吉林省遼源市東遼縣一中2024年高一下數(shù)學期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

吉林省遼源市東遼縣一中2024年高一下數(shù)學期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知、的取值如下表所示：如果與呈線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）A． B． C． D．2．若變量滿足約束條件則的最小值等于（）A． B． C． D．23．在中，角，，所對的邊分別為，，，且邊上的高為，則的最大值是（）A．8 B．6 C． D．44．函數(shù)在上的圖像大致為（）A． B．C． D．5．的三內(nèi)角所對的邊分別為，若，則角的大小是（）A． B． C． D．6．化簡（）A． B． C． D．7．已知與之間的一組數(shù)據(jù)如表，若與的線性回歸方程為，則的值為A．1 B．2 C．3 D．48．已知向量是單位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影為，則A．36 B．21 C．9 D．69．已知向量，，則向量的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．等比數(shù)列中，，則等于是（）A． B．4 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約為0.618，這一數(shù)值也可以近似地用表示，則_____.12．直線的傾斜角為_____________13．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.14．已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.15．命題“數(shù)列的前項和”成立的充要條件是________.（填一組符合題意的充要條件即可，所填答案中不得含有字母）16．已知函數(shù)，則的取值范圍是____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列中，，.(1)令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)令，為數(shù)列的前項和，求.18．求下列方程和不等式的解集（1）（2）19．如圖，在長方體中，，點為的中點．（1）求證：直線平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面的夾角．20．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機抽樣133個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組

頻數(shù)

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計

133

（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點值是2．33作為代表．據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．21．如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長為2的菱形，，且.（1）求證：；（2）若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

計算出、，再將點的坐標代入回歸直線方程，可求出的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本的中心點，則有，解得，故選：A.【點睛】本題考查回歸直線方程中參數(shù)的計算，解題時要充分利用回歸直線過樣本的中心點這一結(jié)論，考查計算能力，屬于基礎題.2、A【解析】

由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】解：由變量x，y滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（﹣1，）．∴z＝2x﹣y的最小值為2×（﹣1）．故選A．【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．3、D【解析】，這個形式很容易聯(lián)想到余弦定理：cosA，①而條件中的“高”容易聯(lián)想到面積，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②將②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，當A＝時取得最大值4，故選D．點睛：三角形中最值問題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.4、A【解析】

利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點，對選項進行排除，由此得出正確選項.【詳解】由于，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除C選項.由于，所以排除D選項.由于，所以排除B選項.故選：A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查函數(shù)的奇偶性、特殊點，屬于基礎題.5、C【解析】

將進行整理，反湊余弦定理，即可得到角.【詳解】因為即故可得又故.故選：C.【點睛】本題考查余弦定理的變形，屬基礎題.6、A【解析】

減法先變?yōu)榧臃?，利用向量的三角形法則得到答案.【詳解】故答案選A【點睛】本題考查了向量的加減法，屬于簡單題.7、D【解析】

先求出樣本中心點，代入回歸直線方程，即可求得的值，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，又由回歸直線方程過樣本中心點，所以，解得，故選D.【點睛】本題主要考查了線性回歸直線方程的應用，其中解答中熟記線性回歸直線方程的基本特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、D【解析】

根據(jù)公式把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，展開后再根據(jù)和已知條件計算.【詳解】因為在方向上的投影為，所以，.故選D.【點睛】本題主要考查向量模有關(guān)的計算，常用公式有，.9、C【解析】

先求出向量，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出夾角的余弦值．【詳解】∵，∴．設向量的夾角為，則．故選C．【點睛】本題考查向量的線性運算和向量夾角的求法，解題的關(guān)鍵是求出向量的坐標，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解，注意計算的準確性，屬于基礎題．10、B【解析】

利用等比數(shù)列通項公式直接求解即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以.故選：B【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式的應用，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

代入分式利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式及三角函數(shù)誘導公式化簡即可.【詳解】.故答案為：2【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式及三角函數(shù)誘導公式，屬于基礎題.12、【解析】

先求得直線的斜率，由此求得對應的傾斜角.【詳解】依題意可知，直線的斜率為，故傾斜角為.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線斜率和傾斜角的計算，屬于基礎題.13、160【解析】

∵某個年級共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為280980∴此樣本中男生人數(shù)為27故答案為160.考點：本題考查了分層抽樣的應用點評：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎題14、6【解析】

如圖所示,取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半徑R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．15、數(shù)列為等差數(shù)列且，．【解析】

根據(jù)題意，設該數(shù)列為，由數(shù)列的前項和公式分析可得數(shù)列為等差數(shù)列且，，反之驗證可得成立，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設該數(shù)列為，若數(shù)列的前項和，則當時，，當時，，當時，符合，故有數(shù)列為等差數(shù)列且，，反之當數(shù)列為等差數(shù)列且，時，，；故數(shù)列的前項和”成立的充要條件是數(shù)列為等差數(shù)列且，，故答案為：數(shù)列為等差數(shù)列且，．【點睛】本題考查充分必要條件的判定，關(guān)鍵是掌握充分必要條件的定義，屬于基礎題．16、【解析】

分類討論，去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)各段上的取值，進而得到函數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】由題意，當時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，此時函數(shù)的取值當時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，最小值，所以函數(shù)的取值為當時，函數(shù)，此時函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以最大值為，此時函數(shù)的取值，綜上可知，函數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的值域問題，其中解答中合理分類討論去掉絕對值，利用函數(shù)的單調(diào)性求得各段上的值域是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）（3）【解析】

(1)計算，得證數(shù)列為等比數(shù)列.(2)先求出的通項公式，再計算數(shù)列的通項公式.(3)計算，根據(jù)錯位相減法和分組求和法得到答案.【詳解】(1)，，，故數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，由，得數(shù)列的通項公式為.(3)由(2)知，記.有.兩式作差得，得，則.【點睛】本題考查了數(shù)列的證明，數(shù)列通項公式，分組求和，錯位相減法，意在考查學生的計算能力.18、（1）或；（2）.【解析】

（1）先將方程變形得到，根據(jù)，得到，進而可求出結(jié)果；（2）由題意得到，求解即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，因為，所以，因此或；即原方程的解集為：或；（2）由得，即，解得：.故，原不等式的解集為：.【點睛】本題主要考查解含三角函數(shù)的方程，以及反三角函數(shù)不等式，熟記三角函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解，屬于?？碱}型.19、(1)見證明；(2)見證明；(3)【解析】

（1）連接，交于，則為中點，連接OP，可證明，從而可證明直線平面；（2）先證明AC⊥BD，，可得到平面，然后結(jié)合平面，可知平面平面；（3）連接，由（2）知，平面平面，可知即為與平面的夾角，求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于，則為中點，連接OP，∵P為的中點，∴，∵OP?平面，?平面，∴平面；（2）證明：長方體中，，底面是正方形，則AC⊥BD，又⊥面，則．∵?平面，?平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面；（3）解：連接，由（2）知，平面平面，∴即為與平面的夾角，在長方體中，∵，∴．在中，．∴直線與平面的夾角為．【點睛】本題考查了線面平行、面面垂直的證明，考查了線面角的求法，考查了學生的空間想象能力和計算求解能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)公式：頻率=頻數(shù)÷樣本容量可補充完成頻率分布表，然后作出頻率分布直方圖；（Ⅱ）直徑誤差不超過3．33mm的頻率有3．53,3．53,3．53，所以這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得試題解析：（Ⅰ）分組

頻數(shù)

頻率

[4．95,4．97）

43

3．43

[4．97,4．99）

53

3．53

[4．99,5．34）

53

3．53

[5．34,5．33]

53

3．53

合計

433

4

（Ⅱ）設誤差不超過3．33的事件為，則．（Ⅲ）考點：4．頻率分布直方圖；5．求數(shù)值的平均值21、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，推