2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型演練-三垂直模型

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型演練一三垂直模型

1.模型認(rèn)識

AABC是等腰直角三角形，一條直線過點(diǎn)C,分別過A、B向該直線作垂線，垂足分別為D、E.J1IJAADC^ACEB.

⑴如果沒有等腰?

作垂線，可得三垂直相似.

如圖1,有4ADC^ACEB.

特別地，若C為DE的中點(diǎn),如圖2,則八ADC->ACEB^AACB.

(2)如果沒有直角？

直角的作用在于它們都相等，將直角換成其他等角，即為“一線三等角”模型.

引例1(2022.海南)如圖，點(diǎn)A(0,3)、B(1.0)將線段AB平移得到線段DC,若NABC=9(T,BC=2AB,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()

A.(7,2)B.(7,5)

C.(5,6)D.(6,5)

解析如圖，過點(diǎn)D作DH±y軸交y軸于點(diǎn)H,則DHA。408,二察=等=喂=2,：.DH=2AO=6,AH=2OB=2,.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)

為(6,5).

引例2（2018.遵義）如圖,在菱形ABCD中,ZABC=120。,將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對角線BD上的點(diǎn)G處（不與B、D重合），折痕

為EF,若DG=2,BG=6則BE的長為.

解析如圖,由題意可得NFDG=NFGE=NGBE=60°,.\AFGD^AGEB,.,.DG=|e￡￡==DG=2,：.BE=蘭即BE的長為蘭.

CBGE8+6755

2.模型構(gòu)造

在什么條件下考慮構(gòu)造三垂直？

無論是全等還是相似，首先要存在直角三角形.

引例3（2022.東營）如圖力OAB是等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=§（幻0）的圖像上，則經(jīng)

過點(diǎn)A的函數(shù)圖像表達(dá)式為—.

解析如圖，分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、口貝必ACO^AODB,.1.AC=ODQC=BD,設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m-則點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（-4m）經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)圖像表達(dá)式為y=-i.

引例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-l的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B.將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，交

x軸于點(diǎn)C,則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是一

解析如圖，過點(diǎn)A作AD1AB交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE_Lx軸交x軸于點(diǎn)E,則AAOB以ADEA,由題意得A(知),B(0,-1),DE

=0A=^,AE=OB=1,...點(diǎn)D的坐標(biāo)為..直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=[x-1.

引例5(2022.蘇州)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn),將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC.若點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(m,3),則m的值為()

D2VH〃5遮4721

D.------C.----Ln).------

4手33

法1如圖1,取AC的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作PQ_Lx軸交x軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)C作PQ的垂線，垂足為P，則△CPM^AMQB,葛

CM11556“5^3

—=-F,CP=-z：Kx-=——,m=2CP=——.

MBV3V3263

法2:如圖2,作射線AP,使得NOAP=60。,且AP=OA,連接CP,過點(diǎn)P作NM±y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作MN的垂線，垂足為N,則

△AOB△APC,AM=1,MP=75。-2,由4AMPs^PNC,得翳=器代入得表=*二PN=孚,.?.TH=MN=V5+言=竽.

觀察發(fā)現(xiàn)

當(dāng)遇到等腰直角三角形或直角三角形時(shí)，可構(gòu)造三垂直全等或相似，當(dāng)圖形中存在特殊角時(shí)，可構(gòu)造包含特殊角的直角三

角形，再構(gòu)造三垂直模型.

3.模型應(yīng)用

引例6(2023?新疆)【建立模型】(1)如圖1點(diǎn)B是線段CD上的一點(diǎn),AC1_BC,AB_LBE,ED_LBD,垂足分別為C、B、D,AB=BE.求證:

△ACB^ABDE;

【類比遷移】⑵如圖2,一次函數(shù)y=3x+3的圖像與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)B,將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到BC,

直線AC交x軸于點(diǎn)D.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

【拓展延伸】(3)如圖3,拋物線y=公-3x-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)Q(0,-l),連接

BQ,拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得tanzMBQ=，若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)

A

E

CD

圖1圖2

解析(1)：AC_1BC,；.NACB=90「.'.NA+ZABC90°,.\ZA=ZDBE.

.,.△ABE^ABDE

⑵①如圖1,過點(diǎn)C作CH±BD交BD于點(diǎn)H,由⑴得△AOB名△BHC,由題意得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),，BH=A

O=3,CH=BO=1,...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,1).

一"+%=，解得八工直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=1x+3.

②設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,將(-4,1)、1

b=5,b=3,2

2

(3)令y=O.BPx-3x-4=0,解得xt=~l,x2=4".OB=4.

當(dāng)點(diǎn)M在BQ下方時(shí)，如圖2,過點(diǎn)Q作PQ1BQ且PQ=犯Q,延長BP與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M過點(diǎn)P作PH_Ly軸交y軸于

點(diǎn)H,則BOQ~QHP,.=器=卷=”PH=gQH=*0點(diǎn)P的坐標(biāo)為-，可得直線PB的函數(shù)表達(dá)式為y=5（久-4）,聯(lián)立

方程W（%一4）=%2-3%-4,解得=-g,汽2=4（舍）,/.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為一?;

當(dāng)點(diǎn)M在BQ上方時(shí)，如圖3,同理可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-11.

技巧總結(jié)

在構(gòu)造等腰直角三角形時(shí)，優(yōu)先考慮以已知點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，便于計(jì)算.

4模型變式

引例7（婆羅摩笈多模型）如圖，分別以AB、AC為邊向△ABC外側(cè)作正方形ABDE、正方形ACFG過點(diǎn)A作AH±BC交BC于

點(diǎn)H,AH的反向延長線與EG交于點(diǎn)P.求證:P是EG的中點(diǎn).

證明如圖過點(diǎn)E作EM±AP交AP的延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)G作GN±AP交AP于點(diǎn)N.VZABH+ZBAH=90°,ZEAM+ZBAH

=90°,AZABH=ZEAM.

在^BHA和^AME中，

(ABHA=/-AME

\AABH=/-EAM

(BA=AE

:?△BHA?△AME(AAS),，AH=EM.同理可證:△CHA^AANG,.*.AH=GN,JEM=GN.

EMJ_AM,GN_LAM,EM//GN,ZMEP=ZNGP.

在4PME和^PNG中,

(Z.PEM=乙PGN,

EM=GN,

IKPME=乙PNG,

：.APME^APNG(ASA),PE=PG,

.??P是EG的中點(diǎn).

5.模型拓展

引例8(2022.阿壩)如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是邊BC上的點(diǎn)，將EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得EF,交CD于點(diǎn)G,連接CF.

⑴求證:“BAE=NCEF;

(2)求ZECF的度數(shù)；

⑶當(dāng)CG的長最大時(shí)，直接寫出CF的長.

解析(1)在正方形ABCD中,NB=90。,ZBAE+ZAEB=90°.VZAEF=90。,二ZAEB+ZCEF=90°,ZBAE+ZAEB=ZAEB+

ZCEF,ZBAE=ZCEF.

(2)如圖，過點(diǎn)F作FH1BC交BC的延長線于點(diǎn)H.在△ABE和AEHF中,

ZABE=Z.EHF,

-ZBAE=ZHEF,AABE義△EHF

AE=EF,

(AAS),；.BE=HF,AB=EH.又AB=BC,；.BC=EH,；.BE=CH,.,.FH=CH，XZH=90°,.,.NFCH=45°,；.ZECF=135°.

(3)CF=2&..設(shè)BE=x，則EC=4-x.由題意得ABE。ECG,：.若=等代入得CG=三*.當(dāng)x=2時(shí),CG取到最大值，

Cu4-XCG4

此時(shí).BE=2,CF=y[2FH=y/2BE=2遮.

◎引例9(2021.牡丹江)如圖1,四邊形ABCD是正方形,E是邊BC的中點(diǎn),/AEF=90。,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F,過點(diǎn)

F作FG±BC于點(diǎn)G,連接AC.易證:AC=迎(EC+FG)..(提示取AB的中點(diǎn)M,連接EM)

⑴當(dāng)E是邊BC上任意一點(diǎn)時(shí),如圖2;當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí)，如圖3.請直接寫出AC、EC、FG的數(shù)量關(guān)系,并對圖2進(jìn)行證

明；

(2)已知正方形ABCD的面積是27,連接人日當(dāng)^ABE中有一個(gè)內(nèi)角為30。時(shí),則AF的長為___.

解析⑴當(dāng)E在邊BC上時(shí),AC=V2(EC+FG);當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時(shí),AC=史(FG-EC).

如圖在AB上取點(diǎn)M使得BM=BEQ!UBME是等腰直角三角形,，ZBME=NBEM=45。,：.ZAME=135°,.\ZAME=ZECF.

VBM=BE,AM=EC.VZBAE+ZAEB=90°,ZCEF+ZAEB=90°,AZBAE=NCEF,AAME之△ECF(ASA),AE=EF,ME=C

F,Z.BE=?ME=/CF=FG,：.EC+FG=EC+BE=BC.*AC=y/lBC,.■AC=V2(EC+FG)

(2)S=AB2=27,AB=3V3.

若NBAE=30。,貝?。軧E=^AB=3,AE=6,.-.AF=&E=6魚;

若NAEB=30。,則AE=2AB=6^3,AF=y/2AE=6限

綜上,AF的長為6注或(6V6.

歸納總結(jié)

以上兩個(gè)例題雖然圖形很相似，但解法完全不同，對你有什么啟發(fā)？注重歸納圖形中不同條件的用法，有助于快速篩選出正

確方法.

m真題演練

1.（2022.賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB為等腰三角形QA=AB=5,點(diǎn)B到x軸的距離為4,若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9

0。得到△OAE,則點(diǎn)B，的坐標(biāo)為

2.（2023?北京）如圖,點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A、C之間點(diǎn)D、E在直線AC同側(cè),AB<BC,ZA=NC=90°,△EAB^A

BCD,連接DE.設(shè)AB=a,BC=b,DE=c，給出下面三個(gè)結(jié)論:①a+b<c;circle2a+b>Va2+b2;circle3y[2[a+b）>c.上述結(jié)論中，所

有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

3.（2022.棗莊）如圖,正方形ABCD的邊長為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)B在y軸上,若反比例函數(shù)y=§（k手0）的圖像過點(diǎn)C,則k的值為

()

A.4B.-4

C.-3D.3

4.（2023?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=3（x>0）的圖像上.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m,2）.連接OA、OB、AB若OA

=AB,NOAB=90。,貝！Jk的值為

5.（2020.南京）將一次函數(shù)y=-2x+4的圖像繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是—.

6.（2019?無錫）如圖.在4ABC中,AB=AC=5,BC=4V5,.D為邊AB上一動點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF.連接BEJIJABDE

面積的最大值為一.

7.（2021.廣州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中.矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=|（x>0）的圖像上，點(diǎn)C在函數(shù)y=-<0）的圖像上，若點(diǎn)

B的橫坐標(biāo)為-多則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

MMB陪，吟

C.（2，|）D.樞嗡

8.（2021?樂山）如圖,已知點(diǎn)A（4,3）,B為直線y=-2上的一動點(diǎn)點(diǎn)C（0,n）,-2<n<3,ACJ_BC于點(diǎn)C,連接AB,若直線AB與x正半軸所夾的銳

角為a,那么當(dāng)sina的值最大時(shí)，n的值為

9.（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,NO45。以AB為腰作等腰直角4BAE,頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD=1,則CE的

長是（）

A.V2B,C.2D.1

10.(2022?綿陽)如圖,四邊形ABCD中,ZADC=9()o,AC_LBC,NABC=45o,AC與BD交于點(diǎn)E,若AB=2V10,CD=2,則AABE的面積為.

11.(2020?宿遷)【感知】如圖1,在四邊形ABCD中,NC=ND=90。,點(diǎn)E在邊CD上,NAEB=90。,求證:熬=工

CDCD

【探究】如圖2,在四邊形ABCD中,NC=NADC=90。,點(diǎn)E在邊CD上.點(diǎn)F在邊AD的延長線上,NFEG=NAEB=90。,且葛=笫

連接BG交CD于點(diǎn)H.

求證:BH=GH;

【拓展】如圖3,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi),NAEB+NDEC=180。,且替=能過E作EF交AD于點(diǎn)F,若NEFA=NAEB延長FE交BC

于點(diǎn)G.求證:BG=CG.

圖1圖2

12.(2021.常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于A、A兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T,使得/.ATA'=90。,且TA=TA\則稱A、A兩點(diǎn)互相關(guān)

聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫作另一個(gè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)M(-2,0)、N(-l.0),點(diǎn)Q(m,n)在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上.

⑴①如圖在點(diǎn)B(2,0)、C(0,-l),D(-2,-2)中，點(diǎn)M