高考數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪高分講義第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用

2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用[知識(shí)梳理]1．七類常見(jiàn)函數(shù)模型2．指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型的性質(zhì)3．解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程用框圖表示如下：特別提醒：(1)“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢．(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(3)易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性．[診斷自測(cè)]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xα(α>0)的增長(zhǎng)速度．()(2)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問(wèn)題．()(3)當(dāng)a>1時(shí)，不存在實(shí)數(shù)x0，使ax0<xeq\o\al(a,0)<logax0.()(4)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年內(nèi)，我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長(zhǎng)9%的水平，那么要達(dá)到國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值比1995年翻兩番的年份大約是(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)()A．2015年 B．2011年C．2010年 D．2008年答案B解析設(shè)1995年總值為a，經(jīng)過(guò)x年翻兩番，則a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝eq\f(2lg2,lg1.09)≈16.故選B.(2)(必修A1P107T1)在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A．y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x答案B解析由題意得，表中數(shù)據(jù)y隨x的變化趨勢(shì)，函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大越來(lái)越快．∵A中函數(shù)是線性增加的函數(shù)，C中函數(shù)是比線性增加還緩慢的函數(shù)，D中函數(shù)是減函數(shù)，∴排除A，C，D，∴B中函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x2－1)符合題意．故選B.3．小題熱身(1)(2018·湖北八校聯(lián)考)某人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)繪制了2016年春節(jié)前后，從1月25日至2月11日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時(shí)間x(天答案eq\f(190,9)解析前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)為y＝kx＋b，將點(diǎn)(1，10)和點(diǎn)(10,30)代入函數(shù)解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當(dāng)x＝6時(shí)，y＝eq\f(190,9).(2)(2017·朝陽(yáng)區(qū)模擬)某商場(chǎng)2017年一月份到十二月份月銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì)，現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.能較準(zhǔn)確反映商場(chǎng)月銷售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為_(kāi)_______(填寫(xiě)相應(yīng)函數(shù)的序號(hào))，若所選函數(shù)滿足f(1)＝10，f(3)＝2，則f(x)＝________.答案③x2－8x＋17解析(ⅰ)因?yàn)閒(x)＝p·qx，f(x)＝logqx＋q是單調(diào)函數(shù)，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(p,2)，f(x)出現(xiàn)一個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，所以模擬函數(shù)應(yīng)選f(x)＝x2＋px＋q.(ⅱ)∵f(1)＝10，f(3)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋p＋q＝10，,9＋3p＋q＝2，))解得p＝－8，q＝17，∴f(x)＝x2－8x＋17故答案為③；x2－8x＋17.題型1二次函數(shù)及分段函數(shù)模型eq\o(\s\do1(典例))為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，虧損數(shù)額國(guó)家將給予補(bǔ)償．(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果虧損，則國(guó)家每月補(bǔ)償數(shù)額的范圍是多少？(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？本題用函數(shù)法，再由均值定理解之．解(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則S＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80000))＝－eq\f(1,2)x2＋400x－80000＝－eq\f(1,2)(x－400)2，所以當(dāng)x∈[200,300]時(shí)，S<0，因此該單位不會(huì)獲利．當(dāng)x＝300時(shí)，S取得最大值－5000，當(dāng)x＝200時(shí)，S取得最小值－20000，故國(guó)家每月補(bǔ)償數(shù)額的范圍是[5000,20000]．(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為eq\f(y,x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144，,\f(1,2)x＋\f(80000,x)－200，x∈[144，500].))①當(dāng)x∈[120,144)時(shí)，eq\f(y,x)＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，所以當(dāng)x＝120時(shí)，eq\f(y,x)取得最小值240.②當(dāng)x∈[144,500]時(shí)，eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x×\f(80000,x))－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時(shí)，eq\f(y,x)取得最小值200.因?yàn)?00<240，所以當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．方法技巧一次函數(shù)、二次函數(shù)及分段函數(shù)模型的選取與應(yīng)用策略1．在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)變量之間的關(guān)系是直線上升或直線下降或圖象為直線(或其一部分)，一般構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．2．實(shí)際問(wèn)題中的如面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題或其圖象為拋物線(或拋物線的一部分)等一般選用二次函數(shù)模型，根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式．結(jié)合二次函數(shù)的圖象、最值求法、單調(diào)性、零點(diǎn)等知識(shí)將實(shí)際問(wèn)題解決．見(jiàn)典例．3．實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解，但應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：(1)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏；(2)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．提醒：(1)構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域．(2)對(duì)構(gòu)建的較復(fù)雜的函數(shù)模型，要適時(shí)地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問(wèn)題求解．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2017·廣州模擬)某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)．(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？②如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？解(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6，所以總利潤(rùn)y＝8.25萬(wàn)元．②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元．則y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，則y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).所以當(dāng)t＝4時(shí)，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此時(shí)x＝16,18－x＝2，所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，約為8.5萬(wàn)元．題型2指數(shù)函數(shù)模型eq\o(\s\do1(典例))(2017·西安模擬)我國(guó)加入WTO后，根據(jù)達(dá)成的協(xié)議，若干年內(nèi)某產(chǎn)品的關(guān)稅與市場(chǎng)供應(yīng)量P的關(guān)系近似滿足：y＝P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t為關(guān)稅的稅率，且t∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x為市場(chǎng)價(jià)格，b，k為正常數(shù))，當(dāng)t＝eq\f(1,8)時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖：(1)根據(jù)圖象求b，k的值；(2)若市場(chǎng)需求量為Q，它近似滿足Q(x)＝2eq\s\up15(11－eq\f(x,2)).當(dāng)P＝Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格．為使市場(chǎng)平衡價(jià)格控制在不低于9元的范圍內(nèi)，求稅率t的最小值．本題用函數(shù)思想，采用換元法．解(1)由圖象知函數(shù)圖象過(guò)(5,1)，(7,2)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)))5－b2＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(k,8)))7－b2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝6，,b＝5.))(2)當(dāng)P＝Q時(shí)，2(1－6t)(x－5)2＝2eq\s\up15(11－eq\f(x,2))，即(1－6t)(x－5)2＝11－eq\f(x,2)，化簡(jiǎn)得1－6t＝eq\f(11－\f(x,2),x－52)＝eq\f(1,2)·eq\f(22－x,x－52)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(17,x－52)－\f(1,x－5))).令m＝eq\f(1,x－5)(x≥9)，所以m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).設(shè)f(m)＝17m2－m，m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，對(duì)稱軸為m＝eq\f(1,34)，所以f(m)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(13,16)，所以，當(dāng)m＝eq\f(1,4)，即x＝9時(shí)，1－6t取得最大值為eq\f(1,2)×eq\f(13,16)，即1－6t≤eq\f(1,2)×eq\f(13,16)，解得t≥eq\f(19,192)，即稅率的最小值為eq\f(19,192).方法技巧構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型的關(guān)注點(diǎn)1．指數(shù)函數(shù)模型常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)解決．2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問(wèn)題：(1)寫(xiě)出該城市人口總數(shù)y(單位：萬(wàn)人)與年份x(單位：年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年)．(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log1.0121.2≈15.3)解(1)1年后該城市人口總數(shù)為y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x年后該城市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)x.所以該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式是y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．(2)10年后該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬(wàn)人)．所以10年后該城市人口總數(shù)約為112.7萬(wàn)人．(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人，即100(1＋1.2%)x≥120，于是1.012x≥eq\f(120,100)，所以x≥log1.012eq\f(120,100)＝log1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大約15年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)人．題型3對(duì)數(shù)函數(shù)模型eq\o(\s\do1(典例))某企業(yè)根據(jù)分析和預(yù)測(cè)，能獲得10萬(wàn)～1000萬(wàn)元的投資收益，企業(yè)擬制定方案對(duì)科研進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，方案：獎(jiǎng)金y(萬(wàn)元)隨投資收益x(萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金也不超過(guò)投資收益的20%，并用函數(shù)y＝f(x)模擬此方案．(1)寫(xiě)出模擬函數(shù)y＝f(x)所滿足的條件；(2)試分析函數(shù)模型y＝4lgx－3是否符合此方案要求，并說(shuō)明理由．用函數(shù)思想，采用導(dǎo)數(shù)法．解(1)由題意，y＝f(x)所滿足的條件是：①f(x)在[10,1000]上為增函數(shù)，②f(x)≤9，③f(x)≤eq\f(1,5)x.(2)對(duì)于y＝4lgx－3，顯然在[10,1000]上是增函數(shù)，滿足條件①.當(dāng)10≤x≤1000時(shí)，4lg10－3≤y≤4lg1000－3，即1≤y≤9，滿足條件②.證明如下：f(x)≤eq\f(1,5)x，即4lgx－3≤eq\f(1,5)x，對(duì)于x∈[10,1000]恒成立．令g(x)＝4lgx－3－eq\f(1,5)x，x∈[10,1000]，g′(x)＝eq\f(20lge－x,5x)，∵e<eq\r(10)，∴l(xiāng)ge<lgeq\r(10)＝eq\f(1,2)，∴20lge<10，又∵x≥10，∴20lge－x<0，∴g′(x)<0對(duì)于x∈[10,1000]恒成立，∴g(x)在[10,1000]上是減函數(shù)．∴g(x)≤g(10)＝4lg10－3－eq\f(1,5)×10＝－1<0，即4lgx－3－eq\f(1,5)x≤0，即4lgx－3≤eq\f(1,5)x，對(duì)x∈[10,1000]恒成立，從而滿足條件③.方法技巧本例屬獎(jiǎng)金分配問(wèn)題，獎(jiǎng)金的收益屬對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，隨著投資收益的增加，獎(jiǎng)金的增加會(huì)趨向于“飽和”狀態(tài)，實(shí)際中很多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都是這種規(guī)律，并注意掌握直接法、列式比較法、描點(diǎn)觀察法．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的變化進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥(niǎo)類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥(niǎo)類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是實(shí)數(shù))．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥(niǎo)類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？解(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥(niǎo)類靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，所以－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得eq\f(Q,10)≥27，即Q≥270.所以若這種鳥(niǎo)類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位．1．(2015·北京高考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況．加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2015123500020154835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程．在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A．6升 B．8升C．10升 D．12升答案B解析因?yàn)榈谝淮?即5月1日)把油加滿，而第二次把油加滿加了48升，即汽車行駛35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量為8升．故選B.2．(2014·湖南高考)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為()A.eq\f(p＋q,2) B．eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D．eq\r(p＋1q＋1)－1答案D解析設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a，則第二年年底的生產(chǎn)總值為a(1＋p)(1＋q)．設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x，則a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于連續(xù)兩年持續(xù)增加，所以x>0，因此x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.故選D.3．(2015·四川高考)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí)．答案24解析依題意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝eq\f(48,eb)＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，所以e11k＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)(舍去)，于是該食品在33℃的保鮮時(shí)間是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小時(shí))．4．(2017·江西九江七校聯(lián)考)某店銷售進(jìn)價(jià)為2元/件的產(chǎn)品A，該店產(chǎn)品A每日的銷售量y(單位：千件)與銷售價(jià)格x(單位：元/件)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6.(1)若產(chǎn)品A銷售價(jià)格為4元/件，求該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)；(2)試確定產(chǎn)品A的銷售價(jià)格x的值，其使該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)最大．(保留1位小數(shù))解(1)當(dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(10,2)＋4×(4－6)2＝21千件，此時(shí)該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)為(4－2)×21＝42千元．(2)該店每日銷售產(chǎn)品A所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4x－62))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，易知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))上，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，6))上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．所以x＝eq\f(10,3)是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x＝eq\f(10,3)≈3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值．故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/件時(shí)，利潤(rùn)最大．[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2018·福州模擬)在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系與下列函數(shù)最接近的(其中a，b為待定系數(shù))是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝ax2＋b D．y＝a＋eq\f(b,x)答案B解析由x＝0時(shí)，y＝1，排除D；由f(－1.0)≠f(1.0)，排除C；由函數(shù)值增長(zhǎng)速度不同，排除A.故選B.2．(2017·云南聯(lián)考)某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前三年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后三年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示的是()答案A解析由于開(kāi)始的三年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故總產(chǎn)量迅速增長(zhǎng)，圖中符合這個(gè)規(guī)律的只有選項(xiàng)A；后三年產(chǎn)量保持不變，總產(chǎn)量直線上升．故選A.3．某雜志每本原定價(jià)2元，可發(fā)行5萬(wàn)本，若每本提價(jià)0.20元，則發(fā)行量減少4000本，為使銷售總收入不低于9萬(wàn)元，需要確定雜志的最高定價(jià)是()A．2.4元B．3元C．2.8元D．3.2元答案B解析設(shè)每本定價(jià)x元(x≥2)，銷售總收入是y元，則y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×104－\f(x－2,0.2)×4×103))·x＝104·x(9－2x)≥9×104.∴2x2－9x＋9≤0?eq\f(3,2)≤x≤3.故選B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地費(fèi)用與倉(cāng)庫(kù)到車站距離成反比，而每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉(cāng)庫(kù)到車站距離成正比．如果在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù)，則土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站()A．5km處B．4km處C．3km處D．2km處答案A解析設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車站距離為x，土地費(fèi)用為y1，運(yùn)輸費(fèi)用為y2，于是y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\f(k1,10)，,8＝10k2，))解得k1＝20，k2＝eq\f(4,5).設(shè)總費(fèi)用為y，則y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，即x＝5時(shí)取等號(hào)．故選A.5．(2015·北京高考)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案D解析對(duì)于A選項(xiàng)，從圖中可以看出當(dāng)乙車的行駛速度大于40km/h時(shí)的燃油效率大于5km/L，故乙車消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知甲車消耗汽油最少；對(duì)于C選項(xiàng)，甲車以80km/h的速度行駛時(shí)的燃油效率為10km/L，故行駛1小時(shí)的路程為80千米，消耗8L汽油，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)最高限速為80km/h且速度相同時(shí)丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，故用丙車比用乙車更省油，所以6．(2017·北京朝陽(yáng)測(cè)試)將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝aent．假設(shè)過(guò)5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)m分鐘甲桶中的水只有eq\f(a,8)，則m的值為()A．7B．8C．9D．10答案D解析根據(jù)題意知eq\f(1,2)＝e5n，令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，因?yàn)閑q\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10.故選D.7．(2016·天津模擬)國(guó)家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬(wàn)元及以下的稅率為p%，超過(guò)280萬(wàn)元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是()A．560萬(wàn)元B．420萬(wàn)元C．350萬(wàn)元D．320萬(wàn)元答案D解析設(shè)該公司的年收入為x萬(wàn)元，納稅額為y萬(wàn)元，則由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x×p%，x≤280，,280×p%＋x－280×p＋2%，x>280，))依題有eq\f(280×p%＋x－280×p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故選D.8．假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報(bào)如圖所示．橫軸為投資時(shí)間，縱軸為每天的回報(bào)，根據(jù)以上信息，若使回報(bào)最多，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．投資3天以內(nèi)(含3天)，采用方案一B．投資4天，不采用方案三C．投資6天，采用方案一D．投資12天，采用方案二答案D解析由圖可知，投資3天以內(nèi)(含3天)，方案一的回報(bào)最高，A正確；投資4天，方案一的回報(bào)約為40×4＝160(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回報(bào)，B正確；投資6天，方案一的回報(bào)約為40×6＝240(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回報(bào)，C正確；投資12天，明顯方案三的回報(bào)最高，所以此時(shí)采用方案三，D錯(cuò)誤．故選D.9．(2017·福建質(zhì)檢)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它經(jīng)過(guò)的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()A．8B．9C．10D．11答案C解析設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1，則經(jīng)過(guò)n(n∈N*)個(gè)“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<eq\f(1,1000)得n≥10.所以，若探測(cè)不到碳14含量，則至少經(jīng)過(guò)了10個(gè)“半衰期”．故選C.10．(2017·北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)某房地產(chǎn)公司計(jì)劃出租70套相同的公寓房．當(dāng)每套房月租金定為3000元時(shí)，這70套公寓能全租出去；當(dāng)月租金每增加50元時(shí)(設(shè)月租金均為50元的整數(shù)倍)，就會(huì)多一套房子不能出租．設(shè)租出的每套房子每月需要公司花費(fèi)100元的日常維修等費(fèi)用(設(shè)租不出的房子不需要花這些費(fèi)用)．要使公司獲得最大利潤(rùn)，每套房月租金應(yīng)定為()A．3000元B．3300元C．3500元D．4000元答案B解析由題意，設(shè)利潤(rùn)為y元，租金定為3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)·(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2，當(dāng)且僅當(dāng)58＋x＝70－x，即x＝6時(shí)，等號(hào)成立，故每月租金定為3000＋300＝3300(元)時(shí)，公司獲得最大利潤(rùn)．故選B.二、填空題11．(2017·金版創(chuàng)新)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為_(kāi)_______．(用常數(shù)a表示)答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時(shí)，D取得最大值．12．一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，若經(jīng)過(guò)8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)________min，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一．答案16解析當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a；當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a.e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經(jīng)過(guò)16min.13．(2014·北京高考改編)加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，右圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為_(kāi)_______．答案3.75分鐘解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0.7，,16a＋4b＋c＝0.8，,25a＋5b＋c＝0.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2，))∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，∴當(dāng)t＝eq\f(15,4)＝3.75時(shí)p最大，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘．14．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：(1)從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不大于0.25毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)________小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．答案(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1))(2)0.6解析(1)設(shè)y＝kt，由圖象知y＝kt過(guò)點(diǎn)(0.1,1)，則1＝k×0.1，k＝10，∴y＝10t(0≤t≤0.1)．由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a過(guò)點(diǎn)(0.1,1)，得1＝eq\b\lc\(\