2024屆福建省廈門市一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆福建省廈門市一模考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知z-i=z+l(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A?—2D.--------C.1D.72

2

2.設(shè)集合”=([x\-2<x<2],N={yy=2，+l},則/uN=()

A.[-2,+oo)B.(1,2]C.[1,2]D.(l,+8)

3.已知直線/與曲線y=在原點(diǎn)處相切，則/的傾斜角為()

.兀-兀―3兀-5兀

A.-B.-C.—D.—

6446

4.已知a,Z?為單位向量，^\a+b\=\a-b\,則a+〃與〃一〃的夾角為()

717T27r3兀

A.—B.-C.—D.—

3234

5.已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xv0時(shí)，/(%)=V—2%+1,則/(2)+/(O)=()

A.2B.1C.-8D.-9

6.已知〃=x+Lb=ex+e~x,c=sinx+gcosx,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為()

x

A.,a>cB.3xe[-l,l],b>c

C.3XG[-1,1],a<cD.BXG[-1,1],b<c

7.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐?/p>

石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所示的1,5,12,22被稱為五邊形數(shù)，將所

有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)數(shù)為()

A.51B.70C.92D.117

8.已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,Vx,yeR,/(x+l)/(y+1)=/(x+y)-/(x-y),若

/(0)。0,則/(2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=2sin12x-：1,貝lj()

A.7(x)的最小正周期為三

2

B./*)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱

JT

C./⑺在區(qū)間O,J上單調(diào)遞增

D.若的圖象關(guān)于直線x=「對(duì)稱，則sin2%=g

10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20,21,22,23,24,25和。，23,24,25,26,27,

若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3,則()

A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23B.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同

C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同

22

11.設(shè)橢圓C:二+與=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過(guò)耳的直線與C交于

ab

A,B兩點(diǎn),若閨司=2,且AAB瑞的周長(zhǎng)為8,則()

A.a=2B.C的離心率為工

4

C.|AB|可以為兀D./BAK可以為直角

12.如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形A8CO是矩形，AAB/和△DCE均是等

邊三角形，且48=26，EF=x(x>0),則()

A.〃平面A3CD

B.二面角A-￡F-B隨著x的減小而減小

27

C.當(dāng)3c=2時(shí)，五面體ABCDEF的體積V(x)最大值為彳

D.當(dāng)=：時(shí)，存在了使得半徑為左的球能內(nèi)含于五面體ABCDE產(chǎn)

22

三、填空題

13.若sin[a+：]=-|,則cos(e_：j=.

14.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同

學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀,若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

15.已知平面a的一個(gè)法向量為w=(1,0,1),且點(diǎn)A(l,2,3)在a內(nèi)，則點(diǎn)3(1』」)到a的

距離為.

16.設(shè).ABC是面積為1的等腰直角三角形，。是斜邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在.ABC所在

的平面內(nèi)，記:PCD與一卜的面積分別為52,且S「S2=1.當(dāng)|PS|=M，且

|上4|>|必|時(shí)，|E4|=；is||PA|-|PB||=?,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

四、解答題

17.已知,ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2cosB+a6cosA=2c.

⑴求a;

⑵若A=g,且ABC的周長(zhǎng)為2+石，求ABC的面積.

18.如圖，在四棱錐E-ABCD中，AD//BC,2AD=BC=2,AB=也,AB±AD,EA±

平面ABC。，過(guò)點(diǎn)B作平面a_L3Z).

⑴證明：平面a〃平面"C；

(2)已知點(diǎn)尸為棱EC的中點(diǎn)，若EA=2,求直線AD與平面EBD所成角的正弦值.

19.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",電=2%=4,當(dāng)“eN*,且“22時(shí),Sn+1=3Sn-2sl?

⑴證明：｛%｝為等比數(shù)列；

⑵設(shè)%=g_1)；:一1)'記數(shù)列出｝的前“項(xiàng)和為I'若爆+號(hào)H>1'求正整數(shù)機(jī)

的最小值.

20.已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有"名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛(ài)好者a,女。4將依次

通過(guò)摸出小球的顏色來(lái)決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅

球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛(ài)好者從箱

中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一

名新增登山愛(ài)好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù),

直至所有新增登山愛(ài)好者均摸球和放球完畢.新增登山愛(ài)好者若摸出紅球，則被分至甲

隊(duì)，否則被分至乙隊(duì).

(1)求a,6,c三人均被分至同一隊(duì)的概率；

⑵記甲，乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為%,%,設(shè)隨機(jī)變量X=|%-旬，求E(X).

21.已知函數(shù)/(元)=alnx-三二有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,巧?

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵證明：〃網(wǎng))一/㈤＞佇斗.

x{-x2a-l

22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,O),點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為直徑的圓與》軸

相切，記A的軌跡為r,直線互交r于另一點(diǎn)艮

⑴求r的方程；

(2)Q4B的外接圓交r于點(diǎn)C(不與。，A,B重合)，依次連接。，A,C,8構(gòu)成凸四

邊形CMCB,記其面積為S.

(i)證明：ABC的重心在定直線上；

(ii)求S的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.B

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,再求|z|.

/\111

【詳解】由z-i=z+l,得Z(1T)=1,BPz=—=

所以⑶

故選：B

2.A

【分析】由指數(shù)函數(shù)值域求集合M應(yīng)用集合并運(yùn)算求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)N={y|y>l},故MuN={x|-2VxV2}u{y|y〉l}={a|xN-2}.

故選：A

3.C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率，進(jìn)而確定傾斜角.

【詳解】由y'=3/—1,則川.O=-1,即直線/的斜率為T,

根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：/的傾斜角為斗3兀.

4

故選：C

4.B

【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求(。+切-(。-6)即可判斷夾角大小.

、00

【詳解】由題意(a+b)-(a-b)=a-b=0，貝U〃+8與a-6的夾角為

故選：B

5.D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，/。)=尤2一2了+1,所以〃-2)=(—2)2—2X(—2)+1=9,

因?yàn)?*)為定義在R上的奇函數(shù)，所以〃2)=—/(-2)=—9,且〃0)=0,

所以/(2)+/(0)=-9

故選：D

6.D

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】舉例即可判斷ABC；再根據(jù)基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)犬=三時(shí)，

0

兀636c13.,

a=—I—>—I——2,c=—I—=2,止匕n時(shí)a>c,

6兀6422

所以土￡[-1,1],a>c,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)％=0時(shí)，b=2,c=6，此時(shí)b>c，

所以去￡[-1,1],b>c,故B正確；

TT

對(duì)于C,當(dāng)％=一二時(shí)，

6

兀6c13.,

a=---------<0,c=――+-=1,止匕時(shí)Q<0,

67i22

所以*c[-1,1],a<c,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，

&=ex+e-x>27^77=2，當(dāng)且僅當(dāng)/=。一3即x=0時(shí)取等號(hào)，

c=sinx+A/3COSx=2sinx+—,

I3j

由工目一1,1],得x+-1+f>l+g'

2332

所以當(dāng),即x=■時(shí)，c=sinx+6cosx=2sin[x+；1=2,

所以c42,當(dāng)且僅當(dāng)x=2jr時(shí)取等號(hào)，

6

而0片；jr，所以b>c,故D錯(cuò)誤.

6

故選：D.

7.C

【分析】根據(jù)題圖及前4個(gè)五邊形數(shù)找到規(guī)律，即可得第8個(gè)數(shù).

【詳解】由題圖及五邊形數(shù)知：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差依次為4,7,10,13,16,19,22,-,

所以五邊形數(shù)依次為L(zhǎng)5,12,22,35,51,70,92,…，即第8個(gè)數(shù)為92.

故選：C

8.A

【分析】利用賦值法對(duì)兌，進(jìn)行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

［詳解］令x=y=o,^/(i)-/(i)=/(o)-/(o)=o,即/(i)=o,

令x=0,</(i)-/(y+i)=/(j)-/(-y)=o,得/(-y)=〃y),所以函數(shù)為偶函數(shù),

令x=y=l,得/⑵=/⑵一”0),

令尤=y=-l,得尸(O)=f(—2)-/⑼=〃2)—“0),

???/2(2)=f(0),???"2)"⑼或/(2)=。(0),

若〃2)=〃0),解得"0)=0與已知了(0)工0矛盾,

.?.42)=—/(0),即產(chǎn)⑵=2〃2),解得〃2)=2,/(0)=-2,

令y=l，^/(x+l)-/(2)=/(x+l)-/(x-l),

■■-2/(A：+1)=/(A：+1)-/(X-1),,-./(J;+1)=-/(X-1),/.J(x+2)=-/(x),

/(x+4)=/(x),所以函數(shù)的周期為4.

.-./(2024)=/(0)=-2.

故選：A.

9.BC

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】由/(x)=2sin(2x—：｝最小正周期丁=g=兀，A錯(cuò)；

由'(g)=Zsin'xg—三］二°,即■,())是對(duì)稱中心，B對(duì)；

由xe0j,r-,則IT［-gIT芻7T，顯然/*)在區(qū)間07,1-上單調(diào)遞增，C對(duì);

.日工打-71,71_,5兀.,..,1_.j.

由逾息2%—=kitH—=>2%o=kit-\-----,故sin2x=±-,D錯(cuò).

32602

故選：BC

10.BD

【分析】根據(jù)已知平均數(shù)的關(guān)系求得。=28,再由極差、中位數(shù)、方差求法判斷各項(xiàng)正誤即

可.

20+21+22+23+24+25a+23+24+25+26+27

【詳解】由題設(shè),----------------------------------3所以々=28,

66

甲組數(shù)據(jù)中6x70%=4.2,故第70百分位數(shù)為24,A錯(cuò);

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

甲乙組數(shù)據(jù)的極差都為5,B對(duì)；

乙組數(shù)據(jù)從小到大為23,24,25,26,27,28,故其中位數(shù)為生產(chǎn)=25.5,C錯(cuò)；

由上易知：甲的平均數(shù)為22.5,乙的平均數(shù)為25.5,

1OC

所以甲的方差為-x(2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52)="，

612

1as

乙的方差為一x(2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52)=—,

612

故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D對(duì).

故選：BD

11.AC

【分析】根據(jù)已知可得c=l、a=2,進(jìn)而有e=g,結(jié)合橢圓性質(zhì)求相交弦長(zhǎng)的范圍及焦點(diǎn)

三角形內(nèi)角的范圍判斷各項(xiàng)的正誤.

所以3W|AB|<4,故|A5|可以為兀，C對(duì);

々2I/1

由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)A為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)/區(qū)4工最大，此時(shí)cosZBAK="+"，牝=’,

2a2

JT

且ZBA工e(0,兀)，故(的鳥(niǎo)修"二三，即/R4居不可能為直角，D錯(cuò).

故選：AC

12.ACD

【分析】A由線面平行的判定證明；B設(shè)二面角A-EF-3的大小為2a,點(diǎn)尸到面ABCD的

距離為〃，則tana=立，分析取最小值的對(duì)應(yīng)情況即可判斷；C把五面體ABCDEE補(bǔ)成直

h

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

jr

三棱柱FG/-琢J,取AB,G/的中點(diǎn)設(shè)/?,貝I」

MH=3cos0,FH=3sm3,結(jié)合V(x)=匕m叩~^ABIG并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值；D先分析特

殊情況：和△￡>(“所在平面均垂直于面ABCD時(shí)構(gòu)成正三棱柱ABB-OCE,再借助

左視圖、正視圖研究?jī)?nèi)切圓半徑分析一般情況判斷.

【詳解】A：由題設(shè)BC//AD,ADu面AD￡F,3C<Z面ADEF,則BC〃面AZJEF,

由面BCE尸面ADEF=EF,BCu面BCEF,則3C〃E/,

3Cu面A5CD,所(/面ABCD,則麻//平面A5CD,對(duì)；

B：設(shè)二面角A—￡F—B的大小為2a,點(diǎn)尸到面ABCD的距離為〃，貝i]tana=3,

h

點(diǎn)F到面A3CD的距離，僅在面E4BL面A3CD時(shí)取得最大值，

當(dāng)EF=x=3C時(shí)tan。取最小值，即a取最小值，即二面角A—EF—B取最小值，

所以EF=xe(0,+oo),二面角先變小后變大，錯(cuò)；

C：當(dāng)BC=2,如圖，把五面體ABCDEF補(bǔ)成直三棱柱產(chǎn)G/-EK/,

分別取4B,G/的中點(diǎn)M,H,易得尸HL面ABCD,FM=3,

^ZFMH=O(O<0<^)f貝lJMH=3cose,fH=3sine,

V(x)=VABCDEF=VFGI_EKJ-2%_AB/G=；x2百x3sin9x(2+6cos。)一2x；x3sin6x2百x3cos。

=6^3sin0+6?sin6cos0,

令于(。)=6A/3sin6+6百sin6>cos<9,貝ijf(0)=6百cos6+6百cos20,

__1JT

令/'(。)=0=>2cos之e+cosO-l=0,可得cos6=,或cos6=-l(舍)，即8，

TTJrJr

O<0<1,f(0)>o,/3)遞增，f'(0)<o,/(⑶遞減，

顯然e=W是/2)的極大值點(diǎn)，故3+6出X3xL

3J-max2222

27

所以五面體ABCDSF的體積V(x)最大值為丁，C對(duì)；

2

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

3

D：當(dāng)3C=一時(shí)，4ABF和ADCE所在平面均垂直于面ABC。時(shí)構(gòu)成正三棱柱ABF-DCE,

2

此時(shí)正三棱柱內(nèi)最大的求半徑r工叵，故半徑為正的球不能內(nèi)含于五面體ABCDEF,

422

對(duì)于一般情形，如下圖示，左圖為左視圖，右圖為正視圖，

由C分析結(jié)果，當(dāng)五面體ABCD所體積最大時(shí)，其可內(nèi)含的球的半徑較大，

易知，當(dāng)工時(shí)，PH=—,IH=s/3,IF=^-,

322

設(shè)FIG的內(nèi)切圓半徑為4,則gxx2也=]x(2A/3+2X~~~)，可得外=，

另外，設(shè)等腰梯形及中圓的半徑為。則4=3tanC=±g>a=N^,

43412+V13

所以，存在x使半徑為正的球都能內(nèi)含于五面體ABCDEF,對(duì).

2

故選：ACD

7T

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C通過(guò)補(bǔ)全幾何體為棱柱，設(shè)夕儂=/0<64萬(wàn))得到五面體

ABCDE戶的體積關(guān)于。的函數(shù)；對(duì)于D從特殊到一般，結(jié)合幾何體視圖研究?jī)?nèi)切圓判斷最

大半徑是否大于迫為關(guān)鍵.

2

13.—/—0.6

5

I711717171

【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式有cosa-丁=cos[(a+：)-小=sin(a+：),即可求值.

V4J424

ITT]冗冗冗3

【詳解】cosLz--=cos[(?+-)--]=sin(?+

3

故答案為：—-

14.24

【分析】先求出三人選書沒(méi)有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.

【詳解】若三人選書沒(méi)有要求，則有33=27種，

若三人選擇的書完全相同，則有C；=3種，

所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有27-3=24種.

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

故答案為：24.

15.0

【分析】由題設(shè)得BA=（0,l,2）,應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離即可.

【詳解】由題設(shè)BA=（0,l,2）,則點(diǎn)如,U）到。的距離為爺，='=及.

故答案為：近

16.A/26（￥,2）

【分析】以。為原點(diǎn)，AB為X軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P5,%）,根據(jù)己知得

（%-1）。+$=10,即可得％=4，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求|刈|；根

據(jù)||E41Tp邳=。確定P的軌跡曲線，并寫出方程，利用曲線性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】以。為原點(diǎn)，AB為無(wú)軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P5,%）,則H=//|,S?=|%|,

所以則

當(dāng)|PB|=M，1PAi>|尸8|時(shí)，/>0,即|尸5|2=（玉-1）2+4=10,

所以（七一1）2+（3飛-1）2=10,即5,一12%-32=0,可得％=4（負(fù)值舍），則1%1=1,

故|PA|=也+l）2+y：=726,

若||/訓(xùn)-「叫=a>0,結(jié)合雙曲線定義知：尸在以A,8為焦點(diǎn)的雙曲線上，但不含頂點(diǎn),

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

X2上=1

即手-且。

該雙曲線為方=1,

CL4—CL

雙曲線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值小于半焦距1,則雙曲線與曲線;以1-1m=1有交點(diǎn)，

即雙曲線的漸近線和曲線:IxI-1y1=1有交點(diǎn)，則雙曲線的漸近線斜率的絕對(duì)值小于1，

2/

224,故半<〃<2,

4-a1115162

所以0<J—丁<一=一<—；■<—n——<a<

Va224a2165

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為(三,2).

故答案為：726,(逑,2)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空，注意P在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，但不含頂點(diǎn)，將問(wèn)題化

為雙曲線的漸近線斜率的絕對(duì)值小于g為關(guān)鍵.

17.(1)〃=2；

吟

【分析】(1)應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式有asin(A+B)=2sinC,再由三角形內(nèi)角性

質(zhì)即可求邊長(zhǎng)；

(2)應(yīng)用余弦定理及已知得62+02+慶=4且6+C=6,進(jìn)而求得歷=1,最后應(yīng)用面積公

式求面積.

【詳解】(1)由題設(shè)a(acos5+bcosA)=2。，則。(sinAcos8+sin8cosA)=2sinC,

所以asin(A+B)=2sinC,JfuA+B=TI-C,故asinC=2sinC,又sinC>0,

所以〃=2.

(2)由(1)及已知，有cosA==^——=--可得〃+。2+歷=4,

2bc2bc2

又a+Z?+c=2+yfs，即Z?+c=V5，

所以(b+c)2-bc=5-6c=4nbc=l,故5”比=^bcsinA=^-.

18.(1)證明見(jiàn)詳解

⑵”

7

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

【分析】(1)利用三角形相似及等量代換得AC13。，利用線面垂直得出，跳》,進(jìn)而得

平面EAC,結(jié)合已知條件得證；

(2)利用空間向量法可求

【詳解】⑴

設(shè)AC與3。的交點(diǎn)為O,連接OF,

因?yàn)榍宜訟B_A8C,

因?yàn)?AD=2,所以AD=1,AB=母,ABLAD,

且=應(yīng)，BC=2,AB1BC,

所以ABDBCA,

所以/4BD=N8C4,

所以ZBAC+ZABD=ZBAC+ZBCA,

因?yàn)锳B13C,所以/B4C+N8C4=90。，

所以ZBAC+ZABD=90°,

即NBAO+NABO=90。，所以NAO3=90。，

所以AOLO3,即AC人3。，

因?yàn)镋4_L平面ABC。，皮）u平面ABCD,

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

所以

因?yàn)镋4AC=A,E4,ACu平面EAC,

所以應(yīng)平面EAC,

又因?yàn)槠矫鎍_L3。，且Be平面￡AC,

所以平面a〃平面應(yīng)IC

（2）

因?yàn)锳B_LAD,E4_L平面ABCD,

所以AB,AO,E4兩兩垂直，

如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,￡A分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A（0,0,0）,0（0,1,0）,B（-A/2,0,0）,E（0,0,2）,C（-A/2,2,0）,

所以AD=（0,1,0）,BO=（0,1,0）,BC=（0,2,0）,BE=（夜,0,2）,

因?yàn)辄c(diǎn)尸為棱EC的中點(diǎn)，

所以3F=J（BC+8E）=

設(shè)平面FBD的一?個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

A/2X+y=0

BD?幾=0

則，所以&n

BF?〃=0--x+y+z=0

I2

取x=2,得y=-2\/2,z=V2,

所以平面FBD的一個(gè)法向量為〃=（2,-2&,忘），

記直線AD與平面FBD所成角為。，

則sin”|cos（AA〃戶黑=Ji：=粵

所以直線AD與平面詢所成角的正弦值為邁.

7

19.（1）證明見(jiàn)解析;

（2）3.

【分析】（1）由題設(shè)S用-S,=2（S“-S,T）,結(jié)合已知得到。用=2%在〃eN*上都成立，即

可證結(jié)論;

2"

（2）由（1）得么（2--l）（2n+1-l）,裂項(xiàng)相消法求4，根據(jù)不等式關(guān)系得2"1>1，即可

確定正整數(shù)，"的最小值.

【詳解】（1）當(dāng)“22時(shí)，5角=3'一2s即<=2」“,

又出=2%=4,故%+i=2%在“eN*上都成立，且6=2,

所以｛q｝是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.

,2"11

（2）由（1）知：4=2",則么=皆刁萬(wàn)刁=5717一5^1，

所以T=1」+2」++—1-----—+-------i—=1———,

"3372"-12"-12"+'-12"+,-1

貝=+即7x2"2<2"'M-l=8x2"i_i，

所以>1，可得m>2,而7”eN*,故正整數(shù)機(jī)的最小值為3.

20.⑴？

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

嶗

【分析】(1)由題意，。，瓦C三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，分別求出。被

分至甲隊(duì)即。摸出紅球的概率、6被分至甲隊(duì)即》摸出紅球的概率、C被分至甲隊(duì)即C摸出

紅球的概率，再應(yīng)用條件概率公式及互斥事件加法求c三人均被分至同一隊(duì)的概率;

(2)根據(jù)題意有X可能取值為4,2,0,分析X各對(duì)應(yīng)值的實(shí)際含義，并求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)

而求期望即可.

【詳解】(1)ddc三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì),

記事件被分至甲隊(duì)“，事件3="b被分至甲隊(duì)“，事件C="c被分至甲隊(duì)”,

當(dāng)。即將摸球時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則。被分至甲隊(duì)即。摸出紅球的概率為

尸(A)=g;

當(dāng)a被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，貝伊被分至甲隊(duì)即b摸出紅球的概率為

P⑻A)=|;

當(dāng)。力均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則c被分至甲隊(duì)即c摸出紅球的概率

為尸(C|A2?)=；；

所以尸(明=尸物例則/WC)=P(班P?班

同理知：新增登山愛(ài)好者。力，。均被分至乙隊(duì)的概率也為《，

2

所以。力，。三人均被分至同一隊(duì)的概率為石.

(2)由題設(shè)，X可能取值為4,2,0,

4

X=4為新增的4名登山愛(ài)好者被分至同一隊(duì)，貝ijP(X=4)=2x-=777，

4x5x6x7105

X=2為新增的4名登山愛(ài)好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名被分至另一隊(duì)，

設(shè)新增的第k(k=1,2,3,4)名登山愛(ài)好者被單獨(dú)分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，則

6==1)=2x2X3X3X3=_9)nn/7c2x3x3x39

4x5x6x77(324x5x6x770

Q=Pa=3)=2xjX八八.2x2x2x52

2x2x4x3,P=P(Z=4)=2x=,

4x5x6x73544x5x6x721

7

所以「(乂二幻二^+乙+心+乙=二,

X=0為新增的4名登山愛(ài)好者中各有2名被分至甲隊(duì)和乙隊(duì)，則

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

52

p(X=0)=1-P(X=2)-P(X=4)=赤,

AncnOQ

所以石(X)=4x——+2x—+0x—.

1051510535

21.(1)(0,1)；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合/（龍）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到?！?且不，巧是一+2（Q_1）X+〃=0

的兩個(gè)不同根，列不等式組求參數(shù)范圍;

工Tx

（2）設(shè)0＜占＜1〈三，應(yīng)用分析法將問(wèn)題化為證:也&＜三一,令f=&e（0,l）,則證

2X2A+1尤2

x2

1t-11

-ln?＜—,再由a='對(duì)應(yīng)/⑺單調(diào)性即可證結(jié)論.

2t+\2

【詳解】（1）由題設(shè)/'（x）=?-正為=竺士若產(chǎn)且x＞。，

若aW0,則廣。）＜0在（0,+s）上恒成立，即/（無(wú)）遞增，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符;

故。＞0,又/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則玉，巧是依2+2（。-1）》+。=0的兩個(gè)不同正根,

A=4(a-l)2-4a2=4(l-2a)>0

a—1_,可得。＜a＜g,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,；）.

所以----->0

a

a>0

(2)由(1)Q<a<—^x+x=―—―,玉％2=1，不妨設(shè)。<玉<lv/

2{2a

11

/(%1)-/(%2)Qin%]----?lnx2+———tzln—----------——

貝I-----------------------------=X,+1X2+1_%2(玉+1)(尤2+1)

x,-x?----------------------------------=---------------------------

Xl-X2石一九2

a]n—

x22_a()nxi-lnx2)〃

玉-X2XxX2+再+%2+1%一%

曲、十/(七)一〃％2)、。-2。2E、Jn玉-Inz八1-2?？贘nx-ln%、a

要證------------>-----,帝證~,即,

xi-x2a—1玉一x?a—1xx—x21—a

只需證史小三>」，即五<令公土e(0,l),則證:inf<3,

%X?再+%2%2*1+]x?2/+1

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

11

由(1),a=—時(shí)62+2(。-1)尤+a=—(x-l)2NO,即/'(x)2O,

22

1r-11f-1

所以"x)=上Inx-2」在(O,+⑹上遞增，又0。＜1,故f⑺＜『(1)=0,即jnf＜一,

2X+12r+1

〃%)一/(元2),4-2/

綜上,

x-x9a-1

五一1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)。(占＜1(尤2,應(yīng)用分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證—為

2%Ji

關(guān)鍵.

2

22.(l)y=4.r、

(2)證明見(jiàn)詳解;,+00

7

【分析】(1)設(shè)A(x,y),根據(jù)已知條件列出方程化簡(jiǎn)即得；

(2)(i)因?yàn)镺,A,&C四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為V+y2+公+◎=0,聯(lián)立

|；：：：「+◎=