湖南省古丈縣第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省古丈縣第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為（）A．640 B．520 C．280 D．2402．已知函數(shù)，如果不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A． B．C． D．3．設(shè)雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的左支于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A． B． C． D．4．下圖為某市國(guó)慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量與成交量的折線(xiàn)圖，小明同學(xué)根據(jù)折線(xiàn)圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量（單位：套）與成交量（單位：套）作出如下判斷：①日成交量的中位數(shù)是26；②日成交量超過(guò)日平均成交量的有2天；③認(rèn)購(gòu)量與日期正相關(guān)；④10月2日到10月6日認(rèn)購(gòu)量的分散程度比成交量的分散程度更大.則上述判斷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．15．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．6．已知函數(shù)f(x)=2x+log2x，且實(shí)數(shù)a>b>c>0，滿(mǎn)足A．x0<a B．x0>a7．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，其中平面，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則該球的體積是（）A． B． C． D．8．已知，則的最小值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-49．若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件則的最大值與最小值之和為（）A． B． C． D．10．．設(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（）A．相離. B．相切. C．相交. D．隨m的變化而變化.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在正方體中，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)．下列命題正確的為_(kāi)______________.①存在點(diǎn)，使得//平面；②對(duì)于任意的點(diǎn)，平面平面；③存在點(diǎn)，使得平面；④對(duì)于任意的點(diǎn)，四棱錐的體積均不變．12．已知向量，，則與的夾角等于_______.13．無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個(gè)正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.14．已知無(wú)窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則首項(xiàng)的取值范圍為_(kāi)____________.15．正方形和內(nèi)接于同一個(gè)直角三角形ABC中，如圖所示，設(shè)，若兩正方形面積分別為=441，=440，則=______16．已知指數(shù)函數(shù)上的最大值與最小值之和為10，則=____________。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，是正方形，是該正方形的中心，是平面外一點(diǎn)，底面，是的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面平面.18．在等差數(shù)列中，，且前7項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．?dāng)?shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.21．如圖所示，在直三棱柱（側(cè)面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設(shè)的中點(diǎn)為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由頻率分布直方圖得到初賽成績(jī)大于90分的頻率，由此能求出獲得復(fù)賽資格的人數(shù)．【詳解】初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30，150]內(nèi)，由頻率分布直方圖得到初賽成績(jī)大于90分的頻率為：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為：0.1×800＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】

一元二次不等式大于零解集是，先判斷二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，可求出a,b的值，代入解析式，求解不等式.【詳解】由的解集是，則故有，即.由解得或故不等式的解集是，故選：A.【點(diǎn)睛】對(duì)于含參數(shù)的一元二次不等式需要先判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，再進(jìn)一步求解參數(shù).3、C【解析】，則，所以，，則，所以，故選C。點(diǎn)睛：離心率問(wèn)題關(guān)鍵是利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，以及三角形的幾何關(guān)系來(lái)解決，本題中，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，可以將圖中的各邊長(zhǎng)都表示出來(lái)，再利用同一個(gè)角在兩個(gè)三角形中的余弦定理，就可以得到的等量關(guān)系，求出離心率。4、B【解析】

將國(guó)慶七天認(rèn)購(gòu)量和成交量從小到大排列,即可判斷①;計(jì)算成交量的平均值,可由成交量數(shù)據(jù)判斷②;由圖可判斷③;計(jì)算認(rèn)購(gòu)量的平均值與方差,成交量的平均值與方差,對(duì)方差比較即可判斷④.【詳解】國(guó)慶七天認(rèn)購(gòu)量從小到大依次為:91,100,105,107,112,223,276成交量從小到大依次為:8,13,16,26,32,38,166對(duì)于①,成交量的中為數(shù)為26,所以①正確;對(duì)于②,成交量的平均值為,有1天成交量超過(guò)平均值,所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③,由圖可知認(rèn)購(gòu)量與日期沒(méi)有正相關(guān)性,所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,10月2日到10月6日認(rèn)購(gòu)量的平均值為方差為10月2日到10月6日成交量的平均值為方差為所以由方差性質(zhì)可知,10月2日到10月6日認(rèn)購(gòu)量的分散程度比成交量的分散程度更小,所以④錯(cuò)誤;綜上可知,錯(cuò)誤的為②③④故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容,由圖示分析計(jì)算各個(gè)量,利用方差比較數(shù)據(jù)集中程度,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值.詳解：因?yàn)?，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對(duì)稱(chēng)軸，(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.6、D【解析】

由函數(shù)的單調(diào)性可得：當(dāng)x0<c時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性可得：f（a）>0，f（b）>0，f（c）>0，即不滿(mǎn)足f（a）f（b）f（c）【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2則函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)為增函數(shù)，又實(shí)數(shù)a>b>c>0，滿(mǎn)足f（a）f（b）f（c）<0，則f（a），f（b），f（c）為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，B，C選項(xiàng)可能成立，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x0函數(shù)的單調(diào)性可得：f（a）>0，f（b）>0，f（c）>0，即不滿(mǎn)足f（a）f（b）f（c）<0，故選項(xiàng)D不可能成立，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．7、A【解析】

根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和線(xiàn)面位置關(guān)系，得到中點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，如圖所示，因?yàn)椋覟橹苯侨切?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，則平面，得.又由，所以中點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑.所以該球的體積是.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)球的組合體問(wèn)題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑.8、D【解析】

根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，借助圖像得到最值.【詳解】根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域得到圖像：將目標(biāo)函數(shù)化為，根據(jù)圖像得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值，代入此點(diǎn)得到z=-4.故答案為：D.【點(diǎn)睛】利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域;(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見(jiàn)的類(lèi)型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）;(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解;(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。9、A【解析】

首先根據(jù)不等式組畫(huà)出對(duì)應(yīng)的可行域，再分別計(jì)算出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的值，即可找到最大值和最小值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：，.，.，，.，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃，根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域?yàn)榻忸}的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.10、D【解析】直線(xiàn)AB的方程為.即，所以直線(xiàn)AB的方程為,因?yàn)?所以,所以,所以直線(xiàn)AB與圓可能相交，也可能相切，也可能相離.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②④【解析】

根據(jù)線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】①當(dāng)為棱上的一中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)也為棱上的一個(gè)中點(diǎn)，此時(shí)//，滿(mǎn)足//平面，故①正確；②連結(jié)，則平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故②正確；③平面，不可能存在點(diǎn)，使得平面，故③錯(cuò)誤；④四棱錐的體積等于，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.∵無(wú)論、在何點(diǎn)，三角形的面積為為定值，三棱錐的高，保持不變，三角形的面積為為定值，三棱錐的高為，保持不變.∴四棱錐的體積為定值，故④正確.故答案為①②④.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線(xiàn)和平面平行或垂直的位置關(guān)系的判斷，解答本題的關(guān)鍵正確利用分割法求空間幾何體的體積的方法，綜合性較強(qiáng)，難度較大．12、【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求得兩向量的模及數(shù)量積，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．【詳解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，則cos，∴與的夾角等于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

利用無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【詳解】無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個(gè)自然數(shù)，則，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出或，根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列的和得出與所滿(mǎn)足的關(guān)系式，由此可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出或，由于無(wú)窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則，.當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，.因此，首項(xiàng)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用無(wú)窮等比數(shù)列的和求首項(xiàng)的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)和公比的關(guān)系式，利用不等式的性質(zhì)或函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.15、【解析】

首先根據(jù)在正方形S1和S2內(nèi)，S1＝441，S2＝440，分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后分別表示出AF、FC、AM、MC的長(zhǎng)度，最后根據(jù)AF+FC＝AM+MC，列出關(guān)于α的三角函數(shù)等式，求出sin2α的值即可．【詳解】因?yàn)镾1＝441，S2＝440，所以FD21，MQ＝MN，因?yàn)锳C＝AF+FC2121，AC＝AM+MCMNcosαcosα，所以：21cosα，整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），兩邊平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，解得sin2α或sin2α（舍去），故sin2α．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的求值問(wèn)題，考查了正方形、直角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是分別表示出AF、FC、AM、MC的長(zhǎng)度，最后根據(jù)AF+FC＝AM+MC，列出關(guān)于α的三角函數(shù)等式．16、【解析】

根據(jù)和時(shí)的單調(diào)性可確定最大值和最小值，進(jìn)而構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：或（舍）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得：（舍）或（舍）綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)最值求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)得單調(diào)性確定最值點(diǎn).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】

（1）連接，證明后即得線(xiàn)面平行；（2）可證明平面，然后得面面垂直．【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查證明線(xiàn)面平行和面面垂直，掌握線(xiàn)面平行和面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵．18、（1）；（2）Sn＝?3n+1+【解析】

（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得bn＝2n?3n，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和即可．【詳解】（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，a3＝6，且前7項(xiàng)和T7＝1．可得a1+2d＝6，7a1+21d＝1，解得a1＝2，d＝2，則an＝2n；（2）bn＝an?3n＝2n?3n，前n項(xiàng)和Sn＝2（1?3+2?32+3?33+…+n?3n），3Sn＝2（1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1），相減可得﹣2Sn＝2（3+32+33+…+3n﹣n?3n+1）＝2?（﹣n?3n+1），化簡(jiǎn)可得Sn＝?3n+1+．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列