2024屆四川省百師聯(lián)盟高三沖刺卷數(shù)學(xué)試題（理）（全國(guó)卷）（解析版）（三）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）數(shù)學(xué)試題（理）（全國(guó)卷）一、選擇題1.若為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，故，得．故選：D．2.設(shè)全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數(shù)構(gòu)成的集合，故為全體非負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團(tuán)共有4家超市，2023年4家超市的年利潤(rùn)最小值和最大值分別為200萬(wàn)元和240萬(wàn)元，若4家超市2023年年利潤(rùn)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為（）A.980萬(wàn)元 B.920萬(wàn)元 C.880萬(wàn)元 D.840萬(wàn)元〖答案〗C〖解析〗設(shè)4家超市2023年的年利潤(rùn)從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為880萬(wàn)元．故選:C．5.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．6.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)幾何體的三視圖，若網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積．故選：B．7.已知，則（）A.48 B.192 C.128 D.72〖答案〗B〖解析〗令，則，令，得．故選：B．8.在杭州亞運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目多向飛碟比賽中，已知某選手第一發(fā)命中的概率為，第一發(fā)和第二發(fā)均命中的概率為．則在他第一發(fā)命中的前提下，第二發(fā)未命中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該選手“第一發(fā)命中”為事件，“第二發(fā)命中”為事件，則，所以．故選：C．9.“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．10.已知為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，所以，即，設(shè)，易知上單調(diào)遞增，所以，即，故，所以．故選：B．11.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)．則圖象的一條對(duì)稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因?yàn)?，所以，若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，令，得，因?yàn)?，所以．?dāng)，當(dāng)，當(dāng)，只有D符合.故選：D．12.已知函數(shù)，若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．易知為奇函數(shù)，且，故在上單調(diào)遞增．又，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，只需，解得．故選：D．二、填空題13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設(shè)，則為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)位于時(shí)，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫出與函數(shù)在處有公共切線的一個(gè)函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)?，所以，則，，依題意只需滿足，即可，不妨令，則，則，又，符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數(shù)列中，，且滿足，若的前3項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，則______．〖答案〗3〖解析〗由，得，兩式相加得，故，兩式相減得，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以，則．故〖答案〗為：3.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．若，且的面積為2，則的焦距為______．〖答案〗〖解析〗雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的半焦距為，則由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，，不妨設(shè)點(diǎn)在的右支上，，則，所以，得，所以，得，又，所以的焦距為．故〖答案〗為：．三、解答題（一）必考題17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，得，由正弦定理得，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以．?）設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，在中，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為4．所以，因?yàn)椋?，所以面積的最大值為．18.如圖，四棱錐中，底面四邊形為菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，．（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，為菱形,，所以是等邊三角形，則．又是等邊三角形，所以因?yàn)?，所以，故，又，所以，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）解：存在，理由如下：假設(shè)存在，設(shè)，由（1）知三條直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以．由，解得（舍）或，所以存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，此時(shí)．19.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡(jiǎn)稱病毒）是一種個(gè)體微小，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，只含一種核酸（DNA或RNA）非細(xì)胞型生物．一部分病毒可以感染人類，導(dǎo)致人類出現(xiàn)病毒性疾?。芯咳藛T為了研究某種病毒在常溫下的存活時(shí)間與空氣相對(duì)濕度（以下簡(jiǎn)稱濕度）的關(guān)系，對(duì)100株該種病毒的存活時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果存活時(shí)間超過(guò)8小時(shí)，即認(rèn)為該株病毒“長(zhǎng)期存活”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表，空氣相對(duì)濕度是否存活合計(jì)長(zhǎng)期存活非長(zhǎng)期存活濕度以上153550濕度及以下54550合計(jì)2080100（1）在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，判斷該病毒“長(zhǎng)期存活”是否與濕度有關(guān)；（2）以樣本中的頻率估計(jì)概率，設(shè)在常溫下，空氣相對(duì)濕度在及以下的1000株病毒中恰有株病毒為“長(zhǎng)期存活”的概率為，求當(dāng)取得最大值時(shí)，的值．附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得：．因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可以認(rèn)為該病毒“長(zhǎng)期存活”與濕度有關(guān)．（2）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，在濕度及以下的50株病毒中有5株“長(zhǎng)期存活”，若以樣本頻率估計(jì)概率，則一株病毒“長(zhǎng)期存活”的概率為．所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)取得最大值時(shí)，．20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線在兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：（1）由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，,由拋物線的定義，知點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以當(dāng)時(shí)，，所以拋物線的方程為．（2）由題易知拋物線在兩點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，即，與拋物線方程聯(lián)立得，，即，解得，所以，即，同理可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程為．設(shè)，由，得，由（1）知，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．21.已知函數(shù)．（1）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在處取得極值，且，證明：．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，即，得．令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；所以僅在處取得極小值，符合題意．故當(dāng)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）證明：由（1）知，，且，所以故，令，則，所以單調(diào)遞減，所以，由，得．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以①；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，所以②，①②兩式相乘得，故，因?yàn)?，所以，得證．（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若射線：與曲線和直線分別交于兩點(diǎn)，求．解：（1）由得，平方相加得，將代入得，即；由，得，將代入得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為．（2）將代入曲線，得，將代入直線，得，所以．[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，即或或解得，所以不等式的解集為．（2）設(shè)，易得在上單調(diào)遞增，故．又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以只需，解得或，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為．四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（三）數(shù)學(xué)試題（理）（全國(guó)卷）一、選擇題1.若為實(shí)數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，故，得．故選：D．2.設(shè)全集為，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，為全體正奇數(shù)構(gòu)成的集合，故為全體非負(fù)偶數(shù)構(gòu)成的集合，所以．故選：A．3.如圖，平行四邊形中，，設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選:B．4.某超市集團(tuán)共有4家超市，2023年4家超市的年利潤(rùn)最小值和最大值分別為200萬(wàn)元和240萬(wàn)元，若4家超市2023年年利潤(rùn)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為（）A.980萬(wàn)元 B.920萬(wàn)元 C.880萬(wàn)元 D.840萬(wàn)元〖答案〗C〖解析〗設(shè)4家超市2023年的年利潤(rùn)從小到大依次為，則，解得，所以2023年該超市集團(tuán)的總利潤(rùn)為880萬(wàn)元．故選:C．5.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以圓心到直線的距離為1，即，解得．故選：A．6.如圖，網(wǎng)格紙上繪制了一個(gè)幾何體的三視圖，若網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三視圖可知，該幾何體為四分之一圓臺(tái)，且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為4，所以其體積．故選：B．7.已知，則（）A.48 B.192 C.128 D.72〖答案〗B〖解析〗令，則，令，得．故選：B．8.在杭州亞運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目多向飛碟比賽中，已知某選手第一發(fā)命中的概率為，第一發(fā)和第二發(fā)均命中的概率為．則在他第一發(fā)命中的前提下，第二發(fā)未命中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)該選手“第一發(fā)命中”為事件，“第二發(fā)命中”為事件，則，所以．故選：C．9.“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．10.已知為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，所以，即，設(shè)，易知上單調(diào)遞增，所以，即，故，所以．故選：B．11.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)．則圖象的一條對(duì)稱軸可能的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因?yàn)?，所以，若在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，解得，令，得，因?yàn)椋裕?dāng)，當(dāng)，當(dāng)，只有D符合.故選：D．12.已知函數(shù)，若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．易知為奇函數(shù)，且，故在上單調(diào)遞增．又，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，只需，解得．故選：D．二、填空題13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為______．〖答案〗1〖解析〗可行域如圖陰影所示，設(shè)，則為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)位于時(shí)，取得最大值1．故〖答案〗為：1.14.寫出與函數(shù)在處有公共切線的一個(gè)函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)椋?，則，，依題意只需滿足，即可，不妨令，則，則，又，符合題意．故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數(shù)列中，，且滿足，若的前3項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，則______．〖答案〗3〖解析〗由，得，兩式相加得，故，兩式相減得，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以，則．故〖答案〗為：3.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．若，且的面積為2，則的焦距為______．〖答案〗〖解析〗雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線的半焦距為，則由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，，不妨設(shè)點(diǎn)在的右支上，，則，所以，得，所以，得，又，所以的焦距為．故〖答案〗為：．三、解答題（一）必考題17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由，得，由正弦定理得，整理得，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以．?）設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，在中，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為4．所以，因?yàn)?，所以，所以面積的最大值為．18.如圖，四棱錐中，底面四邊形為菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，．（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，為菱形,，所以是等邊三角形，則．又是等邊三角形，所以因?yàn)?，所以，故，又，所以，故，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：存在，理由如下：假設(shè)存在，設(shè)，由（1）知三條直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以．由，解得（舍）或，所以存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，此時(shí)．19.生物病毒（Biologicalvirus，以下簡(jiǎn)稱病毒）是一種個(gè)體微小，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，只含一種核酸（DNA或RNA）非細(xì)胞型生物．一部分病毒可以感染人類，導(dǎo)致人類出現(xiàn)病毒性疾?。芯咳藛T為了研究某種病毒在常溫下的存活時(shí)間與空氣相對(duì)濕度（以下簡(jiǎn)稱濕度）的關(guān)系，對(duì)100株該種病毒的存活時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果存活時(shí)間超過(guò)8小時(shí)，即認(rèn)為該株病毒“長(zhǎng)期存活”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表，空氣相對(duì)濕度是否存活合計(jì)長(zhǎng)期存活非長(zhǎng)期存活濕度以上153550濕度及以下54550合計(jì)2080100（1）在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，判斷該病毒“長(zhǎng)期存活”是否與濕度有關(guān)；（2）以樣本中的頻率估計(jì)概率，設(shè)在常溫下，空氣相對(duì)濕度在及以下的1000株病毒中恰有株病毒為“長(zhǎng)期存活”的概率為，求當(dāng)取得最大值時(shí)，的值．附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得：．因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可以認(rèn)為該病毒“長(zhǎng)期存活”與濕度有關(guān)．（2）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知，在濕度及以下的50株病毒中有5株“長(zhǎng)期存活”，若以樣本頻率估計(jì)概率，則一株病毒“長(zhǎng)期存活”的概率為．所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)取得最大值時(shí)，．20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線在兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：（1）由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，，,由拋物線的定義，知點(diǎn)到拋