廣東省增城市2021-2022學(xué)年高三年級下冊聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.定義在R上的奇函數(shù)/⑺滿足/（—3—x）+〃x—3）=0,若/（1）=1,/（2）=-2,則

/（1）+/（2）+/（3）++/（2020）=（）

A.-1B.0C.1D.2

2.空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距

離.已知平面a,B,2兩兩互相垂直，點Aea,點A到/，/的距離都是3,點尸是a上的動點，滿足尸到夕的

距離與尸到點A的距離相等，則點尸的軌跡上的點到￡的距離的最小值是（）

A.3-73B.3C.D.-

22

3.如圖所示，正方體的棱長為1,線段315上有兩個動點E、F且E尸=巫，則下列結(jié)論中錯誤的

2

是（）

A.AC±BEB.EF〃平面

C.三棱錐A-5E尸的體積為定值D.異面直線所成的角為定值

4.已知/為拋物線爐=4丁的準(zhǔn)線，拋物線上的點M至I"的距離為d,點P的坐標(biāo)為（4,1）,貝!）|陰+d的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+歷

5.已知a=log3、/5,b=ln3,C=2-°99,則的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

6.已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=z+i,則=在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

8.以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1;②在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)

心的值判斷擬合效果，R2越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1,則

2%+1,2々+1,2退+1,?,2%+1的方差為4；④已知一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（石,%）,（乙,%），，（%，為）），其線

性回歸方程夕=%+6,貝!1"（九。，陽）滿足線性回歸方程9=%+是“天=生士氣一叢，％=—^~，；

的充要條件；其中真命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

9.已知拋物線C:y2=2p%（p>0）的焦點為尸，過點方的直線/與拋物線。交于A,6兩點（設(shè)點A位于第一象限）,

過點A,3分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點A，Bi，拋物線。的準(zhǔn)線交X軸于點K,若黑=2,則

I4KI

直線/的斜率為

A.1B.72C.2A/2D.

10.已知函數(shù)/（x）=cos2x+sin2（x+?］，則/（x）的最小值為（）

A1亞u1「10n1

A?1-|-----B?C.X-------D.1------

2224

11.已知函數(shù)/（X）=X2—3X+5,g（x）=ox—lnx,若對Vxe（O,e）,羽e（O,e）且石w々，使得

/（x）=g（xja=l,2）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

（16）F1r11「6「6A

A.一,—B.—,64C.0,—,一,D.一

e）\_eJIe」|_e）Le

12.設(shè)x/R,則<27”是“|%|<3"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.為激發(fā)學(xué)生團結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽

1場，目前（一）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場.則目前（五）班已

經(jīng)參加比賽的場次為.

14.在數(shù)列｛4｝中，已知q=L%y,+i=2"(〃eN*),則數(shù)列｛4｝的的前2〃+1項和為S2〃+i=.

229

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線二-2-=l(a>0)的一條漸近線方程為y=—X,則。=.

a~43

16.已知/Xx)是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(x).若%>0時，fXx)<2x,則不等式

/(2x)-于(x-1)>3X2+2X-1的解集是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln3r)-a,(a>0).

(1)若函數(shù)//(x)=e"(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值;

(2)定義：若直線/：y=Ax+人與曲線C：/(x,y)=0、C2：力(羽丁)=0都相切，我們稱直線/為曲線G、02的公

切線，證明：曲線/(x)=ln(ax)—a,(a>0)與g(x)=ae;(a>0)總存在公切線.

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+l|+|x—24+1.

(1)當(dāng)4=1時，解不等式/(x)K6；

⑵設(shè)a<—g,且當(dāng)2aWx<—1時，不等式〃x)<2x+6有解，求實數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若島=A(sinC+百cosC).

(1)求角3的大??；

TF

(2)若A=1，。為AABC外一點，DB=2,CD=1,求四邊形AB0C面積的最大值.

1k

20.(12分)已知函數(shù)/'(x)=(x——)lnx,g(x)=x——.

XX

(1)證明：函數(shù)/(尤)的極小值點為1;

17

(2)若函數(shù)y=/(x)—g(x)在［1,+8)有兩個零點，證明：1W左<木.

8

21.(12分)已知在多面體ABCDE尸中，平面CDPE，平面ABCD,且四邊形ECDF為正方形，且。C//AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,點尸，。分別是BE,AD的中點.

(1)求證：PQ//平面EEC。；

(2)求平面AEE與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

22.(10分)已知橢圓C：=_+(_=1(?！?〉0)過點,過坐標(biāo)原點。作兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交

于M,N兩點.

(1)證明：當(dāng)1+9〃取得最小值時，橢圓C的離心率為巫.

2

(2)若橢圓C的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

首先判斷出/(%)是周期為6的周期函數(shù)，由此求得所求表達式的值.

【詳解】

由已知/(九)為奇函數(shù)，得/(-x)=—/(x)，

而/(-3-%)+/(%-3)=0,

所以“X—3)=〃x+3),

所以/(%)=/(%+6),即/(%)的周期為6.

由于/(1)=1,/(2)=-2,/(0)=0,

所以/(3)=/(―3)=-/(3)n〃3)=0,

/(4)=/(-2)=-/(2)=2,

/(5)=/(T=-"I，

/(6)=/(0)=0.

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=0,

X2020=6x336+4,

所以〃1)+〃2)+〃3)++/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點P的軌跡上的點到x軸的距離的最小值，利用P到x軸的距離等于P到點A的

距離得到P點軌跡方程，得到6y=(%-3)2+929,進而得到所求最小值.

如圖，原題等價于在直角坐標(biāo)系中，點4(3,3),P是第一象限內(nèi)的動點，滿足尸到x軸的距離等于點p到點4的

距離，求點P的軌跡上的點到x軸的距離的最小值.

設(shè)P(x,y),則y=J(x_34+(y_3)2，化簡得：(了—37—6y+9=0,

93

則6y=(%—3)+929,解得：y>-9

3

即點p的軌跡上的點到￡的距離的最小值是萬.

故選：D.

【點睛】

本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動點軌跡方程，進而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得

最值.

3.D

【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根

據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因為AC，3。,AC，。。1,BD=D,所以AC,平面臺力已與，

又因為BEu平面瓦，所以故正確；

B.因為，旦/AD3,所以EF//DB,且石尸仁平面ABC。，D5u平面ABC。，

所以。//平面ABCD,故正確；

C.因為5-￡尸=；*E7^5與=￥為定值，A到平面BOD1用的距離為/,=gAC=等，

所以匕/=:為定值'故正確;

D.當(dāng)4GBR=E,ACoBD=G,取P為耳，如下圖所示:

因為BF//EG,所以異面直線AE,3歹所成角為/AEG,

A/2

2_3，

且/A廠—AG

tan/AEG--

GE

當(dāng)ACJBR=F,ACoBD=G,取E為2,如下圖所示:

Bi

fi

因為D]F//GB,D】F=GB,所以四邊形是平行四邊形，所以5E//0G,

顯

.cAG9A/3

r匚卜I日右吉妞A77RZ7由出右4/.EV-口tanNAEG—-,------------------

J

由此可知：異面直線AE,5尸所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).

4.B

【解析】

設(shè)拋物線焦點為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當(dāng)RM，尸共線時+d取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點廠(0/)，準(zhǔn)線y=-l,

過M作MN上1交1于前N,連接FM

|!二

由拋物線定義|刖兇=|阿I=d,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>PF=7^=4,

當(dāng)且僅當(dāng)RM,尸三點共線時，取“=”號，

.?.|上0+4的最小值為4.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

5.A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.

【詳解】

因為logs0<log36=g，

所以a<L

2

因為3>e,

所以b=ln3>lne=l,

因為0>-0.99>-1,y=2"為增函數(shù)，

所以!<c=2』99<1

2

所以Z?>c>a,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

6.A

【解析】

設(shè)z=a+4(a,beR),由z-i=z+i得：(a+4)i=a+(b+l)i,由復(fù)數(shù)相等可得的值，進而求出I，即可得解.

【詳解】

設(shè)z=a+bi(a,beR),由z-i=z+i得：(a+bi)i-a+(b+l)i,即成一b=a+(b+l)i,

1

—b=a2ii-1111

由復(fù)數(shù)相等可得：,「解之得：?,則?，所以2=彳+彳，，在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)為q=),

a=b+l,1222222

'b=—

[2

在第一象限.

故選：A.

【點睛】

本題考查共朝復(fù)數(shù)的求法，考查對復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點，考查運算能力，屬于?？碱}.

7.B

【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為g的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為％,計算4=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為%,

2

%1”

則1解得="從而可得%=192x—=96,%=192x-=24，故4=96-24=72.

1--

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

8.C

【解析】

①根據(jù)線性相關(guān)性與r的關(guān)系進行判斷，

②根據(jù)相關(guān)指數(shù)R2的值的性質(zhì)進行判斷，

③根據(jù)方差關(guān)系進行判斷，

④根據(jù)點（不，%）滿足回歸直線方程，但點（七,%）不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，

可進行判斷.

【詳解】

①若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確；

②用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果,爐越大,模型的擬合效果越好，故②錯誤；

x

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)為,馬，尤3，…，n的方差為1,則2%+1,2X2+1,2%+1,…，2xn+1的方差為2-=4，故③正確；

④因為點（%,%）滿足回歸直線方程，但點（％,%）不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，即9=石+/2一+%,

%="+”°不一定成立,而回歸直線必過樣本中心點，所以當(dāng)丁=受+々=%="%

時,點（天,陽）必滿足線性回歸方程夕=晟+&;因此“（后,%）滿足線性回歸方程9=晟+&”是

=,%=%+彳；%。，，必要不充分條件.故④錯誤;所以正確的命題有①③.

故選：C.

【點睛】

本題考查兩個隨機變量的相關(guān)性，擬合性檢驗，兩個線性相關(guān)的變量間的方差的關(guān)系，以及兩個變量的線性回歸方程,

注意理解每一個量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得|AF|=|AA]|,\BF\=ABBX\,

I4K|_|AP|=2,所以黑=匿=2,

又A4t〃尸K〃即，所以

\BtK\\BF\I4KII叫I

設(shè)|BB,\=m(m>0),貝！11AA|=2m,貝!!cosAAFx=cosABAA^—一〔":=——1

，IAB|2m+m3

所以sinZAEx=￥，所以直線/的斜率人tanZA網(wǎng)=2點.故選C.

10.C

【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.

【詳解】

1—cosI2xH—

由于，/、2.?271l+cos2xI2

J(x)=cosx+sinXH----------------十

422

1cos2xsin2x

=l+---------+------

22

-4sinf2x+?

故其最小值為：l-受.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查利用降塞擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.

ll.D

【解析】

先求出/（九）的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g（x）在區(qū)間（0,e）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因為8(%)=融一加"故g<x)=ax1,

當(dāng)aWO時，g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a2,時，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)力時，令/(力=0,解得x=:,

故g(x)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又g[l=l+/〃a,g(e)=f—l,且當(dāng)x趨近于零時，g(x)趨近于正無窮；

對函數(shù)/(X),當(dāng)xe(O,e)時，/(x)e?力｝

根據(jù)題意，對Vxe(0,e),三石,々e(0,e)且玉w/，使得/(x)=g(%.)(，=1,2)成立，

只需小。<一拓(戶5，

即可得1+山a<U,?—125，

4e

「6八

解得。e-,e4.

萍)

故選：D.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

12.B

【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可

【詳解】

解不等式爐<27可得％<3,

解絕對值不等式|x|<3可得-3<x<3,

由于｛x[—3<x<3｝為｛x|x<3｝的子集,

據(jù)此可知“d<27”是"Ix|<3"的必要不充分條件.

故選：B

【點睛】

本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

根據(jù)比賽場次，分析，畫出圖象，計算結(jié)果.

【詳解】

畫圖所示，可知目前（五）班已經(jīng)賽了2場.

【點睛】

本題考查推理，計數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.

14.2"+2-3

【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列｛%｝的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項公式，得到$2”,

再由S2“+i=S2“+的“+l求解.

【詳解】

解：由4=1,%.%+]=2"(〃eN*),

得an-l,an=2"1(n..2),

：..=2("..2),

*

則數(shù)列｛4｝的所有奇數(shù)項與偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

n-1

2方，〃為奇數(shù)

a=1,

n一,〃為偶數(shù)

+???+)+(%+〃4+???+)

S2rl—(%+

=(l+2+22+...+2n-1)+(2+22+...+2n)

1-?n

=3(1+2+2?+...+2〃T)=3?丁/■=3.2〃-3.

???S2,M=邑.+電=3?2"-3+2"=2"+2-3.

故答案為：2*2-3.

【點睛】

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題.

15.3

【解析】

22

雙曲線的焦點在x軸上，漸近線為y=±—X,結(jié)合漸近線方程為y=-x可求a.

a3

【詳解】

2222

因為雙曲線A-匕=13>0)的漸近線為y=土一x,且一條漸近線方程為y=—x,

a~4a3

所以a=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線，明確雙曲線的焦點位置，寫出雙曲線的漸近線方程的對應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考

查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

【解析】

構(gòu)造g(x)=/(x)-x2,先利用定義判斷gQ)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化

/(2x)—/(x—1)>3必+2%—1為g(2x)>g(x—1),結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】

令g(x)=/(尤)—一，則g(x)是R上的偶函數(shù)，

g'(x)=/'(x)—2x<0,則g(x)在(0,+8)上遞減，于是在(—8,0)上遞增.

由/(2%)-于(x—1)〉3/+2x—1得/(2x)—(2x)2>f(x-1)-(%-1)2,

即g(2x)>g(x-l),

于是g(|2x|)>g(|x-l|),

則|2x|<|x-l|,

解得

故答案為：

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)。=1；(2)見解析.

【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為/z(x)..O在(0,+8)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出°(x)=ln(奴)+!-。的最小值即可求解；

x

(2)分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為玉,馬,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足

X,——1

<西有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.

X2

)—a-1=ae^-ax2e

【詳解】

(1)h(x)=ex[ln(ax)-tz],x>0,

/.〃(x)=ex\\n(ax)+--a]

x

函數(shù)/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增等價于h(%)..0在(0,+8)上恒成立.

令0(%)=ln(奴)+工一1,得0(元)一~y,

xxxx

所以夕(均在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,y)單調(diào)遞增，則夕(%)*=。⑴.

因為">0,則”(%)..0在(0,+8)上恒成立等價于0(%)..。在(0,+8)上恒成立；

又^(-)=0,

a

^(-)=。⑴=o，

a

所以2=1,即4=1.

a

(2)設(shè)/(%)=111(依)一々,(0>0)的切點橫坐標(biāo)為工=占，則/'(芯)=,

王

切線方程為y-ln(aX])+a=°(x-Xi)...①

西

設(shè)g(x)=ae*,(a〉O)的切點橫坐標(biāo)為x=l2，則g'?)=口源,

x

切線方程為y-ae-=ae*(x-x2)...②

一、1

ae2——

若存在玉,々，使①②成為同一條直線，則曲線/(%)與g(%)存在公切線，由①②得王消

X2X2

皿叫)一〃-1=ae-ax2e

去再得一%2—a_1—ae"—

1_^(%-1)-1_2^+1

—2—e%2

ax2+1x2+1

2^+1x2ex+ex+\

令t(x)=ex貝療⑴=>0

x+1(X+1)2

所以，函數(shù)y=?x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增,

Z(l)-Z(2)<0Bx0e(l,2),使得f(x0)=0

XG(X0,+GO)時總有t(x)>t(x0)=0

又.—+oo時，t(x)+00

=e"(xT)T在(0,+s)上總有解

ax+1

綜上，函數(shù)/'(幻=ln(ax)-a,(a>0)與g(%)=ae*,(a〉0)總存在公切線.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.

18.(1)[—2,3]；(2)f-2,--1.

【解析】

(1)通過分類討論去掉絕對值符號，進而解不等式組求得結(jié)果;

(2)將不等式整理為-a-3Wx,根據(jù)能成立思想可知-a-34Xmax，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)a=l時，可化為++V5,

2x-l,x>2

|x+l|+|x-2|=<3,-1<x<2

1—2x,x<—1

x>2-l<x<2x<—1_

，由<，解得2<%<3；由<解得—由<〈，解得—2<x<—1.

2x-l<53<5[l-2x<5

綜上所述：所以原不等式的解集為［-2,3］.

(2)2a<x<—1,/(x)<2x+6,—x—1+x—2a+l〈2x+6,-a-3<尤，

/(%)42%+6有解，；.一。一3<—1,即a>—2,

又2〃<—1,ci<—

29

實數(shù)a的取值范圍是，2,-；］.

【點睛】

本題考查絕對值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是明確對于不等式能成立的問題，通過分

離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.

19.(1)B=-(2)速+2

34

【解析】

I—TC

(1)根據(jù)正弦定理化簡等式可得tan3=百，即Buy；

(2)根據(jù)題意，利用余弦定理可得5。2=5一4cos。，再表示出SAB比=sin。，表示出四邊形臬-。，進而可得最

值.

【詳解】

(1)=/?(sinC+A/3COSC),由正弦定理得：^3sinA=sinB(sinC+A/3COSC)

在AABC中，sinA=sin+C),則g'sinlB+C)=sin_BsinC+HsinBcosC,

即\/3cosBsinC=sinBsinC,

sinCw0,/.y/3cos3=sin3,即tanB=A/3

jr

Beg,i),；.B=3.

(2)在ABCD中，BD=2,CD=1..BC2=12+22-2xlx2xcosZ)=5-4cosD

77=(小5嗚=歲一島OSD

又A=1,則AABC為等邊三角形，5ABe

又SBDC=；xBDxDCxsinD=sinD,

71

SABCD=~~~+sinD—y/3cosD=+2sin(￡>-y)-

二當(dāng)。=包時，四邊形ABC。的面積取最大值，最大值為％8+2.

64

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.(1)見解析(2)見解析

【解析】

⑴利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)y=/(x)—g(x)在［L+8)有兩個零點，即方程(尤2—/=—左

在區(qū)間［1,+8)有兩解，令M%)=(尤2-l)lnx-f通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.

【詳解】

解：(1)證明：因為/(力=11+51LX+?！?(%>0)

X

當(dāng)(0,1)時，lux/0,1H———<Q,

/1(x)<0,

\X/X

所以/(x)在區(qū)間(0,1)遞減；

當(dāng)xe(1,+co)時,ln_x>0,1H——>0,1——>0,

XX

所以尸(x)>0,所以/(%)在區(qū)間(l,w)遞增；

且廣⑴=0,所以函數(shù)/(%)的極小值點為1

(2)函數(shù)y=/(%)-g(x)在口,+<?)有兩個零點，

即方程(爐一1)1狙；—9=_上在區(qū)間］,+8)有兩解,

令/z(x)=(九2-l^lnx-x2,貝()/z'(%)=2xlnx-x-—

x

令0(x)=/f(x)(x21),則夕<%)=21nx+^-+l>0,

x

所以在［L+8)單調(diào)遞增，

又勿⑴=—2<0,/z,(2)=41n2-1>0

故存在唯一的陰￡(1,2),=2mlnm-m-—=0,即——［,

7m22m

所以/z(x)在(1,加)單調(diào)遞減，在區(qū)間(辦+6)單調(diào)遞增，

222

且/z(l)=/z(e)=-1,/z(x)min=h(喻=(加2=(m-1V—H——|-m=-—(m+^y)又因為

122TYlJ21ZTZJ

17

.(1,2)，所以Mx*/一/，

o

方程關(guān)于X的方程(尤2-1)Inx-/=—左在［1,+8)有兩個零點，

17

由f(x)的圖象可知，—，<A(x)min<-k<h(l)=-1,

即14左<u.

8

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo)，零點存在性定理確定參數(shù)范圍，屬于難題.

21.(1)證明見解析；⑵1?7

【解析】

(1)構(gòu)造直線夕。所在平面由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過點PHLBC交BC于H點,連接Q”,如下圖所示：

因為平面CD在，平面ABC。，且交線為CD,

又四邊形COEE為正方形，故可得CELCD,

故可得CE_L平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CELCB.

在三角形CBE中，因為P為班中點，PH±CB,CE±CB,

故可得PH〃CE,H為CB中點;

又因為四邊形ABC。為等腰梯形，”,。是。3,4。的中點，

故可得HQ〃CD；

4HcHQ=H,CDcCE=C,

且P〃,〃Qu平面P〃Q,CD,CEu平面DFEC,

故面PHQ〃面EEOC,

又因為PQu平面「〃Q,

故PQ//面莊C￡>.即證.

(2)連接AE,AC,作DM,AB交AB于M點，

由(1)可知CEL平面ABC。，又因為DF//CE,故可得D-，平面ABC。,

則。尸，尸，。C；

又因為AB〃CD,DM±AB,故可得￡>MJ_DC

即DM，DC,。/兩兩垂直，

則分別以DM，DC,DF為x,y,匚軸建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

則DM=y/AD2-AM2=V52-22=V21,

￡)(0,0,0),F(0,0,2),￡(0,、2,2),

A(0T,—2,0),P3,1,C(0,2,0)

F

7

設(shè)面AEE的法向量為加=(羽y,z),則在=(0,2,0),AF=(-421,2,2),

m-FE=02y=0

則=>

m?AF=0-J'21x+2y+2z—0

可取m=(2,0,J^T),

設(shè)平面PDC的法向量為〃=(x,y,z),則。。=(0,2,0),DP=

2y=