2023-2024學年湖南省邵陽市新寧縣三鄉(xiāng)鎮(zhèn)聯(lián)考九年級（下）月考數(shù)學試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學年湖南省邵陽市新寧縣三鄉(xiāng)鎮(zhèn)聯(lián)考九年級（下）月考數(shù)

學試卷（3月份）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.如圖，已知矩形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=2,EC=1,

AE=BC,DF1AE,垂足為F.下歹U結(jié)論：①△ADFgAEAB；@AF=

BE；③DF平分“DC；④siMCDF=|淇中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，在AaBC中，4ACB=24B,CD平分乙4CB,AD=2,BD=3,貝!MC

的長為（）

A.3

B.>A10

C.4

D.273

3.《幾何原本》里有一個圖形：在ATIBC中,D,E是邊4B上的兩點（4。＜4E）,且滿足4D=BE.過點D,

E分別作的平行線，過點。作4C的平行線,它們將△ABC分成如圖的5個部分，其面積依次記為Si，52,

S3,S*S5.^S2=18,S3=6,則S4的值為()

A.9B.18C.27D.54

4.如圖，在RtAABC中，/.ACB=90°,CE是斜邊4B上的中線，過點E作￡T1AB交4C于點F.若BC=4,

△4EF的面積為5,貝UsinNCEF的值為（）

.3D.等

A-5B￥

5.如圖，在正方形4BCD中，E是對角線BD上一點，且滿足BE=BC.連接CE并

延長交2D于點F,連接4E,過B點作BG1AE于點G,延長BG交4D于點”.在

下列結(jié)論中：①BH垂直平分4E；@AH=DF；③DF=DE；④乙4EF=

45°;⑤S四邊施FHG=SXDEF+S4AGH,其中正確的結(jié)論有個.（）

A.2B.3C.4D.5

6.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ZOBD的邊。B與％軸的正半軸重合，AD//OB,DBlx軸，對角線

AB,。。交于點M.已知4D:0B=2:3,△AMD的面積為4.若反比例函數(shù)y=5的圖象恰好經(jīng)過點M,貝狄的

值為（）

A.yB.yC.yD.12

7.已知4（X1，為）、8（切,無）兩點在反比例函數(shù)y=斗與0>0）的圖象上，下列三個命題：其中真命題個數(shù)

是（）

①若與=久2，則％=丫2；

②若=2019,外=2020,則y1>y2;

③過/、8兩點的直線與％軸、y軸分別交于C、。兩點，連接。4、OB,則SMOC=S"0o,

A.0B.1C.2D.3

8.如圖，在平面直角坐標系中，菱形4B0C的頂點。在坐標原點，邊BO在x

軸的負半軸上，NBOC=60。，頂點C的坐標為反比例函數(shù)y=g

的圖象與菱形對角線4。交。點，連接當DBlx軸時，k的值是()

A.6<3

B.-6/3

C.12<3

D.-1273

9.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(6>

a)

以及實數(shù)久(0<%V1)確定實際銷售價格c=a+%(b-a),這里%被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂觀

系數(shù)計合好使得?=不，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)》的值等于()

10.某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團的人數(shù)比例.若該校上、

下學期的學生人數(shù)不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？()

舞蹈社溜冰社魔術(shù)社

上學期345

下學期432

A.舞蹈社不變，溜冰社減少B.舞蹈社不變，溜冰社不變

C.舞蹈社增加，溜冰社減少D.舞蹈社增加，溜冰社不變

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.如圖，在菱形中，過點。作。E1CD交對角線北于點E,連接BE,點P是線段BE上一動點，作P

關(guān)于直線DE的對稱點P',點Q是AC上一動點，連接P'Q,DQ.若AE=14,CE=18,則DQ-P'Q的最大值

為

D

12.如圖1,在線段4B上有一點E,若喘=器，則我們稱E為4B的黃金分割點.如圖2,正方形PQMN的邊

/iD/{L

PQ上有一點。，連接ON,延長OP至點G,使得OG=ON,以PG為邊在正方形PQMN的上方作正方形

PGKH,若PQ=4,H是PN的黃金分割點，過點。作，ON交QM于點/,貝口翻。/的值為

AEB

圖1圖2

13.如圖，在正方形A8CD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，AE1EE有下列結(jié)論:

①NB4E=30°；②射線FE是NAFC的角平分線；@AE2=AD-AF-,@AF=AB+CF.其中正確結(jié)論為

是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

14.如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點重合于點C,點。在48上,

ABAC=/-DEC=30°,AC與DE交于點F,連接4E,若BD=1,AD=5,貝!J

CF

~EF=-----------*

15.如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC,點P(l,2),作APQR,使APQR與△力BC相似，以Q、R點必

須要格點上______.(不寫作法)

16.若線段a,b,c滿足關(guān)系￡=2=I，則a：b：c=.

b4c5

三、解答題：本題共5小題，共40分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

在如圖的方格紙中，AOAB的頂點坐標分別為。(0,0)、4(—2,-1)、△。送1位與△(MB是關(guān)于

點P為位似中心的位似圖形.

(1)在圖中標出位似中心P的位置，并寫出點P及點B的對應點名的坐標；

(2)以原點0為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出404B的一個位似△。乙外，使它與△。4B的位似比為2：

1,并寫出點B的對應點殳的坐標；

(3)A。48的內(nèi)部一點用的坐標為(/6),寫出〃在4。44中的對應點知2的坐標.

18.(本小題8分)

如圖，4B為O。的直徑，C是圓上一點，。是前的中點，弦DE14B,垂足為點F.

(1)求證：BC=DE；

(2)P是端上一點，AC=6,BF=2,求tan/BPC；

(3)在(2)的條件下，當CP是〃CB的平分線時，求CP的長.

19.(本小題8分)

在矩形4BCD中，AB=2,4D=2門，點E在邊BC上，將射線4E繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)90。，交CD延長線于點

G,以線段4E,4G為鄰邊作矩形2EFG.

(1)如圖1,連接BD,求NBDC的度數(shù)和品的值;

(2)如圖2,當點F在射線8。上時，求線段BE的長;

⑶如圖3,當E4=EC時，在平面內(nèi)有一動點P,滿足PE=EF,連接PA,PC,求P4+PC的最小值.

20.(本小題8分)

問題提出

如圖(1),在AABC中，AB=AC,。是4C的中點，延長BC至點E,使DE=DB,延長ED交于點尸，探

究空的值.

問題探究

(1)先將問題特殊化.如圖(2),當NB4C=60。時，直接寫出警的值;

AD

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

如圖⑶，在△ABC中，AB=AC,。是"的中點，G是邊BC上一點，第="n<2),延長BC至點E,使

DC71

DE=DG,延長ED交4B于點F.直接寫出黨的值(用含n的式子表示).

21.(本小題8分)

如圖1,在等腰RtAABC中，AB=BC,D是BC的中點，E為邊力C上任意一點，連接DE,將線段0E繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。F,連接EF,交4B于點G.

(1)若=6,AE=V_2,求ED的長；

(2)如圖2,點G恰好是EF的中點，連接求證：CD=^2BF.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???四邊形—是矩形,

AD=BC,AD]IBC,4B=90。,

???BE=2,EC=1,

AE=AD=BC=3,AB=AE2-BE2=/5,

???AD][BC,

???Z-DAF=乙AEB,

DF1AE,

???/-AFD==90°,

：.LEAB^LADF,

AF=BE=2,DF=AB=6,故①②正確，

不妨設(shè)DF平分乙4DC,則△ZDF是等腰直角三角形，這個顯然不可能，故③錯誤，

???ADAF+Z-ADF=90°,乙CDF+2LADF=90°,

.??/-DAF=乙CDF,

???(CDF=乙AEB,

???sinzCDF=sinzXEB=苧，故④錯誤，

??.正確的結(jié)論有①②.共2個.

故選:B.

根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△EAB/AADF,4CDF=4AEB,利用勾股定理求出力B,然后逐一進行判斷即可解

決問題.

本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題

的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.【答案】B

【解析】解：過。點作DE1ZC于E點，。尸18。于尸點，如圖,

???CD平分立ACB,

???Z-ACB=2/.ACD,

???Z-ACB=2/-B,

Z.ACD=乙B,

CD=BD=3,

???CD平分立ACB,DE1AC,DF1BC,

DE=DF

,,^KCAD'S^CBD=4°：BD=2：3,

1123

2-2-

AC：BC=2：3,

設(shè)AC=2%,BC=3x,

???DB=DC,

13

...CF=BF=”C=|x,

在Rt△CDE^Rt△CDF中，

(CD=CD

yDE=DF9

???Rt△CDE^Rt△CDF(HL),

3

...CE=CF=|x,

1

???AE--x,

???DE12=DA2-AE2=CD2-CE2,

22-(1%)2=32-(|%)2,解得％=

AC=AA10.

故選：B.

由角平分線的定義得到乙4cB=2乙4CD,再證明N4CD=NB,CD=8。=3,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

DE=DF,接著利用面積法證明AC：BC=2：3,則設(shè)AC=2x,BC=3x,CF=|x,然后證明也△

31

XX

CDE^Rt△CDF得至UCE=CF2-所以4E2-利用勾股定理得到22-?久產(chǎn)=32-（|%）2,解得

%=丫型，從而得到ac的長.

本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩

邊的距離相等，并靈活運用.

3.【答案】c

【解析】解：如圖，連接GF,

.EH_DE_DE_DH

~HGf

???乙DHE=乙GHF,

.?△DHEs〉GHF,

.S^DHE_,DH、2

??S^GHF一，

S2—18,S3=6,

,DH_3_1

?,詬—T'AHGF-”3'

???S^DHE=（,2x3=27,

則S4的值為27.

故選：C.

連接GF,證明△DHESAGHF,可得等匪=（捐尸，進而可得S4的值.

b^GHFHG

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)直

角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE=AE=BE=進而得到NBEC=2乙4=N8FC,從而有

乙CEF=ABF,根據(jù)三角形的面積公式求出4F，即得BF,在RtABCF中，求出CF,證明NCEF=

乙FBC,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【解答】

解:連接BF,

???CE是斜邊4B上的中線，EFLAB,

??.EF是4B的垂直平分線，

，?^LAFE~S^BFE~5，

*,,S*FB=10=萬2/,BC,

???BC=4,

AF=5=BF,

在R%8CF中，BC=4,BF=5,

CF=V52-42=3,

1

???CE=AE=BE=^AB,

乙4=Z.FBA=/-ACE,

又???Z.BCA=90°=乙BEF,

???乙CBF=90°-Z-BFC=90°-24

乙CEF=90°-乙BEC=90°-2乙4,

???Z.CEF=Z.FBC,

cp3

???sinzCEF=sin乙FBC==二白

BF5

故選A.

5.【答案】C

【解析】解：???BD是正方形4BCD的對角線,

.-.乙ABE=AADE=4CDE=45°,AB=BC,

???BE=BC,

AB=BE,

BG1AE,

??.8”是線段/E的垂直平分線，Z.ABH=Z-DBH=22.5°,故①正確;

在中，AAHB=90°-AABH=67.5°,

???AAGH=90°,

???^DAE=乙ABH=22.5°,

在△AOE和△COE中，

DE=DE

乙ADE=乙CDE=45°,

AD=CD

/.△XDE^ACDE(SZS),

???乙DAE=乙DCE=22.5°,

???乙ABH=CDCF,

在△ABH和△DCF中，

ZBAH=Z.CDF

AB=CD，

，ABH=乙DCF

??.△ABH之△DCF(/S4),

AH=DF,Z.CFD=乙AHB=67.5°,故②正確；

Z.CFD=Z.EAF+Z.AEF,

??.67.5°=22.5°+Z-AEF,

AAEF=45°,故④正確；

???Z.FDE=45°,乙DFE=Z.FAE+/.AEF=22.5°+45°=67.5°,

.-.乙DEF=180°-45°-67.5°=67.5°,

DF=DE,故③正確；

???BH是AE垂直平分線,

AG=EG,

S^AGH=S^HEG,

???AH=HE,

/.(AHG=Z.EHG=67.5°,

???乙DHE=45°,

???乙ADE=45°,

???乙DEH=90°,"HE=乙HDE=45°,

??.EH=ED,

??.△DE”是等腰直角三角形，

???EF不垂直

???FH手FD,

???S"FHHS^EFD，

,,,$四邊^(qū)EFHG=S^HEG+S&EFH=^^AHG+S〉EFH豐LDEF+S〉A(chǔ)GH，故⑤錯誤，

???正確的是①②③④，

故選：C.

先根據(jù)正方形的性質(zhì)和BE=BC得到AB=BE,進而判斷垂直平分/E,故①正確，然后判斷出

乙DAE=4ABH,再判斷△4?！?2k。?！甑贸鲆摇?￡二乙。。￡*=22.5。，乙ABH=LDCF,再判斷出4

48”名△DCF從而得到②正確，根據(jù)三角形的外角求出乙4EF=45。，得出④正確；結(jié)合②④可得DF=

DE即可得③正確；連接HE,判斷出S.尸“HS^EFO得出⑤錯誤.

本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形外

角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ZDE之△CDE,難點是作出輔助線.

6.【答案】B

【解析】解：過點M作MU10B于"，

vAD//OB,

ADMs^BOM,

tOM=OB日SMDM=（竺）2=i

??而一而HS^BOM-I。涼一§，

S—QM=4,

???S^BOM=9,

???DB1OB,MH1OB,

??.MH//DB,

.OH_OM_OB_3

3

???OH屋OB,

_3_27

???、AMOH=gXXOBM—三，

.*.*.k-=_2-7,

25

754

k=

故選反

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例.

過點M作MH1OB于H,首先證明△ADMSABOM,利用相似三角形的性質(zhì)求出△OBM的面積為9,再證

明?！?|。8,進而求出AM?！钡拿娣e，利用反比例系數(shù)k的幾何意義即可求解.

7.【答案】D

【解析】解：①把冷分別代入丫=剪得，%=竽，%=粵，

X"2

']—%2'

???yi=丫2；

故①是真命題；

②把比1=2019，久2=2020分別代入y=@普得，％=芳魯，力=肝號，

???Y1>%；

故②是真命題；

③設(shè)直線C。的表達式為：y=krx+b,

反比例函數(shù)表達式y(tǒng)=上吸，

設(shè)機=問+1,則反比例函數(shù)表達式為：y=^(x>0),

過點4、8分別作AE軸于點E,BFL久軸于點F,連接04、0B,

4(X1，%),B{x2,y2),

則=xt,OF-x2,

聯(lián)立直線y=k'x+6與函數(shù)y=:表達式并整理得:

k'x2+bx—m=0,

則無1，比2是方程的兩個根，

則有+%2=^'

而y=+6中，當y=0時，久=捺，

.?.。。=石+工2.

又OF=嗎,

CF=0C-OF=/=AE.

???AE//CF,

ADAE=乙BCF,而4EZ=/-BFC=90°,

：.^DEA^^BFC(AAS\

1

而

EO2-

24

S—oc=S^AOB+S&BOF+S^BFC=S2AOB+^LAEO+S^DEA=^LBOD，

故③正確，符合題意;

故選：D.

①、②按照命題的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐個驗證即可；

③將AAOC、△B。。的面積進行拆分，通過證明△DE4gABFC(44S),進而求解.

本題考查了命題與定理，主要考查的是反比例函數(shù)的綜合運用，涉及到三角形全等和韋達定理的運用，綜

合性強，難度較大.

8.【答案】D

【解析】解：過點C作CElx軸于點E,

?.?頂點C的坐標為（叫30，

0E=-m,CE=3AA3,

,??菱形4B0C中，Z.B0C=60°,

CF1

.?.OB=0C==6,乙B0D=:乙B0C=30°,

sinbO2

vDB1%軸,

DB=0B-tan30°=6x苧=2<3,

.?.點。的坐標為：（一6,273）,

???反比例函數(shù)y=5的圖象與菱形對角線2。交。點，

k—xy=—12-\/-3.

故選：D.

首先過點C作CElx軸于點E,由NBOC=60。，頂點C的坐標為(爪,3形)，可求得0C的長，又由菱形4B0C

的頂點。在坐標原點，邊B。在x軸的負半軸上，可求得0B的長，且乙4。8=30。，繼而求得DB的長，則可

求得點。的坐標，又由反比例函數(shù)y=5的圖象與菱形對角線4。交。點，即可求得答案.

此題考查了菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.注意準確作出輔助線，求得點。的坐標是關(guān)

鍵.

9.【答案】D

【解析】解：c—a—x(b-a),b—c-(b—a)—x(b—a),

???[x(b-a)]2=(b—a)2—X(JJ—a)2,

%2+%—1=0,

-

解得％=—I+A/^

-2-

0<%<1,

-1+/5

???X=

2

故選：D.

根據(jù)題設(shè)條件，由^^=有，知[久(6-a)]2=(b-a)2-久(6-a)2,由此能求出最佳樂觀系數(shù)x的值.

本題考查黃金分割的應用，解題時要注意一元二次方程的求解方法.

10.【答案】D

【解析】解：由表得知上、下學期各社團人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下:

舞蹈社溜冰社魔術(shù)社

上學期394125_15

12=3612=3612=36

3_122_8

下學期4_16

9—369—369—36

???舞蹈社增加，溜冰社不變.

故選：D.

若甲：乙：丙=/b：c,則甲占全部的*匚，乙占全部的丙占全部的甘匚.

a+b+ca+b+ctz+o+c

本題考查了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積.

11.【答案】萼

【解析】解：如圖，連接BD交4C于點0,過點。作DK18C于點B,延長DE交4B于點R,連接EP'交48于

點/,作E/關(guān)于AC的對稱線段E/',則DP'的對應點P”在線段E/'上.

當D,P",Q共線時，QD-QP'的值最大，最大值是線段DP”的長，

當點P與B重合時，點P"與/'重合，此時DQ-QP'的值最大，最大值是線段以'的長，也就是線段見的長.

???四邊形4BCD是菱形，

???AC1BD,AO=OC,

vAE=14.EC=18,

?.AC=32,AO=0C=16,

???0E=AO-AE=16-14=2,

DE1CD，

???乙DOE=乙EDC=90°,

???Z-DEO=乙DEC,

EDOsAECD,

DE2=EO-EC=36,

DE=EB=EJ=6,

??.CD=VEC2-DE2=V182-62=12涯，

OD=VDF2-OE2=V62-22=4V1，

BD=8V~2，

vSMB=”C，BD=BC?DK,

|X16X8AA216

DK=Z----，

12/23

???乙BER=乙DCK,

r-

???sin乙BER=sin乙DCK=空=

CDIzVLy

4<28/2

RB=BE------,

3

???EJ=EB,ER1BJ,

JR=BR=竽，

■■]B=DJ'=竽，

.?.DQ—P'Q的最大值為與1

故答案為：警.

如圖，連接B。交"于點0,過點。作OK18C于點B,延長。E交4B于點R,連接EP'交48于點/，作均關(guān)于

4C的對稱線段分'，則DP'的對應點P"在線段切'上.當點P是定點時，DQ-QP'=AD-QP",當。，P",Q

共線時，QD-QP'的值最大，最大值是線段DP"的長，當點P與B重合時，點P"與/'重合，此時DQ-QP'的

值最大，最大值是線段的長，也就是線段見的長.解直角三角形求出B/,可得結(jié)論.

本題考查軸對稱-最短問題，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最值

問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.【答案】5

【解析】解：①當PH>NH時，由題意PN=2/虧—2,

設(shè)。N=0G=x,貝二%—(2A/-5—2),

???乙0PN=90°,

[%-(2AA5-2)]2+42=/,

x=

OP=2,OQ=2,

乙OPN="=乙NQI=90°,

Z.NOP+乙QOI=90°,乙NOP+乙PNO=90°,

(QOl=乙PNO,

△OQls卜NPO,

OQ_01

麗―布，

2__OI_

4-EB

01=V-5，

SANO.=”。.0/=gX275x/5=5.圖1圖2

②當NH>PH中，則NH=2/^-2,PH=PG=6-2<5.

設(shè)0/V=OG=y,貝I。尸=y—(6—2V-5)?

???Z.OPN=90°,

???[y-(6—2A/-5)]2+42=y29

???y=8,

???OP=2+2/5>4(不符合題意，舍棄).

綜上所述，△N。/的面積為5.

故答案為：5.

分兩種情形：①當PH>N”時，由題意PH=寫、PN=2，虧一2，②當N”>PH中，則NH=2，虧一

2,PH=PG=6-2/5,分別利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找

相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

13.【答案】②③④

【解析】解：???在正方形ABCD中，E是BC的中點，

1

/.AB=BC,BE=次,

RF1

???tan^BAE=株=j

ADL

tan300=—

Z-BAE*30°,故①錯誤；

乙B=Z.C=90°,AE1EF,

???乙BAE+ABEA=90°,2BEA+Z.CEF=90°,

???Z-BAE=乙CEF,

???△ABE^LECFf

???AB=2BE=2CE,

??.EC=2CF,

設(shè)CT=a,則EC=BE=2a,AB=4a,

AE=2<5GI,EF=Aa,tanzCFE=2,

.-.tan乙4FE=某=2,

EF

???Z-AFE=Z-CFE,

即射線FE是NAFC的角平分線，故②正確；

??,△ABEsxECF,

tAB_AE

~CE='EF"

VBE=CE,

tAB__AE_

??麗―麗’

???Z-B=Z-AEF=90°,

ABEs〉A(chǔ)EF,

tAB_AE

'?AE=AF9

：.AE2=AD-AF；故③正確；

作EG14F于點G,

???FE平分N4FC,ZC=90°,

???EG=EC,

EG=EB,

???乙B=乙AGE=90°,

在Rt△ABE^Rt△AGE中｛需:言

???Rt△ABE義Rt△AGE(HL),

AB=AG,

同理可得CF=GF,

又CF=GF,AF=AG+GF,

AF=AB+CF,故④正確，

由上可得，②③④正確，

故答案為：②③④.

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì).熟練掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

①根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì)，利用銳角三角函數(shù)可以得到NB4E是否等于30。；

②根據(jù)題目中的條件，可以求得乙4FE和NCFE的正切值，從而可以得到射線FE是否為乙4尸。的角平分線；

③根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

④根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定與性質(zhì)，可以得到4F=AB+CF是否成立.

14.【答案】空

【解析】解：如圖，過點C作CM1DE于點M,過點E作EN14C于點N,1〕'''、

BD=1,AD=5,/N\~/lE

：.AB=BD+AD=6,/jXX/

?.?在中，/LBAC=30°,ZB=90°-ABAC=60°,/y[//

BC=^AB=3,AC=y[3BC=373,口,、、、

在RtABCA馬Rt△DCE中，/

???BAC=4DEC=30°,

tanZ.BAC=tanzDEC,

BC__DC_

~AC~~EC

BCA=乙DCE=90°,

e?*BCA—Z-DCA=Z-DCE-Z-DCA,

???乙BCD=Z-ACE,

BCDs〉A(chǔ)CE,

■.ACAE=AB=60°,萼=喀,

ACAE

31

???^DAE=乙DAC+/.CAE=30°+60°=90。，—=白，

3V3AE

???AE=V-3，

在Rt△ADE中，

DE=y]AD2+AE2=J52+(73)2=2"

在Rt△￡)(7￡1中，Z.DEC=30°,

.-.乙EDC=60°,DC/DE="

在RtADCM中，

MC=^~DC=號,

在Rt△?!￡■村中，

NE=^-AE=l，

???AMFC=Z.NFE,乙FMC=4FNE=90°,

MFCs^NFE,

<21----

CF_MC_—_<21

''~EF~~NE~~一

2

故答案為：爭.

過點C作CM1OE于點”，過點E作EN14C于點N,先證△BC￡)SA4。后，求出AE的長及/C4E=60。，推

出乙DAE=90。，在RtAIME中利用勾股定理求出DE的長，進一步求出CD的長，分另lj在Rt△DCM和Rt△

4EN中，求出MC和NE的長，再證AMFCSANFE,利用相似三角形對應邊的比相等即可求出CF與EF的

比值.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等，解題關(guān)鍵是能夠通過作適當?shù)妮o助線

構(gòu)造相似三角形，求出對應線段的比.

15.【答案】略

【解析】解:

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用平行，連接4P作PR〃/1C,且PR=24C,同理作PQ〃4B,=24C連接

QR.三角形就畫成了.

本題主要根據(jù)平行的性質(zhì)，利用三角形的相似來完成此圖.

16.【答案】9：12：20

【解析】解:???[=[,。=|,

b4c5

,a_b_12

"b~12'c-20'

a：b：c=9：12：20.

故填9：12：20.

此類題做的時候可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)把兩個比例式中的相同字母變成所占的份數(shù)相同,即可把三個字

母的比的關(guān)系求解出來.

特別注意此類題的解法：把相同字母所占的份數(shù)相同，即可求得三個字母的比值.

17.【答案】解：(1)位似中心P如圖所示，P(—5,—1),8式3,—5)；

(2)A。4為如圖所示，%(—2,—6)；

(3)點”2(2%28).

【解析】⑴連接。1。并延長與的延長線相交，交點即為位似中心尸，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點P和

殳的坐標；

(2)延長。/到4，使442=。4延長。8到殳，使BB2=0B,連接乙殳，再根據(jù)平面直角坐標系寫出點殳

的坐標；

⑶根據(jù)位似比是2寫出即可.

本題考查了利用位似變換作圖，熟練掌握位似變換的性質(zhì)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】(1)證明：丁。是前的中點，

???CD—BD,

???DE1AB且AB為。。的直徑，

...BE=BD9

BC=DE，

BC=DE；

(2)解：連接0D,

???乙CAB=Z-DOB,

???48為。0的直徑,

???乙ACB=90°,

DE1AB,

???乙DFO=90°,

ACBs^OFD,

AC_OF

AB—'OD9

設(shè)。。的半徑為廠,

則?=3，

2rr

解得丁=5,經(jīng)檢驗，丁=5是方程的根，

AB=2r=10,

BC=y/AB2-AC2=8，

BC84

t=-77=:=7，

**?tSLi^Z-CABACo3

???乙BPC=乙CAB,

4

???tanzFPC=-；

(3)解：如圖，過點B作BG1CP交CP于點G,

???乙BGC=乙BGP=90°,

???AACB=90°,CP是乙4cB的平分線,

???^ACP=乙BCP=45°,

???乙CBG=45°,

...CG=BG=BCcos4S。=4<2,

4

??,tanzBPC=

.挺，

?'GP=3"

???GP=3/2，CP=4AA2+3/2=7/2.

【解析】(1)由。是詫的中點得比=由垂徑定理得到前=防，進而得到我=防，根據(jù)同圓中，等

弧對等弦即可證明；

(2)連接。。，證明AACBs△。尸。，設(shè)。。的半徑為r,利用相似三角形的性質(zhì)得r=5,AB=2r=10,

由勾股定理求得得到即可得到

BC,JtanNCAB=A7C7=70=p5tan/BPC=~3

(3)過點B作BG1CP交CP于點G,證明ACBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到CG=BG=

BCcos45°=4<2,由tan/BPC=/導到既=*解得GP=3，I,即可求解.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以

上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：(1)???矩形4BCD中，AB=2,AD=273，

ZC=90°,CD=AB=2,BC=AD=2<3,

Df_

???tanzBDC=^=<3,

???乙BDC=60°,

???乙ABE=4BAD=^EAG=乙ADG=90°,

**?Z-EAG—乙EAD=Z-BAD-Z-EAD,

即54G=2LBAE,

.-.^=^=73；

BEABV'

(2)如圖2,過點F作FM1CG于點M,

圖2

???^ABE=AAGF=^.ADG=90°,AE=GF,

???^BAE=A.DAG=乙CGF,乙ABE=Z.GMF=90°,

在△ABE和△GMF中

2BAE=^MGF

乙ABE=NGMF

AE=GF

；?AABE義工GMF(AAS),

??.BE=MF,AB=GM=2,

???乙MDF=乙BDC=60°,FM1CG,

MFI―

???tanzMDF=tan60°=—=V3

MF=W>MD，

設(shè)DM=x,貝=MF=

DG—GM+MD=2+%,

由(1)可知：器=Y?

.2+x_

解得％=1,

???BE=V_3x=V-3；

(3)如圖3,連接AC,將△AEP繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120。，瓦4與EC重合，得到△C*',連接PP,

圖3

矩形/BCD中，AD=BC=20,AB=2,

」“nAB/3

?*?tanZjlCB=,

DC3

???Z-ACB=30°,

AC=2AB=4,

???EA=EC,

???AEAC=/.ACE=30°,^AEC=120°,

LACG=Z.GAC=90°-30°=60°,

??.△AGC是等邊三角形，AG=AC=4,

.?.PE=EF=AG=4,

???將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)120。，￡4與EC重合，得至CEP',

/.PA=P'C,4PEP'=120。，EP=EP'=4,

PP'=y/lPE=4AA3>

???當點P,C,P'三點共線時，P2+PC的值最小,

此時為P4+PC=PP'=4<3.

【解析】(1)由銳角三角函數(shù)可求NBDC=60。，通過證明△ADGSAABE,可得票=*=后；

DCAD

(2)由“44S”可證AABE經(jīng)△GMF,可得BE=MF,AB=GM=2,由銳角三角函數(shù)可求MF=BE=

^3x,DG=2+x,利用(1)的結(jié)論可求解；

(3)通過證明AAGC是等邊三角形，可得PE=￡T=4G=4,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PH=P'C,/.PEP'=

120°,EP=EP'=4,則當點P,C,P'三點共線時，PA+PC的值最小，即可求解.

本題是相似綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)喘另；

/1D4

(2)取8c的中點H,連接

???點D為4C的中點，

1

/.DH//AB,DH=*B,

(1)

vAB=AC

??.DH=DC,

???乙DHC=LDCH,

BD=DE,

???乙DBH=乙DEC,

???Z-BDH=乙EDC,

在△DB”和△DEC中,

2DBH=乙DEC

BD=ED

/BDH=乙EDC

：.ADBH^^DEC(ASA),

??.BH=EC,

.EB_3

EH2

???DH//AB,

??.△EDHs^EFB,

.FB_EB_3

??麗―麗-5'

.,..—FB=_一3?

AB4

.AF_1

??麗-不

問題拓展

AF_2—n

AB~

【解析】問題探究

(1)取力B的中點G,連接DG,利用等邊三角形的性質(zhì)可得點F為2G的中點，從而得出答案；

(2)取BC的中點H,連接利用4S4證明△DB//0ADEC,得BH=EC,則第=日，再根據(jù)D”〃力B,得

HHZ

△EDHs^EFB,從而得出答案；

問題拓展

取BC的中點H,連接DH,由(2)同理可證明△DGH絲ADEC,得GH=CE,得等=；，再根據(jù)得

△EDHS^EFB,同理可得答案.

(1)如圖，取力B的中點G,連接DG,

(2)

???點。是4C的中點，

■-.DG是△ABC的中位線，

DG//BC,

■：