重慶市外國語學(xué)校2024屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

重慶市外國語學(xué)校2024屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是等比數(shù)列，有下列四個命題：①是等比數(shù)列；②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④是等差數(shù)列．其中正確命題的個數(shù)是()A． B． C． D．2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，己知A=60°，，則B=（）A．45° B．135° C．45°或135° D．以上都不對3．已知為角終邊上一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．5．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.156．若三個球的半徑的比是1：2：3，則其中最大的一個球的體積是另兩個球的體積之和的（）倍．A．95 B．2 C．527．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．108．某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）A．12π B．45π C．57π D．81π9．在，，，是邊上的兩個動點(diǎn)，且，則的取值范圍為()A． B． C． D．10．下圖為某市國慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購量與成交量的折線圖，小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這7天的認(rèn)購量（單位：套）與成交量（單位：套）作出如下判斷：①日成交量的中位數(shù)是26；②日成交量超過日平均成交量的有2天；③認(rèn)購量與日期正相關(guān)；④10月2日到10月6日認(rèn)購量的分散程度比成交量的分散程度更大.則上述判斷錯誤的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期為______________.12．已知向量，則___________.13．已知向量，則與的夾角為______．14．已知，，則______，______.15．方程的解為_________.16．已知向量、滿足：，，，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面立角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的圓的圓心在軸上，且與過原點(diǎn)傾斜角為的直線相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)分別為、，求經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).18．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；19．某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；（2）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分；（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取個，求至多有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率．20．已知函數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．21．為了研究某種藥物，用小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的3小時內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度與時間t滿足關(guān)系式：，若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度與時間t滿足關(guān)系式：現(xiàn)對小白鼠同時進(jìn)行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．（1）若a=1，求3小時內(nèi)，該小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值？（2）若使小白鼠在用藥后3小時內(nèi)血液中的藥物濃度不低于4，求正數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

設(shè)，得到，，，再利用舉反例的方式排除③【詳解】設(shè)，則：，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，①正確，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，②正確取，則，不是等比數(shù)列，③錯誤.，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，④正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的判斷，找出反例可以快速的排除選項(xiàng)，簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】

利用正弦定理求出的值，再結(jié)合，得出，從而可得出的值?！驹斀狻坑烧叶ɡ淼?，，，則，所以，，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，要注意正弦定理所適用的基本情形，同時在求得角時，利用大邊對大角定理或兩角之和不超過得出合適的答案，考查計(jì)算能力，屬于中等題。3、B【解析】

由可得，借助三角函數(shù)定義可得m值與.【詳解】∵∴，解得又為角終邊上一點(diǎn)，∴，∴∴故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和正切公式，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

令，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，可將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題．【詳解】由題意，令，可得，，∴，∴原函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同．∵函數(shù)圖象的對稱軸為，，取得最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換、函數(shù)的值域，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意換元法的使用，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題.5、B【解析】

已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種∴該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

設(shè)最小球的半徑為R，根據(jù)比例關(guān)系即可得到另外兩個球的半徑，再利用球的體積公式表示出三個球的體積，即可得到結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)最小球的半徑為R，由三個球的半徑的比是1：2：3，可得另外兩個球的半徑分別為2R，3R；∴最小球的體積V1=43π∴V故答案選D【點(diǎn)睛】本題主要考查球體積的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解析】

根據(jù)題中的程序語句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出?！驹斀狻坑深}意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語句的含義是解題關(guān)鍵。8、C【解析】由三視圖可知，此組合體上部是一個母線長為5，底面圓半徑是3的圓錐，下部是一個高為5，底面半徑是3的圓柱故它的體積是5×π×32+π×32×=57π故選C9、A【解析】由題意，可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，不妨設(shè)，由，所以，整理得，則，即，所以當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值.故選A.點(diǎn)睛：此題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及直線方程和兩點(diǎn)間距離的計(jì)算等方面的知識與技能，還有坐標(biāo)法的運(yùn)用等，屬于中高檔題，也是?？伎键c(diǎn).根據(jù)題意，把運(yùn)動（即的位置在變）中不變的因素（）找出來，通過坐標(biāo)法建立合理的直角坐標(biāo)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，再通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，列出式子，討論其最值，從而問題可得解.10、B【解析】

將國慶七天認(rèn)購量和成交量從小到大排列,即可判斷①;計(jì)算成交量的平均值,可由成交量數(shù)據(jù)判斷②;由圖可判斷③;計(jì)算認(rèn)購量的平均值與方差,成交量的平均值與方差,對方差比較即可判斷④.【詳解】國慶七天認(rèn)購量從小到大依次為:91,100,105,107,112,223,276成交量從小到大依次為:8,13,16,26,32,38,166對于①,成交量的中為數(shù)為26,所以①正確;對于②,成交量的平均值為,有1天成交量超過平均值,所以②錯誤;對于③,由圖可知認(rèn)購量與日期沒有正相關(guān)性,所以③錯誤;對于④,10月2日到10月6日認(rèn)購量的平均值為方差為10月2日到10月6日成交量的平均值為方差為所以由方差性質(zhì)可知,10月2日到10月6日認(rèn)購量的分散程度比成交量的分散程度更小,所以④錯誤;綜上可知,錯誤的為②③④故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容,由圖示分析計(jì)算各個量,利用方差比較數(shù)據(jù)集中程度,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Atan（ωx+φ）的周期為．12、【解析】

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵．13、【解析】

設(shè)與的夾角為，由條件，平方可得，由此求得的值．【詳解】設(shè)與的夾角為，，則由，平方可得，解得，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，向量的模的定義，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．14、【解析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進(jìn)而將平方，可求出答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)?，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及正切函數(shù)的周期為kπ，即可得到原方程的解．【詳解】則故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖象及周期性，是一道基礎(chǔ)題．16、.【解析】

將等式兩邊平方得出的值，再利用結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律可得出結(jié)果.【詳解】，，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積來計(jì)算平面向量的模，在計(jì)算時，一般將平面向量的模平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為、【解析】

(1)先算出直線方程，根據(jù)相切和過點(diǎn)，圓心在軸上聯(lián)立方程解得答案.(2)取線段的中點(diǎn)，經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓是以線段為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，將圓方程表示出來，聯(lián)立方程組解得答案.【詳解】(1)由題意知，直線的方程為，整理為一般方程可得由圓的圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，由題意有，解得：，，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由圓的幾何性質(zhì)知，，，取線段的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可知，故經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓是以線段為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為有則以為直徑的圓的方程為：，整理為可得.令，解得或，故經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為、.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，切線問題，四點(diǎn)共圓，定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，技巧性高，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、（1）見解析；（2）見解析；【解析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?因?yàn)?平面,所以平面.（2）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻遥詾檎切?，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫?，平?所以；因?yàn)樗云矫?，平?所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(1)0.3，直方圖見解析；(2)121；(3).【解析】

（1）頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，而頻率的和等于1，可求出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，即可求出矩形的高，畫出圖象即可；（2）同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，將中點(diǎn)值與每一組的頻率相差再求出它們的和即可求出本次考試的平均分；（3）先計(jì)算、分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，然后按照比例進(jìn)行抽取，設(shè)從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段為事件，然后列出基本事件空間包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后將包含事件的個數(shù)求出題目比值即可.【詳解】(1)分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，補(bǔ)全后的直方圖如下：(2)平均分為：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：60×0.15＝9人，[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：60×0.3＝18人．∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在[120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人并分別