高考數(shù)學(xué)23個(gè)求極值和值域

23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}

1、求函數(shù)/（*）=x+&-3x+2的值域.

2、求函數(shù)/（X）=Jx+27+J13-x+Vx的值域.

3、求函數(shù)/（*）=4-5+y]24-3x的值域，

Z-z、\X2+1

八/（*）=----------

4、求函數(shù)x-1的值域.

-、2x2+bx+c

/（x）=

5、已知函數(shù)x2+1（其中A<0）的值域是M，3],求實(shí)數(shù)4c.

/+2+/

,f（y7j—__________

6、已知：為正實(shí)數(shù)，且x+y+z?a，z,求函數(shù)xyz的最

小值.

7、已知：2/+3燈+2/=7,求：/（x,y）=x+y+到的最小值.

〃'一12J3

J（X）-------XH-------r-1

8、設(shè)函數(shù)22在區(qū)間M,村的最小值為2a,最大值為25,求區(qū)間

la,b]_

22

9、已知：x+y=25f求函數(shù)/(招y)Z8y-6x+50+18y+6x+50的最大值.

10、求函數(shù)：f(x)=Jx2+2x+10+』x2+16X+68的最小值.

f(x)=~x2~X

11、求函數(shù)：，2-4x+4的值域.

r+包+至=/?2.x2.x3_

12、已知實(shí)數(shù)叼，比2，巧滿足,/23—和/2~T~，求巧的最小值.

13、求函數(shù)：/(*，7)=(1一刃2+(工+^_3)2+(2*+,_6)2的最小值.

14、已知：卜+1+仆-2=5,求函數(shù)：/(x,y)=*+p的最小值.

22

x.yi

15、已知點(diǎn)P(x，＞)在橢圓49—上，求/(x,y)=2x-y的最大值.

16、求函數(shù)：f(x)=d2+x+18-3x的值域.

f(x)=l+—+\lx2+2x+2

17、求函數(shù)：2的值域.

18、求函數(shù)：

/(x)=Vl+sinx+y/1-sinx+VJ+sinx+j2-sinx+Vi+sinx+，3-sinj

的最大值.

1

x：(i=1,2,3,…,2003)

19、設(shè)：''為正實(shí)數(shù)，且滿足

歷+匹+...+7X2^5=2003

試求：y=y)xl+x2+\lx2+x3+…+yJx2002+x2003+yJx2003+X1的最小值,

222

20、已知x，>，Z為正實(shí)數(shù)，且滿足I+xI+J'7+Z

f(x,y,z)=------y+------y+------7

求：I+x1+y1+z的最大值.

/(a)=(7+^-)(7+-)

21、設(shè)a為銳角，求：sinacosa的最小值.

22、設(shè)。為銳角，求證：2a<sina+tana.

xy+2yz.VJ

----------------\-----

222―)

23、已知x，J，Z為正實(shí)數(shù)，求證：x+J+Z/.

23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}解析

1、求函數(shù)/(*)=X+&-3、+2的值域.

解析：函數(shù)/⑴=*+—3*+2=x+J(*—1)(*—2)的定義域?yàn)?

(-00,2]u[2,+00)

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:

即：函數(shù)/(X)在xe(—8,1］區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，故：/(x)>/(7)=7.

f(x)<lim/(x)=limf(-x)

xf—gx—>+oo

22

2(x+3x+2)-(x)

lim(\lx+3x+2-)=lim

xf+8XT+8yjx2+3x+2+

2

3+2

X

lim%+2=lim

X^+QOy]x2+3x+2+y]x2xf+82

XX，

故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是

3

X—

>0

3

s、x—>0

⑵當(dāng)xe[2,+00)時(shí)，2,貝！j

即：函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故：

/(X)xe[2,+oo)f(x)>f(2)=2t

f(x)<limf(x)=lim(yjx2+3x+2+x)=+oo

xf+8x—>+00

故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是[2,+8).

禺：)U2+8)

綜上，函數(shù)的值域是2

本題采用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的增減，此法稱為“單調(diào)性法”.

2、求函數(shù)?(*)=Jx+27+J73-x+&的值域.

解析：函數(shù)/(X)的定義域是：xe[0,13].待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.

設(shè)：則柯西不等式為：

A,B,C>0t

[(A/IZJ*+27)~+(VJBV13—+(Vc][―+—+—]>f~(x)

f2(x)<[(A-B+C)x+(27A+735)][二+4+口

即：ABC

令：即：

A—B+C=01B—A+C①

由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得：

Ay/x+27=c4x②B'J13-x=CA/X③

x+27_C227_C2-A227A2

由②得：xA2,即：xA2,即：C2-A2④

271

將①④代入③得:C2-A2

即：(N+C)2(13C2-13A2-27A2)=27A2C2

2222即

即(A+C)(13C-40A}=27^C

試解⑤，由于27=3x3x3,則⑤式剛好也是3項(xiàng)相乘，不妨試解采用各項(xiàng)都是3.

3

旦_9=3

貝（且.則：

I：A+C=3,/2c2A=1c=2,B=3

27A227c

X—-------------------=y

代入④得：。2一即*=9時(shí)函數(shù)取得極大值.

函數(shù)極大值為/（*=9）=反方+W+J^=6+2+3="

⑴當(dāng)xG[0,9]時(shí)，函數(shù)/（X）在本區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù).故：

f{x}>f（0）=427+413+40=343+413

即：函數(shù)/（龍）在xe[〃，丹區(qū)間的值域是[3+413,11]

⑵當(dāng)xe[9,13]時(shí)，函數(shù)/（x）在本區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).故：

f{x}>f（13）=^13+27+^13-13+413=440+413=2410+413

即：函數(shù)/（X）在XW[9,13]區(qū)間的值域是[2410+413,11]

綜上，函數(shù)，（x）的值域是13行+

本題采用“待定系數(shù)法”、“柯西不等式”和“單調(diào)性法”.

求函數(shù)的值域.

3,/（*）=5+d24-3x

解析：函數(shù)/（X）的定義域是：xe[5,8].待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.

設(shè)：則柯西不等式為：

[（4Ay/x-5）2+{4By]24-3x）21[^+之f2（x）

即f2(x)<[(A-3B)x+(-5A+24B)][-+-]

令：A-3B=0,即：A-3B①

由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得：A4^=Bd24-3x

②

x-53B2

即：A2{X-5)=B2{24-3X)即：8-xA2,即：

x~5+8—x3B^+

8-xA2

33B2+A23A2?3A2

-=--------1oo-x=-------x=8---------------

即：8-xA2,即：3B2+A2,即：3B2+A2③

27B227923

x=8----------------=8o------=oo=—

將①式代入③式得：3B2+9B21244

23

X-.....

當(dāng)一4時(shí)，函數(shù)/(X)達(dá)到極大值.極大值為：

4

,()13d24-3x-3飛x-5

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：2y/x-52d24-3x2slx-5^24-3x

*e[5,芻

⑴當(dāng)’4區(qū)間時(shí)，/'(x)<〃，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增.故：

f(x)>/⑸=0+^24-3-5=3

即：函數(shù)/（X）在本區(qū)間的值域是13,2JJ].

[—,8],

⑵當(dāng)xG"4’區(qū)間時(shí)，/'（*）＞〃，函數(shù)/（X）單調(diào)遞減.故:

f（x）＞f（8）=^8-5+0=43

BP：函數(shù)/（X）在本區(qū)間的值域是[仃，2百].

綜上，函數(shù)/（X）的值域是[b，2療].

本題采用“待定系數(shù)法”、“柯西不等式”和“單調(diào)性法”.

4、求函數(shù)x-1的值域.

解析：函數(shù)/（X）的定義域是：*e（-oo,J）U（I,+8）.則函數(shù)/（x）為：

/⑶=二=土卜+[=土Jg（W

Y（x-1）（當(dāng)x＜7時(shí)取負(fù)號(hào)，當(dāng)時(shí)取正

號(hào)）

于是函數(shù)的極值在：g'（x）=。

2(x-1)*+/)—2x(x-

——-―-[(x2+/)-x(x-l)]=0

4(X—1)3

即:(x-J)

即：（X2+1）_雙*_1）=〃，即：x^-1

⑴在*e（一*T）區(qū)間，函數(shù)/（X）的極值為:

在區(qū)間的邊界有：

lim/(x)=lim(-JX+1)=lim(-

X-—8x—>-00(x—Jyx—>-00

5

/口

f—QQ------I

故：函數(shù)/(X)在該區(qū)間的值域是'2

liraf(x)=lim(-IX+\)=

XflVU-7)

x2+l2x

/(x)=2+---------j

⑵在xe(7,+8)區(qū)間，函數(shù)(X-I)(*—1),為單調(diào)遞減函數(shù).

丁+7、

f(x)<liraf(x)=lim(--------7)=+00

XTIX->12

故有：(v-7)

/(x)Nlim/(x)=lim(1^+；)=lim(/+

x—>+<x)x—>4-00VC—)”X—>+ooM

故：函數(shù)/(X)在該區(qū)間的值域是(1，+°°).

VJ

f(\(一00,——]U(A+°o)

綜上，函數(shù)/(*Y)的值域是2.本題方法屬“單調(diào)性法”

“、2x2+bx+c

/(x)=---------------

5、已知函數(shù)x+1(其中〃<。)的值域是M，31,求實(shí)數(shù)〃,c.

解析：函數(shù)的定義域?yàn)閤wA.

將函數(shù)變形為：Mx?+7)=2/+6x+c,即：(2-y)x2+bx+(c-y)-0

其判別式不等式為：4=產(chǎn)—4(2-y)(c-y)=(b2-8c)+4(2+c)y-4y2>0

[^)2-2c]+(2+c)y-y2>0

即：2①

2

而函數(shù)/(x)的值域是口，31,gp.(y-l)[3-y)>0)ap：-3+4y-y>0

②

(2)2_2c=-3(-)2=1

對(duì)比①②兩式得：c=2,2，即2，因辦<。，故：方=一2

故:實(shí)數(shù)分=-2,c=2.此法稱為，，判別式法”.

〃\/+/+42

riV1??)=---------------

6、已知：x，y，z為正實(shí)數(shù)，且x+y+zNwz,求函數(shù)''xyz的最

小值.

解析：首先設(shè)x=y=z=",代入x+y+z=\FZ得：3a=a3,即：“=貝人

X2+.2+j>'-+—+[丫

⑴當(dāng)?shù)絲=36時(shí)，由均值不等式即：313J

得:

6

22

，+/+/>(稗)2=空=0

f(x,y,z)=

則：xyz3xyz3

22

x+y+z->^xyz)2

⑵當(dāng)孫Z<3行時(shí)，由均值不等式“〃2G”，即:

3得:

x2+y2+z2>3yJ(xyz)2

Y+/+g2>3,(孫N)233

f(x,y,z)=>=43

xyzxyz一型)，(如3

則：

2

222(X+y+Z)

x+y+z>

⑶當(dāng)個(gè)z>3jj時(shí)，由均值不等式2〃24

BP：3

22

222(X+y+Z)

、x+y+z>>^-

代入已知條件*+夕+%2叼Z,得：33

/(”,%)=/+■/+/2同=莊

貝U：xyz3xyz33

\x2+y2+

rivV7)=------------------------

故：由⑴、(2)、⑶得，''孫’的最小值是行.

本題先確定盯4=均值，然后在孫Z>均值和沖Z<均值下求極值.此法稱為“分別討

論法”.

7、已知：2/+3叼+2/=7,求：/(招7)="+>；+沖的最小值.

解析：由已知條件2/+3盯+2/=7得：xy=2(x+y)2-l

代入/(x,y)=x+y+沖得：/(x,y)=N=x+y+q=x+y+2(x+y)2—7

即：2(x+y)2+(x+y)_(7+%)=0

令：t=x+y,則方程變?yōu)椋??+f_(7+N)=0

19

(7+z)>—z2—

采用判別式法得：/=r+42(7+4)20,即:8,即：8

9

故：f(x,y)^x+y+xy的最小值是?.此題采用的是“判別式法”

/+至

8、設(shè)函數(shù)22在區(qū)間[外川的最小值為2。，最大值為2A,求區(qū)間

[a,b]

解析：首先，/(X)是一個(gè)偶函數(shù)，在(一叱°)區(qū)間單調(diào)遞增，在(0,+°0)區(qū)間單調(diào)遞減.

7

⑴當(dāng)〃<4<〃時(shí)，/（X）為單調(diào)遞減函數(shù)，即：/（。）>/（/）.

故：/（“）是最大值為2。，/e）是最小值為2a.即：

1,13

/⑷=1+2辦

<//\a2+4b-13=0

/（b）=----/H-----=2d,2Jjjn

I22即3+4a-13=0（

（*）兩式相減得：（/—“）一式"方）=0,即：a+b=4①

則：（a+A）2=76,gp.（a2+b2）=16-2ab②

（*）兩式相加得：（/+*）+4（“+”）=26

將①②式代入后化簡(jiǎn)得：ab=3③

由①③得：a=l,〃=3.則區(qū)間回為口,3].

f（0）=—b^—

⑵當(dāng)“<〃、〃>〃時(shí)，/（X）的最大值是2,即：2.

1213

i.若間>何，則/（X）的最小值為：22,

即：a2+4a-13^0,解之及“<〃可得：a^-2-417,

rA][—2—vjy]

故此時(shí)區(qū)間la，加為4.

II以1,/、f(b)=—b2T------2a

ii.若同<何則/(口的最小值為：22,

1,131J3、21313,,13、13339

a=—b24----=—(—)H-----=—(7------)=---------=—

即：44444416416649

貝！]：〃.不符合題設(shè)，即此時(shí)無(wú)解.

⑶當(dāng)“<3<。時(shí)，由/(X)是一個(gè)偶函數(shù)可得：/(?)<,故：

/(,)是最小值為2a,/(〃)是最大值為2〃，即：

113

/(?)=--?7+—=2a

<2'a2+4a-13=0

113

/(')=—b7H----=2b,2jrz)/)

I22Bp：[b+4b-13=0

則：名方為一元二次方程*2+4*-13=〃的兩個(gè)根,

Qtb二-4

<

由韋達(dá)定理得：[“'=73,貝岫茄=一73得:

a，b異號(hào),不符合題設(shè)，即此時(shí)無(wú)解.

8

[_2-V/7,一]

綜上，區(qū)間[“，用為[1，引或’4.本題采用“分別討論法”和“極值

法”.

9、已知：/+/=25,求函數(shù)/(招：)=弧―6x+5〃++6x+5〃的最大值.

解析：由d+/=25可知，函數(shù)/(%，7)的定義域是：*e[-5,5],je[-5,5]

有均值不等式即：

8y—6x+50+大8y+6x+50/Q8y-6x+50)2+Q8y+6*+5〃)?

—2-V2

f(x,y)<2xl

BP：v2

即.f(x,y)<2^8x5+50=6410

當(dāng)y=5時(shí)，X=O,f{0,5)=6410f即可以取到不等式的等號(hào)。

故：函數(shù)/(冬7)的最大值是6工".本題采用An^Qn,稱為“均值不等式”.

10、求函數(shù)：/(*)=&2+2x+1〃+J十2+16*+68的最小值.

解析：函數(shù)

f(x)=>lx2+2x+10+\lx2+16x+68=y!(x+l)2+32+^(x+8)2+22

其定義域?yàn)椋簒wR

令：而=(—(x+7),3),n=(x+8,2)

貝卜同=J(x+7)2+32,間=J(x+8)2+(2,m+n=(7,5)

于是.f(x)=|m|+|?|>\ih+n\=\l72+52=449+25=474

-(x+1)3

當(dāng)成//萬(wàn)時(shí)，x+82,即：3(x+8)+2(*+1)=。，

26

x-------

即：5x+26=0,則：5

<2+52=449+25=474

所以，場(chǎng)是可以取到的.故/（X）的最小值是場(chǎng).

9

正是由于血//歷時(shí)，函數(shù)/(")={(x+lY+32±'@+8)2+2~取到極值，所

以有人總結(jié)出此類題的解法用血〃歷來(lái)解，即設(shè)成=幾力，代入玩=(-(x+7),3),

/=(x+8,±2)后得:

th=(―(x+7),3)=A(x+8,±2)=(Ax+84,+22)

A=±-

—x—1—Ax+8A,2

即:3=±22即：?+7)x=_84_7,

8A+1+12+1±24+2

x=----------=------------=------------

"±3+1±3+2-=一型

即：2，即：5,叼=一22

這兩個(gè)結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于/(X)=+2x+10+^Ix2+16x+68的極小值

《x?+2x+10—\+16x+68

和/(*)=的極大值.

本題采用的是“向量法”.

11、求函數(shù)：x—4*+4的值域.

解析：先求函數(shù)的定義域.定義域?yàn)椋?豐2

本題采用判別式法解題.

由-—4*+4等價(jià)變形為：yx2-4yx+4y=x2-x

即：(7—j0x2+(<y—7)x-4>=。

式上面方程有解得判別式是：/=-1),+4?4y(l-y)>0

7

即：=^y2-8y+1+16y-16y2=8y+l>0即：‘一8

2

Ax-xj

--------[--,+oo)

故：函數(shù)*-4*+4的值域?yàn)?.此法稱為“判別式法”

本題亦可以采用換元法和配方法來(lái)做.

令：t=x-29貝x=t+2

于是:

10

t----4—_2__1

當(dāng)3時(shí)，即：當(dāng)3時(shí)，/（X）達(dá)到極小值8.此法就是“換元配方法”.

*+攵+至=/#+反+嬉=3

12、已知實(shí)數(shù)與戶2,七滿足23和23求巧的最小值.

22

勺+衛(wèi)斤+紅=3-乜

解析：由已知得：23①23②

x2jx

則由柯西不等式得：（巧+2）。+萬(wàn)）2（巧+2）③

將①、②代入③得：M一?”一￡）2

即：9(9-xj)>2(3-x3)\即：81-9xl>2xl-12x3+18

gp.~^x3-63<0④

其判別式為：A=(-12)2-411(-63)=4-62+117-62=92-62

12+69

故：方程等號(hào)下的兩根為:

21/

*3G[r-77,3]

則：11

根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件得：X1="2

&=7-區(qū)+&）=1-'

X3=3(1-

代入①式得：322,即:

&=3-(x；+當(dāng)=3(1-當(dāng)X：=9(1-

代入②式得：322,即：3⑥

由⑤⑥兩式得：9（1~，r）,即V=(1—

2

gp：(2-3x1)=(4-2xj))即：4-12x1+9xj=4-2xj

0

X112

：即:即：

gp11x1-12x2=0(11X1-12)X1=0,J1

則：⑴與=*2=。，此時(shí)：*3=3；此為最大值.

12311、312、18、21

X

「8=77,3=3(l--)=3(l-i-)=3(l--)=--

21

所以，無(wú)3的最小值為〃.此題解法為“柯西不等式”.

11

222

13、求函數(shù)：/(x，7)=(1_>)+(*+>-3)+(2x+y-6)的最小值.

解析：待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.

設(shè)：A,B,CeR,則柯西不等式為：

[(1-y)2+(x+y-3V+(2x+y-6)2][A2+B2+C2]

2[N(I-y)+B[x+y-3)+C(2x+y-6)f=g(x,y,z)

即：y,z)[A2+B2+C2]>g(x,y,z)①

則：g(x,y,z)=[(A-3B-6C)+(B+2C)x+(-A+B+C)y]2

令：B+2c=0,(-A+B+C)=O貝jj：B=-2C,

A=B+C=-2C+C=-C

故：設(shè)C=l,貝jj：A=-l,B=-2,A2+B2+C2=l+4+l=6②

則：g(x,y,z)=(A-3B-6c『=(-7+6-6)"=J③

(X

f(X,y,^f^2=i

將②、③代入①得：Az+Bz+Cz6④

1-y_x+y-3_2x+y-6

柯西不等式①中，等號(hào)成立的條件是：A~B~C

y-1=——(x+y-3)=2x+y-6=kk+1

即：2則：y=

則：即：

―3(X+”3)=2X+J-6,3.x_y=4x+2y-i2

_-3k+12

即：5x=-3y+15=-3(k+1)+15=-3k+12(即：*=~~J-

-3k+12一6k+24

?V=-----------+A+1-6=k

將y=A+7和5代入2x+y_6=A得:5

k=___

即：一6k+24=25,即：6

-3k+12，+12255

—+1=:

于是：當(dāng)“二「^"丁"拓二萬(wàn),

66時(shí)，柯西不等式④

中，等號(hào)成立.

222—

即./(x,『)=(1一>)+(x+j-3)+(2x+y-6)的最小值是6.

本版系“待定系數(shù)法”用于“柯西不等式”.,

12

14、已知：y/x+i+s/y-2=5,求函數(shù)：/(x,v)=x+>的最小值.

解析：函數(shù)/(X，7)的定義域?yàn)椋簒e-A+g),je[2,+oo)

由均值不等式即：

'Jx+l+y/y-2/(Vx+1)2+(y]y-2)2_lx+y-J

2-v2=

x+y-l>'yjx+l+Jy_2_(5V_25

?2-2~{2)-T

得：v7v7

2527

x+y-l>—f(x,y)^x+y>—

即：2,貝ij：2

I~~7I~~-52133

A/X+J=Jy-2——x=——y———

當(dāng)72時(shí)，即：4、，4時(shí),

27

故：函數(shù)/（心團(tuán)的最小值是2.此法采用“均值不等式法”.

二+匕=1

15、已知點(diǎn)尸（X，歹）在橢圓49上，求/（x，V）=2x—J的最大值.

解析：函數(shù)/（羽7）的定義域?yàn)椋?e[—2,2],ye[-3,3]

(2x-y)2<(-)2+(f)24?+(—3)2=L52=52

由柯西不等式得：L2J」L

即:\2x-y\<5即：f(x,y)=2x-ye[-5,5]

由柯西不等式的等號(hào)成立的條件得：8-9,即：29

*2/76//%/+52

-------1-------=/-------------1----------/----------------------=/

代入49得：819,即：81,即:

98y_8

y=±-x=-------=+—

則：5,于是，95

所以，函數(shù)/@，例=2*一『的最大值是5.此法是用“柯西不等式”.

本題也可以采用“權(quán)方和不等式”

13

*22刈2a*—2

(2(_44{2x-y)

±—----1-------------1--------N-----------------------

4916916+952

即：|2x-小5,即：f(x,y)=2x-ye[-5,5]

此法為“權(quán)方和不等式”.

16、求函數(shù)：/(x)=」2+X+18-3X的值域.

解析：函數(shù)/(X)的定義域是：3.

待定系數(shù)法用于柯西不等式來(lái)解本題.

設(shè)：A,B>O,則柯西不等式為：

[(4Ay/2+x)2+(4B^8-3X)2][—+-]>(j2+x+j8—3x)2=f\x)

AB

即：

f2(*)<W+x)+B(8-%川二+4]=[(2A+8B)+(A-3B)x][^-+

ABN6①

令：A-3B=0,貝[j：A=3B②

由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得：

即：22

A^2+x=B^8-3xtA(2+x)=B(8-3x)t

8B2-2A2

即：+3B2)x=8B2-2A2則：+3B2③

8B2-18B2105

X=----------------=------=

將②代入③得：9B2+3B2126

XG[—2,----]//、

⑴在6區(qū)間，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故：

f(x)>/(-2)=72+(-2)+--3Q2)=414

2442

[414,

于是，函數(shù)/（X）在該區(qū)間的值域是3

⑵在63區(qū)間，函數(shù)/（X）單調(diào)遞減，故：

/⑴》/（$=即1+?用=E"浮

尸2丐

于是，函數(shù)/（X）在該區(qū)間的值域是3'3

14

^422呵

綜上，函數(shù),(X)的值域是3'3.

此法為“待定系數(shù)法”用于“柯西不等式”，最后用“單調(diào)性法”得到值域.

f(x)=1+—+\lx2+2x+2

17、求函數(shù)：2的值域.

f(x)=1+~+\lx2+2x+2

解析：函數(shù)2的定義域是：xeA.本題采用判別式法.

y=f(x)-1=—+\X2+2X+2

令:'2①

y~~^=^lx2+2x+2>0

則:②

-x2,

(J-4)2=x2+2x+2y—yxH-----x+2x+2

即:2,即?4

)

#+(2+j)x+(2-/=0

即:4

A=(2+y)2-4-(2-y2)=4y2+4y-2>0

由③的判別式得:'4'

2121113/I、2,C、2

y'+y^—y+y+m=i,即j>3)叮

即：2,即:

143

y+—>—y+L“叵"+叵yJ.叵

故:2或22,即：’22或’22

y-^>0”二+電

由于②式即2的條件必須那滿足，故22

乙、八"行、

/(x)=y+7>--------、J[--+--V-J-,+oo)

此時(shí),2，函數(shù)/(X)的值域?yàn)?.此法為“判

別式法”.

18、求：

/(x)=y/1+sinx+s/1-sinx+y/2+sinx+:2-sinx+-J3+sinx+:3-sinx的

最大值.

解析：由均值不等式44°”得：

Jl+sinx+Jl-sinx<(1+sinx)+(I-sinx)_j

22―

V2+sinx+v2-sinx(2+sinx)+(2-sinx)=V2

2

J3+sinx+J3—sinx(3+sinx)+(3—sinx)

22-

15

所以,兩邊相加得：/(x)?2(I++

在x=0時(shí)，/(0)=2(I+JJ+JJ),即不等式的等號(hào)可以取到.

故：/(x)的最大值為2(1+0+行).此法為“均值不等式”.

x：(i=7,2,3,…,2003)

19、設(shè)：'為正實(shí)數(shù)，且滿足

x2003=2003

y=y/xj+x+ylx+xxxX

試求:223+…+'X2QO2+2003+V2003+1的最小值.

宿臣扃禍2口。。2廣。03^yJx2002+x2003

x

yl2003+7^7-2；2,二=42^X2003+X1

不等式兩邊分別相加得^________________________________

2(歷+歷+…+ylx2003)4G(Jx/+X2+…+dX2002+X2003+^X2003+'

即：y>42x2003=2003^2

當(dāng)打=必=?“=必003=7時(shí)，y=200342>即不等式的等號(hào)可以取到.

故：)的最小值是2〃。3e.此法為“均值不等式”.

222

222

20、已知x，J，Z為正實(shí)