江蘇省常熟市第一中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

江蘇省常熟市第一中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為，的周期為，且是奇函數(shù)．當(dāng)時，，，其中．若在區(qū)間上，函數(shù)有個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)3．已知角α終邊上一點(diǎn)P(-2,3)，則cos(A．32 B．-32 C．4．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．125．在四邊形中，若，且，則四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形6．函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)的圖象是()A． B． C． D．7．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°8．下列事件是隨機(jī)事件的是（1）連續(xù)兩次擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面向上．（2）異性電荷相互吸引（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在℃時結(jié)冰（4）任意擲一枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）9．以橢圓的兩個焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個不同的點(diǎn),順次連接這四個點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，若，則等于__________．12．在三棱錐中，，，，作交于，則與平面所成角的正弦值是________.13．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．14．一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東方向航行后到達(dá)海島，然后從出發(fā)沿北偏東方向航行后到達(dá)海島，如果下次直接從沿北偏東方向到達(dá)，則______.15．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列，若，則________________．16．若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線截以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時，求直線的方程；（3）設(shè)，是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線，分別交軸于點(diǎn)和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.19．如圖，在平面四邊形中，，,,,．（1）求的長；（2）求的長．20．在△中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，，為的中點(diǎn)，求線段的長度.21．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)題意可知，函數(shù)和在上的圖象有個不同的交點(diǎn)，作出兩函數(shù)圖象，即可數(shù)形結(jié)合求出．【詳解】作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)和在上的圖象有個不同的交點(diǎn)，故函數(shù)和在上的圖象有個不同的交點(diǎn)，才可以滿足題意．所以，圓心到直線的距離為，解得，因?yàn)閮牲c(diǎn)連線斜率為，所以，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)與兩函數(shù)圖象之間的交點(diǎn)個數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題．2、D【解析】

根據(jù)題意，分別寫出和時，左邊對應(yīng)的式子，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以，由遞推到時，不等式左邊增加了，；減少了；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，熟記數(shù)學(xué)歸納法，會求增量即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、A【解析】角α終邊上一點(diǎn)P(-2,3)，所以cos(4、A【解析】

利用基本不等式可得，然后解出即可．【詳解】解：正數(shù)，滿足，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為9，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)向量相等可知四邊形為平行四邊形；由數(shù)量積為零可知，從而得到四邊形為矩形.【詳解】，可知且四邊形為平行四邊形由可知：四邊形為矩形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查相等向量、垂直關(guān)系的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】解：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段畫出函數(shù)圖象如D圖示，故選D．7、D【解析】

根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示，列出等式，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示．8、D【解析】試題分析：根據(jù)隨機(jī)事件的定義：在相同條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象（2）是必然發(fā)生的，（3）是不可能發(fā)生的，所以不是隨機(jī)事件，故選擇D考點(diǎn)：隨機(jī)事件的定義9、D【解析】

四個交點(diǎn)中的任何一個到焦點(diǎn)的距離和都是，然后分析正六邊形中的長度和焦距的關(guān)系，從而建立等式求解.【詳解】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)是，圓與橢圓的四個交點(diǎn)是,設(shè)，，，，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型10、B【解析】

由邊之間的比例關(guān)系，設(shè)出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因?yàn)?，所以c邊所對角最大，設(shè)，由余弦定理得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，計(jì)算求解能力，屬于基本題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,代入式子中運(yùn)算即可.【詳解】解：在等比數(shù)列中,若故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用.12、【解析】

取中點(diǎn),中點(diǎn),易得面,再求出到平面的距離,進(jìn)而求解再得出到平面的距離.從而算得與平面所成角的正弦值即可.【詳解】如圖,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接.因?yàn)?,所以.因?yàn)?,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,,且面.故到面的距離.到面的距離.又因?yàn)?所以,所以,所以,故到面的距離.故與平面所成角的正弦值是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線面垂直的性質(zhì)與運(yùn)用,同時也考查了余弦定理在三角形中求線段與角度正余弦值的方法,需要根據(jù)題意找到點(diǎn)到面的距離求解,再求出線面的夾角.屬于難題.13、【解析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計(jì)算，即可求出值．【詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形的綜合應(yīng)用，高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．14、【解析】

首先根據(jù)余弦定理求出，在根據(jù)正弦定理求出，即可求出【詳解】有題知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15、【解析】

由圖乙可得：第行有個數(shù)，且第行最后的一個數(shù)為，從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，注意到，，據(jù)此確定n的值即可.【詳解】分析圖乙，可得①第行有個數(shù)，則前行共有個數(shù)，②第行最后的一個數(shù)為，③從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，又由，，則，則出現(xiàn)在第行，第行第一個數(shù)為，這行中第個數(shù)為，前行共有個數(shù)，則為第個數(shù)．故填．【點(diǎn)睛】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．16、【解析】

令，可得，從而將問題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個不同交點(diǎn)，作出圖形，可求出答案.【詳解】由題意，令，則，則和的圖象有兩個不同交點(diǎn)，作出的圖象，如下圖，是過點(diǎn)的直線，當(dāng)直線斜率時，和的圖象有兩個交點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，進(jìn)而得到，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，列用裂項(xiàng)法，即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）；（3）見解析【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線距離公式，可以求出弦心距，根據(jù)垂徑定理結(jié)合勾股定理，可以求出圓的半徑，進(jìn)而可以求出圓的方程；（2）設(shè)出直線的截距式方程，利用圓的切線性質(zhì)，得到一個方程，結(jié)合已知，又得到一個方程，兩個方程聯(lián)立，解方程組，即可求出直線直線的方程；（3）設(shè)，，則，，，分別求出直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，求出的表達(dá)式，通過計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，①.②由①②解得，此時直線的方程為.（3）設(shè)，，則，，，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，為定值2.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理、圓的切線性質(zhì)、勾股定理，考查了求直線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、(1)；(2)【解析】

（1）在中，先得到再利用正弦定理得到.（2）在中，計(jì)算，由余弦定理得到，再用余弦定理得到.【詳解】（1）在中，,則,又由正弦定理，得（2）在中，,則，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中,由余弦定理，得所以.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生利用正余弦定理解決問題的能力.20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由三角恒等變換的公式，化簡，代入即可求解.（2）在中，由余弦定理，結(jié)合基本不等式，求得，即可得到答案.（3）設(shè)，在中，由余弦定理，求得，分別在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，，則又由.（2）在中，由余弦定理可得，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以的最大值?（3）設(shè)，如圖所示，在中，由余弦定理可得，即，即，解得，在中，由余弦定理,可得，……①在中，由余弦定理,可得，……②因?yàn)?，所以，由?②，可得，即，解得，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，以及合理應(yīng)用正弦定理、余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算、求解能力，屬于基礎(chǔ)題．21、(1)證明見解析;(2