2024屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)新結(jié)構(gòu)創(chuàng)新綜合題（含答案）

2024屆新結(jié)構(gòu)創(chuàng)新綜合題精編-2024屆高三

數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)

2豆4屆新輅構(gòu)之考創(chuàng)新徐合題幡編

題目■)(廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三4月聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)在一曲線。上，曲線

。在A,B處均存在不垂直于工軸的切線,且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱是曲

線C的一條“切線相依割線”。

(1)證明:準(zhǔn)線平行于c軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；

(2)試探究雙曲線4+"=l(a,fe>0)在第一象限內(nèi)是否存在“切線相依割線”，若存在,請求出所有的

ab

“切線相依割線”，若不存在，請說明理由.

題目0(2024年廣東省普通商中畢業(yè)班(華舞枇育)綠合能力檢測)

法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué),推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)

立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義:給定橢圓C：考■+￡?=

ab

1(a>b>0),則稱圓心在原點(diǎn)O,半徑是Va2+62的圓為“橢圓。的伴隨圓”，已知橢圓與+4=

a~b-

l(a>fe>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(V2,0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為V3.

⑴若點(diǎn)A為橢圓C的“伴隨圓”與c軸正半軸的交點(diǎn)，。是橢圓C的兩相異點(diǎn)，且，2軸，求五X?

通的取值范圍.

(2)在橢圓。的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線兒勾，使得。，L與橢圓。都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷

是否垂直？并說明理由.

題目0(湖南省長沙市四區(qū)市聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試(-?))若存在常數(shù)t,使得數(shù)列｛冊｝滿

足冊+1—。1電。3…④=t(n>l,n6N),則稱數(shù)列｛an｝為“H(t)數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列：1,2,3,8,49是否為“H(l)數(shù)列”，并說明理由；

72

(2)若數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2的“玄⑴數(shù)列”,數(shù)列｛鼠｝是等比數(shù)列，且｛冊｝與｛0｝滿足工成=aia2a3-an

i

+log2勾，求力的值和數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(3)若數(shù)列｛Q/是⑴數(shù)列”，S九為數(shù)列｛Q/的前九項(xiàng)和，Q1>1上>0,試比較hlQn與冊一1的大小，并證

Snn

明方>Sn+i-Sn—e.

題目⑷（河北省2024屆高三年級迨應(yīng)性測認(rèn)）己知平面內(nèi)定點(diǎn)A（0,l）,P是以04為直徑的圓。上一動(dòng)點(diǎn)

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.直線OP與點(diǎn)A處。的切線交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作①軸的垂線BN,垂足為N,過點(diǎn)P作立

軸的垂線PQ,垂足為Q,過點(diǎn)P作BN的垂線PM,垂足為

⑴求點(diǎn)河的軌跡方程「

（2）求矩形PMNQ面積的最大值；

（3）設(shè)”的軌跡「，直線’=—九,2=n（nCN*）與,軸圍成面積為九甲同學(xué)認(rèn)為隨九的增大，4也會達(dá)到無

窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨九的增大；i不會超過4,你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說明理由.

題目回(萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年度方三二?？荚囋嚲?

固定項(xiàng)鏈的兩端,在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為y

X_a.\

QC-|-gcIa;_|_—a;

=--(-------，其中c為參數(shù).當(dāng)c=1時(shí),該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為cosh/=，懸鏈線的原

理常運(yùn)用于懸索橋架空電纜雙曲拱橋拱壩等工程.已知三角函數(shù)滿足性質(zhì):①導(dǎo)數(shù)：，sin,1=cosc=②

｛(COSX)=—sinrc

二倍角公式：cos2c=2cos泣一1；③平方關(guān)系：sin2o:+cos2a;=1.定義雙曲正弦函數(shù)為sinh2=且三一.

(1)寫出sinh^coshc具有的類似于題中①②③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；

(2)任意x>0,恒有sinhx—kx>0成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)正項(xiàng)數(shù)列｛冊｝(九GN*)滿足的=a>1,飆+產(chǎn)2加一1,是否存在實(shí)數(shù)a,使得a2024=圣？若存在，求出a

的值;若不存在,請說明理由.

題目回（黃山市2024屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)重檢測）

帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m,n,函數(shù)

f（x）在7=0處的［rn,n］階帕德近似定義為：

=a0+Q/+…+3,且滿足：

n

l+b1X+---+bnx

f（0）=R（O）,/（0）=&（0）,f（0）=R"（O）,……,f（m+n＞（0）=R（m+n）（0）

注:廣㈤=?（，）］'，/'3）=d，/⑷3）=Lf（0）］'/）（==［尸㈤了,……

已知函數(shù)/（劣）=ln（T+l）.

（1）求函數(shù)/（力）=ln（C+1）在/=0處的［1,1］階帕德近似R{x）,并求lnl.1的近似數(shù)（精確到0.001）；

（2）在⑴的條件下：

⑴求證：.0；

(z?)若/(2)-m4+l^R(x)<1-cos力恒成立,求實(shí)數(shù)nz的取值范圍.

題目0（2024屆遼寧省撫用市六校協(xié)作體高三下學(xué)期第三次模擬數(shù)學(xué)試卷）

如圖所示,在圓錐內(nèi)放人兩個(gè)球。1,。2,它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個(gè)球

都與平面a相切，切點(diǎn)分別為瓦后,數(shù)學(xué)家丹德林利用這個(gè)模型證明了平面a與圓錐側(cè)面的交線為橢圓,記

為「，既E為橢圓「的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)直線用用分別與該圓錐的母線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的母線分別與球

相切于C,D兩點(diǎn)，已知\AC\=2-V3,\AD\=2+V3.以直線R民為工軸,在平面a內(nèi)，以線段F昆

的中垂線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵點(diǎn)T在直線，=4上，過點(diǎn)T作橢圓r的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,AB是橢圓r的左、右頂點(diǎn)，連接

設(shè)直線AM■與BN交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在直線2=4上.

題目回(2024屆明日之星高考教學(xué)精英模板卷)設(shè)夕=/(，)是定義在R上的函數(shù),若存在區(qū)間［a,田和zoe

(見6),使得沙=/(乃在［a,x0］上嚴(yán)格減，在［x0,b］上嚴(yán)格增，則稱夕=/(乃為“含谷函數(shù)”，g為“谷點(diǎn)”，

［a,b］稱為夕=/(,)的一個(gè)“含谷區(qū)間”.

(1)判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是,請指出谷點(diǎn);若不是，請說明理由：

(i)g=2\x\,{ii)y=x+cosx；

(2)已知實(shí)數(shù)?7i>0,y=X2—2X—mln(a;-1)是含谷函數(shù)，且［2,4］是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求m的取值范

圍；

⑶設(shè)p,”R,%(力)=—a?4+prc3+Qa?2+(4—3p—2q)x.設(shè)函數(shù)沙=九(力)是含谷函數(shù)，［a,6］是它的一個(gè)含谷

區(qū)間，并記b—a的最大值為Z/(p,q).若九(1)《無(2),且%(1)&0,求L(p,q)的最小值.

題目回（麗水湖州倩州2024年4月三也市赤三枇學(xué)廈黃檢測試卷）為保護(hù)森林公園中的珍稀動(dòng)物,采用某

型號紅外相機(jī)監(jiān)測器對指定區(qū)域進(jìn)行監(jiān)測識別.若該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，該型號監(jiān)測器能正確識別的概

率（即檢出概率）為g；若該區(qū)域沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)，但監(jiān)測器認(rèn)為有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（即虛警概率）為

p2.已知該指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率為0.2.現(xiàn)用2臺該型號的監(jiān)測器組成監(jiān)測系統(tǒng)，每臺監(jiān)測器（功

能一致）進(jìn)行獨(dú)立監(jiān)測識別，若任意一臺監(jiān)測器識別到珍稀動(dòng)物活動(dòng)，則該監(jiān)測系統(tǒng)就判定指定區(qū)域有珍

稀動(dòng)物活動(dòng).

（1）若pi=0.8,p2—0.02.

⑴在該區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求該監(jiān)測系統(tǒng)判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率；

（近）在判定指定區(qū)域有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的條件下，求指定區(qū)域?qū)嶋H沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率（精確到0.001）;

（2）若監(jiān)測系統(tǒng)在監(jiān)測識別中，當(dāng)0.8Wgw0.9時(shí)，恒滿足以下兩個(gè)條件:①若判定有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該

區(qū)域確有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的概率至少為0.9；②若判定沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)時(shí)，該區(qū)域確實(shí)沒有珍稀動(dòng)物活動(dòng)的

概率至少為0.9.求的的范圍（精確到0.001）.

（參考數(shù)據(jù)：，37。4=0.9866,乂零?=0.9861,0.982=0.9604）

00

題目叵〕(湖北十一校2024屆高三殘考背后提升卷)如果函數(shù)FQ)的導(dǎo)數(shù)尸(乃=/(乃，可記為F(c)=

\f(x)dx.若/(6)>0,則//(力)(1力=尸(6)—F(Q)表示曲線g=/(力)，直線力=。，力=6以及力軸圍成的

Ja

“曲邊梯形”的面積.

(1)若F(力)=,且尸⑴=1,求F(力)；

(2)已知0V。<3,證明：acosaV[cos/d/Va,并解釋其幾何意義；

2Jo

⑶證明:Jl+cos親+Jl+cos~1^++cos-1^-H---1Jl+cos^^)<L,nCN*?

題目QF)(長沙市一中2024屆高考迨應(yīng)性演練)置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合A={1,2,

-,n},nGN+的函數(shù)稱為n次置換.滿足對任意ieA,/(i)=i的置換稱作恒等置換.所有n次置換組成的

集合記作S”.對于/⑴es“,我們可用列表法表示此置換:/⑴=(二、記/⑴=尸⑴，

v(l)/⑵…/⑺”

/(/⑴)=產(chǎn)⑴，/(產(chǎn)⑴)=/3⑴，…,"T⑴)=#⑴，iEA,kEN+.

⑴若/⑴es4，Hi)=Qn；23134\)'計(jì)算產(chǎn)⑴；

(2)證明:對任意/⑴eS」,存在keN+,使得產(chǎn)⑴為恒等置換；

(3)對編號從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌,分成上下各26張兩部分,互相交錯(cuò)插入,即第1張不動(dòng)，第27張變

為第2張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的

牌型？請說明理由.

?M

題目QT)(永州市第四中學(xué)2024屆方三數(shù)學(xué)精選試題)若一個(gè)兩位正整數(shù)m的個(gè)位數(shù)為4,則稱m為“好

數(shù)”.

(1)求證:對任意“好數(shù)”小,利2—16一定為20的倍數(shù)；

⑵若小=p2—/，且p,q為正整數(shù)，則稱數(shù)對(p,q)為“友好數(shù)對”，規(guī)定：H(M)=2,例如24=52-12,稱數(shù)

P

對(5,1)為“友好數(shù)對”，則H(24)=看,求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的H(M)的最大值.

O

題目H(漢壽縣第一中學(xué)2023—2024學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)證題)給定正整數(shù)%，小，其中24巾

4看,如果有限數(shù)列｛冊｝同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱｛廝｝為(fc,m)-數(shù)列.記(k,m)-數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最

小值為G(k,m).

條件①：｛?｝的每一項(xiàng)都屬于集合｛1,2,3」一,A:｝；

條件②:從集合｛1,2,3,…同中任取小個(gè)不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是｛斯｝的子數(shù)列.

注:從｛%｝中選取第八項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第is項(xiàng)(其中ii<i2<,-<is)形成的新數(shù)列佝,4,…,做稱為｛冊｝的一

個(gè)子數(shù)列.

(1)分別判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否為(3,3)-數(shù)歹U,并說明理由：

數(shù)列4i：l,2,3,1,2,3,1,2,3；

數(shù)列42：1,2,3,2,1,3,1；

(2)求證：G(k,2)=2fc—1；

(3)求G(4,4)的值.

???

題目H（湖南省2024屆方三九校聯(lián)。第二次庭考）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體,例如必

=切+1表示過點(diǎn)（1,0）的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為:直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切

線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.

（1）若圓。1：/+才=1是直線族7na；+ng=l（m,neR）的包絡(luò)曲線，求?n,n滿足的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)P（g,"o）不在直線族：Q（2a—4）c+4g+（a—2>=0（aGR）的任意一條直線上，求的取值范圍

和直線族Q的包絡(luò)曲線E；

（3）在（2）的條件下,過曲線E上43兩點(diǎn)作曲線E的切線。也，其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)C（0,1）,若AB,。三點(diǎn)

不共線，探究/PCA=/PCB是否成立？請說明理由.

題目仄(2024年餌相市高三第二次聯(lián)考試題卷)給定整數(shù)n>3,由九元實(shí)數(shù)集合P定義其隨影數(shù)集曜=

{\x-y\Ix,yEP,力#必.若min(Q)=1,則稱集合P為一個(gè)九元理想數(shù)集，并定義P的理數(shù)力為其中所有

元素的絕對值之和.

(1)分別判斷集合S={—2,—1,2,3},T={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明理由)

(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集求證：|min(F)|+|max(F)|>4；

(3)當(dāng)P={傷，力2,…，力202J取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)t的最小值.

注：由九個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做九元實(shí)數(shù)集合，max(F),min(F)分別表示數(shù)集P中的最大數(shù)與最小數(shù).

??

題目□可(2024屆新方才栽學(xué)栽研聯(lián)。高三第二次賽考)羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，

它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾啰爾于1691年提出的.它的表達(dá)如下:如果函數(shù)

f(x)滿足在閉區(qū)間［a,b］連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且/(a)=/(6),那么在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一點(diǎn)m,

使得/(m)=0.

⑴運(yùn)用羅爾定理證明:若函數(shù)/(，)在區(qū)間［a,田連續(xù),在區(qū)間(a,6)上可導(dǎo)，則存在而C(a,b),使得/'(g)=

/⑹一/(a)

b—a

(2)已知函數(shù)/(力)=xlnx,g(x)=-^-x2—bx+1,若對于區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)的，62,都有|/(g

)一>歷31)—g(g)l成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

iri1"

⑶證明：當(dāng)P>1,n>2時(shí)，有」7V

nP-1L(n-1尸

?fl

題目叵X雅禮中學(xué)2024屆高三一模）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下:若整數(shù)a除以整數(shù)m（小片0）除得的

商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為小的倍數(shù),稱館為a的約數(shù).設(shè)正整數(shù)a共有k個(gè)正約數(shù),即為加

但…,Qk-1，。晨。1Va2V…V@）.

（1）當(dāng)k=4時(shí)，若正整數(shù)Q的k個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個(gè)Q的值；

（2）當(dāng)k>4時(shí)，若Q2—。1,。3—電,…,&—Qk-1構(gòu)成等比數(shù)歹！J,求正整數(shù)。；

（3）記4=a1a2-\-a2a3-\---1~”_1四,求證：AV

?fl

題目?(鐵山市普通高中2023—2024學(xué)年度高三第二次質(zhì)景量測)設(shè)數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和為已知

n+1

2Sn=a?+1-2+l(nCN*),且&2=5.

(1)證明：｛$+1｝為等比數(shù)列,并求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=log3(an+2”),若對于任意的nGN*,不等式b.(l+n)—/1(每+2")—6<0恒成立，求實(shí)數(shù)/I的取

值范圍；

(3)高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號,用他名字定義的函數(shù)稱為高

斯函數(shù)/(0=[0,其中㈤表示不超過c的最大整數(shù),如[2.3]=2,[-1.9]=—2,設(shè)品=[巴廣],數(shù)列

｛品｝的前幾項(xiàng)和為黑，求6。24除以16的余數(shù).

題目QT）（2023-2024學(xué)年第二學(xué)期天城全國名校博作體聯(lián)考）對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意

義.若一個(gè)平面圖形K在館（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記

m為K的一個(gè)對稱變換.例如,正三角形五在zn"繞中心。作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與五重合（如圖

1圖2所示），所以mi是72的一個(gè)對稱變換,考慮到變換前后R的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)間的對應(yīng)關(guān)系,記g=

（；；；）;又如，△在Zi（關(guān)于對稱軸n所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以

/I2

。也是R的一個(gè)對稱變換，類似地.記.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S.

\132，

一個(gè)非空集合G對于給定的代數(shù)運(yùn)算。來說作成一個(gè)群,假如同時(shí)滿足：

I.a,bEG,a°bEG；II.Va,b,cEG,{a°b）℃=a°（b°c）；

III.meeG,VaeG,a。e=e。a=a；W.VaeG,三G,a。6=/。a=e.

對于一個(gè)群G,稱III中的e為群G的單位元，稱W中的CT1為a在群G中的逆元.

一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對于G的代數(shù)運(yùn)算。來說作成一個(gè)群.

⑴直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；

（2）同一個(gè)對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一，如機(jī)]=（1232）=「13）=

\312/\321/\132/

（231）=（312）=（321\對于集合s中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：

\123/\231/\213/

（:："83）=（%口2a],{aeg}={仇也，"}=匕心心}={1,2,3}.

電o2o3/\qc2c3z\Cic2c3/

①證明集合S對于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個(gè)群；

②已知H是群G的一個(gè)子群，e,e'分別是G,H的單位元，aCala'分別是a在群G,群H中的逆元.

猜想e,e'之間的關(guān)系以及a-I，a'之間的關(guān)系,并給出證明；

③寫出群S的所有子群.

題目20j（岳?根市2024屆高三4t學(xué)質(zhì)景裁測）已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第

一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,2],再接下來的三項(xiàng)是2。，21,22,依此類推.設(shè)該數(shù)列的前九項(xiàng)和為S”,規(guī)

定:若m館eN*,使得Sm=2"（PeN）,則稱機(jī)為該數(shù)列的“佳幕數(shù)”.

⑴將該數(shù)列的“佳幕數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個(gè)“佳幕數(shù)”；

（2）試判斷50是否為“佳幕數(shù)”，并說明理由；

（3）（i）求滿足機(jī)＞1000的最小的“佳事數(shù)”??；

（ii）證明:該數(shù)列的“佳暴數(shù)”有無數(shù)個(gè).

20

題目叵(2024年常檎市方三年級模擬考試)已知函數(shù)/(，)=言二

(1)判斷函數(shù)/(2)在區(qū)間(0,37r)上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明；

(2)函數(shù)/(①)在區(qū)間(0,+8)上的極值點(diǎn)從小到大分別為0,力2,，3,…,0,…，設(shè)&=/&),$“為數(shù)列｛冊｝的

前71項(xiàng)和.

①證明：cii+a2V0；

②試問是否存在九eN*使得s”>0?若存在，求出功的取值范圍;若不存在,請說明理由.

題目[22(2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模板卷4卷)記A={Z(x)|Z(x)=kxm,k,mER},若石⑸G4滿足:對

任意l(x)E4,均有max|/(a;)—Z(rc)|>max|/(N)—Z()(%)|,則稱l(x)為函數(shù)/(力)在力€[a,b]上“最接近”

x€[a,&]x&[a,b]Q

直線.已知函數(shù)g(rr)=21nx—a?2+3,xE[r,s].

(1)若g(r)=g(s)=0,證明:對任意l(x)GA,max|g(6)—Z(x)|二1；

⑵若r=1,s=2,證明：g(,)在/C[1,2]上的“最接近”直線為：MQ)=(21n2-3)(rc-出產(chǎn))+

2+,(g)，其中工代(i,2)且為二次方程2/+⑵n2-3)x-2=0的根.

題目（湖北省十一校2023—2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次庭考數(shù)學(xué)試題）我們知道通過牛頓萊布尼茲公

*b

\f(x)dx,(7(a?)>0)

a，其中/f(x)dx=F(fe)-

式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積A=，

bJa

-|/(a?)da?,(f(a:)<0)

、a

F（a），F(xiàn)\x）=/Q）.如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線G可以表示為夕=力（，）,

(上3)_力3))d,=

⑴如圖，連續(xù)函數(shù)？/=/（為在區(qū)間［—3,—2］與［2,3］的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間

［-2,0］與［0,2］的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)F（c）=/%）位.求%⑵一F（3）的值;

（2）在曲線/（,）=/（'>（））上某一個(gè)點(diǎn)處作切線，便之與曲線和，軸所圍成的面積為今,求切線方程；

2

（3）正項(xiàng)數(shù)列｛&?｝是以公差為d（d為常數(shù)，d>0）的等差數(shù)列，仇=1,兩條拋物線y=bnx+^~,y=葭+】/

+［—SCM）記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為期,兩條拋物線圍成的封閉圖形的面積為&，求證：且+

“1+1al

昆+…+蛋

電an3

題目叵(17分)約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下:若整數(shù)a除以整數(shù)皿想片0)所得的商正好是整數(shù)而沒有

余數(shù)，我們就稱a為小的倍數(shù),稱小為a的約數(shù).設(shè)正整數(shù)a共有k個(gè)正約數(shù)，即為的，縱

(Q1VQ2V…VQJ.

(1)若a=8,求k的值；

(2)當(dāng)k>4時(shí)，若｛Q「QI｝為等比數(shù)列，求正整數(shù)Q;

9

(3)記A—CI1Q2+Q2Q3+…,+恁-1延證明：-----V1.

-n,

24

題目運(yùn)|(安徽看410碇，2024屆高三4月質(zhì)式檢測孝武)在不大于中(k,〃eN>>2)的正整數(shù)中，所有

既不能被2整除也不能被3整除的個(gè)數(shù)記為F&n).

⑴求E(4),網(wǎng)(3)的值;

(2)對于?72,71,「6N*,772<71Vp,是否存在772,71,P，使得用(山)+或⑺)=或(力？若存在，求出7n,九，0的

值;若不存在,請說明理由；

⑶記團(tuán)表示不超過工的最大整數(shù)，且S0=求[SJ+[S2]+[S3]+-+[S100]的值.

i=l或⑴一1

???

2024屆新輅構(gòu)富考創(chuàng)新徐合題幡編

題目1j(廣東看新南方暇J12024屆高三4月底考)在平面直角坐標(biāo)系中，若A,B兩點(diǎn)在一曲線。上，曲線

。在A,B處均存在不垂直于工軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線AB的斜率，則稱是曲

線C的一條“切線相依割線”。

(1)證明:準(zhǔn)線平行于工軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；

(2)試探究雙曲線4+￡=l(a,fe>0)在第一象限內(nèi)是否存在“切線相依割線”，若存在,請求出所有的

ab

“切線相依割線”，若不存在，請說明理由.

【解答】：⑴由準(zhǔn)線平行于力軸，故拋物線圖象開口向上，為二次函數(shù)y=f(6)=ax2+bx+c(a0),

設(shè)人物J3))，B3J3)),則AB斜率為/3)-/3)=a(潴一.)+"◎—◎)=Q(g+*+匕，/，(0

62—為62一

=2ax+b,故力，B處均存在不垂直于工軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值為于3)=

磯電+電)+6,等于直線AB的斜率，故為切線相依割線，由于AB可以任取,故準(zhǔn)線平行于多軸的拋物

線上任意一條割線均為“切線相依割線”。

⑵設(shè)4(0,/(21)),_B(a；2,/(02)),其中0,22,%,紡>0,則48斜率為y2y',

X2—Xi

設(shè)雙曲線在A點(diǎn)處切線方程為l:y—yi=k(x—xj,則將其代入雙曲線方程，消去y有(b2—a2fc2)rc2—2a2

1222

k(yr—kx^)x—a(y1—kx1)—ab=0,令△=0,得(/+/；)卜2-2/田止+褶—/=0,

故卜=竺,

ayi

同理，雙曲線在B點(diǎn)處切線斜率為手，

aV2

故其均值為Jgp也巧，

2Q八g曲)

由4B在雙曲線上，故耳_耳=1,與一"=1,兩式相減得出+向)%一“2)=("+奶),L必)

ababab

2

,,y2-yibxr+x2

故-----=T

X2-X1a%

假設(shè)存在“切線相依割線”，則上近=L4砒2+.%),即義紅包=

電一212a\yxy2)%+納依奧

化簡得&*+◎/=電陰外+，2%紡，設(shè)AB-.x—my+n,

則(M%+九)試+(山統(tǒng)+九)/=(小明+")夕曲+(小紡+n)夕曲，即n^y'i+yl)=2Tly恨,

當(dāng)nWO時(shí)，即若一29曲+/=GA-%)L。，得陰=例，不合題意，

當(dāng)n=0時(shí)，x=my與雙曲線在第一象限內(nèi)至多有一個(gè)焦點(diǎn),不合題意，

故雙曲線在第一象限內(nèi)不存在“切線相依割線”.

題目0(2024年廣東看普通高中畢業(yè)瘢(華舞我方)綠合能力檢測)

法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué),推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)

立發(fā)展,奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果,我們定義：給定橢圓

ab

22

15>6>0),則稱圓心在原點(diǎn)0,半徑是丁再啟的圓為“橢圓。的伴隨圓”，已知橢圓與+支？=

ab~

l(a>fe>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(V2,0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為V3.

⑴若點(diǎn)A為橢圓。的“伴隨圓”與立軸正半軸的交點(diǎn)，B。是橢圓。的兩相異點(diǎn)，且，①軸，求荏?

前的取值范圍.

(2)在橢圓。的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線k，小使得乙，%2與橢圓。都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷

是否垂直？并說明理由.

【解答】：⑴由題意知c=2,由短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為四，

知a=V62+c2=V3,則b=Va2—c2=1,

故橢圓。的方程為<+d=1,其“伴隨圓”方程為x2+y2=4.

O

由題意，可設(shè)B(m,n),D(jn,—n),(―V3<m<V3),

則有個(gè)+/=1,又力(2,0),

O

故AB=(m—2,n),AD=(m—2,—n),

故AB?AD=(m—2)2—n2=m2—4m+4—fl—普力=-ym2—4m+3=——1-V,

又二次函數(shù)y--1-(m—■的圖象是開口向上，對稱軸為m—

由一遍VnzV通，得告(小一芳6[0,7+473),

所以武?力的取值范圍是[0,7+4-);

(2)對于橢圓。上的任意點(diǎn)P,都有。_LL,證明如下：

設(shè)P?。，則s2+t2=4.

當(dāng)s=±，^時(shí)，力=±1,

則Z1,，2其中之一斜率不存在，另一斜率為0,顯然有

當(dāng)sW土通時(shí)，設(shè)過P(s")且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線Z的斜率為k,

則，的方程為y—t=k(x—s),

代入橢圓。方程可得/+3[fcc+(^—fcs)]2=3,

即(3fc2+l)x2+6fc(/；—ks)x+3(t—fcs)2—3=0,

由△二36k、力—fcs)2—4(3fc2+l)[3(t—fcs)2—3]=0,

可得(3-s2)/+2s4+1—/=0,其中3一s?wo,

設(shè)/i,，2的斜率分別為自,防，則治,防是上述方程的兩個(gè)根,

22

.Z.771-t1-(4-S)1即7I7

故k#2=---------T=----------2-=-1，即勾.

3—s3—s

綜上可知，對于橢圓。上的任意點(diǎn)P,都有。，為

題日⑶(湖南省長沙市四區(qū)市收考2024屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試(-?))若存在常數(shù)t,使得數(shù)列｛%｝滿

足冊+1—QiQ2a3…冊=t(n)l,n6N),則稱數(shù)列｛Q/為“H(好數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列：1,2,3,8,49是否為“H(l)數(shù)列”，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2的“H⑴數(shù)列”,數(shù)列｛6J是等比數(shù)列,且｛廝｝與｛0｝滿足匯謂=aia2a3-an

i

+10g2勾,求力的值和數(shù)列｛匕九｝的通項(xiàng)公式；

(3)若數(shù)列｛Q/是⑴數(shù)列"S九為數(shù)列｛Q/的前n項(xiàng)和，Q1>1">0,試比較Ina.與an-l的大小,并證

Snn

明力>Sn+1—Sn—e.

(解答]：⑴根據(jù)⑴數(shù)列”的定義，則力=1,故每+1—QQQ3…飆=1,

0/2Q]_=1成上-,Q3。2。1=1成,。4。3。2。1=81x2x3=86=2#1不成,

??.1,2,3,8,49不是“H⑴數(shù)列”.

(2)???｛廝｝是首項(xiàng)為2的“H⑴數(shù)列”，:.電=2+。3=3±+4,

由｛隊(duì)｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

72九+1

萬瑞=Cha2a3…an+log2bn,：.￡a；=a^a^--anan+i+log26n+i,.

ii

兩式作差可得源+1=電(12a3…冊(顛+1—1)+log2&?+1-log2&?,

即<4+i=的口2a3…冊(廝+1-1)+log2Q,

｛a?｝是“H(t)數(shù)列“，.I出+i—sa2a3…a”=t，對于九》1,nCN恒成立，

武+尸(an+1-t)(an+1-l)+log2g,

即(t+l)an+i=t+log2q對于九>1,n?N恒成立，

則|(力+l)a2-i=log2q?f(t+1)(2+i)-i=log2q

,

'l(t+l)a3-t=log2Q+1)(3t+4)-1=log2g'

解得，t=—l,q=2,

又由ai=2,ai=a1+log2fei，則瓦=4,

t=-l,數(shù)列?｝的通項(xiàng)公式b“=2n+1.

(3)證明:設(shè)函數(shù)/(c)=Inrc—c+1,則f(x)=——1,

當(dāng)力>1時(shí)，/（劣）<0,

則f（x）=Inx—力+1在區(qū)間（1,+8）單調(diào)遞減，

且/⑴=Ini—1+1=0,

又由｛an｝是“H（t）數(shù)列“，即Q九+L。代2。3…％=力，對于l,nGN恒成立，

因?yàn)榈?gt;1,力>0,則a2=Qi+±>1,

反復(fù)利用an+i=QiQ2a3…％+力，可得對于任意的n>l,nEN,an>1,

則于（a。</（1）=0,即lnn-an+l<0,K'Jlnn<an-l,

即InQiVQi—Lina2Va2—1,??,,lnan<an—1,

相加可得lna1+lna2+—Flnan<a1-\-a2-\~—\-an—n,

則ln（QQ…M）<Sn—n,

所以,QiQ2a3…。九<e'f

又Q九+1-Q1Q2a3…CLn=力，所以M+l一力<e^,

Snn

即Sn+l—Sri—t<e,

故力>&+「Sh—e%n.

題目@（河北店2024屆高三年級迨應(yīng)性測試）已知平面內(nèi)定點(diǎn)A（0,l）,P是以。4為直徑的圓。上一動(dòng)點(diǎn)

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.直線OP與點(diǎn)A處。的切線交于點(diǎn)過點(diǎn)B作立軸的垂線BN,垂足為N,過點(diǎn)P作必

軸的垂線PQ,垂足為Q,過點(diǎn)P作的垂線PM,垂足為

⑴求點(diǎn)河的軌跡方程「；

（2）求矩形PMNQ面積的最大值；

（3）設(shè)河的軌跡「，直線①=—n,x=n（nCN*）與2軸圍成面積為九甲同學(xué)認(rèn)為隨n的增大，4也會達(dá)到無

窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨九的增大4不會超過4,你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說明理由.

【解答】：（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）,依題意，直線AB的方程為沙=1,B（c,1）,顯然點(diǎn)P與。不重合，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)力不重合時(shí)，連接4P,由P是以。力為直徑的圓。上一點(diǎn)，則4PLOP,

由AB〃2軸，得△AOB?APOA?QP。，則-p4=T^T>-rn~=r-n->

\AO\\OB\\OB\\AO\

]

而五，則|OP|=7^,于是^^=9即0二一一，

VT2+IVT2+I11+]

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)_8與點(diǎn)A重合，點(diǎn)河與點(diǎn)A重合，而（0,1）滿足g=—,

6+1

所以點(diǎn)”的軌跡方程「：沙=4—.

x2+l

(2)由(1)知，點(diǎn)M的軌跡方程夕顯然,==一

JUIi.JUIJL.IJUjI,L

即點(diǎn)河的軌跡關(guān)于沙軸對稱，不妨令點(diǎn)p在第一象限,

顯然△°PQ?△°即,^^=演4=吧,因此1°Q1=%

設(shè)矩形PMNQ的面積為SQ),則SQ)=y{x—\xy\)-—(2---—

JUIJ.JuIJ.

3/(—+2；?+i)-；:c3(4a；3+4；E)_-2232—3)32+1)

求導(dǎo)得S'Q)

(;?+2/+1)2—(J；4+22；2+1)2

當(dāng)OV/Vm時(shí)，S'㈤>0,函數(shù)SQ)單調(diào)遞增，當(dāng)力>四時(shí)，S'3)V0,函數(shù)S(N)單調(diào)遞減,

因此S(力)max=S(V3)==g，所以當(dāng)力=±V3時(shí)，矩形PMNQ面積的最大值為

(3)同意乙同學(xué)的觀點(diǎn)，隨口的增大4不會超過4.

由(1)知點(diǎn)7W的軌跡方程為g=—,設(shè)/(rr)=一一,顯然/㈤是偶函數(shù)，

d+1d+1

求導(dǎo)得/'(6)=：當(dāng)力>。時(shí)，/(6)V0,函數(shù)/(力)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，且恒有/㈤>0,

(力+1)

則有/(0)>/信)>/⑴>*2)>…，即…，

當(dāng)口增大時(shí)，面積』的值也在增大，

過點(diǎn)(,,0),(1,0),⑵0),(3,0),(4,0),…,(九,0)分別作立軸的垂線交函數(shù)9=/(2)的圖象

得當(dāng)劣e時(shí)，/㈤的圖象與立軸之間部分的面積小于/(o)x￡=

當(dāng)Ce(J1)時(shí),/㈤的圖象與2軸之間部分的面積小于X99X

當(dāng)力e(1,2)時(shí)，/(力)的圖象與/軸之間部分的面積小于/⑴=-1-,

當(dāng)⑦e(2,3)時(shí)，/(力)的圖象與/軸之間部分的面積小于/(2)=占，

5

當(dāng)xE(n—2,n—1)時(shí)，/(劣)的圖象與力軸之間部分的面積小于J(n—2)=---義/+]

當(dāng)/e(?i—l,n)時(shí)，f(x)的圖象與x軸之間部分的面積小于/(九一1)=-------——

(n-l)2+l

則M的軌跡「，直線/=—n,x=n(nGN*)與力軸圍成面積為九

4<2[y/(O)++/(1)+/(2)H-----H/(n-2)+/(n-1)]

=?+嗚)+2/(1)+2/(2)+…+2/(n—2)+2/(n—1)

=1+4+1+年+2［木+尢+…+(『：+i+⑺―；y+J

當(dāng)打中心3時(shí),/＜左=已…)；2…廣―一五上,

22?2

因此4V2+卷+2(卷空1-------------1H???+---------)=4-------------V4

792n-l2n+1,2n+1

所以隨n的增大4不會超過4.

題目回(萍鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)隼度商三二#考試試卷)

固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為v

c(e^+e^)e，+e—，

=—L，其中c為參數(shù).當(dāng)c=1時(shí),該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為coshrc=，懸鏈線的原

理常運(yùn)用于懸索橋架空電纜雙曲拱橋拱壩等工程.已知三角函數(shù)滿足性質(zhì):①導(dǎo)數(shù)：［抹切丁。英a:②

［(cos切=—sine

二倍角公式：cos2/=2cos之力—1；③平方關(guān)系：sir?力+cos?力=1.定義雙曲正弦函數(shù)為sinh/=-e—.

⑴寫出sinh力,cosh力具