shí)數(shù)集上有唯一的解，求的值.21．若不等式的解集是.（1）求的值；（2）當(dāng)為何值時，的解集為．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，利用z的幾何意義，即得。【詳解】由題得，不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，中z表示函數(shù)在y軸的截距，由圖易得，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時z取到最大值，A點(diǎn)坐標(biāo)為，因此目標(biāo)函數(shù)的最大值為4.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，是基礎(chǔ)題。2、B【解析】試題分析：由已知得，，故，選B．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．3、B【解析】

根據(jù)對數(shù)運(yùn)算的規(guī)律一一進(jìn)行運(yùn)算可得答案.【詳解】解：由a,b,c≠1.考察對數(shù)2個公式:，,對選項(xiàng)A:,顯然與第二個公式不符，所以為假.對選項(xiàng)B:,顯然與第二個公式一致，所以為真.對選項(xiàng)C:,顯然與第一個公式不符，所以為假.對選項(xiàng)D:,同樣與第一個公式不符，所以為假.所以選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)運(yùn)算的各公式是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

首先“冬至”時日影長度最大，為1350分，“夏至”時日影長度最小，為160分，即可求出,進(jìn)而求出立春”時日影長度為.【詳解】解：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分，且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分．，解得，“立春”時日影長度為：分．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解．5、B【解析】

直接應(yīng)用斜率公式，解方程即可求出的值.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線的斜率為，所以有，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線斜率公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、C【解析】

先求出的值，再根據(jù)正弦定理求出的值，從而求得船的航行速度.【詳解】由題意，在中，由正弦定理得，得所以船的航行速度為（海里/小時）故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于簡單題.7、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三個坐標(biāo)分別為P分△ABC所得三個三角形的高與△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P離線段AB的距離最近，故點(diǎn)Q在△GAB內(nèi)由分析知，應(yīng)選A．8、D【解析】

由直線方程可得直線恒過點(diǎn)，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結(jié)果.【詳解】直線恒過點(diǎn)則，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與線段有交點(diǎn)確定直線斜率取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠確定直線恒過的定點(diǎn)，從而找到直線與線段有交點(diǎn)的臨界狀態(tài).9、B【解析】

利用二倍角公式，正弦定理，結(jié)合和差公式化簡等式得到，得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.10、C【解析】

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，計(jì)算即可得解.【詳解】該幾何體是一個半徑為1的球體削去四分之一，體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的識別和球的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由得，代入方程即可求解.【詳解】,.,,,即，故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了反三角函數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.12、【解析】

過B作，且，則或其補(bǔ)角即為異面直線PB與AC所成角由此能求出異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【詳解】過B作，且，則四邊形為菱形，如圖所示：或其補(bǔ)角即為異面直線PB與AC所成角．設(shè).，，平面ABC，，．異面直線PB與AC所成的角的余弦值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．13、【解析】

可設(shè)，表示出S關(guān)于的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題.【詳解】設(shè)，則，，，當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，三角函數(shù)最值問題，意在考查學(xué)生的劃歸能力，分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.14、(1)【解析】

利用線線平行的傳遞性、線面垂直的判定定理判定．【詳解】(1)，，，則，正確(2)若，，，則，錯誤(3)若，則不成立，錯誤(4)若，，,則，錯誤【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題.15、【解析】

由題得計(jì)算得解.【詳解】由題得,所以.因?yàn)榈缺葦?shù)列同號，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比中項(xiàng)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、3【解析】

故答案為3.【點(diǎn)評】本題主要考查以向量的數(shù)量積為載體考查新定義，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，從而證得平面.（2）連接，證得為與平面所成角.根據(jù)的值求得的長，作出二面角的平面角并證明，解直角三角形求得二面角的正切值．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.∵是中點(diǎn)∴又是的中點(diǎn),∴∴，從而四邊形是平行四邊形，故又平面，平面，∴（2）∵平面，∴是在平面內(nèi)的射影為與平面所成角，四邊形為矩形，∵,∴,∴過點(diǎn)作交的延長線于，連接，∵平面據(jù)三垂線定理知.∴是二面角的平面角易知道為等腰直角三角形，∴∴=∴二面角的正切值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的定義和應(yīng)用，考查面面角的正切值的求法，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.18、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】

（1）由中位線定理可得，，再根據(jù)平行公理可得，，即可根據(jù)線面平行的判定定理證出；（2）根據(jù)題意可計(jì)算出，而是的中點(diǎn)，可得，又，即可根據(jù)線面垂直的判定定理證出；（3）根據(jù)等積法，即可求出．【詳解】（1）證明：連接，，，、是、中點(diǎn)，，從而．又平面，平面，直線平面；（2）證明：，，．底面，直線與底面成角，．．是的中點(diǎn)，．，．面，面，直線平面；（3）由題可知，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用等積法求三棱錐的體積，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）連結(jié)交于，連結(jié)，先證明，再證明平；（2）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，先證明平面，再證明平面平面．【詳解】證明：（1）連結(jié)交于，連結(jié)，由于棱柱的側(cè)面是平行四邊形，故為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，在中，，由，知為正三角形，故，又，，故，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)定義域和對稱性即可得出的值，求出的解的個數(shù)，利用定理得出所有根的和；（2）令，則為偶函數(shù)，于是的唯一零點(diǎn)為，于是，即可解出的值．【詳解】解：（1）在上的圖象關(guān)于直線對稱，，令得，，即，．在上有7個零點(diǎn)，方程的所以根之和為．（2）令，則，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對稱，即關(guān)于直線對稱，只有1解，的唯一解為，即，，解得．