北京市東城171中2024屆高一數學第二學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

北京市東城171中2024屆高一數學第二學期期末監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．2．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的λ是()A．-2 B．-4 C．0 D．-2或04．一個不透明袋中裝有大小?質地完成相同的四個球，四個球上分別標有數字2，3，4，6，現從中隨機選取三個球，則所選三個球上的數字能構成等差數列(如：??成等差數列，滿足)的概率是（）A． B． C． D．5．正三角形的邊長為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則的周長為（）A． B． C． D．6．若滿足，且的最小值為，則實數的值為（）A． B． C． D．7．以分別表示等差數列的前項和，若，則的值為A．7 B． C． D．8．記等差數列前項和，如果已知的值，我們可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值9．若正實數，滿足，則有下列結論：①；②；③；④.其中正確結論的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知向量，，，的夾角為45°，若，則（）A． B． C．2 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若6是-2和k的等比中項，則______.12．如圖，，分別為的中線和角平分線，點P是與的交點，若，，則的面積為______.13．當實數a變化時，點到直線的距離的最大值為_______.14．中醫(yī)藥是反映中華民族對生命、健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統和獨特理論及技術方法的醫(yī)藥學體系，是中華文明的瑰寶.某科研機構研究發(fā)現，某品種中成藥的藥物成份的含量（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關系：.檢測這種藥品一個批次的5個樣本，得到成份的平均值為，標準差為，估計這批中成藥的藥物功效的平均值為__________藥物單位．15．已知平行四邊形的周長為，，則平行四邊形的面積是_______16．如圖是函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一個周期的圖象，則f(1)=__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．（1）求角A的大??；（2）若，，求的面積．18．在數1和100之間插入個實數，使得這個數構成遞增的等比數列，將這個數的乘積記作，再令.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，求數列的前項和.19．已知數列前項和為，滿足，（1）證明：數列是等差數列，并求；（2）設，求證：.20．已知數列的前項和為，滿足，，數列滿足，，且.（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列是等差數列，求數列的通項公式；（3）若，數列的前項和為，對任意的，都有，求實數的取值范圍.21．已知，且為第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

計算結果.【詳解】因為底面是邊長為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【點睛】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.2、C【解析】

由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，即可得到答案．【詳解】由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故選C．【點睛】本題主要考查了象限角的表示和終邊相同角的表示，其中解答中熟記終邊相同角的表示是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．3、A【解析】

根據框圖有，由判斷條件即即可求出的值.【詳解】由有.根據輸出的條件是，即.所以，解得：.故選：A【點睛】本題考查程序框圖和向量的加法以及數量積以及性質，屬于中檔題.4、B【解析】

用列舉法寫出所有基本事件，確定成等差數列含有的基本事件，計數后可得概率．【詳解】任取3球，結果有234,236,246,346共4種，其中234，246是成等差數列的2個基本事件，∴所求概率為．故選：B．【點睛】本題考查古典概型，解題時可用列舉法列出所有的基本事件．5、C【解析】

根據斜二測畫法以及正余弦定理求解各邊長再求周長即可.【詳解】由斜二測畫法可知,,,.所以.故..故.所以的周長為.故選：C【點睛】本題主要考查了斜二測畫法的性質以及余弦定理在求解三角形中線段長度的運用.屬于基礎題.6、B【解析】

首先畫出滿足條件的平面區(qū)域，然后根據目標函數取最小值找出最優(yōu)解，把最優(yōu)解點代入目標函數即可求出的值．【詳解】畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：，由，解得：，由得：，顯然直線過時，z最小，∴，解得：，故選B．【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，已知目標函數最值求參數的問題，屬于?？碱}型．7、B【解析】

根據等差數列前n項和的性質，當n為奇數時，，即可把轉化為求解.【詳解】因為數列是等差數列，所以，故,選B.【點睛】本題主要考查了等差數列前n項和的性質，屬于中檔題.8、C【解析】

設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由a5+a21=2a1+24d的值為已知，再利用等差數列的求和公式，即可得出結論．【詳解】設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值為已知，∴a1+12d的值為已知，∵∴我們可以求得S25的值．故選：C．【點睛】本題考查等差數列的通項公式與求和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9、C【解析】

根據不等式的基本性質，逐項推理判斷，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，正實數是正數，且，①中，可得，所以是錯誤的；②中，由，可得是正確的；③中，根據實數的性質，可得是正確的；④中，因為，所以是正確的，故選C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質的應用，其中解答中熟記不等式的基本性質，合理推理是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、C【解析】

利用向量乘法公式得到答案.【詳解】向量，，，的夾角為45°故答案選C【點睛】本題考查了向量的運算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-18【解析】

根據等比中項的性質，列出等式可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，，得.故答案為：-18【點睛】本題主要考查等比中項的性質，屬于基礎題.12、【解析】

設,,求點的坐標，運用換元法，求直線方程，再解出交點的坐標，再利用向量數量積運算求出，最后結合三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由，可設,,則，設，則，直線的方程為，直線的方程為，聯立直線、方程解得，則，，可得，解得：，即，即，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數量積運算，重點考查了兩直線的交點坐標及三角形面積公式，屬中檔題.13、【解析】

由已知直線方程求得直線所過定點，再由兩點間的距離公式求解．【詳解】由直線，得，聯立，解得．直線恒過定點，到直線的最大距離．故答案為：．【點睛】本題考查點到直線距離最值的求法，考查直線的定點問題，是基礎題．14、92【解析】

由題可得，進而可得，再計算出，從而得出答案．【詳解】5個樣本成份的平均值為，標準差為，所以，，即，解得因為，所以所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位【點睛】本題考查求幾個數的平均數，解題的關鍵是求出，屬于一般題．15、【解析】

設，根據條件可以求出，兩邊平方可以得到關系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的關系式，聯立求出的值，過作垂直于，設，則可以表示，利用勾股定理，求出的值，確定長，即求出平行四邊形的面積【詳解】設又，由余弦定理將代入，得到將（2）代入（1）得到可以解得：(另一種情況不影響結果)，過作垂直于，設,則，所以填寫【點睛】幾何題如果關系量理清不了，可以嘗試作圖，引入相鄰邊的參數，通過方程把參數求出，平行四邊形問題可以通過轉化變?yōu)槿切螁栴}，進而把問題簡單化.16、2【解析】

由三角函數圖象，利用三角函數的性質，求得函數的解析式，即可求解的值，得到答案.【詳解】由三角函數圖象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，則.【點睛】本題主要考查了由三角函數的部分圖象求解函數的解析式及其應用，其中解答中熟記三角函數的圖象與性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由，結合，得到求解.（2）據（1）知．再由余弦定理求得邊，再利用求解．【詳解】（1）因為，，所以，所以，所以，或（舍去）．又因為，所以．（2）由（1）知．由余弦定理得所以，即，所以（舍）或．所以的面積．【點睛】本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）類比等差數列求和的倒序相加法，將等比數列前n項積倒序相乘，可求，代入即可求解.（2）由（1）知，利用兩角差的正切公式，化簡，，得，再根據裂項相消法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，構成遞增的等比數列，其中，則①②①②，并利用等比數列性質，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又所以數列的前項和為【點睛】（Ⅰ）類比等差數列，利用等比數列的相關性質，推導等比數列前項積公式，創(chuàng)新應用型題；（Ⅱ）由兩角差的正切公式，推導連續(xù)兩個自然數的正切之差，構造新型的裂項相消的式子，創(chuàng)新應用型題；本題屬于難題.19、（1）．（2）見解析．【解析】（1）由可得，當時，，兩式相減可是等差數列，結合等差數列的通項公式可求進而可求（2）由（1）可得，利用裂項相消法可求和，即可證明．試題分析：（1）（2）試題解析：（1）由知，當即所以而故數列是以1為首項，1為公差的等差數列，且（2）因為所以考點：數列遞推式；等差關系的確定；數列的求和20、（1）；（2）證明見解析，；（3）或.【解析】

（1）運用數列的遞推式以及數列的和與通項的關系可得，再由等比數列的定義、通項公式可得結果；（2）對等式兩邊除以，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；（3）求得，由數列的錯位相減法求和，可得，化簡,即，對任意的成立，運用數列的單調性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】(1)，可得，即；時,,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項和公差均為1的等差數列，可得,即；(3)，前n項和為，，相減可得，可得，,即為，即,對任意的成立，由，可得為遞減數列，即n=1時取得最大值1?2=?1，可得，即或.【點睛】“錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一