點和圓的位置關(guān)系（解析版） 九年級數(shù)學(xué)下冊

.2.1點和圓的位置關(guān)系姓名：_______班級_______學(xué)號：________題型1判斷點與圓的位置關(guān)系1．（2022上·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）已知的半徑為3，平面內(nèi)有一點到圓心O的距離為5，則此點可能是（

）A．P點 B．Q點 C．M點 D．N點【答案】D【分析】根據(jù)點到圓心O的距離大于半徑，可判定出點在圓外，即可得到答案．【詳解】解：∵平面內(nèi)有一點到圓心O的距離為5，．∴該點在圓外，∴點N符合要求．故選：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，當點到圓心的距離小于半徑的長時，點在圓內(nèi)；當點到圓心的距離等于半徑的長時，點在圓上；當點到圓心的距離大于半徑的長時，點在圓外．2．（2021上·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）已知的半徑為3，，則點A和的位置關(guān)系是（

）A．點A在圓上 B．點A在圓外 C．點A在圓內(nèi) D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷，OA小于半徑則在圓內(nèi)，OA等于半徑則在圓上，OA大于半徑則在圓外．【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，，即A與點O的距離大于圓的半徑，所以點A與⊙O外．故選：B．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系．3．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，已知長方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點與圓A的位置關(guān)系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，∴點C在圓A上故選：C【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵4．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形的邊，，現(xiàn)以點A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，那么半徑r的取值范圍是．【答案】6<r<10【分析】先求出矩形對角線的長，然后由B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，即可確定半徑r的取值范圍．【詳解】解：連接AC，如圖，∵，，由勾股定理可得：，∵，，AC=10，又∵B、C、D至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，∴點B在內(nèi)，點C在外，∴6<r<10．故答案為：6<r<10．【點睛】本題主要考查的是勾股定理、點與圓的位置關(guān)系．題型2利用點與圓的位置關(guān)系求半徑5．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內(nèi)且點在外時，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點在內(nèi)且點在外”可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，，點在內(nèi)且點在外，，即，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2021上·浙江衢州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點在半徑為8的外，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點P與⊙O的位置關(guān)系即可確定OP的范圍．【詳解】解：∵點P在圓O的外部，∴點P到圓心O的距離大于8，故選：A．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是要牢記判斷點與圓的位置關(guān)系的方法．7．（2021·青海·統(tǒng)考中考真題）點是非圓上一點，若點到上的點的最小距離是，最大距離是，則的半徑是．【答案】或【分析】分點在外和內(nèi)兩種情況分析；設(shè)的半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)的半徑為當點在外時，根據(jù)題意得：∴當點在內(nèi)時，根據(jù)題意得：∴故答案為：或．【點睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的性質(zhì)，從而完成求解．8．（2022·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點D是AB的中點，點E是以點B為圓心，BD長為半徑的圓上的一動點，連接AE，點F為AE的中點，則CF長度的最大值是．【答案】【分析】如圖，延長AC到T，使得CT=AC，連接BT，TE，BE．再證明CF=ET，求出ET的最大值即可．【詳解】解：如圖，延長AC到T，使得CT=AC，連接BT，TE，BE．∵AC=CT，BC⊥AT，∴BA=BT，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，∴∠BAT=60°，AC=BC?tan30°=3，∴AB=2AC=6，∴△ABT是等邊三角形，∴BT=AB=6，∵AD=BD=BE，∴BE=3，∵ET≤BT+BE，∴ET≤9，∴ET的最大值為9，∵AC=CT，AF=FE，∴CF=ET，∴CF的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確添加常用輔助線、構(gòu)造三角形的中位線是解答本題的關(guān)鍵．題型3已知半徑和圓上兩點作圓9．（2022上·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）已知AB＝12cm，過A，B兩點畫半徑為8cm的圓，則能畫的圓的個數(shù)為(

)A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【答案】C【分析】根據(jù)題意分別以A、B為圓心，以8cm為半徑畫弧，兩弧交于C、D，以點C和點D為圓心的兩個圓滿足題意．【詳解】分別以A、B為圓心，以8cm為半徑畫弧，兩弧交于C、D，如下圖，得以C為圓心，以8cm為半徑的圓經(jīng)過點A和點B，以D為圓心，以8cm為半徑的圓經(jīng)過點A和點B，即能畫的圓的個數(shù)是2個．故選：C．【點睛】本題考查了兩圓相交的性質(zhì)，能找出圓的圓心是解此題的關(guān)鍵．10．（2020上·浙江溫州·九年級校考期中）已知點是數(shù)軸上一定點，點是數(shù)軸上一動點，點表示的實數(shù)為，點所表示的實數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點在外，則的值可能是（）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系計算即可；【詳解】∵B在外，∴AB＞2，∴＞2，∴b＞或b＜，∴b可能是-1.故選A．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．11．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）點A是半徑為2的⊙O上一動點，點B是⊙O外一定點，OB＝6．連接OA，AB．（1）【閱讀感知】如圖①，當△ABC是等邊三角形時，連接OC，求OC的最大值；將下列解答過程補充完整．解：將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等邊三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，∴（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C當O，O′，C三點共線，且點C在OO′的延長線上時，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴當O，O′，C三點共線，且點C在OO′的延長線上時，OC取最大值，最大值是．（2）【類比探究】如圖②，當四邊形ABCD是正方形時，連接OC，求OC的最小值；（3）【理解運用】如圖③，當△ABC是以AB為腰，頂角為120°的等腰三角形時，連接OC，求OC的最小值，并直接寫出此時△ABC的周長．【答案】（1），；（2）；（3）OC的最小值為或，△ABC的周長為【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，，從而求得OC的最大值；（2）將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到O′B，連接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求證，從而求得OC的最小值；（3）分別以為頂角進行討論，按照上述方法求證，從而求得OC的最小值，過點作于點，根據(jù)勾股定理求得長度，從而求得△ABC的周長．【詳解】解：（1）根據(jù)上下文題意可得：∴∴（2）將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到O′B，連接OO′，CO′由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，為等腰直角三角形∴又∵四邊形為正方形∴∴在△OBA和△O′BC中，∴（SAS）∴在△OO′C中，當O，O′，C三點共線，且點C在線段OO′上時，即（3）以為頂點，構(gòu)建等腰三角形，將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到O′B，連接OO′，CO′，過點作于點，如下圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，為等腰三角形在中，，，∴∴，∴由（2）可得∴在△OO′C中，當O，O′，C三點共線，且點C在線段OO′上時，即又∵，在線段上∴∴∴的周長為以為頂點，構(gòu)建等腰三角形，將線段OA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°到O′A，連接OO′，CO′，如下圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，為等腰三角形∴由（2）可得∴在中，∴當點在線段上時，最小∴點與點重合，的周長為【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)、圓、三角形、正方形等有關(guān)性質(zhì)，充分理解題意并熟練掌握有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2020下·北京海淀·九年級清華附中?？茧A段練習(xí)）對于平面內(nèi)和外一點，若過點的直線與有兩個不同的公共點，點為直線上的另一點，且滿足(如圖1所示)，則稱點是點關(guān)于的密切點．已知在平面直角坐標系中，的半徑為2，點．(1)在點中，是點關(guān)于的密切點的為__________．(2)設(shè)直線方程為，如圖2所示，①時，求出點關(guān)于的密切點的坐標；②的圓心為，半徑為2，若上存在點關(guān)于的密切點，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）E；（2）①；②或【分析】(1)用假設(shè)法通過特殊位置判斷;（2）①拿出直線解析式，聯(lián)立與圓的位置根據(jù)勾股定理求得M,N兩點的橫坐標，根據(jù)題目條件信息轉(zhuǎn)化即可求解.②作出點關(guān)于的密切點的運動軌跡，根據(jù)圖像即可求出取值范圍.【詳解】解：(1)當圓心在坐標原點上時，直線為時，易得：,,∵，設(shè)Q點坐標為,解得，故是點關(guān)于的密切點.(2)①依題意直線方程過定點∴直線方程為如右圖，作軸于點，軸于點．設(shè)由得∴點的橫坐標是方程的兩根解得∴，，∴∴∴∴②點關(guān)于的密切點的軌跡為線段,為切點弦(不含端點)．或【點睛】本題屬于閱讀創(chuàng)新類型題目，解題的關(guān)鍵在于讀懂題目信息，根據(jù)關(guān)鍵信息理解求解作答.13．（2022上·江西九江·九年級統(tǒng)考期末）（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點P是直線m外一點，，點O是垂足，點A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是______，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，______．（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點P為AB邊上一動點，則CP的最小值為______．（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．（4）拓展提高：如圖4，頂點F在矩形ABCD的對角線AC上運動，連接AE．．，，請求出AE的最小值．【答案】（1）PO，垂線段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面積為；（4）AE的最小值為．【分析】（1）根據(jù)垂線段的性質(zhì)即可解答；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，利用面積法即可求解；（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等，可證得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當∠DEC=90°時，DE最短，據(jù)此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的長，即可求解；（4）作出如圖的輔助線，先判斷出點E在直線GH上運動，根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當當AE⊥GH時，AE最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積公式即可求解．【詳解】解：（1）∵PO⊥直線m，∴從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．故答案為：PO，垂線段最短；（2）由（1）知當PC⊥AB時，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，∴PC=，即CP的最小值為，故答案為：；（3）①由旋轉(zhuǎn)知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，邊長為4，∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；∵點P為高AD上的一個動點，∴點E在射線CE上，根據(jù)“垂線段最短”可知，當DE⊥CE時，DE最短．∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，∴等邊三角形△PBE的高為，∴△BPE的面積為=；（4）過點B作BH⊥AC于點H，則∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此時點F與點C重合，點E與點H重合，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，取AB中點G，過點G作GI⊥AB交AC于點I，則∠BGI=90°，∴∠GBI=∠