四川省廣元市萬達中學、八二一中學2024年數學高一下期末經典試題含解析

四川省廣元市萬達中學、八二一中學2024年數學高一下期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知甲、乙兩組數據用莖葉圖表示如圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中的的比值等于A． B． C． D．2．各項均為實數的等比數列{an}前n項之和記為,若,,則等于A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或4003．為了了解某次數學競賽中1000名學生的成績,從中抽取一個容量為100的樣本,則每名學生成績入樣的機會是()A． B． C． D．4．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）5．某社區(qū)義工隊有24名成員，他們年齡的莖葉圖如下表所示，先將他們按年齡從小到大編號為1至24號，再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6人組成一個工作小組，則這個小組年齡不超過55歲的人數為（）3940112551366778889600123345A．1 B．2 C．3 D．46．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學生中隨機抽取25名學生進行問卷調查，則應抽取的女生人數為（）A．5 B．10 C．15 D．207．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，則b的值為()A．4 B．3 C．2 D．18．中國數學家劉微在《九章算術注》中提出“割圓”之說：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”意思是“圓內接正多邊形的邊數無限增加的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”.如圖，若在圓內任取一點，則此點取自其內接正六邊形的邊界及其內部的概率為（）A． B． C． D．9．已知直線與互相垂直，垂足坐標為，且，則的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．910．已知，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．（理）已知函數，若對恒成立，則的取值范圍為．12．若函數是奇函數，其中，則__________．13．已知{}是等差數列，是它的前項和，且，則____.14．下列結論中：①②函數的圖像關于點對稱③函數的圖像的一條對稱軸為④其中正確的結論序號為______．15．在ΔABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-12，則16．某產品分為優(yōu)質品、合格品、次品三個等級，生產中出現合格品的概率為0.25，出現次品的概率為0.03，在該產品中任抽一件，則抽到優(yōu)質品的概率為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，且小區(qū)里有一條平行于的小路．（1）已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長（精確到米）（2）若該扇形的半徑為，已知某老人散步，從沿走到，再從沿走到，試確定的位置，使老人散步路線最長．18．如圖是某神奇“黃金數學草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，……，依次生長，直到永遠．（1）求第3階段“黃金數學草”的高度；（2）求第13階段“黃金數學草”的高度；19．某校為創(chuàng)建“綠色校園”，在校園內種植樹木，有A、B、C三種樹木可供選擇，已知這三種樹木6年內的生長規(guī)律如下：A樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.1米，以后每年比上一年多長高0.2米；B樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.04米，以后每年生長的高度是上一年生長高度的2倍；C樹木：樹木的高度（單位：米）與生長年限（單位：年，）滿足如下函數：（表示種植前樹木的高度，?。?）若要求6年內樹木的高度超過5米，你會選擇哪種樹木？為什么？（2）若選C樹木，從種植起的6年內，第幾年內生長最快？20．已知為常數且均不為零，數列的通項公式為并且成等差數列，成等比數列.（1）求的值；（2）設是數列前項的和，求使得不等式成立的最小正整數.21．已知的內角的對邊分別為，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

從莖葉圖提取甲、乙兩組數據中的原始數據，并按從小到大排列，分別得到中位數，并計算各自的平均數，再根據中位數、平均值相等得到關于的方程.【詳解】甲組數據：，中位數為，乙組數據：，中位數為：，所以，所以，故選A.【點睛】本題考查中位數、平均數的概念與計算，對甲組數據排序時，一定是最大，乙組數據中一定是最小.2、A【解析】

根據等比數列的前n項和公式化簡S10＝10，S30＝70，分別求得關于q的兩個關系式，可求得公比q的10次方的值，再利用前n項和公式計算S40即可．【詳解】因為{an}是等比數列，所以有，二式相除得，，整理得解得或（舍）所以有==所以=1．答案選A．【點睛】此題考查學生靈活運用等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道綜合題，有一定的運算技巧，需學生在練習中慢慢培養(yǎng)．3、A【解析】

因為隨機抽樣是等可能抽樣，每名學生成績被抽到的機會相等,都是.故選A.4、D【解析】

直接利用向量的坐標運算法則化簡求解即可．【詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【點睛】本題考查向量的坐標運算，考查計算能力．5、B【解析】

求出樣本間隔，結合莖葉圖求出年齡不超過55歲的有8人，然后進行計算即可．【詳解】解：樣本間隔為，年齡不超過55歲的有8人，則這個小組中年齡不超過55歲的人數為人．故選：．【點睛】本題主要考查莖葉圖以及系統(tǒng)抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵，屬于基礎題．6、B【解析】

利用分層抽樣的定義和方法求解即可.【詳解】設應抽取的女生人數為，則，解得．故選B【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義及方法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、C【解析】試題分析：根據正弦定理可得,.在中,,.,,.,.故C正確.考點：1正弦定理;2余弦定理.8、C【解析】

設出圓的半徑,表示出圓的面積和圓內接正六邊形的面積,即可由幾何概型概率計算公式得解.【詳解】設圓的半徑為則圓的面積為圓內接正六邊形的面積為由幾何概型概率可知,在圓內任取一點,則此點取自其內接正六邊形的邊界及其內部的概率為故選:C【點睛】本題考查了圓的面積及圓內接正六邊形的面積求法,幾何概型概率的計算公式,屬于基礎題.9、B【解析】

代入垂足坐標，可得，然后根據基本不等式，可得結果.【詳解】由兩條直線的交點坐標為所以代入可得，即又，所以即當且僅當，即時，取等號故選：B【點睛】本題主要考查基本不等式，屬基礎題.10、A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，進而利用同角三角基本關系，使其除以，轉化成正切，然后把的值代入即可．詳解：由題意得.∵∴故選A.點睛：本題主要考查了同角三角函數的基本關系和二倍角的余弦函數的公式．解題的關鍵是利用同角三角函數中的平方關系，完成了弦切的互化．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：函數要使對恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需滿足，解得.考點：恒成立問題.12、【解析】

定義域上的奇函數，則【詳解】函數是奇函數，所以,又，則所以填【點睛】定義域上的奇函數，我們可以直接搭建方程，若定義域中則不能直接代指.13、【解析】

根據等差數列的性質得，由此得解.【詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【點睛】本題考查了等差數列的性質，屬于基礎題.14、①③④【解析】

由兩角和的正切公式的變形，化簡可得所求值，可判斷①正確；由正切函數的對稱中心可判斷②錯誤；由余弦函數的對稱軸特點可判斷③正確；由同角三角函數基本關系式和輔助角公式、二倍角公式和誘導公式，化簡可得所求值，可判斷④正確．【詳解】①，故①正確；②函數的對稱中心為，，則圖象不關于點對稱，故②錯誤；③函數，由為最小值，可得圖象的一條對稱軸為，故③正確；④，故④正確．【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質應用以及三角函數的恒等變換，意在考查學生的化簡運算能力．15、15【解析】

由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，同時利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據最大角的余弦值，得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【詳解】根據題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，∴A為最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c?3)(解得：c=3或c=?2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，則△ABC的面積S=12bcsinA=15故答案為：153【點睛】余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+16、0.72【解析】

根據對立事件的概率公式即可求解.【詳解】由題意，在該產品中任抽一件，“抽到優(yōu)質品”與“抽到合格品或次品”是對立事件，所以在該產品中任抽一件，則抽到優(yōu)質品的概率為.故答案為【點睛】本題主要考查對立事件的概率公式，熟記對立事件的概念及概率計算公式即可求解，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）445米；（2）在弧的中點處【解析】

（1）假設該扇形的半徑為米，在中，利用余弦定理求解；（2）設設，在中根據正弦定理，用和表示和，進而利用和差公式和輔助角公式化簡，再根據三角函數的性質求最值.【詳解】（1）方法一：設該扇形的半徑為米，連接.由題意，得(米)，（米），在中，即，解得（米)方法二：連接，作，交于，由題意，得（米），（米），，在中，.（米）..在直角中，（米），（米）.（2）連接，設，在中，由正弦定理得：，于是，則，所以當時，最大為，此時在弧的中點處．【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理的實際應用，結合了三角函數的化簡與求三角函數的最值.18、（1）（2）【解析】

（1）根據示意圖，計算出第階段、第階段生長的高度，即可求解出第階段“黃金數學草”的高度；（2）考慮第偶數階段、第奇數階段“黃金數學草”高度的生長量之間的關系，構造數列，利用數列求和完成第階段“黃金數學草”的高度的計算.【詳解】（1）因為第一階段：，所以第階段生長：，第階段的生長：，所以第階段“黃金數學草”的高度為：；（2）設第個階段生長的“黃金數學草”的高度為，則第個階段生長的“黃金數學草”的高度為，第階段“黃金數學草”的高度為，所以，所以數列按奇偶性分別成公比為等比數列，所以.所以第階段“黃金數學草”的高度為：.【點睛】本題考查等比數列以及等比數列的前項和的實際應用，難度較難.處理數列的實際背景問題，第一步要能從實際背景中分離出數列的模型，然后根據給定的條件處理對應的數列計算問題，這對分析問題的能力要求很高.19、（1）選擇C；（2）第4或第5年.【解析】

（1）根據已知求出三種樹木六年末的高度，判斷得解；（2）設為第年內樹木生長的高度，先求出，設，則，．再利用分析函數的單調性，分析函數的圖像得解.【詳解】（1）由題意可知，A、B、C三種樹木隨著時間的增加，高度也在增加，6年末：A樹木的高度為（米）：B樹木的高度為（米）：C樹木的高度為（米），所以選擇C樹木．（2）設為第年內樹木生長的高度，則，所以，，．設，則，．令，因為在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數，所以當時，取得最小值，從而取得最大值，此時，解得，因為，，故的可能值為3或4，又，，即．因此，種植后第4或第5年內該樹木生長最快．【點睛】本題主要考查等差數列和等比數列求和，考查函數的圖像和性質的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于難題.20、(1);(2)【解析】

（1）由，可得，，，．根據、、成等差數列，、、成等比數列．可得，，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：，可得，分別利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．【詳解】（1），，，，．，，成等差數列，，，成等比數列．，，，，，