2023-2024學(xué)年河北省石家莊第二中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年河北省石家莊第二中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中,，則（）A．5 B．6 C． D．82．當(dāng)為第二象限角時，的值是（）．A． B． C． D．3．趙爽是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內(nèi)隨機取-點，這一點落在小正方形內(nèi)的概率為，則勾與股的比為（）A． B． C． D．4．已知，，且，則在方向上的投影為()A． B． C． D．5．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．6．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.則的圖象，可由函數(shù)的圖象怎樣變換而來（縱坐標(biāo)不變）（）A．先把各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個單位B．先把各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位C．先把各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位D．先把各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位7．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù) B．13個人中至少有兩個人生肖相同C．車輛隨機到達(dá)一個路口，遇到紅燈 D．明天一定會下雨8．如果圓上總存在點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．9．若實數(shù)滿足約束條件則的最大值與最小值之和為（）A． B． C． D．10．在中，若，那么是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，，則的面積等于______.12．函數(shù)在的值域是______________.13．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，則m的取值范圍是________.14．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則________15．設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.16．化簡：________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，且的面積為，求的值．18．已知圓,圓與圓關(guān)于直線對稱.(1)求圓的方程;(2)過直線上的點分別作斜率為的兩條直線,使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.(i)求的坐標(biāo);(ⅱ)過任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.19．已知圓過點.（1）點，直線經(jīng)過點A且平行于直線，求直線的方程；（2）若圓心的縱坐標(biāo)為2,求圓的方程.20．在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求邊的長.21．已知等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，求的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)余弦定理，可求邊長.【詳解】，代入數(shù)據(jù)，化解為解得或（舍）故選D.【點睛】本題考查了已知兩邊及其一邊所對角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】

根據(jù)為第二象限角，，，去掉絕對值，即可求解．【詳解】因為為第二象限角，∴，，∴，故選C．【點睛】本題重點考查三角函數(shù)值的符合，三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號可以結(jié)合口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加記憶印象，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為，從而構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】由圖形可知，小正方形邊長為小正方形面積為：，又大正方形面積為：，即：解得：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型中的面積型的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用概率構(gòu)造出關(guān)于所求量的方程.4、C【解析】

通過數(shù)量積計算出夾角，然后可得到投影.【詳解】，，即，，在方向上的投影為，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何背景，建立數(shù)量積方程是解題的關(guān)鍵，難度不大.5、B【解析】

分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．6、B【解析】

根據(jù)圖象可知，根據(jù)周期為知，過點求得，函數(shù)解析式，比較解析式，根據(jù)圖像變換規(guī)律即可求解.【詳解】由在一個周期內(nèi)的圖象可得,，解得，圖象過點，代入解析式得，因為，所以，故，因為，將函數(shù)圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡?，再向右平移個單位得的圖象，故選B.【點睛】本題主要考查了由部分圖像求解析式，圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)必然事件的定義，逐項判斷，即可得到本題答案.【詳解】買一張電影票，座位號可以是2的倍數(shù)，也可以不是2的倍數(shù)，故A不正確；13個人中至少有兩個人生肖相同，這是必然事件，故B正確；車輛隨機到達(dá)一個路口，可以遇到紅燈，也可以遇到綠燈或者黃燈，故C不正確；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正確.故選：B【點睛】本題主要考查必然事件的定義，屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】

將圓上的點到原點的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.【詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點的距離為：如果圓上總存在點到原點的距離為即圓心到原點的距離即故答案選B【點睛】本題考查了圓上的點到原點的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.9、A【解析】

首先根據(jù)不等式組畫出對應(yīng)的可行域，再分別計算出頂點的坐標(biāo)，帶入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的值，即可找到最大值和最小值.【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：，.，.，，.，，.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃，根據(jù)不等式組畫出可行域為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.10、C【解析】

由tanAtanB>1可得A，B都是銳角，故tanA和tanB都是正數(shù)，可得tan（A+B）<0，故A+B為鈍角，C為銳角，可得結(jié)論.【詳解】由△ABC中，A，B，C為三個內(nèi)角，若tanAtanB>1，可得A，B都是銳角，故tanA和tanB都是正數(shù)，∴tan（A+B）0，故A+B為鈍角．由三角形內(nèi)角和為180°可得，C為銳角，故△ABC是銳角三角形，故選C．【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)值的符號判斷角所在的范圍，兩角和的正切公式的應(yīng)用，判斷A+B為鈍角，是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先用余弦定理求得，從而得到，再利用正弦定理三角形面積公式求解.【詳解】因為在中，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12、【解析】

利用，即可得出．【詳解】解：由已知，，又

，

故答案為：．【點睛】本題考查了反三角函數(shù)的求值、單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13、【解析】

化簡函數(shù)解析式為，做出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．【詳解】解：因為所以，，由，可得，則函數(shù)，的圖象與直線恰有兩個不同交點，即方程在上有兩個不同的解，畫出的圖象如下所示：依題意可得時，函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．14、【解析】

根據(jù)1弧度約等于且正弦函數(shù)值域為,故可分別計算求和中的每項的正負(fù)即可.【詳解】故答案為：【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的計算,屬于基礎(chǔ)題型.15、.【解析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，16、【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】由題意，可得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的化簡、求值問題，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）對等式，運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系中的商關(guān)系，可求出角的正切值，最后根據(jù)角的取值范圍，求出角；（2）由三角形面積公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴在中；（2）∵的面積為，∴，∴，由余弦定理，有，∴．【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.18、（1）；（2）（i）,（ii）見解析【解析】

(1)根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對稱點即可得到，半徑不變，從而得到方程；(2)(i)設(shè)，由于弦長和距離都相等，故P到兩直線的距離也相等，利用點到線距離公式即可得到答案；(ⅱ)分別討論斜率不存在和為0三種情況分別計算對應(yīng)弦長，故可判斷.【詳解】（1）設(shè)，因為圓與圓關(guān)于直線對稱，，則直線與直線垂直，中點在直線上，得解得所以圓.（2）（i）設(shè)的方程為，即；的方程為，即.因為被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等，且兩圓半徑相等，所以到的距離與到的距離相等，即，所以或.由題意，到直線的距離，所以不滿足題意，舍去，故，點坐標(biāo)為.（ii）過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.證明如下：當(dāng)?shù)男甭实扔?時，的斜率不存在，被圓截得的弦長與被圓截得的弦長都等于圓的半徑；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖?，的斜率等?時，與圓不相交，與圓不相交.當(dāng)、的斜率存在且都不等于0，兩條直線分別與兩圓相交時，設(shè)、的方程分別為，即.因為到的距離，到的距離，所以到的距離與到的距離相等.所以圓與圓的半徑相等，所以被圓截得的弦長與被圓截得的弦長恒相等.綜上所述，過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.【點睛】本題主要考查點的對稱問題，直線與圓的位置關(guān)系，計算量較大，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度中等.19、（1）；（2）.【解析】

（1）求出直線的斜率，由直線與直線平行，可知這兩條直線的斜率相等，再利用點斜式可得出直線的方程；（2）由題意得出點在線段的中垂線上，可求出點的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式求出圓的半徑，于此可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】（1）直線過點，斜率為，所以直線的方程為，即；（2）由圓的對稱性可知，必在線段的中垂線上，圓心的橫坐標(biāo)為：，即圓心為：，圓的半徑：，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【點睛】本題考查直線的方程，考查圓的方程的求解，在求解直線與圓的方程中，充分分析直線與圓的幾何要素，能起到簡化計算的作用，考查計算能力，屬于中等題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，逆用兩角和的正弦公式，進(jìn)行化簡，最后可求出角的大??；（2）利用面積公式結(jié)合，可以求出的值，再利用余弦定理可以求出邊的長.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，故，，，代入，并兩邊同除以，得：，即，因為在中，，所以，故，又由可得，所以，同樣由得：.（2）因為的面積為，所以，又由（1）得：，所以，，又，所以，.由余弦定理得：所以.【點睛】本題考查了了正弦定理的應(yīng)用，考查了面積公式，考查了利用余弦定理求邊長，考查了數(shù)學(xué)運算能力.21、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求{